不完备系统正向性能过程的渐近分析

最后，在第5节中，我们给出了与我们的近似值（定义5.1）相关的投资组合的明确公式f，并解释了它们在何种意义上近似最优（命题5.3）。具有慢因子的远期投资问题我们考虑的第一种情况是慢因子情况，即当ui和σiin（1.2）依赖于Yδ时，（1.5）中的d so V（t，x，Y，Y）不依赖于Y。此外，为了简化符号，我们在本节中为ρ写ρ，为Y写Y。根据假设1.1，使用这些符号，HJB方程（1.6）变成（2.1）Vt+δκ（y）Vy+δb（y）Vy-kVxλ（y）+Vxy√δκ（y）ρkVxx=0。在这里，我们的目标是找到形式（2.2）V=V（0）的V展开式+√极限区δV（1）+O（δ）↓ 0.为此，我们将首先非正式地推导V（0）和V（1）的表达式，然后在下面的定理2.6中证明由此产生的扩展。渐近分析。为了得到前导阶项V（0），我们在（2.1）中设置δ=0:（2.3）V（0）t-kλ（y）kV（0）xV（0）xx=0。此外，我们赋予后一个方程初始条件V（0）（0，x，y）=V（0，x）。由此产生的问题对应于将远期绩效SPDE（1.4）中的波动系数设为零。这正是[MZ4]中研究的时间单调正向性能过程的情况。因此，（2.3）的解V（0）的公式可以直接从[MZ4，定理4和8]中恢复。命题2.1（前置顺序项，慢因子）。

初始条件为V（0）（0，x，y）=V（0，x）的HJ B方程（2.3）的解V（0）允许以下表示形式，即假设1.1（iii）：（2.4）V（0）（t，x，y）=ukλ（y）kt，x其中u由u（t，x）给出=-中兴通讯-h(-1） （s，x）+shxs、 h(-1） （s，x）ds+V（0，x），（2.5）h（t，x）=ZRezx-zt- 1zν（dz）+C、6米哈伊洛·什·科尔尼科夫、罗尼·瑟卡尔和塔莱亚·扎尔·伊霍普·乌卢和h(-1） 表示变量x中h的倒数。这源于（2.3）到病态热方程的变换，以及该方程正解的魏德表示定理（[Wi，定理8.1]）。这个变换和维德定理都将用于构造高阶展开项。（2.4）的解释是，在主订单下，远期业绩指标是完整的市场解决方案，但夏普比率冻结为λ（y）。接下来，我们来看看（2.2）中的修正项V（1）。为了得到V（1）的方程，我们加上V（0）+√δV（1）转化为（2.1）并收集订单条款√δ. 为此，我们注意到expansionskV（0）+√δV（1）xλ+V（0）+√δV（1）xy√δκρk=V（0）xkλk+√δ2V（0）xV（1）xkλk+2V（0）xV（0）xyκλTρ+ O（δ），V（0）xx+√δV（1）xx=V（0）xx-√δV（1）xxV（0）xx+ O（δ）。得到的V（1）方程读数为（2.6）V（1）t+kλ（y）kV（0）xV（0）xxV（1）xx-kλ（y）kV（0）xV（0）xxV（1）x=κ（y）λ（y）TρV（0）xV（0）xyV（0）xxx，它被赋予初始条件V（1）（0，x，y）=0，因为零阶项V（0）已经满足了V的初始条件。命题2.2（修正项，s低系数）。具有初始条件V（1）（0，x，y）=0的偏微分方程（2.6）的解V（1）由（2.7）V（1）（t，x，y）=tκ（y）λ（y）tρV（0）x（t，x，y）V（0）xy（t，x，y）V（0）xx（t，x，y）给出。证据我们首先介绍变量（2.8）（t，ξ，y）的变化：=T-对数V（0）x-kλ（y）kt，y,设置w（0）（t，ξ，y）=V（0）（t，x，y），w（1）（t，ξ，y）=V（1）（t，x，y）。

后面的函数定义得很好，因为V（0）在x中严格递增且严格凹，因此ξ是x的严格递增函数。通过将方程（2.3）视为“线性”方程（2.9）V（0）t+kλ（y）kV（0）xV（0）xx！V（0）xx- kλ（y）kV（0）xV（0）xx！V（0）x=0，系数取决于V（0），计算d-er-ivativesV（0）t=w（0）t+kλ（y）kw（0）ξ-V（0）xV（0）xx十、- 2.,（2.10）V（0）x=w（0）ξ-V（0）xxV（0）x,（2.11）V（0）xx=w（0）ξξV（0）xxV（0）x+ w（0）ξV（0）xxV（0）xV（0）xV（0）xxx、 （2.12）正向性能过程7，将（2.10）、（2.11）和（2.12）插入（2.9），我们得到了（0）t+kλ（y）kV（0）xV（0）xx！w（0）ξV（0）xxV（0）x+w（0）ξ-V（0）xV（0）xx十、-kλ（y）kV（0）xV（0）xx！w（0）ξ-V（0）xxV（0）x= 这很容易简化为坐标（t，ξ，y）中的（2.13）w（0）t+kλ（y）kw（0）ξξ=0。类似的计算f或w（1）表明，在新变量中，（2.6）转化为（2.14）w（1）t+kλ（y）kw（1）ξξ=κλ（y）tρtλ（y）tλ′（y）w（0）ξξξξ。因此，为了获得（2.14）的右侧，我们基于以下两个考虑：（a）从（2.5）中注意到，u在t中是可微分的，utis在x中是可微分的，假设λ的平滑度，这意味着w（0）在y中是可微分的。然后，通过在y中微分（2.13）并重新排列，可以得到w（0）yt+kλ（y）kw（0）yξξ= -λ（y）Tλ′（y）w（0）ξ。此外，后一个方程的初始条件为w（0）y（0，ξ，y）=0，其唯一解为w（0）y=-tλ（y）tλ′（y）w（0）ξξ（注意解的唯一性是Widder定理的结果）。在原始坐标中，该解的读数为（2.15）V（0）y=-tλ（y）tλ′（y）V（0）xV（0）xxxV（0）xV（0）xx。（b） 此外，通过使用（2.11），（2.12）对e fiftsw（0）ξ=-V（0）xV（0）xxV（0）xV（0）xxxV（0）xV（0）xxx、 （A）和（b）的组合给出了（2.14）的右侧。

在这一点上，我们可以检查（2.14）的唯一解，赋予初始条件w（1）（0，ξ，y）=0，由w（1）=tκ（y）λ（y）tρλ（y）tλ′（y）w（0）ξξξ给出。在此，声明的唯一性部分再次应用维德定理。为了得到这个命题，仍然需要将坐标改回（t，x，y）并使用v（0）xy=-tλ（y）tλ′（y）V（0）xV（0）xxxV（0）xV（0）xxx、 可通过x中的微分从（2.15）中获得。备注2.3。这个结果可以被认为是[FSZ，命题3.3]对（时间上向后的）默顿问题的正向性能模拟，但在这里，转换（2.8）对于简化为不适定热方程至关重要，魏德定理可以应用于该方程。在传统的效用最大化问题中，可以使用特定算子的交换和[FSZ]中使用的风险容忍函数的Black（快速扩散）方程直接计算校正项。此外，在[FSZ]中，只考虑单一股票的情况，而e8 MYKHAYLO SH KOLNIKOV、RONNIE SIRCAR和THALEIA ZAR IPHOP OULOUthe对多个资产进行分析，以获得近似值中的正确系数，这是单资产情况下用简单的参数替换无法获得的。我们从（2.7）中看到，V（1）依赖于慢因子，通过参数κ和λ冻结到值κ（y）和λ（y）以及λ′（y）。它很容易用完全市场远期表现测度V（0）的导数来计算。现在我们给出了修正项V（1）的另一个表示形式，它对原始的正向性能问题有一个自然的解释。命题2.4（校正项的自然参数化，慢因子）。

偏微分方程（2.6）的解V（1）具有初始条件V（1）（0，x，y）=0，在（2.8）中定义的坐标（t，ξ，y）中写成w（1）（t，ξ，y），允许表示（2.16）w（1）（t，ξ，y）=Ztw（1），s（t，ξ，y）ds，其中每个w（1）都是初值问题（2.17）w（1），st+kλ（y）kw（1），sξ=0，t）的解≥ 初始条件为（2.18）w（1），s（s，ξ，y）=sκ（y）λ（y）Tρkλ（y）kw（0）ξξ（s，ξ，y）。特别地，每个w（1），扫描可以表示为（2.19）w（1），s（t，ξ，y）=ZRezξ-z（t）-s） 在原始坐标系中，相同的表示形式为（2.20）V（1）（t，x，y）=ZtV（1），s（t，x，y）ds，其中每个V（1），都是初始V值问题V（1），st+kλ（y）k的解V（0）xV（0）xxV（1），sxx-kλ（y）kV（0）xV（0）xxV（1），sx=0，t≥ 初始条件V（1），s（s，x，y）=κ（y）λ（y）TρV（0）x（s，x，y）V（0）xy（s，x，y）V（0）xx（s，x，y）。备注2.5。我们注意到，每一个过程V（1），s（或者，等价地，w（1），s）都可以被视为正向性能过程的“辅助”过程。这些应被解释为投资者在任何给定时间对其观察到的市场条件做出的第一顺序修正。Fur thermore，当从时间t开始预测其未来偏好时，投资者通过将之前的所有一阶修正值V（1）、s、s相加，修正其前导阶性能标准V（0）（或相当于w（0））∈ [0，t]（或相当于w（1），s）。我们参考第V（1）节，以强调它既不是一个完整的市场远期绩效评估，也不是完全不完整市场问题的解决方案。前瞻性绩效流程9命题2.4的证明。我们首先回顾w（0）是正向热方程（2.13）的经典解。因此，w（0）ξ的情况也是如此。

此时，Widder定理的应用表明初值问题（2.17），（2.18）有一个对所有t都存在的解≥ s、 换句话说，每个函数w（1），s，s≥ 0的定义很明确。由于源为（2.14）的正向热方程有一个唯一的经典解，根据威德定理，从零初始条件开始，一旦我们确定（2.16）的右侧是（2.14）的经典解，就会出现（2.16）。这是以下计算的结果：TZtw（1），s（t，ξ，y）ds= w（1），t（t，ξ，y）+Ztw（1），st（t，ξ，y）ds=tκ（y）λ（y）tρkλ（y）kw（0）ξ（t，ξ，y）-Ztkλ（y）kw（1），sξξ（t，ξ，y）ds=tκ（y）λ（y）tρkλ（y）kw（0）ξξ（t，ξ，y）-kλ（y）kξξZtw（1），s（t，ξ，y）ds.最后，（2.19）再次应用维德定理[Wi，定理8.1]，表示（2.20）是在原始坐标（t，x，y）中书写（2.16）的结果。下一个定理表明，在适当的假设下，用V（0）逼近价值函数V的误差+√正如人们所料，δV（1）的确是δ级。为此，我们定义了非线性泛函（2.21）ηδ：=kλk2δVxxVxx-V（0）xV（0）xx+κλTρ√δVxyVxx-V（0）xV（0）xyV（0）xx+κkρkVxyVxx-κVy- Vy，回忆一下坐标（t，x，y）的变化7→ （t，ξ，y）的（2.8），并将（2.22）设为ηδ（t，ξ，y）=ηδ（t，x，y）。然后，近似误差的界限可以表述如下。定理2.6（余数估计，慢因子）。假设存在δ>0和T≤ ∞ 这对所有人来说都是如此∈ （0，δ）HJB方程（2.1）有一个解V∈ C1,2,2[0，T）×（0，∞) ×R在第二个论点中，它是增加的，严格地说是凹的。

然后，（i）质量（2.23）ZRe-z2kλkt∞Xk=0(-1） kz2k（2k）！2kkλk2ktkddξ2kZtZR~ηδ（s，ξ）- χ、 y）s-1/2e-χ2 kλksdχds dz，以及（2.22）中的ηδ，对所有δ都有很好的定义和定义∈ （0，δ）和（ii）对于每个（t，x，y）∈ [0，T）×（0，∞) x R，其极限优于（2.24）limδ↓0ZRe-z2kλkt∞Xk=0(-1） kz2k（2k）！2kkλk2ktkddξ2kZtZR~ηδ（s，ξ）- χ、 y）s-1/2e-χ2 kλksdχds dz是有限的，误差界（2.25）limδ↓0δ-1.V（t，x，y）- V（0）（t，x，y）-√δV（1）（t，x，y）< ∞应用。如果极限上界in（2.24）在[0，T）×（0）的子集上一致有界，∞) 那么，在（2.25）中优于的极限在[0，T）×（0，∞) *R.10米哈伊洛·什·科尔尼科夫、罗尼·瑟卡尔和塔莱亚·扎尔·伊霍普·乌鲁雷马克2.7。条件（2.24）的含义可以理解如下。如下面定理2.6的解释，HJB方程（2.1）展开时产生的非线性ηδ通过新坐标（t，ξ，y）中的源项，被输入到反向热方程的初值问题中。后一个问题是严重不适定的，其解算子迅速放大了源项的逆拉普拉斯模式（即，逆拉普拉斯变换算子的傅里叶模式的类似物）。因此，为了一致地控制所有小正δ的解，需要对所有小正δ一致的源项的拉普拉斯逆变换进行先验估计。后者正是条件（2.24）的内容。事实上，定理2.6的证明揭示了条件（2.24）在（2.24）与（2.25）等价的意义上是尖锐的。定理2.6的证明。

我们首先将HJB方程（2.1）表示为（2.26）Vt-kλkVxVxx-√δκλTρvxyvxx=δκkρkVxyVxx-Δκy-δb Vy。接下来，我们写V=V（0）+√δV（1）+√δQ，将后一个表达式插入（2.26）的左侧，d展开√δ使用基本标识a+√δb=a-√δba+√δab，a<0，b<-A.√δ.回顾函数V（0）和V（1）的构造方式，使得（2.26）中的所有项都是1和√δ抵消，并收集经过长时间但简单计算后得到的剩余项（2.27）√δQt-√δkλkV（0）xV（0）xxQx+√δkλkV（0）xV（0）xxQxx=δηδ。下一步，我们让Q：=√δQ，回忆坐标的变化（t，ξ，y）：=T-对数V（0）x（t，x，y）-kλ（y）kt，yof（2.8），定义q（t，ξ，y）：=q（t，x，y）。通过与命题证明2相同的计算。2，偏微分方程（2.27）可以重写为（2.28）qt+kλkqξξ=δηδ，其中ηδ（t，ξ，y）=ηδ（t，x，y）与之前一样。然后，Duhamel的后向方程原理（2.28）意味着（2.29）√2πtkλkZRq（t，ξ）- χ、 y）e-χ2 kλktdχ=δZt√2πskλkZRηδ（s，ξ）- χ、 y）e-χ2kλksdχds。因此，后一个方程的右侧在[Wi2，方程（5）、（6）]意义下的魏尔斯特拉斯逆变换域中。这反过来意味着（2.23）中的数量对于所有δ都是明确的∈ (0, δ). 此外，将逆Weierstrass变换应用于（2.29）的两个ide，我们可以看到，对于一个乘法常数，函数ξ7→ δ-1q（t，ξ，y）由（2.24）中绝对值内的量给出。定理的陈述现在是直接的。前瞻性绩效流程112.2。示例：电源类型的正向性能过程。我们用一系列功率效用正向性能过程来说明结果。

对于常数风险规避系数γ∈ (0, ∞)\\{1} 我们提出了HJB方程（1.6）为beV（0，x）=γx1的初始条件-γ1 - γ.这对应于[MZ4]中的示例16和18。我们关注一个例子，其中有一个单因素波动问题的精确解。也就是说，我们采用市场模型DSi（t）=Si（t）uiYδ（t）dt+Si（t）σiYδ（t）TdW（t），i=1，2，ndYδ（t）=δ（m）-Yδ（t））dt+√δβqYδ（t）dB（t），其中选择σi（y）和ui（y），使得λ（y）=∧√y、 对一些人来说∧∈ 根据tohWj，Bi（t）=ρjt，布朗运动Wjare与布朗运动相关。我们进一步假设kρk6=γγ-1.这类模型用于[CV]中的经典有限期消费问题。我们插入ansatzV（t，x，y）=γx1-γ1 - γg（t，y）转化为HJB方程（2.1），最后得到Gt+δβy+δ（m）- y） +pδyβ∧Tρgy+Γk∧kyg+δβykρkgyg= 0，其中Γ=1-γγ，初始条件为g（0，y）=1。接下来，我们通过选择q=1+Γkρk进行g=ψq的变换，经过短时间的计算，得到了线性方程ψt+Δβyψy+δ（m）- y） +pδyβ∧Tρψy+Γ2qk∧kyψ=0，初始条件ψ（0，y）=1。在寻找exp（a（t）y+a（t））形式的解时，我们发现a需要解ODEsA′=δβa+√δΓβ∧Tρ- δ初始条件为零的A+Γ2qk∧k，A′=δmaw。设a±是对应于a的Riccati方程右侧的二次方的根：δβa+√δΓβ∧Tρ- δa+k∧k2q=0。我们假设模型参数均为实根且a+>0。情况就是这样∈ （0,1）∧Tρ<0和Γq（λTρ）>k∧k；或γ>1、∧Tρ>0、q<0和Γq（λTρ）>k∧k；或γ>1，q>0。

在任何一种情况下，我们都可以得到解a（t）=a-1.- E-t1-A.-a+e-tand A（t）=δmA.-T-δβ测井1.-A.-a+e-t1-A.-a+,12米哈伊洛·什·科尔尼科夫、罗尼·瑟卡尔和塔莱亚·扎尔·伊霍普·乌鲁瓦里 是上述二次型判别式的平方根。反过来，我们推导出，由于a+>0，解（2.30）V（t，x，y）=γx1-γ1 - γexpq（A（t）y+A（t））对于所有t≥ 我们现在可以检查定理2.6的条件（2.24）来证明我们的近似v（0）（t，x，y）的收敛性+√δV（1）（t，x，y）=γx1-γ1 - γe-Γkλkt+√δtyβ∧Tρk∧kΓγx1-γ1 - γe-Γkλkt，其中V（0）的表达式来自命题2.1，其中，ν是γ处的狄拉克质量-1和c=γ，V（1）的表达式是命题2.2的结果。在（2.21）中，第一个命令的括号中的术语变成了零，因为HV和V（0）都是x1的倍数-γ、 第二个和中括号中的术语是有序的√δ、 因为V（0）可以通过设置δ=0从V中获得，而V在δ中是平滑的。因此η是x1的乘积-γ和（t，y）的一个函数平滑地依赖于δ（由a，a的光滑性得出），因此，（2.22）中的|ηδ是eξΓ和（t，y）的另一个函数平滑地依赖于δ的乘积。（2.24）中的逆Weierstrass变换的显式计算减少了tolimδ的表达式↓0中兴通讯ξΓ-（t）-s） ΓkλkF（s，y；δ）ds,对于某些函数F，它依赖于δ。特别是，后一个极限是有限的，因此在本例中满足定理2.6的条件。3.具有快速因子的正向投资问题我们考虑的第二种情况是快速因子情况，即当ui和σiin（1.2）依赖于Y，因此（1.5）中的V（t，x，Y，Y）不依赖于Y。为了简化符号，我们在本节中为ρfand Y写ρ。