不完备系统正向性能过程的渐近分析

根据这些符号和假设1.1，HJB方程（1.6）变为（3.1）Vt+α（y）2Vy+γ（y）Vy-kVxλ（y）+Vxy√α（y）ρkVxx=0。我们的目标是明确地将解V扩展为（3.2）V=V（0）的形式（3.1）+√极限状态V（1）+O（）↓ 0.如前一节所述，我们将首先非正式地推导V（0）和V（1）的公式，然后通过适当的余数估计证明由此产生的扩展。为了找到V（0），我们将（3.2）插入（3.1）中，并收集主要订单条款（即按排序的条款）-1） 得到（3.3）α（y）V（0）yy+γ（y）V（0）y-α（y）kρkV（0）xyV（0）xx=0。注意，我们可以通过选择V（0）作为t和x的函数来满足（3.3）。正如我们在下面解释的，V（0）的精确选择将由（3.1）的展开式中的低阶项确定。为了继续，我们将（3.2）插入（3.1），并收集订单条款-1/2. 我们获得-α（y）λ（y）TρV（0）xV（0）xyV（0）xx-α（y）kρkV（0）xyV（1）xyV（0）xx+α（y）kρkV（0）xyV（1）xxV（0）xx+α（y）V（1）y+γ（y）V（1）y=0。正如我们前面提到的，选择V（0）依赖于y，后一个方程简化为α（y）V（1）y+γ（y）V（1）y=0。显然，通过选择V（1）仅为（t，x）的函数，可以满足上述方程。与V（0）一样，V（1）的精确选择将取决于（3.1）展开式中的低阶项。接下来，我们插入扩展扩展V=V（0）+√V（1）+V（2）+3/2V（3）+O（）到（3.1），以确定订单1的条款。这导致方程（3.4）V（0）t-kλ（y）kV（0）xV（0）xx+α（y）V（2）y+γ（y）V（2）y=0。在此，我们使用了V（0）和V（1）不依赖于y的事实。下一个命题表明，V（0）（0，x，y）=V（0，x）是V（0，x）的唯一选择，并且方程（3.4）被视为V（2）的椭圆偏微分方程，有一个解。命题3.1（前导顺序项、快速因子）。

有一个唯一的函数V（0），使得V（0）（0，x，y）=V（0，x），方程（3.4）有一个解V（2）。带¨λ=ZRkλ（y）ku（dy）1/2，这样一个函数V（0）可以表示（3.5）V（0）（t，x，y）=V（0）（t，x）=uλt，x其中u由u（t，x）给出=-中兴通讯-h(-1） （s，x）+shxs、 h(-1） （s，x）ds+V（0，x），h（t，x）=ZRezx-zt- 1zν（dz）+C.这里是h(-1） 是变量x中h的倒数，在假设1中引入了ν和cw。1（三）。证据我们首先将（3.4）与假设1.2的不变分布μ积分。因为V（0）不依赖于y和dZRα（y）V（2）y+γ（y）V（2）yu（dy）≡ 0（由于μ不变性），我们得到（3.6）V（0）t-λV（0）xV（0）xx=0。我们很容易用[MZ4，定理4和8]得出结论。14 MYKHAYLO SH KOLNIKOV、RONNIE SIRCAR和THALEIA ZAR IPHOP OULOUFrom（3.5）我们观察到，V（0）给出了具有恒定夏普比λ的完整市场远期绩效指标，其中通过渐近分析确定了适当的平均值。为了得到V（1），我们将HJB方程（3.1）扩展到1/2阶，但这需要关于V（2）的更多信息。作为第一步，我们从方程（3.4）中减去其平均版本（3.6），得到（3.7）α（y）V（2）y+γ（y）V（2）y=kλ（y）k-λV（0）xV（0）xx。我们引入了符号（3.8）φ（y）=Z∞Eyhkλ（Y（s））k-\'\'λids，其中记录了快速因子过程，SDE（1.3）的解，但=1。然后（例如，参见[FPS，第3.2节，第。

（3.7）的解V（2）允许随机表示（3.9）V（2）（t，x，y）=-V（0）x（t，x）V（0）xx（t，x）φ（y）+C（t，x），其中C（t，x）是一个不依赖于y的函数。我们现在可以将（3.1）扩展到1/2阶，以获得V（1）t+kλ（y）kV（0）xV（0）xx！V（1）xx-V（0）xV（0）xxλ（y）TV（1）xλ（y）+φ′（y）V（0）xV（0）xxxα（y）ρ+α（y）V（3）y y+γ（y）V（3）y=0。根据第1.2项的不变分布u对该方程进行平均，我们进一步得到（3.10）V（1）t+？-λV（0）xV（0）xx！V（1）xx-\'\'λV（0）xV（0）xxV（1）x-V（0）xV（0）xxV（0）xV（0）xx十、ZRφ′（y）α（y）λ（y）Tu（dy）ρ=0，这是V（1）所需的偏微分方程。由于V（0）满足了V的初始条件，我们用初始条件V（1）（0，x，y）=0来定义（3.10）。命题3.2（修正项、快速系数）。初始条件为V（1）（0，x，y）=0的偏微分方程（3.10）的唯一经典解由（3.11）V（1）（t，x，y）=V（1）（t，x）=tV（0）xV（0）xx给出V（0）xV（0）xx十、ZRφ′（y）α（y）λ（y）Tu（dy）ρ、 φ如（3.8）所示。证据我们引入了一个新的s速度变量（3.12）ξ：=-对数V（0）x-“λt.因为对于任何给定的t，V（0）在x中严格递增且严格凹，所以ξ是x的严格递增函数，我们可以定义新的（0）（t，ξ）：=V（0）（t，x）和w（1）（t，ξ）：=V（1）（t，x）。根据位置2.2证明中的计算，正向性能过程15给出（3.13）w（0）t+？λw（0）ξ=0。从（3.10）开始的类似计算表明，转换后的修正项w（1）满足正向热方程（3.14）w（1）t+？？λw（1）ξ=w（0）ξZRφ′（y）α（y）λ（y）Tu（dy）ρ，初始条件为w（1）（0，ξ）=0。此时，很容易（使用（3.13））检查（3.15）w（1）=tw（0）ξZRφ′（y）α（y）λ（y）Tu（dy）ρ满足所需初始条件（3.14）。

更改回原始坐标很容易获得（3.11）。该命题的唯一性部分来自于前向热方程柯西问题的解的唯一性（见[Wi，定理8.1]）。备注3.3。这个结果可以被认为是[FSZ，命题2.7]对（时间上向后的）默顿问题的正向性能模拟，但在这里，转换（3.12）对于简化为不适定热方程至关重要，Widder定理可以应用于该方程。备注2.3中强调的差异也适用于此处。接下来，我们给出了修正项V（1）的一个附加表示，它是原始投资组合优化问题的自然解释。命题3.4（校正项的自然参数化，快速因子）。设w（0），w（1）是命题3.1，3.2在坐标（t，ξ）中的函数V（0），V（1）：=T-对数V（0）x-λt.然后：（i）w（1）允许表示式（3.16）w（1）（t，ξ）=Ztw（1），s（t，ξ）dsw，其中每个w（1）都是初值问题（3.17）w（1），st+？λw（1），sξ=0，t的解≥ s、 初始条件为（3.18）w（1），s（s，ξ）=w（0）ξ（s，ξ）ZRφ′（y）α（y）λ（y）Tu（dy）ρ.因此，它可以表示为（3.19）w（1），s（t，ξ）=ZRezξ-z（t）-s） ν（s）（dz），其中ν（s）是R.16 MYKHAYLO SH KOLNIKOV、RONNIE SIRCAR和THALEIA ZAR IPHOP OULOU（ii）在原始坐标系下的一个合适的有限Borel测度，相同的表示为readsV（1）（t，x）=ZtV（1），s（t，x）dsv（1），其中每个V（1）都是初值问题V（1），st+\'λ的解V（0）xV（0）xxV（1），sxx-λV（0）xV（0）xxV（1），sx=0，t≥ s、 初始条件V（1），s（s，x）=V（0）x（s，x）V（0）xx（s，x）V（0）x（s，x）V（0）xx（s，x）十、ZRφ′（y）α（y）λ（y）Tu（dy）ρ.备注3.5。

命题3.4中的数量V（1），s（或相当于w（1），s）应以与“辅助”正向性能过程相同的方式进行解释，就像它们在慢因子中的类似物一样。我们参考上述备注2.5了解更多细节，但指出渐近分析确定了常数向量RRφ′（y）α（y）λ（y）Tu（dy）ρ作为随机Sh arpe比的主要校正效应，在非零相关性ρ的情况下。命题3.4的证明。我们首先回顾命题3.2的证明，w（0）是前向热方程（3.13）的经典解。因此，w（0）ξξ是同一方程的解，因此，解w（1），s，s≥ （3.17）、（3.18）中的0由w（1）定义并给出，s（t，x）=w（0）ξ（t，ξ）ZRφ′（y）α（y）λ（y）Tu（dy）ρ .因此，表示法（3.16）的右侧等于（3.15）的右侧，因此，（3.16）紧随其后。此外，表示式（3.19）是维德定理的直接结果。最后，命题的第（ii）部分可以作为第（i）部分在同一条路上建立，或者通过改变（3.16）、（3.17）和（3.18）中的原始坐标（t，x）来建立。我们以适当的剩余估计值结束本节。具体来说，我们将展示真值函数V的近似误差为V（0）+√V（1）是orderFORWARD绩效流程17的一部分。

为此，我们引入了非线性泛函η：=21/2kλ（y）kV（0）xV（0）xx！VxxVxx- V（0）xx+2kλ（y）kV（0）xV（0）xx！VxxVxx- V（0）xx- 1/2V（1）xxVxx- V（0）xx+ λ（y）TV（0）xλ（y）V（1）x+α（y）ρV（2）xyVxx-V（0）xx-kλ（y）kV（0）xVx- V（0）x- 1/2V（1）xVxx-V（0）xx+3/2λ（y）Tα（y）ρV（0）xVxx互相关函数- V（2）xy+2Vxxλ（y）Vx- λ（y）V（0）x+-1/2α（y）ρVxy+及物动词-kVxλ（y）+Vxy√α（y）ρkVxx- V（0）t-kλ（y）kV（0）xV（0）xx- 3/2V（1）t+kλ（y）kV（0）xV（0）xx！V（1）xx-V（0）xV（0）xx！λ（y）TV（1）xλ（y）+φ′（y）V（0）xV（0）xxxα（y）ρ.（3.20）这里V（2）是由（3.9）定义的，我们注意到η的值不取决于（3.9）中常数C（t，x）的选择。我们还设置（t，ξ，y）：=T-对数V（0）x-kλ（y）kt，y, 设ηη（t，ξ，y）=η（t，x，y）。定理3.6（余数估计，f因子）。假设存在>0和T≤ ∞ 诸如此类∈ （0，）HJ B方程（3.1）有一个解V∈ C1,2,2[0，T）×（0，∞) ×R在第二个论点中，它是增加的，严格地说是凹的。然后，（i）q uantityZRe-z2t∞Xk=0(-1） kz2k（2k）！2ktkddξ2kZtZRη（s，ξ）- χ、 y）s-1/2e-χ2sdχds dz（通过（3.20）及其后面的段落定义）对所有人都有很好的定义和定义∈ （0，）和（ii）每（t，x，y）∈ [0，T）×（0，∞) ×R，其极限优于（3.21）lim↓0ZRe-z2t∞Xk=0(-1） kz2k（2k）！2ktkddξ2kZtZRη（s，ξ）- χ、 y）s-1/2e-χ2sdχds dz是有限的，误差界（3.22）lim↓0-1.V（t，x，y）- V（0）（t，x）-√V（1）（t，x）< ∞应用。如果上极限（3.21）在[0，T）×（0）的子集上一致有界，∞)那么（3.22）中的收敛性在[0，T）×（0，∞) ×R.备注3.7。条件（3.21）与条件（2.24）的形式相同，备注2.7中对后者的详细解释也适用于此处。定理3.6的证明。我们按照定理2.6的步骤进行。

具体地说，我们将ansatzV=V（0）+1/2V（1）+V（2）+3/2V（3）+Q插入HJB方程（3.1），并将结果18 MYKHAYLO SH KOLNIKOV、RONNIE SIRCAR和THALEIA ZAR IPHOP-Oulou方程以1/2的幂展开。术语V（0）、V（1）、V（2）和V（3）的选择方式是，顺序为、1/2、1和1/2的所有术语都被取消。在这一点上，一个乏味但直接的计算依赖于基本的恒等式a+1/2b=a- 1/2ba+1/2a b，a<0，b<--1/2允许计算阶数的项，并导致（3.23）Qt+kλ（y）kV（0）xV（0）xx~Qxx- kλ（y）kV（0）xV（0）xx)Qx=η，式中)Q:=-1.五、-V（0）-1/2V（1）= V（2）+1/2V（3）+Q和η根据（3.20）定义。然后，我们可以通过重复定理2.6证明中的步骤，改变坐标（t，ξ，y）来结束论点：=T-对数V（0）x-kλ（y）kt，y在（3.23）中，将杜哈迈尔原理与[Wi2]中给出的逆魏尔斯特拉斯变换公式相结合。备注3.8。考虑第2.2节的例子，显式解根据δ=重新参数化-1，并取本节中考虑的快速波动系数的相应近似值。然后，通过直接计算φ（y）=k∧k（y- m） 因此，我们的近似值是V（0）+√V（1）=γx1-γ1 - γe-ΓΓλt+√k∧kβm∧Tρ，Γγx1-γ1 - γ-碲-Γ′λt。相应的余数η对有复杂的依赖关系。然而，f函数A的中的一个显式泰勒展开，是（2.30）的V的公式（δ替换为）-1） η由x1的乘积给出-γ和t，y的函数中的一阶。因此，ηη是eξ和（t，y）的一阶函数的乘积。第2.2节的论点表明，在本例及其快速因子近似中，定理3.6的条件是满足的。4.

多尺度远期投资问题我们将远期投资问题的方法与慢速和快速因素相结合，以分析第1.1节中描述的多尺度远期投资问题。我们考虑V（t，x，y，y）在公式V=V（0）的等式（1.6）中的展开+√δV（1,0）+√极限区δ中的V（0,1）+O（δ+）↓ 0,  ↓ 0.我们首先给出一般结果，然后在第4.2.4.1节给出电力设施情况下的明确公式。一阶近似。可以方便地定义：¨λ（y）=锆λ（y，y）u（dy）1/2，（4.1）C1,0（y）=ρsTZRλ（y，y）u（dy）κ（y），（4.2）C0,1（y）=ρfTZRλ（y，y）φy（y，y）α（y）u（dy）,（4.3）正向性能过程，其中（4.4）φ（y，y）=Z∞嗯λ（y，y（s））-“λ（y）| y（0）=yids，并注意到快速因子过程，即SDE（1.3）的解，但=1。以下命题给出了前序项V（0）和后序修正项V（1,0）和V（0,1）的显式公式。命题4.1（显式公式，一般情况）。（i） 前导序项V（0）允许表示V（0）（t，x，y，y）=V（0）（t，x，y）=uλ（y）t，x其中u由u（t，x）给出=-中兴通讯-h(-1） （s，x）+shxs、 h(-1） （s，x）ds+V（0，x），h（t，x）=ZRezx-zt- 1zν（dz）。

+C.这里是h(-1） 是变量x中h的倒数，在假设1中引入了ν和cw。1（三）。（ii）慢标度校正项V（1,0）由（4.5）V（1,0）（t，x，y）=tC1,0（y）V（0）xyV（0）xV（0）xxx给出，并允许自然参数化（4.6）V（1,0）（t，x，y）=ZtV（1），δ，s（t，x，y）ds，其中每个V（1），δ，是初始V值问题V（1），δ，st+？（y）V（0）xx的解！V（1），δ，sxx-λ（y）V（0）xV（0）xx！V（1），δ，sx=0，t≥ 初始条件V（1），δ，s（s，x，y）=C1,0（y）V（0）xy（s，x，y）V（0）x（s，x，y）V（0）xx（s，x，y）。（iii）快速标度校正项V（0,1）由（4.7）V（0,1）（t，x，y）=t C0,1（y）V（0）xV（0）xx给出！V（0）xV（0）xxx、 函数V（0,1）允许自然参数化V（0,1）（t，x，y）=ZtV（1），，s（t，x，y）ds，其中每一个V（1），，都是初值问题V（1），，st+λ（y）V（0）xV（0）xx的解！V（1），，sxx-λ（y）V（0）xV（0）xx！V（1），，sx=0，t≥ s，20 MYKHAYLO SH KOLNIKOV，RONNIE SIRCAR和THALEIA ZAR IPHOP Oulou，初始条件V（1），，s（s，x，y）=C0,1（y）V（0）x（s，x，y）V（0）xx（s，x，y）V（0）x（s，x，y）V（0）xx（s，x，y）x、 备注4.2。量V（1）、δ、s、V（1）、、sof命题4.1应以同样的方式解释为它们在单因素情况下的类似物。更多详情请参考备注2.5。然而，我们强调，分析确定了以下简化参数：“（4.1）中的¨λ（y），与快速因子相关的Sharperatio ro ot均方平均值，并冻结在低f因子的值Yo处；（4.2）中的C1,0（y），其对慢因子和权益回报之间的相关性ρs有影响；以及（4.3）中的C0,1（y），这对fastfactor和股票回报s之间的相关性ρf有影响。命题4.1的证明。我们从第（i）和（iii）部分的证明开始。为此，我们在HJB方程（1.6）中插入δ=0，采用假设1.1，然后按照3.1、3.2和3.4的证明进行。

通过用λ（y，y）替换λ（y），可以直接重复其中的参数。特别是，V（0）和V（0,1）通过方程（4.8）V（0）t的平均值确定-kλkV（0）xV（0）xx+LyV（0,2）=0和（4.9）V（0,1）t+kλkV（0）xV（0）xx！V（0,1）xx-V（0）xV（0）xxλTV（0,1）xλ+φyV（0）xV（0）xxxαρ+ 相对于u（dy），LyV（0,3）=0。这里-1ly是快速因子Y的发生器，即Y=α（Y）yy+γ（y）y、 V（0）、V（0,1）、V（0,2）、V（0,3）是在δ=0的情况下，将解展开为（1.6）时出现的项。特别是，从（4.8）的平均值中减去，我们得到了表达式v（0,2）（t，x，y，y）=-φ（y，y）V（0）xV（0）xx+C（t，x，y），其中C（t，x，y）是不依赖于y的函数，φ在（4.4）中定义。第（二）条仍有待证明。为此，我们再次采用假设1.1并插入ansatzV（0）+√δV（1）转化为HJB方程（1.6）。收集订单条款√在结果方程中，我们得到v（1）t-λV（0）xV（0）xx+ρfTα√V（0）xyV（0）xxρsκV（0）xy+λV（1）x+ρfα√V（1）xyV（0）xx+λV（0）x+ρfα√V（0）xyV（1）xxV（0）xx+γ（y）V（1）y+2αV（1）yy+√καρs，fV（0）yy=0。（4.10）我们现在可以写出V（1）=V（1,0）+√V（1,1）+V（1,2）并在命题3.2的证明中以的幂展开方程（4.10）。通过这样做，我们得出结论，V（1,0）和V（1,1）可以被选择为独立于y的函数。此外，V（1,0）可以通过平均方程V（1,0）t+kλkV（0）xV（0）xx来确定！V（1,0）xx- kλkV（0）xV（0）xxV（1,0）x- 相对于u（dy），κλTρsV（0）xyV（0）xV（0）xx+LyV（1,2）=0（4.11）。平均方程被赋予初始条件v（1,0）（0，x，y）=0，并且可以通过转化为病态反向h-eat方程来显式求解，如命题2.2和命题2.4的证明中所示。这给出了V（1,0）的显式公式及其自然参数化。备注4.3。