不完备系统正向性能过程的渐近分析

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英文标题：
《Asymptotic analysis of forward performance processes in incomplete
  markets and their ill-posed HJB equations》
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作者：
Mykhaylo Shkolnikov, Ronnie Sircar, Thaleia Zariphopoulou
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider the problem of optimal portfolio selection under forward investment performance criteria in an incomplete market. The dynamics of the prices of the traded assets depend on a pair of stochastic factors, namely, a slow factor (e.g. a macroeconomic indicator) and a fast factor (e.g. stochastic volatility). We analyze the associated forward performance SPDE and provide explicit formulae for the leading order and first order correction terms for the forward investment process and the optimal feedback portfolios. They both depend on the investor\'s initial preferences and the dynamically changing investment opportunities. The leading order terms resemble their time-monotone counterparts, but with the appropriate stochastic time changes resulting from averaging phenomena. The first-order terms compile the reaction of the investor to both the changes in the market input and his recent performance. Our analysis is based on an expansion of the underlying ill-posed HJB equation, and it is justified by means of an appropriate remainder estimate.
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中文摘要：
我们研究了不完全市场下，在远期投资绩效准则下的最优投资组合选择问题。交易资产的价格动态取决于一对随机因素，即缓慢因素（如宏观经济指标）和快速因素（如随机波动性）。我们分析了相关的远期绩效SPDE，并为远期投资过程和最优反馈投资组合的前导阶和一阶修正项提供了明确的公式。它们都取决于投资者的初始偏好和动态变化的投资机会。前导阶项类似于它们的时间单调对应项，但具有由平均现象产生的适当随机时间变化。一阶条件汇总了投资者对市场投入变化和近期表现的反应。我们的分析基于基本不适定HJB方程的展开，并通过适当的余数估计证明了其合理性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Asymptotic_analysis_of_forward_performance_processes_in_incomplete_markets_and_t.pdf (343.13 KB)

2022-5-8 02:36:45 上传

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关键词：Mathematical Quantitative performance appropriate mathematica

不完全市场中远期表现过程及其不适定HJB方程的渐近分析Mykhaylo SHKOLNIKOV，RONNIE SIRCAR和THALEIA ZARIPHOPO ULOUAbstract。我们研究了不完全市场下，在远期投资绩效准则下的最优投资组合选择问题。交易资产的价格动态取决于一对随机因素，即缓慢因素（如宏观经济指标）和快速因素（如随机波动性）。我们分析了与前瞻性投资过程和最佳反馈投资组合的领先顺序和一阶修正项相关的前瞻性绩效SPDE和p-ProvideExplicit公式。它们都取决于投资者的初始偏好和动态变化的投资机会。前导阶项类似于时间单调对应项，但具有由平均现象导致的适当的随机时间变化。第一顺序术语汇总了投资者对市场投入变化和近期表现的反应。我们的分析基于基本不适定HJB方程的扩展，并通过适当的余数估计进行了验证。1.导言本文分析了不完全市场中远期投资准则下的最优投资组合选择问题。不完全性源于影响交易资产动态的不完全相关随机因素的存在。这些因素在文献中被广泛使用，并对一系列市场投入进行建模，其中包括随机波动性、随机利率、资产回报的可预测性和各种宏观经济指标。

在此，我们考虑一对这样的因素，然而，它们在不同的时间尺度上移动。连续时间最优投资问题的数学公式是默顿在[Me1]，[Me2]中首创的，通常被称为默顿问题。在经典的默顿问题中，投资者面对的是一个完整的市场，并寻求一个投资组合，以优化其在投资过程中获得的财富的预期效用。其中，投资者的效用函数（或者，相当于她的偏好）是事先确定的，不会随时间而改变。默顿问题已经在各种各样的著作中得到了研究，我们参考了[Du]，[KS]一书，以获得对经典结果的极好解释。然而，默顿问题的设置有两个固有的缺点：1）投资者必须决定她的效用函数exante，并且不能使其适应市场观察；2） 不同时间范围内的投资通常是不一致的：例如，对于0<T<T，时间段[0，T]的投资问题解决方案通常不受时间段[0，T]或时间段[0，T]的投资问题解决方案的[0，T]限制，特别是，目前尚不清楚如何在不断变化的视野（确定性或随机性）中以时间一致的方式进行投资。[MZ1]和[MZ2]引入并制定了远期投资绩效标准，为传统预期效用框架提供了补充设置。考虑到市场条件如何变化，它们允许动态调整投资者的风险偏好，并考虑已实施策略的最新表现。

前向性能过程U（t，·），t≥ 0是一个随机过程，适用于投资者的筛选，其性质是概率为1的所有函数x 7→ U（t，x）是增加的和凹的（因此，可以作为效用函数）；对于每个自我融资策略π以及相应的2 MYKHAYLO SH KOLNIKOV、RONNIE SIRCAR和THALEIA ZAR IPHOP Ouloportfolio价值过程Xπ过程U（t，Xπ（t）），t≥ 0是投资者筛选中的超人；存在一种自我融资策略π*使得过程U（t，Xπ*（t） ）t≥ 0是投资者筛选的鞅。对（U，π）*) 编码投资者的偏好和她的最佳投资决策如何从给定的U（0，·）开始在时间上共同演变。关于这些标准的更详细描述，以及具体示例的动机和构造，我们请读者参考[ElM]、[KOZ]、[MZ5]、[MZ6]、[NT]和[NZ1]。初始数据U（0，·）的具体说明是远期投资组合选择方法的核心问题和当前研究的主题。从理论角度来看，主要问题是给出明确解决方案的可允许初始数据集的特征。这在[MZ4]中针对时间单调前向过程的情况进行了讨论，我们在这里反复引用这些结果。从实践的角度来看，问题是如何使用和转换投资者的目标——例如，预期的未来投资业绩或个人市场观点等——来收集主题信息。[MZ4]（第5.2节）研究了这种性质的问题，其中展示了如何利用即将到来的平均回报率的投资目标来推断初始效用输入。例如，你可以想象一位客户向一位基金经理介绍所需的投资目标（例如：。

比标准普尔500指数高出5%和围绕投资目标的一个区间（例如，比标准普尔500指数高出4-6%），这表明了客户的主要效用函数U（0，·）。然后，基金经理的问题是找到一对（U，π）*) 给定U（0，·）。因此，寻找大类远期绩效过程以及相应的最优投资组合π的问题*非常重要。假设投资者的过滤是由布朗运动产生的，其正向性能过程U（t，x）在t中是一个It^o过程，在x中是两个连续可微分的过程，那么我们就可以知道U是非线性随机偏微分方程（SPDE）（1.1）dU（t，x）的解（详见[MZ5]和[NT]）=Ux（t，x）λ（t）+σ（t）σ-1（t）aWx（t，x）Uxx（t，x）dt+a（t，x）TdW（t）。这里的W=（W，~B）是一个标准的布朗运动，产生投资者的过滤；W是一个布朗运动，资产价格与之相适应；σ是资产价格和σ对应的波动矩阵-1是它的摩尔-彭罗斯伪逆；λ是风险的市场价格；a=（aW，aB）是一个适合投资者过滤的随机过程；上标T表示转置。正向SPDE（1.1）提供了汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的类似物，该方程与终端财富预期效用的经典优化问题有关。与传统的设置一样，它是完全非线性的，并且可能退化。然而，（1.1）与经典版本之间存在根本性差异。首先，（1.1）被及时提出，使得问题不适定。

其次，远期波动过程a（t，x）由投资者选择，与经典情况相反，它只是价值函数过程利润分解的结果。前向波动过程的正确分类是一个非常具有挑战性的问题，目前仍然悬而未决。到目前为止，文献中已经展示了三类正向性能过程：1）时间单调的正向性能过程，即：时间变量变化有限的正向性能过程（详见[MZ4]）；2） 同质的远期绩效过程，即：对投资者财富x等幂形式依赖的远期绩效过程（详见[NZ1]和[NT]）；3） 完整市场中工厂形式的远期绩效过程（更多详细信息，请参见[NT]）。在某些特殊情况下，这三种类型的前向绩效流程3流程源自SPDE（1.1）的显著简化：时间单调的前向绩效流程通过设置≡ 0，求解结果偏微分方程（PDE）；同感正向性能过程是选择U为幂函数依赖于x的乘积形式的结果；通过将SPDE（1.1）简化为HamiltonJacobi-Bellman（HJB）方程，推导出完全市场中参与者形式的正向表现过程，该方程可以在完全市场框架下使用Offenchel-Legendre变换进行线性化。正如[MZ5]和[NT]中所述，我们考虑了因子形式的正向性能过程（具体细节见第1.1小节），因此（1.1）可以简化为（不适定）HJB方程。然而，我们考虑了不完全市场情况，在这种情况下，HJB方程不能通过简单的转换线性化。

尽管如此，我们仍然能够找到此类HJ B方程解的前导阶和后阶修正项的显式公式。它们产生对应对（U，π）的前导阶和一阶校正项*). 我们通过对剩余项的适当估计来补充这些结果。[FSZ]中给出了不完全市场中经典Merton问题的类似表达式。与[FSZ]中设置的默顿问题不同，我们还面临HJB方程不适定的额外困难。此外，[FSZ]中没有给出剩余部分的一般估计，因此我们的方法也为默顿问题的解决提供了新的视角。下面的小节描述了我们的框架。1.1. 背景我们考虑n种可交易证券，其价格遵循随机微分方程（1.2）dSi（t）=Si（t）uiYδ（t），Y（t）dt+Si（t）σiYδ（t），Y（t）TdW（t），i=1，2，其中Yδ，Y是两个可观测的实值

，d，ρs，ft:=hB，Bi（t）。由于我们考虑到资产价格过程和随机因素之间的非完美相关性，市场通常是不完整的。在我们的设置中，正向性能SPDE（1.1）读取SDU（t，x）=Ux（t，x）λYδ（t），Y（t）+ σYδ（t），Y（t）σYδ（t），Y（t）-1aWx（t，x）Uxx（t，x）dt+a（t，x）TdcW（t）。（1.4）4 MYKHAYLO SH KOLNIKOV、RONNIE SIRCAR和THALEIA ZAR IPHOP OulouheσYδ（t），Y（t）=σYδ（t），Y（t）, . . . , σnYδ（t），Y（t）是股票价格过程的波动矩阵（1.2），λYδ（t），Y（t）=σYδ（t），Y（t）（T）-1uYδ（t），Y（t）是风险的市场价格。上标T和-1表示转置和摩尔伪逆；andcW是标准布朗运动，由布朗运动W与适当的常数矩阵左乘得到。本文主要研究因子形式的（1.4）解，即（1.5）U（t，x）=V的过程t、 x，Yδ（t），Y（t）,对于某些确定性函数V=V（t，x，y，y）。正如[NT]导言中所讨论的，从经济角度来看，这种解决方案尤其自然。

事实上，如果将前向绩效过程视为投资者在一系列交易策略上的偏好，根据她观察到的世界状况，并假设投资者只跟踪数量，那么自然会假设该状态通过相应数量的因素过程输入她的偏好。假设∈ C1，2，2，2，将其公式应用于Vt、 x，Yδ（t），Y（t）, 首先将结果鞅部分与（1.4）右侧的鞅部分相等，然后将两个有界变分部分相等，我们得出结论，函数V（t，x，y，y）是HJBequation（1.6）Vt+aδ，yV的经典解-Vxλ+σ-1.互相关函数√δκρs+Vxy√αρfVxx=0。这里Aδ，是扩散过程的发生器Yδ，Y.我们还注意到，对于HJB方程（1.6），初始条件U（0，·）f或SPDE（1.4）转化为初始条件V（0，x，y，y），因此后者在“错误”的时间方向上被提出，尤其是，人们不期望所有初始条件都存在解，也不期望在它们上持续存在解。一般来说，这种不适定性是对正向性能过程进行数学描述的主要困难。本文的主要结果（命题4.1，定理4.4）明确地确定了极限区δ中（1.6）的解V的引导阶和一阶修正项↓ 0,  ↓ 0.这允许识别对应g对（U，π）的前导项和一阶修正项*) 同样明确（见提案5.3）。我们的所有结果都是在以下两个假设下得到的。假设1.1。（i） 左乘矩阵σ的范围是Rd的全部，因此σσ-1是d×d单位矩阵。特别是，这意味着n≥ d（因此，模型中的不完整性源于不完全相关的f因素）。

此外，λ是（y，y）中的sm。（ii）初始条件不依赖于因子，我们将其写成V（0，x）。此外，v（0，x）在x上增加且严格凹。（iii）f函数（Vx）(-1） （0，e）-x） 允许代表（Vx）(-1） （0，e）-x） =ZRezx- 1zν（dz）+C，对于R和常数C上的一些非负有限Borel测度ν∈ R、 何处（Vx）(-1） （0，·）是函数Vx（0，·）的逆函数。后一个条件与HJBequation（1.6）的初值p问题的病态性有关，并且将被证明是很好地定义V的前导阶项所必需的。一类可能的初始条件由V（0，x）=cxc，c>0，c给出∈ (0, 1).前瞻性绩效流程5假设1.2。过程Y是正循环的，具有唯一的不变分布u。显然，后者并不取决于的值（因为的变化对应于Y的生成元乘以常数）。概述为了确保主要思想不被繁琐的符号所掩盖，我们首先考虑只有慢因子Yδ存在的情况（“慢因子情况”，第2节）或只有快因子Y存在的情况（“快因子情况”，第3节）。在慢因子情况下，我们在命题2.1和命题2.2中给出了V的前导阶和一阶修正项的显式公式，并在定理2中证明了V的近似值。6.快速因子情况下的相应结果可在命题3.1和命题3.2以及命题3.6中找到。在第4节中，我们考虑了一般情况，并给出了命题4.1中V的引导顺序和一阶修正项的明确公式。相应的剩余估计可以在定理4.4中找到。