关于Black-Scholes方程的一种解法

（4） （3）的选择似乎令人费解，但可以通过V和S相互依赖，且其动力学中的随机分量与S成正比这一事实来证明。因此，我们明智地选择了V和S的线性组合，这样的分量应该消失。现在让我们实施无套利原则。以无风险利率r投资∏，经过一段时间后，我们有一个增量r∏dt。r∏dt和d∏之间的比较由（4）给出。如果d∏大于r∏dt，我们将获得投资组合的∏金额。回报d∏将大于成本r∏dt，因此我们可以得到瞬时无风险收益∏- r∏dt。如果d∏<r∏dt，我们将以r的利率出售投资组合∏并将其投资于银行。这一次，我们将获得瞬时无风险收益∏dt- d∏。因此，无套利假设强制d∏=[Vt+σSVss]dt=r∏dt。（5） 代入∏=V- S4=V- 在（5）中，我们得到了著名的Black-Scholes方程：LV=Vt+σSVss+rSVs- rV=0。（6） 由于Vssis的系数为正，（6）是一个反向方程。为了得到适定问题，我们需要施加最终条件（t=t），S=0的一个边条件和S的一个条件→ +∞.o 最终条件（t=t）调用。如果在时间T，我们有S>E，那么我们行使选择权，并且- E.如果S≤ E、 我们不会在没有利益的情况下行使该期权。该期权的最终收益为ThereForce（S，t）=max[S]- E、 0]=（S）- E） +，S>0。放如果在时间T我们有≤ E、 我们不行使期权，而在S<E的情况下行使期权。因此，期权的最终收益为P（S，T）=max[E]- S、 0]=（E）- S） +，S>0.o边界条件（S=0和S→ +∞)呼叫如果在t时刻S=0，则此后S=0，且该选项没有值；thusC（0，t）=0，t≥ 0.作为S→ +∞, 在时间t，期权将被行使，其价值实际上等于toS减去贴现行使价格soC（S，t）- （S）- E-r（T）-t） （E）→ 0作为S→ +∞.放

如果在某个特定时间S=0，那么此后S=o，最终结果是E。因此，为了确定P（0，t），我们需要确定时间t时E的现值，即isP（S，t）=Ee-r（T）-t） 。如果是→ +∞, 我们不行使期权，henceP（S，t）=0作为S→ +∞.布莱克-斯科尔斯方程的解让我们在两种情况下总结一下我们的模型布莱克-斯科尔斯方程vt+σSVss+rSVs- rV=0。（7） o最终支付（S，T）=（S- E） +（调用）P（S，T）=（E）- S） +（放）。o边界条件C（S，t）- （S）- E-r（T）-t） （E）→ 0作为S→ +∞ （调用）P（0，t）=Ee-r（T）-t） ，P（S，t）=0作为S→ +∞ （放）。上述问题可以简化为热方程的全局柯西问题。因此，可以得到解的明确公式。首先，应改变变量，以便将Black-Scholes方程简化为常数系数，并在时间上从后向前传递。还请注意，1/σ可被视为内在参考时间，而E给出了S和V的特征数量级。因此，1/σ和E可用作重标度因子，以引入无量纲变量。让我们设置x=ln东南方, τ=σ（T）-t） ω（x，τ）=EV（Eex，t-2τσ).当S从0变为=∞, x的变化-∞ 到+∞. 当t=t时，τ=0。此外：Vt=-σEωτVs=ESωx，Vss=-ESωx+ESωxx。如果我们将其放入（7）中，我们将得到以下结果：-σωτ+(-ωx+ωxx）+rωx- rω=0或ωτ=ωxx+（k- 1） ωx- kω，其中k=2rσ是无量纲的参数。如果我们设置ω（x，τ）=e-K-1x-（k+1）τν（x，τ），我们发现ν满足ντ- νxx=0，-∞ < x<+∞, 0≤ τ ≤ T.值得一提的是，V的最终条件是V的初始条件。

通过以下几个步骤，我们发现ν（x，0）=g（x）=（e（k+1）x- e（k）-1） x，x>00，x≤ 0表示看涨期权，而ν（x，0）=g（x）=（e（k）-1） x- e（k+1）x，x<00，x≥ 0表示看跌期权。现在我们可以利用前面的结果来推导出解的公式。解是唯一的，由公式ν（x，τ）给出=√4πτZ∞Rg（y）e-（十）-y） 4τdy.为了得到更一般的公式，让y=√2τz+x。然后，关注看涨期权：ν（x，τ）=√4πτZ∞Rg(√2τz+x）e-xdy=√2π“Z∞-十、√2τe（k+1）(√2τz+x）-zdz-Z∞-十、√2τe（k）-1)(√2τz+x）-zdz#。修改这两个积分后，我们得到了ν（x，t）=e（k+1）x+（k+1）τN（d+）- e（k）-1） x+（k）-1） τN（d）-)其中（z）=√2πZz-∞E-Ydy是标准正态随机变量的分布，d±=x√2τ+（k±1）√2τ.回到原始变量，对于我们的调用：C（S，t）=SN（d+）- Ee-r（T）-t） N（d）-)d±=ln（S/E）+（r±σ）（T-τ)σ√T-τ.put isP（S，t）=Ee的公式-r（T）-t） N（d）-) - SN（d+）。可以显示，对于call4=Ps=N（d+），4=Cs=N（d+）>0- 1次推杆低于0（萨尔萨（2008））。我们应该特别注意，Cs和Psa都严格地相对于S增加。因此，对于每个t，函数C，P都是S的严格凸函数，即Cs>0和Pss>0把电话打成对等。具有相同行使价格和到期时间的看跌期权和看涨期权可以通过形成以下投资组合进行连接：∏=S+P-C前面的负数表示空头仓位（负持仓）。对于该投资组合，最终收益为∏（S，T）=S+（E- （S）+- （S）- E） +。如果E≥ S、 我们有∏（S，T）=S+（E）- （S）- 0=E，而如果E≤ S∏（S，T）=S+0- （S）- E） =E。因此，到期时，支付额始终等于E，并形成无风险收益，其在t的价值必须等于E的贴现价值，因为施加了无套利条件。因此，我们找到了后续关系（看涨期权平价）S+P-C=Ee-r（T）-t） 。

（8） 公式（8）表明，在C（或P）值可用的情况下，可以得到P（或C）的值。从（8）开始，自-r（T）-（t）≤ E和P≥ 0，我们得到c（S，t）=S+P-Ee-r（T）-（t）≥ s- 从C开始≥ 0，C（S，t）≥ （S）- E） +。可以观察到，C的值总是大于最终支付。然而，该属性不适用于看跌期权。事实上，P（0，t）=Ee-r（T）-（t）≤ Eso当S接近0时，P的值小于最终支付，并且在到期前更大。图3和图4证明了这一点。图3：欧式看涨期权的价值图4：欧式看跌期权的价值函数o不同的波动率。波动率σ和σ不同的两种期权的价值之间的比较可以通过最大值原理进行。假设在这两种情况下，行权价格和行权时间相同，E为行权价格，T为行权时间- 罢工时间到了。我们允许的另一个假设是σ>σ。表示相应认购期权C（1）、C（2）的价值。随着风险的减少，期权的价值也应该下降。我们想展示的是C（1）>C（2），S>0，0≤ T≤ T.设W=C（1）- C（2）。然后WT+σSWss+rSWs- rW=（σ）- σ） SC（1）ss。（9） W（S，T）=0，W（0，T）=0和W→ 0作为S→ +∞. 很明显，（9）是一个非齐次方程，因为C（1）ss>0，所以S>0时右手边为负。我们知道W在半带[0]中是连续的+∞) ×[0，T]并最终消失，达到其全球最小值（S，T）。我们声称最小值为零，并且不能在区间（0+∞) ×[0，T）。方程是向后的，所以不考虑T=0。假设W（S，T）≤ 0与S>0和0<t<t。因此，Wt（S，t）=0和ws（S，t）=0，Wss（S，t）≥ 我们观察到一个矛盾。

因此，W=C（1）- C（2）>0为>0，0<t<t。1972年，Fischer Black和Myron Scholes对看涨期权进行了实证检验（Black和Scholes（1973））。测试结果表明，经济体购买和出售期权的代理人的实际价格系统地偏离了Black-Scholes模型（Black and Scholes（1973））预测的价格。期权的购买价格连续高于模型预测的价格，而期权的出售价格大致与模型预测的价格相同（Blackand Scholes（1973））。应该注意的是，期权购买者支付的价格差异对于低风险股票而言高于高风险股票（Black and Scholes（1973））。后一点是有意义的，因为低风险股票总是比高风险股票更可取，因为低风险股票产生巨额利润且不违约的概率更高。对于期权买家来说，现实世界中的交易成本很高。这一事实可能解释了为什么公式低估了期权买家支付的价格，因为该模型是在无交易成本的假设下建立的。Black and Scholes（1973）认为，考虑到市场中交易成本的大小，对价格的错误估计并不表明投机者在市场中的潜在获利机会。5变量分离法本节考虑形式的部分Black-Scholes方程Ct+σsCs+rsCs=0。本节的目的是介绍分离变量法，以求解方程并找到通解。让函数C（s，t）写成以下形式：C（s，t）=s（s）t（t）。然后，可以导出以下偏导数：Ct=ST，Cs=T s，Ct=ST。将导数代入原始方程，我们得到：ST+σsST+rsST-rST=0。为了简单起见，现在让σ=a和r=b。

将方程除以ST，asSS+bsSS+TT- b=0。重新排列并等于一个常数（c>0），我们得到两个普通微分方程对：asSS+bsSS=b-TT=c。第一个方程ASS+bsS=c可以通过前面介绍的欧拉方程方法求解。将等式两边除以A，然后重新排列：sS+basS-caS=0。因此，特征方程为：d（d- 1） +糟糕-ca=0ord+（ba）- 1） d-ca=0。特征方程有以下解（假设D>0）：d1,2=（1-ba）±q（ba- 1)- 4.* 1.* (-ca）。因此，方程的通解isS（s）=s（1-文学士）+√（ba）-1)-4(-ca）+s（1）-文学士）-√（ba）-1)-4(-ca）。用相应的表达式代替a和b，我们得到了显式形式的解：S（S）=S（1）-2rσ）+r（2rσ）-1)-4(-2cσ）+s（1）-2rσ）-r（2rσ）-1)-4(-2cσ）。接下来，我们的目标是从b中找到T（T）的解-TT=c.T- （b）- c） T=0。因此，方程的解是：T（T）=e（b）-c） t.由于找到了形式为S（S）和t（S）的两个解，Black Schole方程的最终解Ct+σsCs+rsCs=0可以表示为asC（s，t）=s（s）t（t）=hs（1-2rσ）+r（2rσ）-1） +2cσ+s（1-2rσ）-r（2rσ）-1） +2cσie（b）-c） t.图5：看涨期权图6：看跌期权o构建一个绘图如今，有很多机会看到布莱克-斯科尔斯方程的图形解。我们决定依赖其中一个，并展示这个等式的曲线图。统计在线计算研究（SOCR）允许我们构建这两个图。在图5中，行权价格E等于100，利率r=0.5，股息率δ=0，方差σ=0.3，到期时间T- t=1。该图是根据股票价格S和价格V绘制的。

在图6中，假设变量值相同，并根据看跌期权绘制曲线。6结论总之，Black-Scholes模型因其对股票价格的准确和有用的估计而在定量金融中受到高度赞赏。Black-Scholes方程代表了期权定价的推导，尽管考虑了时间段t、无风险利率r和股价波动率σ等因素（Sheraza和Preda（2014））。期权价值的导出解与公司负债密切相关，因此，导出的公式可用于证券，包括普通股和债券（Black and Scholes（1973））。Black-Scholes模型的这一特点说明了其适用于金融世界不同环境的灵活性和效率。本文提出了一种求解著名的Black-Scholes方程的新方法。采用分离变量法求解偏微分方程。参考桑库迪诺娃，J.，埃哈特，M.，2008年。关于非线性Black-Scholes方程的数值解。计算机和数学及其应用56799–812。巴拉德，G.，2014年。Black-Scholes期权定价中的微分几何技术；理论结果和近似。宝典经济与金融8，48-52。布莱克，F.，斯科尔斯，M.，1973年。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》81（3），637-654。博纳，M.，郑，Y.，2009年。关于Black-Scholes方程的解析解。应用数学讲师22309–313。博伊斯，W.E.，迪普里马，R.C.，2009年。基本微分方程。John Wiley and Sons Inc.Company，R.，J\'odar，L.，Rubio，G.，Villanueva，R.，2007年。具有脉冲支付函数的Black-Scholes期权定价数学模型的显式解。数学和计算机建模45，80-92。贾罗，R.A.，1999年。

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