随机时间向前启动选项

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英文标题：
《Random Time Forward Starting Options》
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作者：
Fabio Antonelli, Alessandro Ramponi, Sergio Scarlatti
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We introduce a natural generalization of the forward-starting options, first discussed by M. Rubinstein. The main feature of the contract presented here is that the strike-determination time is not fixed ex-ante, but allowed to be random, usually related to the occurrence of some event, either of financial nature or not. We will call these options {\\bf Random Time Forward Starting (RTFS)}. We show that, under an appropriate \"martingale preserving\" hypothesis, we can exhibit arbitrage free prices, which can be explicitly computed in many classical market models, at least under independence between the random time and the assets\' prices. Practical implementations of the pricing methodologies are also provided. Finally a credit value adjustment formula for these OTC options is computed for the unilateral counterparty credit risk.
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中文摘要：
我们首先介绍了M.Rubinstein首先讨论的前向启动选项的自然概括。此处介绍的合同的主要特点是，罢工确定时间不是事先固定的，而是允许随机的，通常与某些事件的发生有关，无论是否具有财务性质。我们将这些选项称为{\\bf随机时间前向启动（RTFS）}。我们证明，在适当的“鞅保持”假设下，我们可以展示无套利价格，这可以在许多经典市场模型中明确计算，至少在随机时间和资产价格之间独立的情况下。还提供了定价方法的实际实现。最后，针对单边交易对手信用风险，计算这些OTC期权的信用价值调整公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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2022-5-8 02:47:56 上传

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关键词：Quantitative counterparty independence credit risk derivatives

随机时间向前启动选项F。安东内利*，A.兰波尼**，S.斯卡拉蒂***迪西姆，拉奎拉大学-意大利系。罗马大学经济与金融学院，托尔·维加塔，意大利2015年3月摘要我们介绍了一个自然的前瞻性启动选项概括，首先由M讨论。鲁宾斯坦（[28]）。本合同的主要特点是，被删除的终止时间不是事先确定的，而是随机的，通常与某些事件的发生有关，无论是财务性质还是非财务性质。我们将这些选项称为随机时间前向启动（RTFS）。我们知道，在适当的“鞅保持”假设下，我们如何显示无套利价格，这可以在许多经典市场模型中明确计算，在随机时间和资产价格之间的独立性下最快。还提供了定价方法的实际实现。最后，针对单边交易对手风险，计算了这些场外期权的信用价值调整公式。关键词：随机时间，前向启动选项，CVA。JEL Cl ASSIFIcation:G131简介远期启动期权是路径相关的卖出/买入金融合同，其特征是履约价格以合同规定的中间日期的资产价格的预定百分比α表示∈ （t，t），t是期权到期日。时间u被称为行使决定时间。因此，远期起始看涨期权的支付为（ST- αSu）+。（1） 这些产品代表了所谓集团的基本组成部分（见[18]），实际上相当于一系列从货币期权开始的远期期权，在支付初始溢价后，沿一系列中间日期激活。

客户群通常被雇佣来购买针对下行风险的保护措施，你可以保留上行潜力，例如投资计划，以对冲嵌入股票相关产品的担保。Wilmott在[29]中指出，这些产品对OneSelected的模型特别敏感，该模型考虑了标的物的价格动态。*电子邮件：sergio。scarlatti@economia.uniroma2.itIn本文研究了考虑随机罢工时间的前向启动期权的推广。也就是说，我们假设，如果在合同有效期内以正概率发生未来的随机事件，我们正在使前向启动操作具有价值。然后将该随机时间的资产价值在到期时与标的资产的最终价值进行比较，因此看涨期权的支付（1）被（ST- αSτ∧T） +，（2）对于某个适当的随机时间τ，这里我们用x表示∧ y=最小值（x，y）。我们将介绍的pricingmethodology是Rubinstein的应用程序roach（见[28]）的扩展，它可以应用于几个现有的选项模型。我们很容易想象这种类型的合同在几种情况下的应用前景，正如下面的例子所示第一个带有投机目标的例子，可以用写在曼联股票（纽约证券交易所代码：MANU）上的呼叫（α=1）来表示，从英超联赛（PL）足球赛的开始日开始，到比赛的结束日结束。这一呼吁是由第一次τ引发的，曼联最终将以比所有其他球队至少多3分的成绩领先锦标赛。如果这一事件发生，那么曼联将增加其参加下一届冠军联赛（CL）的机会，这一事件将产生大量额外现金流。

如果在PL tourn ament比赛结束时，曼联将获得与CL比赛的权利，那么马努在该日期的股票价值可能会大于Sτ，看涨期权合同中的投资者可以将差异据为己有我们可以想象的另一种可能的情况是，一家公司预计会出现不利的市场环境，这可能会在不久的将来导致该公司的评级下降。公司所有者向一位聪明的经理（过去雇佣过）提供此类合同，以此激励他/她留在公司内，并在成熟之前努力改善公司的地位。例如，公司所有人于2015年1月1日将本合同提交给经理，到期日T=1年（α=1）。如果事件{τ<T}发生，例如在2015年6月6日，经理在到期前有时间使公司价值再次上升到sτ以上，并将支付收入囊中，否则不会获得回报。因此，经理有兴趣评估激励的正确现值。在这种情况下，从管理者的角度考虑此类合同的交易对手信用风险方面也很有趣：如果公司（交易对手）没有从不利的市场情景中恢复，它可能会在降级事件后短时间内违约，或者甚至可能在降级之前发生违约。

这导致了此类期权的单边信用价值调整（CVA）问题，因为经理需要评估合同的进一步风险，以便正确评估公司的价值最后，还可以根据一个以上的随机事件来考虑合同：例如，当基础资产第一次达到预先规定的上限KUN时，可以触发cliquet看涨期权，直到资产在到期日T之前达到一个新的障碍水平K>K，此时激活第二个具有罢工和到期性质的看涨期权。一般来说，根据金融产品的特点，可以想象沿着随机时间的递增序列构造ct cliquet类型的选项。从Underliving的动态模型和评估技术来看，关于经典远期启动期权的文献非常广泛。我们很快回顾了主要贡献，因为我们将把这些结果作为分析的起点。Rubinstein（1991）（见[28]）是第一个考虑Black and Scholes模型中远期起始点定价问题的人。后来，几位作者讨论了随机波动率模型中远期启动期权的估值问题。Lucic（2003）（见[24]）编写了一个评估公式，使用资产在确定时的价值作为基准，将这些期权转换为普通期权，为Heston模型给出了一个封闭公式。Kru se和N¨ogel（2005）（见[25]）采用了相同的方法，但他们利用theHeston模型的分布特性开发了一个定价公式；他们指出了这种扩展的重要性（w.r.t。

布莱克-斯科尔斯（Black-ScholeseEnvironment，简称Black-ScholeseEnvironment）期权对波动性变化特别敏感。此外，Guo和Hu ng（2008）（见[19]）在一般的随机波动率/随机利率模型中导出了准分析定价公式，呈现了资产价格和波动率的跳跃。这一点很重要，因为与普通情况相比，前向启动选项的价值并不总是随着成熟度的增加而增加。这取决于当前的利率结构。在相同的背景下，Ahlip和R utkowski（2009）（见[1]）选择了aHeston的随机波动率模型和利率的CIR动力学，波动率和短期利率都与股票收益率的动力学相关。主要结果是对呼叫情况的分析公式，该公式是通过使用概率方法，结合Carr和Madan（1999）开发的Fourier反演技术得出的（见[10]）。Van Haastrechtand Pelsser（2011），（[20]）利用特征函数的傅里叶逆变换，对随机波动率和随机利率下的远期启动期权定价进行了定量分析（使用Ornstein-Uhlenbeck dynamics），确认这些不仅依赖于未来的微笑，而且对波动率等模型特性非常敏感，利率和相关性的变动，得出结论，考虑所有这些因素对这些证券的正确估值和风险管理至关重要。

最近，Ramponi（2012）（见[27]）将这四个层次的分析扩展到资产价格的制度转换模型。最后，2006年，芝加哥期权交易所推出了隐含波动指数（VIX）期权，提高了人们对预测未来波动的远期启动期权的兴趣。Albanese、Lo和Mijatovic（[2]）提出了一种谱方法，以数值方式评估股票价格与其实现方差之间的联合分布，该方法提供了一种定价方式，即一致欧洲、一般应计方差支付、远期启动和VIX期权。为了评估我们对随机确定时间的FS期权的推广，我们利用了许多论文中开发的技术（参见[5]和[6]以获得一般性的阐述）来处理信用衍生品中的违约时间。我们使用的主要工具是所谓的假设（H），它保证在添加默认时间生成的信息时，所有鞅都保持不变。换句话说，这意味着无套利结构不会因随机时间的引入而改变。这导致了所谓的关键引理，它允许从全局信息（由资产价格和随机时间生成）切换到仅由可观察价格生成的信息。遵循基于强度的方法，我们给出了独立条件下或不独立条件下定价公式的一般表达式。

在资产价格和随机时间之间的独立性下，我们在几个可计算模型（Black&Scholes，Heston，Variance Gamma）中对价格进行了专门化和明确化，并在独立性假设被放弃时，我们为强度提出了一个有效的依赖结构，表明仍然有可能恢复部分容易计算的公式。最后，考虑到上面给出的第二个例子，我们重点计算这些产品在出现进一步违约时间时，由于交易对手风险所需的信用价值调整（一般参考见Brigo and Chourdakis（2009），[7]）。论文的结构如下。第2节给出了设置，在第3节中，我们介绍了一种评估此类产品的一般方法，在第4节中，我们开发了一些独立的明确可计算案例。第5节提供了衍生定价公式的一些数值实现，最后第6节简要介绍了发行人可能出现违约时间时，该产品隐含的交易对手风险。2我们考虑一个时间间隔[0，T]，T表示合同到期。我们假设市场是一个单一资产和一个存在于概率空间中的债券的组合Ohm, F、 P），带有过滤{Fs}s≥0，使其完整且正确连续，以满足通常的假设（见[26]）。此外，我们假设我们不存在套利机会，并且P是根据某种标准选择的风险中性度量。在对之前描述的新合同进行数学形式化之前，我们需要重新调整对经典远期启动选项的评估。通过B（t，t）表示贴现过程，由c（t，u，t）=EP[B（t，t）（ST）给出具有百分比α和行权确定时间u>t的前向启动调用的价格- αSu）+英尺]0≤ T≤ T

（3） 在市场模型中，普通看涨期权的价格由两个空间变量（x，y）中的一阶确定齐次函数表示，即iscall（t，γx，γy，t）=γ看涨期权（t，x，y，t），γ、 x，y>0应用于给定对（St，K），经典（看涨）远期启动期权的价格为isc（t，u，t）=EP[B（t，u）EP[B（u，t）（St- αSu）+|Fu]|Ft]=EP[B（t，u）call（u，Su，Suα，t）|Ft]=EP[B（t，u）call（u，γ1，γα，t）γ=Su | Ft]=EP[B（t，u）（γ调用（u，1，α，t））γ=Su | Ft]=EP[B（t，u）Sucall（u，1，α，t）| Ft]。（4） 比例不变模型（见[3]）当然具有这一特性。此外，如果看涨期权价格是标的证券当前价格的确定性函数，且不包括任何额外的随机因素，我们可以得出结论，远期启动期权的价格验证[B（t，u）Sucall（u，1，α，t）| Ft]=EP[B（t，u）Su | Ft]看涨期权（u，1，α，t）=Stcall u（u，1，α，t），（5）在上一个等式中，我们使用了贴现资产价格的鞅性质。注意，在这种情况下，持有看涨期权（u，1，α，T）单位的股票组合“复制”了远期启动期权的T值。有时，在存在随机因素的情况下，也可以通过改变数值来实现类似的结果，对于某些适当的等效度量值P，得出ep[B（t，u）Sucall（u，1，α，t）| Ft]=StE | P[call（u，1，α，t）| Ft]（6）类型的公式。我们希望推广这些合同，允许罢工决定时间是随机的，因此我们需要考虑一个市场模型（以及一个概率空间），其中资产价格与时间τ同时存在。因此，我们假设存在σ-代数G包含F和a过滤{Gs}s≥0 G、 满足通常的假设，这使得StandHt=1{τ≤t} 适应过程（也就是说τ是停止时间w.r.t。

{Gs}s≥0）我们可以将概率P推广到测度空间上的一个新的概率测度Q(Ohm, G） 。因此，参照前面的符号，我们有Ft Gt，尽管如此≥ 从现在起，我们假设Gt=Ft∨ Ht，其中Ht=σ（Hs:s≤ t） 。我们记得，在停止时间τ停止的过滤将被表示为Gτ，它的意思是sgτ={A∈ G:A∩ {τ ≤ t}∈ Gt，T≥ 0}.此外，我们还介绍了经典假设和基本假设（H）-鞅仍然是Gt-鞅。这种假设被称为H假设，在信用风险文献中被广泛使用（参见E.g.[17]和其中的参考文献）。有了这个假设，我们可以得出肯定的结论-扩展概率Q下的半鞅和B（t，u）Sua鞅。因此，我们可以用更一般的表达式c（t，t）=EQ[B（t，t）（ST）代替无套利定价公式（3）- αSτ∧T） +|Gt]。（7） 从现在起，该产品将被称为随机时间向前启动选项，我们将其称为RTFS选项。请注意，支付仍然是GT-可测量的在下文中，我们仅将调用情况视为，在假设（H）下，这些productsEQ[B（t，t）（ST- αSτ∧T） +|Gt]- 式[B（t，t）（αSτ）∧T- ST）+Gt]=ST- αSτ∧tB（t，τ）∧ t） 。最后，我们注意到，对于α=1，这些选项只有在随机事件发生在到期之前才有价值，从某种意义上说，它们是由随机时间触发的。3定价公式在本节中，我们想了解如何使公式（7）更明确地可计算。作为一般考虑，让我们注意到c（t，t）=EQ[B（t，t）（ST- αSτ∧T） +（1{0<τ）≤T}+1{τ>T}）|Gt]=EQ[B（T，T）（ST- αSτ）+{0<τ≤T}|Gt]+（1- α） EQ[B（t，t）ST{τ>t}Gt]=EQ[B（t，t）（ST- αSτ）+Gt]1{0<τ≤t} +EQ[B（t，t）（ST- αSτ）+{t<τ≤T}|Gt]+（1-α） St{t<τ}- (1 -α） EQ[B（t，t）ST{t<τ≤T}）Gt]。