随机时间向前启动选项

在本例中，我们考虑与[11]中相同的参数，b=-0.1463，c=0.1213和u=0.1686。样本路径模拟为伽马时变布朗运动，离散化步长等于1/√M.CF价格MC C.I.长度λ=0.25 2.0159 2.0163（4.1×10-4) 5.5 × 10-2λ = 0.754.3394 4.3426 (3.2 × 10-3) 4.1 × 10-2λ = 1.255.4801 5.4748 (5.3 × 10-3) 3.9 × 10-2λ = 1.756.0796 6.0857 (6.1 × 10-3) 5.8 × 10-表2：不同λ值的方差伽马模型。在Heston的随机波动率模型中，参数的选择如[25]所示：σ=0.09，κ=4，θ=0.06，c=0.65和ρ=-0.9. 我们需要对公式（38）进行数值计算，这需要计算f公式（39）给出的函数。该函数虽然在理论上对u的所有值都有很好的定义，但在计算中会产生一个数值奇点，我们通过用ScallH（u，1，α，E（σu），T）近似cH（0，u，T，S，σ）来处理该奇点。这给了我们一些启示，尽管我们在这里没有使用它们，但我们注意到，方差缩减技术（控制变量、对偶变量）或更有效的模拟算法（如[8]中提出的Broadie和Kaya精确模拟）可以改善MC估计。此外，建议3.1和备注3.1的替代模拟方案可以很容易地设计。0.5 1 1.5 2024681012期权价格0.5 1 1.5 20123456780 0.5 1 1 1.5 22468101214方差伽马模型Heston modelB&S modelu=确定时间=1/λ图1:Black&Scholes、方差伽马和Heston模型中RTFS（红色虚线）和FS（蓝色实线）期权的价格，作为随机时间τ预期的函数。因为我们明确地有E（σu）=σE-κu+θ（1）-E-κu）。用基本欧拉格式模拟的样本路径与蒙特卡罗方法进行了比较，其步长相当于√M.CF价格MC C.I。

长度λ=0.25 3.4907 3.4903（3.7×10-4) 3.6 ×10-2λ = 0.757.5290 7.5227 (6.2 × 10-3) 5.2 ×10-2λ = 1.259.5307 9.5157 (1.4 × 10-2) 5.7 ×10-2λ = 1.7510.5988 10.5920 (6.8 ×10-3) 6.0 × 10-表3：不同λ值的ston模型。最后，我们选择随机时间τ~ exp（λ）随λ变化≥为了在时间t=0时比较RTFS价格和确定时间u=E（τ）=λ的FS期权价格≤ T换句话说，我们比较E（（ST- Sτ∧T） +）带E（（ST- SE（τ））+），见图（1）。在所有仪器中，价格都随着u的增加而降低，而且我们注意到：i）对于u→ 0（即λ→ +∞)FS和RTFS p价格都倾向于ATM普通电话的价格；ii）为美国→ T（即λ→ 1/2）FS值很小地变为0，而RTFS选项的值自q（τ）起保持为正≤ （T）→ 1.-1/e≈ 63%。6 RTFS期权的交易对手信用风险在本节中，我们有兴趣计算RTFS期权的信用价值调整（CVA），其中一方可能需要额外的违约时间。有趣的是，这些产品将是OTC，并且知道C VAis可计算可能很方便。我们首先回顾一下CVA是如何表示附加现金流的。让我们用∏（t，t）表示时间t和t之间现金流的贴现值；这个值必须是相加的，这意味着对于t≤ s≤ 它保持∏（t，s）+B（t，s）∏（s，u）=∏（t，u）。（43）可积的所有欧洲未定权益，GT-由于∏（t，s）=h1{s=t}，因此可测量的支付，可以简单地验证（43）。我们称净现值为∏NPV（t）=E（t，t）|Gt）。（44）我们现在研究单边交易对手信用风险。

假设现金流在两方B（买方）和交易对手C之间，即违约，违约时间为τC。那么，现金流的贴现值必须通过从违约金额中减去quantityCVA（t）=（1）进行调整- R） E（1{t<τC）≤T}B（T，τC）NPV（τC）+Gt（45），其中0≤ R≤ 1表示确定性恢复率（见[7]）。对于具有固定罢工决定时间u的经典远期启动期权，可以直接计算CVA。我们用{HCt}表示过程HCt:=1{τC生成的过滤≤t} 通过GCt=Ft∨HCt。在{Ft}和{HCt}之间独立的条件下，假设B（t，u）在扩大的{GCt}w.r.t中确定一个鞅。一个扩展了风险中性概率P的风险中性概率测度qc，我们得到了cvaf S（t）=（1）- R） QC（t<τC<t）EQC（B（t，t）（ST- αSu）+| Ft），（46），其中在QC（τC>t）=1的假设下，使用了关键引理和与第1节相同的符号。为了将前面的公式扩展到RTFS期权的情况，我们需要考虑两个随机时间：行权确定时间τ和交易对手违约时间τC。因此，我们需要将原始过滤{Ft}扩展为{Ht}和{HCt}，得到gt=Ft∨ Ht∨ HCt。因此，我们假设存在风险中性概率P到公共概率空间的扩展(Ohm, GT）th我们仍然用Q表示，并且我们设置了相应的关键假设（HC），每个FTM鞅仍然是GT鞅。为简单起见，取α=1，我们得到可违约RTFS看涨期权的价格为‘c（t，t）：=EQ[1{τc>t}B（t，t）（ST- Sτ∧T） +|Gt]。因此，在存在回收率R的情况下，我们得到该产品h的CVA的th，关于beCVA（t，t）：=（1- R） [c（t，t）- \'c（t，t）]=（1-R） 等式[1{t<τC≤T}B（T，T）（ST- Sτ∧T） +|Gt]。

（47）我们可以分解期望asEQ[1{t<τC≤T}B（T，T）（ST- Sτ∧T） +|Gt]=EQ[1{T<τC≤T}{τ>T}B（T，T）（ST-Sτ∧T） +|Gt]+EQ[1{T<τC≤T}{τ≤T}B（T，T）（ST-Sτ∧T） +|Gt]=EQ[1{T<τC≤T}{T<τ≤T}B（T，T）（ST- Sτ）+Gt]+1{τ≤t} 等式[1{t<τC≤T}B（T，T）（ST- Sτ）+| Gt]，其中最后一个等式由第一段中的第一项等于0这一事实来证明。在第二个等式中，关键术语是第一个，因为第二个等式降低为标准向前启动选项的CVA，公式（46）适用。在τc（τ，{St}）之间独立的条件下，我们可以忽略第一项。用FHt=Ft表示∨我们有gt=FHt∨ H并将关键引理应用于GT和FHtwe，得到eq[1{t<τC≤T}{T<τ≤T}B（T，T）（ST- Sτ）+Gt]=Q（τC>t|Gt）EQ[1{t<τC≤T}{T<τ≤T}B（T，T）（ST- Sτ）+| FHt]Q（τC>t | FHt）。1{t<τ的独立性≤T}从剩余的因子中给出seq[1{T<τC≤T}{T<τ≤T}B（T，T）（ST- Sτ）+Gt]=Q（τC>t|Gt）Q（t<τC≤ T）Q（τC>T）EQ[1{T<τ≤T}B（T，T）（ST- 如果Q（τC>t）=1，则上述公式将减少toEQ[1{t<τC]≤T}{T<τ≤T}B（T，T）（ST-Sτ）+Gt]=Q（t<τC≤ T）等式[1{T<τ≤T}B（T，T）（ST-Sτ）+| FHt]是RTFS选项的加权值，与标准FSFS选项完全相同。在假设（HC）和Q（τC>t）=1的条件下，如果τCis与（τ，{St}）无关，那么价格为C（t，t）的可违约RTFS看涨期权的CVA，回收率为R∈ [0，1]由CVA（t，t）=（1）给出-R） Q（t<τC）≤ T）c（T，T）。最后我们注意到，如果两个随机时间重合，Q（τ=τC）=1，那么我们可以得出cv A（t，t）=（1）的结论-R） c（t，t），这意味着默认的p rice是\'c（t，t）=Rc（t，t）。致谢作者感谢C.Chiarella教授在这项工作的早期阶段提出了有用的建议。参考文献[1]R.Ahlip，M。

Rutkowski，随机波动率和随机利率下的远期启动期权，国际理论与应用金融杂志，第12卷，第2期，209-225，（2009）。[2] C.Albanese，H.L o，A.Mijatovic，《波动性衍生品的光谱方法》，定量金融，第9卷，第6期，663-692，（2009年）。[3] C.Alexander，L.M.Nogueira模型自由对冲比率和规模不变模型，银行与金融杂志，第31卷，第6期，1839-1861，（2007）。[4] T.R.Bielecki，S.Crepey，D.Brigo，《交易对手风险与融资：两个谜题的故事》，查普曼和霍尔/CRC（2014）。[5] T.R.Bielecki，M.Jeanlanc，M.Rutkowski，《信用衍生产品的估值和套期保值》课堂讲稿CIMPA——联合国教科文组织摩洛cco学校（2009年）。[6] T.R.Bielecki，M.Rutkowski，《信用风险：建模、估值和对冲》，系列：Springer Finance（2002）。[7] D.布里格，K。Chourdakis，《信用违约掉期交易对手风险：违约波动性和利差相关性的影响》，国际理论与应用金融杂志，第12卷，第7期，1007-1029，（2009年）。[8] M.Broadie，O.Kaya，《随机波动和其他有效跳跃扩散过程的精确模拟》，运筹学，第54卷，第2期，217-231，（2006年）。[9] P.Carr，H.Geman，D.Madan，M.Yor，《资产回报的精细结构：经验调查》，商业杂志，第75卷，第2期，305-332，（2002年）。[10] P.Carr，D.Madan，《使用快速傅立叶变换的期权估值》，计算金融杂志，第2卷，第61-73页（1999年）。[11] P.Carr，D.Madan，E.Chang，《方差伽马过程与期权定价》，欧洲金融评论2，79105，（1998）。[12] G.H.Cheang，C.Chiarella，《默顿跳跃扩散模型的现代观点》，载于《随机过程、金融和控制：纪念罗伯特·J·埃利奥特的一场盛宴》，塞缪尔·N。

Cohen，Dilip Madan，Dek Kuen Siu和Hailliang Yang（编辑），pg217-234，世界科学杂志（2012年）。[13] G.H.Cheang，C.Chiarella，A.Ziogas，《美国期权价格在随机波动和跳跃扩散动力学下的表现》，定量金融，第13卷，第2期，241-253，（2013年）。[14] 陈春云，王春云，王春云，远期启动彩虹期权的估值，回顾衍生研究，DOI 10.1007/s11147-014-9105-0，（2014）。[15] C。Dellacherie-P.A.Meyer概率和P势B，北荷兰（1982）。[16] E.Eberlein，K.Glau，A.Papapantoleon，《傅里叶变换估值公式和应用分析》，应用数学金融，第17卷，第3期，211-240页（2010年）。[17] P.V.Gapeevy，M.Jeanblanc，关于过滤浸入和信用事件，CDAM研究报告LSE-CDAM-2008-24，（2008）。[18] ，S.F.Gray，R.E.Whaley，《重置看跌期权：估值、风险特征和应用》，澳大利亚管理杂志，第24卷，第1,1-20页（1999年）。[19] J。郭海文，洪明伟，鲁宾斯坦“现在付款，以后选择”的概括，期货市场杂志，第28卷，第5期，488-515（2008）。[20] A.van Haastrecht，A.Pelsser《期货市场杂志》第31卷第2期，第103-125页（2011年），在远期启动期权估值中考虑随机利率、随机波动性和一般相关性结构。[21]S.L.Heston，具有随机波动性的期权的闭式解，应用于债券和货币期权，修订版。鳍《研究》，第6卷，327-343页（1993年）。[22]R.W.Lee，《转换方法下的期权定价：扩展、统一和误差控制》，计算金融杂志，第7卷，第3期，51-86，（2004年）。[23]R.Lord和C.Kahl，类Heston模型中的复对数，数学金融，第20卷，第4期，671-694，（2010年）。[24]V。

Lucic，《随机波动模型中的远期启动期权》，Wilmott杂志（2003年）。[25]S.Kruse和U.N–ogel，关于Heston的随机波动模型中的远期启动期权定价，金融和随机，第9卷，233-250，（2005年）。[26]P.Protter随机积分和微分方程，Springer Verlag Berlin，（2004）。[27]A.Ramponi，关于体制转换跳跃差异和远期启动期权定价的傅里叶变换方法，国际理论与应用金融杂志，第15卷，第5期，（2012年）。[28]M.Rubinstein，《现在付款，以后选择》，风险，第44卷，第44-47页（1991年）。[29]P.Wilmott，Cliquet期权和波动率模型，Wilmott杂志，78-83，（2002）。