DebtRank：激波传播的微观基础

系统经历的相对权益损失随着α的增加而增加，直到达到饱和点。对于足够大的α值，银行的大部分权益已经被最初的冲击所抵消，这意味着由于传染动力学而产生的就业率随着α的降低而降低。有趣的是，我们观察到，2008年的放大将股权的相对损失推至饱和水平，α值已经低至0.5%，而2013年的冲击需要大五倍才能达到类似的相对损失。作为第二种情况，我们考虑单个银行一次受到冲击的情况，冲击仍然是其外部资产的相对金额α的贬值，并且对每个银行重复该实验。其想法是将银行的系统重要性分解为其对系统的影响，以及其在影响其他银行的冲击方面的脆弱性。然后，我们将银行i的影响定义为当银行i受到冲击时系统的相对权益损失。相反，我们用所有实验中hi（t）的平均值来衡量它的脆弱性。然后，我们按照影响和脆弱性的降序排列银行，并以散点图的形式展示2008年和2013年以及α=0.5%的结果，如图2所示。我们可以看到，最危险的银行，即对系统影响最大的银行，也是最脆弱的银行。4/0 50 100 150 200脆弱性反向等级A0 50 100 150 200脆弱性反向等级图2。2008年（a组）和2013年（b组）影响和脆弱性（反向）排名散点图。一次对一家银行施加相当于其资产贬值0.5%的初始冲击，并对每家银行重复该实验。

银行的影响被衡量为当银行受到冲击时系统所经历的相对权益损失。银行的脆弱性是其在所有实验中的平均相对权益损失。此外，我们对100个重建网络样本的影响和脆弱性进行了平均。最后，我们建立两个数量的反向排序（即按降序排列），以便两个轴上的较大值对应更具影响力和更脆弱的银行。泡沫大小与相应银行的总资产成比例。最危险的银行也是最脆弱的。讨论通过迭代资产负债表恒等式，我们推导出了银行股权演化的方程。然后，我们考虑银行间网络中的一般风险传播机制，以便贷款人的银行间资产价值取决于其债权人的困境水平。由此产生的动态与最近在文献中引入的作为有效冲击传播动态的DebtRank算法密切相关，它为其动态变量提供了一个清晰的经济直觉，即基本会计原则。我们证明了，一般来说，原始的DebtRank给出了用我们的方法计算的损失的下界，但是，对于某类冲击，这两种算法在树上是等价的。更重要的是，我们证明了系统放大初始冲击的能力仅取决于银行间杠杆矩阵的最大特征值λmax的模：当|λmax |<1时，后续几轮动力学引起的额外损失随时间衰减。相反，当|λmax |>1时，一个小的冲击将被放大，并导致至少一家银行违约。

从监管角度来看，这一发现可能很重要，因为人们可以监测λmaxover time的演变，以检查系统是否正在进入不稳定状态。为了展示我们的算法，我们将其应用于一个由183家欧洲上市银行组成的系统。我们描述了网络对不同冲击场景的反应。我们的分析表明，从2008年到2013年，银行间传染导致的冲击幅度持续下降，2008年的小冲击足以让所有银行陷入严重困境。通过对银行进行压力测试，一次一家银行受到冲击，我们可以计算单个银行对系统的影响，以及它对其他银行发起的冲击的脆弱性。从系统的角度来看，系统性影响和脆弱性是反相关的，这样最危险的银行也最稳健，反之亦然。事实上，这并没有发生：我们的分析表明，最危险的银行也是最脆弱的，这意味着系统性风险集中在几个关键参与者身上，因此，有效的宏观审慎监管政策的目标应该是这一点。方法资产负债表基础资产负债表概述银行的财务状况。它包括具有正经济价值的资产（如股票、债券、现金）和对债权人负有义务的负债（如客户存款、其他借项）。资产和负债的价值之差称为权益，以下（资产负债表）恒等式成立：资产=权益+负债。一家银行被称为有偿付能力的，只要其股本为正。一旦银行资不抵债，即使它出售全部资产，也无法偿还债务。

因此，我们将破产作为违约的代理。5/模型动态股权累积相对损失演化方程hi（t）=（Ei（0）- Ei（t））/Ei（0）可以从资产负债表标识中派生。从（2）中，假设（i）外部资产和负债不变，（ii）银行间负债为面值且不变，以及（iii）银行间资产按市值计价，Ei（t+1）- Ei（t）=∑J∈A（t）Ai j（t+1）-∑J∈A（t）-1） 艾杰（t）=∑J∈A（t）-1） [Ai j（t+1）- Ai j（t）]-∑J∈A（t）-1） \\A（t）Ai j（t+1），（6）其中，在第二行中，我们已经分离出来自在时间t时处于活动状态的节点的潜在贡献- 1，但在时间t时变得不活跃。使用（3），我们看到（6）中的最后一项消失了，所以我们有：Ei（t+1）- Ei（t）=∑J∈A（t）-1） Ai j（t）Ej（t）- 1） [Ej（t）- Ej（t）- 1)]=∑J∈A（t）-1） Ai j（0）Ej（0）[Ej（t）- Ej（t）- 1） ]，（7）在第二行中，我们递归地应用（3）并使用Ai j（1）=Ai j（0）（只有股票在t=1时发生变化，资产在t=2时开始变化）。现在我们可以定义矩阵∧：∧i j（t）=（Ai j（0）Ej（0）如果j∈ A（t）- 1） 0如果j/∈ A（t）- 1） （8）写出公平演变方程：Ei（t+1）=max“0，Ei（t）+N∑j=1∧i j（t）[Ej（t）- Ej（t）- 1） ]#，（9）最大值说明了一个事实，即一旦银行违约，其权益就不能为负。从（9）可以很容易地得出：hi（t+1）=min“1，hi（t）+N∑j=1∧i j（t）[hj（t）- hj（t）- 1） ]#，（10）其中∧i j（t）=∧i j（t）Ej（0）/Ei（0），因此∧（t）可以被解释为一个缩减的银行间杠杆矩阵，其中，银行在时间t之前违约- 1已设置为零。

由于违约银行的权益在达到零后不再发生变化，因此与违约银行对应的杠杆矩阵行也可以设置为零。与债务人的关系原始债务人的动态如下：hi（t+1）=min“1，hi（t）+∑A′（t）Wi jhj（t）#=min“1，hi（t）+∑A′（t）Wi j[hj（t）- hj（t）- 1） 其中wij=min（1，λij），A′（t）={j:hj（t）>0和hj（t）- 1） =0}，第二行的最后一项可以加起来，因为它总是等于零。让我们注意到，A′（t）的定义意味着不同的停止标准。事实上，在理论上，最初的DebtRank节点只在收到冲击后立即传播冲击一次。相反，在我们的环境中，它们可以传播冲击，直到它们违约。关于（4a）有两个主要区别：（i）由于A′（t）的存在，（11）中的求和所涉及的项比（4a）中的求和所涉及的项少 A（t） A（t）- 1） （当银行违约时，活动节点集变得越来越小）；（ii）Wi j<λi j，对于所有i和j。因此，（11）提供了用（4a）计算的相对累积权益的下界。6/为了理解网络拓扑的作用，让我们将注意力集中在节点r上。从（3）我们可以看到，ashock只能通过从r借用的邻居到达r，反过来，只有通过他们借来的八家银行，才能震惊地发现这一点。换句话说，如果一个节点s在某个时间t受到冲击，r体验这种冲击的影响（在以后的时间）的唯一可能的方法是存在一条从r到s的路径。让我们暂时假设这样的路径→ 我→ 我→ 知识产权-1.→ s是唯一的（长度为p）；然后还有一条从任何节点到IKS的唯一路径。

冲击波将传播到节点ip-1在时间t+1，但是，如果没有额外的节点受到冲击，并且由于s和ip之间不存在额外的路径-1、节点ip的状态-1不会从时间t+1变为时间t+2。同样，节点ip的状态也是如此-2只会在时间t+2发生变化，以此类推，直到冲击波在时间t+p到达节点r。路径中任何节点的状态只会在一个时间步发生变化。因此，结果将是相同的，就像在最初的DebtRank中一样，只有当冲击首次到达时，每个节点才处于活动状态。然而，这仅适用于节点，例如存在将它们连接到唯一节点的唯一路径。如果在r和s之间有额外的路径，冲击也会沿着这些路径传播，从而在节点r处造成额外的损失。特别是，如果从受冲击节点s可到达（向后）的节点子图是一棵树，这一点就非常正确。如果不止一个节点受到冲击，并且如果r可以（向后）从其中的多个节点中移除，那么，即使图形是一棵树，r在末端经历的（累积）损失也可能比使用“la DebtRank”停止标准时更大。特别是，如果路径重叠，损失将更大，而如果路径不重叠，损失将相等。稳定性性质为了简单起见，我们假设在整个演化过程中没有银行违约，因此∧随时间变化是常数（见（8））。定义h（t）=h（t）- h（t）- 1） ，（4a）可以用矩阵表示法表示：h（t+1）=∧h（t）=∧th（1）=∧th（1）、（12）ash（1）=h（1）- h（0）和h（0）=0。把所有的时间步长加起来，直到t+1，我们得到：h（t+1）=t+1∑s=0h（s）=t+1∑s=0∧sh（1）。

(13)h=0始终是映射（12）的固定点，只要最大特征值λmaxof∧的模小于1，它就稳定，这意味着动力学将抑制初始冲击随时间的后续传播。在这种情况下，（13）中的sum将渐近收敛到：h∞= (1 - Λ)-1h（1）。（14） 相反，如果|λmax |>1，h（t）将变得越来越大，导致至少一家银行违约，与最初的冲击无关。等式（12）清楚地描述了动态的第一阶段，直到第一次违约。然而，由于缩减杠杆矩阵在两次后续违约之间不会发生变化，（12）也会在一次违约和下一次违约之间保持不变，前提是∧被正确的缩减杠杆矩阵∧（t）替换。因此，只要λmax（t）的模量，∧（t）的最大本征值大于1，动力学就会保持爆炸性。随着越来越多的银行违约|λmax（t）|最终将变得比1小，并且动态最终会收敛。应该注意的是，通过允许银行在其股本为正的情况下传播冲击，修改原始的DebtRank动态（11），将导致重复计算损失。为了简单起见，让我们再次假设没有银行违约，并且W=λ。迭代（11）得到h（t+1）=（I+λ）th（1），这个量总是大于从方程（13）得到的量，即。∑ts=0∧sh（1）。数据对于我们的分析，我们使用的数据集与中使用的数据集相同。有关银行资产负债表的信息来自Bureau Van DijkBankscope数据库，该数据库包含183家在2008年至2013年间公开交易的欧洲银行。从该数据源中，我们提取以下信息：股权、总资产、总负债、总银行间资产A和总银行间负债Li。

有关丢失数据处理的详细信息，读者应参考上述参考资料。如正文所述，重建银行间资产矩阵的过程分两步进行：首先，我们生成一个二进制邻接矩阵，对网络拓扑进行编码。这是通过适应性模型实现的，该模型可以方便地针对定向网络进行修改。以概率pi j=zxoutixinj1+zxoutixinj插入从气缸组i到气缸组j的链接，其中7/每个气缸组的刚度值计算为xouti=~Ai/∑jAjand xini=~Li/∑jLj，参数z固定以获得所需的网络密度（网络中的链路数除以可能的链路数）。在本文中，我们设置了z，使得网络的密度为5%。然后，我们根据概率pi j绘制100个网络。对于由此获得的每个网络，我们接着为链路分配权重Ai jt。为此，我们使用RAS算法。这包括一个映射的迭代，其第n步是：a（n）i j=a（n-1） i j∑jA（n）-1） i jAiA（n+1）i j=A（n）i j∑iA（n）i jLi。在收敛时，上述迭代确保∑jAi j=~Aiand∑所有银行的iAi j=~LJ。显然，一个人必须具备这种能力∑我爱=∑我是李。由于我们的数据并非如此，我们根据上述关系重新调整负债规模。参考文献1。《银行为何未能通过压力测试》（2009年）。统一资源定位地址http://www.bankofengland.co.uk/archive/documents/historicpubs/speeches/2009/speech374.pdf.在伦敦Marcus Evans压力测试会议上的演讲。2.霍尔丹，A.G.重新思考金融网络（2009）。统一资源定位地址http://www.bankofengland.co.uk/archive/documents/historicpubs/speeches/2009/speech386.pdf.在阿姆斯特丹金融学生协会的演讲。3.特里谢，J.-C.对货币政策非标准措施和金融理论性质的反思（2010年）。

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