关于Black-Scholes方程的一种解法

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《On a method of solving the Black-Scholes Equation》
---
作者：
Binur Yermukanova, Laila Zhexembay, Natanael Karjanto
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  The paper proposes a different method of solving a simplified version of the Black-Scholes equation. This paper will discuss the importance of the Black-Scholes equation and its applications in finance.
---
中文摘要：
本文提出了一种求解简化版Black-Scholes方程的不同方法。本文将讨论Black-Scholes方程的重要性及其在金融中的应用。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
--

---
PDF下载：
--> On_a_method_of_solving_the_Black-Scholes_Equation.pdf (578.38 KB)

2022-5-8 02:33:21 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：SCHOLES choles Holes Black chol

关于Black-Scholes方程的一种解法。哈萨克斯坦阿斯塔纳扎尔巴耶夫大学人文和社会科学学院经济系阿斯塔纳纳扎尔巴耶夫大学科学技术学院数学系阿斯塔纳成均馆大学学院成均馆大学自然科学校区2066 Seobu ro Suwon si Jangan gu 16419庆吉道，大韩民国摘要本文提出了一种不同的方法来解决简化版的布莱克-斯科尔斯方程。在本文的第一部分中，布莱克-斯科尔斯方程被转化为序数微分方程，以获得类似于欧拉方程的解。第二部分主要研究偏微分方程。采用分离变量法求解Black-Scholes方程。给出了看跌期权和看涨期权的对应图。1简介微分方程在工程、物理、生物学、药代动力学等不同科学领域有着广泛的应用（Li等人（2014））。然而，它们在经济或金融领域的应用却寥寥无几。特别是，涉及微分方程的著名模型只有经济增长模型和布莱克-斯科尔斯方程。后者将在本文中讨论。1977年，米隆·斯科尔斯（Myron Scholes）和菲舍尔·布莱克（Fischer Black）因通过“确定衍生品价值的新方法”（Jarrow（1999））制定股票期权公式而获得诺贝尔经济学奖。因此，Black-Scholes模型涉及期权定量融资定价中最重要的问题之一（Rodrigoa和Mamon（2006））。

该模型在理论和实践上都具有重要意义，因为金融在世界经济中扮演着重要角色（Bohner和Zheng（2009））。2普通微分方程2。1背景信息和基本假设在实践中，期权定价的Black-Scholes模型被应用于各种“商品和支付结构”（J\'odar et al.（2005））。Black-Scholes模型广泛用于美式期权和欧式期权。因此，该模型有着广泛的应用。在考虑Black-Scholes模型之前，应该做一些假设。菲舍尔·布莱克称之为市场的“理想状态”（布莱克和斯科尔斯（1973））。这些假设很重要，需要强调，因为众所周知，与经济的其他部分相比，股市往往是不稳定的。有五个基本假设：1。第一个假设是，关于短期利率值的信息是可用的，并且短期利率是恒定的（Black and Scholes（1973））。2。第二，股票不支付股息（Black and Scholes（1973））。第三，消除了买卖证券时产生的交易成本（Black and Scholes（1973））。4。第四，为了持有股票，可以借入所需股票价格的一小部分（Black and Scholes（1973））。5。最后一个假设是，在必要的情况下，市场允许卖空证券（Black and Scholes（1973））。由于这些假设，期权价格将仅是时间段和股票价格的函数。在下面的段落中，期权价格将被简化为股票价格的函数。一般来说，当股票价格上涨时，期权价值会增加。从下图可以很容易地看出期权价值和股价之间的正关系（Black and Scholes（1973））。

从图中可以看出，代表不同时间段（T，T，T）的期权价格和股票价格之间关系的图表位于45度线以下，这表明期权价格比股票价格波动更大（Black and Scholes（1973））。期权价格的波动性导致了以下结论：如果股票价格上涨一定程度，期权价格将产生更大的百分比变化。下图显示了本文试图通过Black-Scholes模型解释的内容。图1：期权价值和股票价格之间的关系2。2转化为普通微分方程Black-Scholes方程由以下表达式给出：Ct+σsCs+rsCs- rC=0，其中C（s，t）=期权价格，s=股票价格，t=时间段，r=利率（Company al.（2007））。首先，通过提出以下解决方案，将偏微分方程（PDE）转化为普通微分方程（ODE）是有用的：C（s，t）=C（s）eλtCt=C（s）* λeλtandCs=丙(s)seλt，通过将这些方程代入偏微分方程，我们得到：C（s）* λeλt+σsdC（s）ds* eλt+rsdC（s）ds* eλt- 区议会(s)*eλt=0。下一步是重新排列方程，得到二阶ODE:eλtσsdC（s）ds+rsdC（s）ds+C（s）（λ- r）= 0.后一个表达式可以简化为以下等式：σsdC（s）ds+rsdC（s）ds+C（s）（λ- r） =0因为eλt6=0.2.3欧拉方程为了去掉第一项的系数，让我们用1/2σ除以一切：sdC（s）ds+2rσ* sdC（s）ds+2（λ）- r） σC（s）=0。这个方程提醒我们欧拉方程：L（y）=xdydx+αxdydx+βy=0。具有实常数α和β（Boyce和DiPrima（2009））。在我们的例子中，α=2rσ和β=2（λ-r） σ，为正常数。

Euler方程具有不同实根的形式y=xr+xrin的解，以及形式为：F（r）=r（r）的特征方程- 1） +αr+β=0（Boyce and DiPrima（2009））。2.4 Black-Scholes方程的解根据给定的假设，σ和r是正实数，因为r是利率，σ是股票的波动性，如本文前面所述。现在，可以提出一个C（s）=sk形式的解，并将其应用于Black-Scholes方程。下面的推导将有助于解决我们的问题：C（s）=sk，dC（s）ds=k* sk-1，dC（s）ds=k（k- 1) * sk-2.将导数代入前面的方程：σsk（k- 1) * sk-2+rsk* sk-1+sk（λ）- r） =0。下一步是将sk从括号中取出，导出前面介绍的特征方程：sk*σk（k）- 1） +k（r）-σ) + (λ - r）= 0.σk+rk+（λ- r） =0。为了找到特征方程的根，让我们找到判别式：D=（r-σ)- 4.*σ(λ - r） =r+rσ+σ- 假设2λσ>0。所以，特征方程的两个截然不同的根是：k1，2=（r-σ） ±qr+rσ+σ- 2λσσ* 2=rσ-±qr+rσ+σ- 2λσσ.因此，我们问题的解可以写成：C（s）=csrσ-+rr+rσ+σ-2λσ+csrσ--rr+rσ+σ-2λσσ.该解决方案将期权价值表示为股票价格的函数。假设C和C必须是正常数，因为期权价格和前面介绍的股票价格之间存在正关系。图2:2000年至2009年的股价波动上图2显示了2000年至2009年期间的股价波动。本文介绍的布莱克斯科尔斯模型有助于解释、预测和估计基于金融界股票价格的期权价格。

Black-Scholes模型比其他早期开发的模型给出了更准确的期权价格估计，因为它考虑了影响股票价格的因素，包括交易成本、资产风险、非流动性市场（Ankudinova和Ehrhardt（2008））。因此，该模型用于估计欧洲看涨期权，这巩固了其在应用经济学中的作用（Barad（2014））。Black-Scholes模型侧重于持有一段时间的期权或证券，并赋予所有者进行买卖等市场操作的权利。可以指定两种证券类型：美式期权和欧式期权（Black and Scholes（1973））。美式期权与欧式期权的不同之处在于，美式期权的质量允许持有人在到期日之前购买或出售证券，而欧式期权则不允许在证券到期之前进行市场操作。根据Black和Scholes的经验测试，估计的期权价值与实际情况略有偏差。尽管那些要求股票和债券的人在证券市场上为产品支付更高的（最低程度）价格，但供应商收到的付款与公式计算的金额相当接近（Black and Scholes（1973））。这种供需双方支付和接受的价格之间的差距可以通过交易成本来理解- 与交易所有关的费用- 这是一个行业中各种服务的结果。3 Black-Scholes方程的本质有两种期权可以具体说明：“美式期权”和“欧式期权”（Black和Scholes（1973））。美式期权是指可按需检查的期权，尤其是可在到期日之前返还的期权。而欧洲期权是指只有在特定日期到期时才可以转换的期权。

因此，美国期权比欧洲期权更具流动性。如前所述，当股价较高时，期权更有价值（Black and Scholes（1973））。此外，期权取决于到期日，尤其是到期日。如果到期日超过一个较长的时间段，那么付款，尤其是在期权的特定时间段支付的股息将减少。另一方面，如果到期日在较短时间内，则股息较高。由于Black-Scholes方程是对市场中股票运动的理论预测，因此有一些限制需要注意。除了理论之外，还有一个现实世界，在这个现实世界中，股票市场的状况可能不像模型所预测的那样理想。此外，理论模型建立在金融和经济学中的原因是，很难对现实世界进行测试或实验。例如，在物理学中，实验可以在实验室内进行，也可以在化学中进行。然而，在金融经济环境下进行实验会带来高昂的成本，因为它们与现实世界中存在的市场密切相关。因此，由于问题的全球性，很难对金融市场进行实验。执行政策或解决财务问题的唯一信息是过去的数据收集。过去的数据类似于一个工具，有助于了解市场的一般模式、资产价格的变动、经济主体的行为、金融变量的关系和共同变动。利用过去收集的数据，可以绘制与经济变量相关的图表，显示它们的趋势和运动。此外，数据也有助于预测市场的未来趋势，但只是粗略估计。现在，随着我们理解理论模型的重要性，关于Black-Scholes模型，有一些条件需要特别说明。

这是一个完整的假设列表，是本文前面提到的假设的补充：1。有关于短期利率的完美信息，而且它们的运动在很长一段时间内都是恒定的（Black and Scholes（1973））。股票价格的运动是随机的，其方差与股票价格的平方成正比；因此，股票价格在某一特定时期内的分布是对数正态的（Black and Scholes（1973））。与股票向股东支付股息的现实世界不同，在模型中，股票不支付任何报酬（Black and Scholes（1973））。模型中只考虑欧洲期权，因此在到期日返还（Black and Scholes（1973））。5。与所有业务都存在交易成本的金融市场不同，假设买卖股票不会产生任何交易成本（Black and Scholes（1973））。证券价格的任何一部分都可以短期借入- 定期利率（Black and Scholes（1973））7。有可能在没有罚款或任何成本的情况下进行卖空。卖方将接受买方告知的价格，同意在未来某个特定时间会面，并支付与证券价格相等的金额（Black and Scholes（1973））。由于这些假设，期权价值将只取决于时间和股票价格；为了简化我们的模型（Black and Scholes（1973）），其他变量被视为常数。因此，期权w的价值降低为以下简单函数：w=f（x，t），其中x是股票价格，t是时间段（Black and Scholes（1973））。上面的表达式告诉我们，如果某个变量（股票价格或时间段）发生变化，期权的价值将如何变化。股票不派息的假设有利于解决更复杂的期权问题。

一个例子是，在某些条件下，该公式可以应用于美式期权，美式期权可以在到期日之前发行（Black and Scholes（1973））。布莱克和斯科尔斯（1973）在1973年研究了这个特殊的案例。Black-Scholes方程不仅有助于计算期权价值，还有助于计算更复杂的资产，如认股权证，这是公司的负债（Black和Scholes（1973））。担保通常被视为一种选择。此外，公司负债的价值可以通过公式计算。通常，公司负债不被视为一种选择。我们可以考虑一家公司的案例，该公司拥有另一家公司的股票资产（Black and Scholes（1973））。此外，债券是“纯贴现债券”，表示债券支付固定金额（Black and Scholes（1973））。假设到期日为10年。此外，假设一家公司在到期日之前不支付股息。然后，假设该公司计划在10年后出售其所有股票，并支付债券持有人的金额（Black and Scholes（1973））。因此，这些特定条件允许我们使用Black-Scholes方程计算公司负债的价值，因为假设公司负债类似于期权。4偏微分方程我们论文的这一部分将主要由萨尔萨（2008）的书中的材料组成。Zhexembay和Pak（2016）专注于非线性Black-Scholes方程的有限元数值解。让我们构造一个微分方程，它将帮助我们描述V（s，t）的演化。建立了以下假设：oS遵循对数正态定律；o波动率σ为常数且已知没有交易成本或股息；o可以买卖任何数量的标的资产对于无风险投资，利率r>0。

这意味着t=0时银行中的1美元在t时变为1美元市场是无套利的。最后一个假设对模型的构建至关重要，这意味着不存在瞬间无风险收益的机会。它可以被视为一种守恒定律！我们可以通过对冲的概念和自我融资投资组合的存在，将这一原理转化为数学术语。其基本思想是通过公式计算V的回报，然后建立一个无风险投资组合∏。该投资组合包含S股和期权。π必须在当前利率r下增加，即d∏=r∏dt，这与基本的Black-Scholes方程一致。现在让我们通过公式来计算V的微分。当S=uSdt+σdB时，所得结果为isdV=[Vt+σSVs+1/2uSVSS]dt+σSVSdB。（1） 在公式（1）中，我们有风险项σSVSdB。所以，我们的下一个目标是淘汰这个学期。这可以通过建立由期权和数量组成的投资组合∏来实现-4of底层∏=V- S4。这种操作是有价值的金融程序，称为对冲。现在，让我们把注意力转向特定的时间段，比如（t，t+dt），在这段时间内∏经历了一个变化d∏。如果我们在间隔（t，t+dt）期间成功地保持4等于其在t处的值，则∏的变化由d∏=dV给出- 4秒。由于上述公式是整个施工的基石，因此应予以适当解释。实现1我们获得的：d∏=dv- 4dS=[Vt+uSVs+σSVs- uS4]dt+σS（Vs- 4） dB。（2） 因此，如果我们选择4=Vs，（3），其中4是Vsat t的值，我们消除了（2）中的随机分量。投资组合∏的发展现在是确定性的，其动力学可以用以下等式描述：d∏=[Vt+σSVss]dt。