随机时间向前启动选项

（8） 把1{τ>T}写成1- 1{0<τ≤T}。第一学期没什么可说的，只有τ≤ 它表现为一个带有敲打价格αSτ的买入价，这在时间t是完全已知的。第三项代表本合同的保证支付，所以我们必须研究剩余的条款。假设（H）将帮助我们解决最后一个问题。我们知道B（t，u）是G下的鞅，事件{t<τ≤ T}∈ Gτ（因为对于任何t≤ U≤ T，{T<τ≤ T}∩ {τ ≤ u} ={t<τ≤ u}∈ 在内部w.r.t.Gτ的条件下，我们得到eq[B（t，t）ST{t<τ≤T}）|Gt]=EQ[EQ（B（T，T）ST{T<τ≤T}|Gτ）|Gt]=EQ[EQ（B（T，T）ST|Gτ）1{T<τ≤T}|Gt]=EQ（B（T，τ）Sτ{T<τ≤T}|Gt]，其中我们使用了可选抽样定理，假设资产价格过程有足够的可积性，如τ≤ 我几乎不能肯定。第二项可以改写为asEQ[B（t，t）（ST- αSτ）+{t<τ≤T}）|Gt]=EQ[EQ（B（T，T）（ST- αSτ）+{t<τ≤T}|Gτ）|Gt]=EQ[B（T，τ）EQ（B（τ，T）（ST- αSτ）+Gτ）1{t<τ≤T}|Gt]=EQ[B（T，τ）c（τ，τ，T）1{T<τ≤T}|Gt]，在（3）中定义了w.r.T.GTA，其中我们扩展了定义，将u=T也包括在内。要继续进行OUR评估，我们有两种可能性。要么Gt≡ Ft，即τ是anFt-停下来，还是不停。在第一种情况下，可能会出现一些可计算的情况。例如，如果τ=inf{u>0:Su≥ H} 是一个命中时间（选择障碍物水平H>S），我们有c（t，t）=EQ[B（t，t）（ST- αH）+Ft]1{0<τ≤t} +EQ[B（t，t）（ST- αH）+{t<τ≤T}|Ft]+（1-α） St{t<τ}- (1 -α） EQ[B（t，t）ST{t<τ≤T}）|Ft]。总结c（t，t）=买入价（t，t，St，αH）1{0<τ≤t} +势垒涨价/英寸（t，t，St，αH，H）（9）- (1 -α） EQ[B（t，t）ST{t<τ≤T}）Ft]+（1- α） St{t<τ}，其中“障碍价格”表示行使价格为αH的障碍看涨期权的价格，该价格在阈值H由资产价格确定后立即激活。

如果该事件未在到期日T之前发生，则在到期日，合同不会像标准障碍合同那样向持有人支付零，而是（1- α） -终端资产价格ST的百分比，因为公式的前三部分为零。因此，如果τ>T，该随机启动远期期权与普通障碍期权的差异为特定的非负值，且不超过（1）- α） H.根据停车时间τ的定义，其他情况的评估可能或多或少复杂。一般来说，由于可观察到的是资产的价格过程，所以能够用Ft而不是Gt=Ft来编写定价公式是很有趣的∨ 嗯。为此，我们有下面的键引理（见[5]，[4]）。任何可积G的引理3.1-可测量的r.v.Y，以下等式为h{τ>t}Y|Gti=Q（τ>t|Gt）EQh{τ>t}Y|FtiQ（τ>t|Ft）。（10） 将此引理分别应用于（8）的第二项和第四项，y=B（t，τ）c（τ，τ，t）1{t<τ≤T}和Y=B（T，τ）Sτ{T<τ≤记住1- Ht=1{τ>t}是Gt-可测量的，我们得到eq[B（t，τ）c（τ，τ，t）1{t<τ≤T}Gt]=1{τ>T}EQ[B（T，τ）c（τ，τ，T）1{T<τ≤T}|Ft]Q（τ>T|Ft）（11）EQ[B（T，τ）Sτ{T<τ≤T}|Gt]=1{τ>T}EQ[B（T，τ）Sτ{T<τ≤T}| Ft]Q（τ>T | Ft）。（12） 以上内容可按照危险过程方法重写。让我们表示给定FtasFt=Q（τ）的默认时间τ的条件分布≤ t | Ft），T≥ 0让我们注意到≥ t、 Q（τ）≤ u | Ft）=等式（Q（τ）≤ u | Fu | Ft）=EQ（Fu | Ft）。为了应用所谓的基于强度的方法，我们需要假设所有t>0的Ft（ω）<1（自动排除该Gt）≡ Ft）明确所谓的风险或危害过程：-ln（1）- （英国《金融时报》）=> 英尺=1- E-Γtt>0，Γ=0。

（13） 用这个符号，我们重写了（11）和（12）asEQ[B（t，τ）c（τ，τ，t）1{t<τ≤T}|Gt]=（1-Ht）等式[B（t，τ）c（τ，τ，t）（Ht）- Ht）eΓt|Ft]（14）EQ[B（t，τ）Sτ{t<τ≤T}|Gt=（1）- Ht）等式[B（t，τ）Sτ（Ht）-Ht）eΓt |Ft]，（15）但根据命题5.1.1（ii）第147页，共[6]页，这些条件期望可以写成q[B（t，τ）c（τ，τ，t）（Ht）- Ht）|Ft]=EQ[ZTtB（t，u）c（u，u，t）dFu |Ft]（16）EQ[B（t，τ）Sτ（Ht）- Ht）| Ft]=EQ[ZTtB（t，u）SudFu | Ft]。（17） 如果我们有额外的假设Gt≡ 英尺∨ Ht=英尺 对于所有t和（IND）F和H是独立的，那么τ与Ft无关，假设（H）自动满足，Ft=Q（τ≤ t） 因为是确定性的，所以前面的公式变成了[B（t，τ）c（τ，τ，t）（HT- Ht）|Ft]=EQ[ZTtB（t，u）c（u，u，t）dFu |Ft]=ZTtEQ[EQ（B（t，t）（ST- αSu）+|Fu）|Ft]dFu=ZTtEQ[B（t，t）（ST- αSu）+| Ft]dFu=ZTtc（t，u，t）dFu（18），对另一个进行类似处理。我们可以在下面的命题3.1中用上述符号总结上述结果，我们有（a）在假设（H）下，RTFS看涨期权的价格由c（t，t）=EQ[B（t，t）（ST）给出- αSτ）+Gt]1{0<τ≤t} +（1）-α） St{τ>t}+1{τ>t}EQ[ZTtB（t，u）c（u，u，t）e-（Γu）-Γt）dΓu|Ft]- (1 - α） 1{τ>t}EQ[ZTtB（t，u）Sue-（Γu）-Γt）dΓu | Ft]（b）在假设（IND）下，RTFS看涨期权的价格由c（t，t）=EQ[b（t，t）（ST）给出- αSτ）+Gt]1{0<τ≤t} +1{τ>t}hZTtc（t，u，t）e-（Γu）-Γt）dΓu+（1）-α） Ste-（ΓT）-Γt）iProof：第（a）部分主要是前面介绍的各种部件的组装。至于（b）部分，由于独立性，Γ是确定性的，它被从预期中拉出。由于Q是鞅测度，最后两项的被积函数验证了m artin gale性质。r、 如果我们假设Γ是绝对连续的w.r.t.则在Q.备注3.1下。

勒贝格测度，也就是说Γt=Ztλsdst>0（19）一英尺-经过调整的非负过程Sλt填充强度（见[5]），然后alsoFt=1- E-Γt=1- E-Rtλsds（20）是绝对连续的，如果我们用ftits密度表示，则必然有λt=ft1- 在这种情况下，我们有（a）在假设（H）下，RTFS看涨期权的价格由c（t，t）=EQ[B（t，t）（ST）给出- αSτ）+Gt]1{0<τ≤t} +（1）-α） St{τ>t}（21）+1{τ>t}EQ[ZTtB（t，u）c（u，u，t）λue-车辙λsdu | Ft]- (1 - α） 1{τ>t}EQ[ZTtB（t，u）Suλue-Rutλsdu | Ft]（b）在假设（IND）下，RTFS看涨期权的价格由c（t，t）=EQ[b（t，t）（ST）给出- αSτ）+Gt]1{0<τ≤t} （22）+1{τ>t}hZTtc（t，u，t）λue-Rutλsdu+（1）- α） Ste-RTtλs上述公式，无论是否独立，都依赖于对模型和默认时间条件分布的了解。因此，导出一个明确的或可实现的定价公式将在很大程度上取决于我们将要做出的建模选择。当然，独立病例比其他病例容易得多，我们将在下一节中重点讨论它，以表明存在一些有趣的可治疗病例。我们总是取α=1。备注3.2（危险率）当我们不再假设τ和S的独立性时，我们需要求助于公式（21），合理的选择是使危险率也取决于价格过程。

作为第一种尝试，我们可以尝试一个有效的模型，因此我们决定λu=a（u）Su+b（u）Zu，（23）其中a，b是确定性的、正的和有界的函数，而Z是正的-独立于Ft的自适应过程，0≤ T≤ T通过使用可选投影定理（见[15]定理VI.57），我们可以得出定价公式C（t，t）=等式[B（t，t）（ST- αSτ）+Gt]1{0<τ≤t} +ZTta（u）call（u，1，α，t）EQ[B（t，u）Sue-鲁塔（s）SSD | Ft]EQ[e-Rutb（s）Zsds]du+ZTtb（u）call（u，1，α，T）EQ[B（T，u）Sue-车辙（a（s）SSD | Ft]EQ[Zue-Rutb（s）Zsds]du+（1）-α） 等式[B（t，t）STe-RTta（s）SSD | Ft]E[E-RTtb（s）Zsds]o，其中所有上述预期均为同一类型。如果不可明确计算，则一旦确定了点t=u<u<···<uN=t的网格以近似时间积分，可通过蒙特卡罗或变换方法对预期进行评估。更准确地说，通过在网格点生成过程S和Z的M条独立路径，可以将蒙特卡罗方法应用于内部期望。4.一些可计算模型我们现在展示了一些示例，这里可以明确计算RTFS选项的上述公式，当然，第一个要分析的案例是Black and Scholes模型。Black&Scholes市场中的定价在具有恒定无风险利率r和波动率σ的经典BS市场中，到期日为T和行使日为K的普通欧洲看涨期权的价格将由看涨期权（T，St，K，T）表示，而到期日为T的远期启动期权的价格，走向确定时间u和百分比α=1（见[28]）是简单的Cbs（t，u，t）=StcallBS（u，1，1，σ，r，t），u≥ t（24）其中callbs（t，St，K；σ，r，t）=StN（d）- E-r（T）-t） KN（d）d=log（St/K）+（r+σ/2）（t）- t） σ√T- td=对数（St/K）+（r- σ/2）（T- t） σ√T- t、 因此，在公式（24）中，我们有di=ci√T- u、 i=1,2，c=（rσ+σ），c=c- σ.

让我们注意c>r总是正确的。此后，在（IND）下，（RTFS）期权的价格由c（t，t）=1{0<τ给出≤t} callBS（t，St，Sτ，σ，r，t）+1{τ>t}StZTtcallBS（u，1，1，σ，r，t）λue-Rutλsdu。（25）在一些简单的情况下，可以以封闭形式找到（25）的估值。Ifτ~ exp（λ），λ>0在Q下，然后f对于第二项，我们得到{τ>t}StZTtcallBS（u，1，1，σ，r，t）λue-Rutλsdsdu=1{τ>t}SthA（t，t）- A（t，t）i，（26）其中（t，t）=λeλtZTtN（c√T- u） e-λudu，A（t，t）=λeλtZTte-r（T）-u） N（c）√T- u） e-λudu（27），并且对于所有参数值，在A>A处是清楚的。上述积分根据参数的选择而专门化。如果r6=λ，我们有三种情况。如果c>2λ，则这些积分可以利用部分积分和高斯密度显式计算，得到（请记住-2(λ - r） =c- 2λ）A（t，t）=N（c）√T- （t）-总工程师-λ（T）-t） 个人电脑-2λN（q（c）-2λ（T）- t） ）+e-λ（T）-t） （中国共产党）-2λ- 1） （28）A（t，t）=λ-李-r（T）-t） N（c）√T- （t）-总工程师-λ（T）-t） 个人电脑-2λN（q（c）-2λ（T）- t） ）（29）+e-λ（T）-t） （中国共产党）-2λ- 1） i.当c=2λ（因此c=2（λ- r） ，则上述公式将toA（t，t）=N（c√T- （t）-E-λ（T）-t） （+c）√T- T√2π）（30）A（t，t）=λ- 李-r（T）-t） N（c）√T- （t）-E-λ（T）-t） （+c）√T- T√2π）i（31），对于c<2λ，我们失去高斯积分，我们得到atA（t，t）=N（c）√T- （t）-E-λ（T）-t） h+cp2λ- cZ√(2λ-c） （T）-t） 埃兹√2πdzi（32）A（t，t）=λ-罗恩-r（T）-t） N（c）√T-（t）-E-λ（T）-t） h+cp2λ-cZ√(2λ-c） （T）-t） 埃兹√2πdzio。（33）如果条件λ=r成立，我们在任何情况下都会得到一个显式公式，其中A（t，t）与（28）中的A（t，t）相同，A（t，t）由A（t，t）=λe给出-λ（T）-t） h（t）- t） N（c）√T- t） +sT- t2πce-c（T）-（t）-c（N（c√T- （t）-)i、 （34）备注4.1（默顿市场模型）上述结果可以通过适当的计算效果扩展到默顿跳跃扩散市场模型（参见。

[12] ）dStSt-= （r）- νκ）dt+σdWt+（eJ- 1） dNt，其中WT是布朗运动，Nta泊松过程，跳跃到达强度为ν，J~N（u，δ）相互独立，κ=EQ[eJ]- 1是跳跃大小预期，σ是波动率，r是无风险利率。在（IND）下，对于α=1，在鞅Q下，如果τ~ exp（λ），当λ>0时，（RTFS）期权的价格由c（t，t）=1{0<τ给出≤t} callM（t，St，Sτ，t）+1{τ>t}St+∞Xn=0′νnn！（A1，n（t，t）- A2，n（t，t）），（35），其中，对于随n变化的适当参数集，A1，n（t，t）和A2，n（t，t）如（27）所示。根据要求，作者可提供e xplicit公式。傅里叶变换定价：方差伽马模型这里我们假设价格动态的形式为ST=SueXT-徐美≤ T，这里是Xuisa L\'evy过程。傅里叶变换是一种成熟的衍生产品定价计算工具，首先在[21]中介绍，然后由几位作者进一步开发（例如参见[22]或[16]及其参考文献）。应用该技术的不同方法导致不同的代表公式对于普通看涨期权的风险中性价格，我们选择考虑看涨（u，Su，K，T）=e-r（T）-u） K2πZiν+∞我-∞E-iz（对数（Su/K）+r（T）-u） ）φXT-徐(-z） 伊兹- zdz，（36）代表z∈ C和ν=Im（z）>1，带φXT-Xu（z）=E[eiz（XT-Xu）]XT的广义特征函数-徐。

由于增量的独立性，φXT-Xu不依赖于Su，因此该模型是标度不变的，并且，应用（5），我们可以得出以下结论：具有确定时间u isc（t，u，t）=Stcall（u，1，α，t）=Ste-r（T）-u） α2πZiν+∞我-∞E-伊兹(- 对数（α）+r（T-u） ）φXT-徐(-z） 伊兹- zdz。通过将远期起始买入价格的傅里叶表示插入到第1.1点或备注3.1的公式中，我们得到了RTFS买入价格的二重积分表示。通常，在假设（IND）下，设定α=1，我们得到c（t，t）=EQ[B（t，t）（ST- Sτ）+Gt]1{0<τ≤t} +1{τ>t}St2πZiν+∞我-∞伊兹- zhZTte-r（T）-u） （1+iz）φXT-徐(-z） λue-Rutλsduidz。在某些情况下，内积分可以用闭合形式求解。事实上，如果我们对价格动态选择方差伽马模型xt=bYt+cWYt，ST=Sue（r+ω）（T-u） +XT-Xu，Wta标准布朗运动和Yta伽马过程与Wt无关，p参数为1和u，ω=1/ulog（1-bu- uc/2）（见[11]），我们有φXT-徐（z）=1.- buz+cuzT-uu=e-u（T）-u）ln（1）-ibuz+cuz），其中lnη=ln |η|+i arg（η），带η∈ C和-π ≤ arg（η）≤ π、 d enotes是主要的复合运算法则。同时（为了便于计算）取一个恒定的危险率λ，我们可以得出dec（t，t）=EQ[B（t，t）（ST- Sτ）+Gt]1{0<τ≤t} +1{τ>t}St2πλe-λ（T）-t） 子ν+∞我-∞伊兹- z1- E-[r（1+iz）+uln（1-ibuz+cuz）-λ] （T）-t） r（1+iz）+uln（1- ibuz+cuz）- λdz，（37）导出一个可计算公式。

同样的论点可以推广到缓和稳定分布以及卡尔-杰曼-马丹-约尔模型（见[9]），这是合理的。He ston随机波动市场中的定价。假设独立，我们也可以在Heston随机波动率模型中得出一个明确的公式，给出（在风险中性度量下）bydSt=St（r+√σtdWt）dσt=κ（θ）- σt）dt+c√σt（ρdWt+p1）- ρdWt），其中r是恒定利率。这里Ft必须是由耦合（S，σ）产生的自然过滤，这是一个二维马尔可夫过程，因此最终定价公式将仅取决于S和σ的初始值。和前面一样，我们从表达式ch（t，t）=EQ[B（t，t）（ST）开始- αSτ）+Gt]1{0<τ≤t} +1{τ>t}hZTtcH（t，u，t，St，σt）λue-Rutλsdu+（1）- α） Ste-RTtλsdsi。（38）通过使用[25]（或[24]）中的结果，我们可以找到正向起始点的明确公式。实际上，由于这个模型也验证了s标度不变性质，我们得到了ch（t，u，t，St，σt）=Z+∞StcallH（u，1，α，σ，T）fσu |σT（σ）dσ，（39），其中callH（u，1，α，σ，T）是赫斯顿模型中看涨期权的标准价格（详情参见[25]引理2.1）和fσu |σT（σ）=B（u）e-B（u）σ+λ（u）B（u）σ∧（u）（R/2）-1） /2IR/2-1（p∧（u）B（u）σ）（40）B（u）=4（κ- ρc）c（1）- E-(κ-ρc）（u-t） )-1（41）∧（u）=B（u）e-(κ-ρc）（u-t） σt，R=4κθc，（42），I是第一类修正贝塞尔函数。备注4.2前一种方法也可适用于[20]中提出的有效随机利率市场模型的情况，其中利率遵循赫尔-怀特模型，随机波动率是一个Ornstein-Uhlenbeck过程。5数值结果在这一节中，我们报告了前面提到的一些模型的数值实现结果：Black&Scholes模型、方差Gamma模型和Heston模型，以及arandom时间τ~ exp（λ），参数λ>0。

在所有实验中，我们设定α=1，t=0，并假设独立假设（IND）。分析或封闭形式的价格，最终需要数值求积，与无障碍定价公式（7）的标准蒙特卡罗近似值进行比较。在随机时间τ评估基础动力学的样本路径，并收集相应的收益进行估计（7）。在我们的实验中，我们模拟了M=1000000个样本/路径。自适应Gauss-Lobatto四边形用于近似表示积分（VGand-Heston模型），这需要评估涉及多值函数（如复对数）的扩展傅里叶变换。为了避免由于特征函数的错误公式而导致的众所周知的数值稳定性，我们使用了Kahl和J¨ackel提出的所谓的计数算法（见例[23]）。所有例程都在MatLabc中编码和实现, 8.0版（R2012b），在英特尔Core i7 2.40 GHz机器上运行，在Windows 7下运行，物理内存为8 GB。对于每个模型，我们报告了λ不同值的闭式（CF）和MC价格，以及其他模型参数。在括号中，我们报告了CF价格的绝对误差w.r.t.以及95%置信区间的相应长度。在不损失一般性的情况下，我们将S=100，T=2，dr=0。在Black&Scholes模型中，RTFS价格由公式（25）-（34）给出。在随机时间τ处σ=0.2的几何布朗运动的精确模拟用于估计定价公式。CF价格MC C.I.长度λ=0.25 3.0989 3.0998（8.4×10-4) 3.7 × 10-2λ = 0.756.6457 6.6512 (5.4 × 10-3) 5.5 × 10-2λ = 1.258.3710 8.3699 (1.1 × 10-3) 6.1 × 10-2λ = 1.759.2709 9.2872 (1.6 × 10-2) 6.5 × 10-表1：不同λ值的Black&Scholes模型。VG模型中的RTF价格由公式（37）给出。