切换GAS-Copula模型及其在系统风险中的应用

Fern’andez and Steel（1998）的歪斜机制提供了一种灵活的方法，通过包含附加参数ηi，从任意单变量模态对称密度函数开始建立歪斜分布∈ R+控制倾斜度。如Embrechts等人（2003）所述，选择将条件平均值建模为方程（2）中的一阶自回归过程，是因为需要考虑财务回报有时显示的序列相关性。为了便于阅读，我们将所有边际模型参数组合在向量θi=（φ0，i，φ1，i，$i，θ1，i，θ2，i，θ3，i，ηi，Γi）中，对于i=1，2，d、 2.2。在马尔可夫链St=l的状态下有条件地切换GAS copula，对于l=1，2，五十、 我们假设种群相关参数κlt遵循κlt=λ的气体动力学更新机制-κlt（6） ~kκlt=ωl+Al~slt-1+Bl-κlt-1（7）~slt=~St■κlt，ψl~T美国犹他州；■κlt，ψl, （8） 其中ut=（u1，t，…，ud，t），ωl∈ R和Al，维数为（n×n）的参数的Blare矩阵，使得Blare在模中的特征值严格小于1，以保持气体动力学的平稳性，并且是观测ut的标度分数。参数ωl控制气体动力学的特定状态水平，而矩阵和BL分别控制更新步骤和过程的持续性。此外，λ：Rn→ 方程（6）中的Dκ是一个绝对连续的确定可逆函数，它映射到自然参数空间Dκ中。当n≥ 2.将λ指定为向量值函数，可以方便地将κtint的每个分量映射到适当的空间。一般来说，对于λ的第i分量，我们考虑由λ（b，`b）i（x）=b定义的修正逻辑函数+“b”- B1+e-x、 （9）哪个将R映射到区间b、 “b”.

标度分数函数sltin方程（8）通常可以作为观测分数与映射函数的雅可比矩阵的自然参数κ和适当变换的乘积，如下St■κlt，ψl~T■κlt，ψl= Z˙λlt圣美国犹他州；κlt，ψlT美国犹他州；κlt，ψl, （10） 在哪里T美国犹他州；κlt，ψl= ln c美国犹他州；κlt，ψlκlt，˙λlt=dλ-κltdκlt和z（·）取决于标度机制的选择，见Creal等人（2013）。因此T美国犹他州；κlt，ψl表示copula概率密度函数c（·）的条件分数，在κtandSt（κt，ψ）处计算是一个正定义的、可能依赖于参数的标度矩阵。缩放矩阵的方便选择通常由T给出κlt，ψl=你好κlt，ψl我-ζ、 （11）我在哪里■κlt，ψl是Fisher信息矩阵，对于表现良好的密度，可以写为κlt，ψl= -Et-1\"ln c美国犹他州；κlt，ψlκtκt#=Et-1.T美国犹他州；κlt，ψl× T美国犹他州；κlt，ψl, （12） ζ通常等于{0,1}。Creal等人（2013年）建议使用逆Fisher信息矩阵（对应于方程式（11）中的ζ=1）或其伪逆平方根（对应于ζ=），以便对解释其方差的数量的条件分数进行缩放。在我们的实证测试中，我们发现后一种缩放机制比使用单位缩放矩阵（ζ=0）更有效。然而，有时Fisher信息矩阵在封闭形式下是不可用的，我们需要借助模拟或数值评估方法，这些方法应该与近似度和代码效率进行交易。在本文附带的补充材料中，我们报告了计算几个二元copula规范（高斯、Student–t、Gumbeland Clayton）的分数和Fisher信息矩阵的分析公式。

Frank和Plackett-Fisher信息矩阵采用Creal等人（2013）提出的网格方法进行评估，详见随附补充材料。3.估计和推断如引言所述，模型参数的估计采用两步程序，第一步是估计边缘所涉及的参数，第二步是联合估计依赖性参数和潜在马尔可夫状态。Patton（2006）证明了由此产生的边际推理函数（IFM）两步程序对于条件连接函数是渐近一致的，我们将参考其了解更多细节。IFM程序可以应用于这种情况，也可以应用于一般的动态copula模型，因为等式（1）中的copula分布参数与边缘参数是可分离的。在这里考虑的动态MS模型的特定情况下，我们还利用了这样一个事实，即马尔可夫动力学仅适用于copula函数的依赖参数，而不适用于边缘。为了估计受马尔可夫结构以及上一节中规定的气体动力学影响的依赖参数，我们采用了Dempster等人（1977）的期望-最大化算法。在本节中，我们介绍了EM算法，假设边际分布θi的参数之前已经通过最大似然法进行了一致估计，参见Francq和Zakoian（2010）。此后，伪观测被^ut取代=Fy1，t；^θ, . . . , Fdyd，t；^θd, 式中^iiiiiiIf的最大似然估计值=1，2。

，d.EM算法是一个强大且易于编程的工具，用于对缺失结构的数据进行最大似然估计，例如有限混合和马尔可夫切换模型，并且它释放了一个正递减的对数似然函数序列，收敛到最大值。有关EM算法的一般和最新参考，请参阅麦克拉克兰和克里希南（2007）的著作。在接下来的内容中，我们将介绍用于估计第2节所述SGASC模型参数的EM算法。为了应用EM算法，观测向量y1:T（T为样本量）被视为不完整。根据McLachlan和Peel（2000）中所述的实施，以下缺失数据随后被引入zt=（zt，1，zt，2，…，zt，L）和zzt=（zzt，1,1，zzt，1,2，…，zzt，L，k，…，ZZZT，L，L）被定义为zt，L=如果St=l，则为1，否则为ZZT，l，k=1如果街-1=l，St=k，否则为0。与潜在类方法类似，类成员是未知的，并且可以方便地处理为潜在多项式变量在一次试验和L类中所取的值，其中类成员的时间演化由隐马尔可夫链STT=1，2，T通过潜在变量{zt，zzt，t=1，2，…，t}增加观测值y1:t，可以用完整的数据日志-似然函数替换日志-似然函数，它变成slog L（Ξ）=LXl=1z1，llog（δL）+LXl=1LXk=1TXt=1zzt，L，klog（ql，k）+LXl=1TXt=1zt，llog c^ut；Ξl+TXt=1dXi=1log-fi易，t；^θi,其中Ξ={Ξl}Ll=1，带Ξl=ωl，vec艾尔, vecBl, ψl是一个向量，包含copula相关参数κl和ψl的气体动力学参数，对于l=1，2，L.EMalgorithm由两个主要步骤组成，一个是期望（E-步骤），另一个是最大化（M-步骤），参见McLachlan和Krishnan（2007）。

在（m+1）–第次迭代中，EM算法按如下步骤进行：E–步骤：计算完整数据日志的条件期望–给定观测数据和当前参数估计值Q的可能性Ξ，Ξ（m）= Ep（zt | y1:T，Ξ（m））[logl（Ξ）；y1:T]。（13） M–步骤：通过最大化前面关于Ξ（M+1）=arg maxΞQ的预期值来选择Ξ（M+1）Ξ，Ξ（m）. （14） 方程（13）中的E-步要求计算所谓的Q-函数，该函数计算给定观测值和参数向量Ξ（m）的当前估计的完整数据记录可能性的条件期望t=1，2，T和l=1，2，L.利用前面的因式分解，我们得到函数QQ的以下表示Ξ，Ξ（m）= Ep（zt | y1:T，Ξ（m））{logl（Ξ）；y1:T}∝LXl=1^z1，llog（δl）+LXl=1LXk=1TXt=1czzt，l，klog（ql，k）+LXl=1TXt=1^zt，llog c^ut；Ξl,式中^zt，l=PSt=l | y1:T，Ξ（m）, CZT，l，k=P圣-1=l，St=k | y1:T，Ξ（m）,对于l，k=1，2，五十、 及t=1，2，T，表示使用Fr–uhwirth Schnatter（2006）和Cappèe等人（2005）中详述的众所周知的前向滤波后向平滑（FFBS）算法评估的状态的当前平滑概率。等式（14）中的M-步使函数Q最大化Ξ，Ξ（m）关于Ξ，确定下一组参数Ξ（m+1）。HMM参数的更新估计，即初始概率δ的向量和隐马尔可夫链q的转移概率矩阵是：δ（m+1）l=z1，l^q（m+1）l，k=PTt=2czzt，l，kPLk=1PTt=2czzt，l，k，对于l，k=1，2，五十、 而参数Ξ可以通过以下优化问题的解Ξ（m+1）=arg maxΞLXl=1TXt=1bzt，llog c获得^ut；Ξl.由于上一个优化步骤提供了增加对数似然函数的参数更新，因此保证了算法收敛到最大似然估计。

GASC相关性和边缘参数的标准误差可以使用Patton（2006）中详细介绍的程序进行评估，其中，Ξ的信息矩阵在西葫芦和麦克唐纳（2009）详细介绍的HMM直接最大似然估值器运行一次后进行数值评估。4。系统性风险度量在本节中，我们首先介绍本文中考虑的两个系统性风险度量，即条件风险价值（CoVaR）和条件预期短缺（COE），然后，我们描述了假设联合回报遵循SGASC模型，如何计算CoVaR和COE。Adrian和Brunnermeier（2011年、2014年）在系统风险文献中介绍了CoVaR和CoE，随后Girardi和Erg–un（2013年）将其扩展到参数动态框架。CoVaR通过提供有关一家机构或市场的价值（风险）信息，以及另一家机构的危机事件的条件，来衡量机构之间的溢出效应。在他们的开创性论文中，Adrian和Brunnermeier（2011）提议使用两个分位数方程系统来估计CoVaR测度，扩展了直接风险价值估计的传统方法。Bernardi等人（2013a，2015）提出了一个贝叶斯动态分位数模型，其中VaR和CoVaR方程都是个体和宏观经济观察到的风险因素的函数，就像原始的CoVaR方法一样，以及具有自身随机动态的未观察到的成分的函数。Rebredo和Ugolini（2015）最近提出了Covar的copula方法，以评估欧洲主权债务市场的系统性风险。在这里，CoVaR和CoE被进一步扩展，以解释copula依赖参数的动态演化以及不同马尔可夫机制的存在。

基于模型的CoVaR风险度量框架的吸引人的特点是，它继承了动态切换Copula的灵活性和易计算性。此后，鉴于CoVaR和CoES系统风险度量的双变量性质，我们考虑随机向量（YM，t，Yj，t），j=1，2，N，其中“M”表示金融系统指数，“j”表示第j个系统相关机构。形式上，let（τ，τ）∈ [0,1]如果是预先确定的置信水平，那么时间t时金融系统的CoVaRτ，τM|j，t满足以下等式p嗯，t≤ CoVaRτ，τM | j，t | Yj，t≤ VaRτj，t= τ、 （15）式中，VaRτj，t表示机构j的边际风险值（VaR），使得Yj，t≤ VaRτj，t=τ. 粗略地说，金融系统的有条件风险值是YM分布的分位数，这取决于影响机构j收益Yj，t的极端事件。正如吉拉迪和厄尔根（2013）所述，我们将这种极端事件定义为Yj，低于其密集水平τ的VaR。备注4.1。等式（15）中条件风险价值的定义与Adrian和Brunnermeier（2011）中最初提出的定义有很大不同，与Girardi和Erg–un（2013）中提出的定义一致。正如Girardi和Erg¨un（2013）以及Mainik和Schaanning（2014）所讨论的，这种定义基本上保留了联合分布引入的随机顺序。鉴于前面章节中介绍的动态背景，我们在计算前瞻性系统风险度量CoVaRτ，τM|j，t+1is（YM，t+1，Yj，t+1 | y1:t，St）时参考的随机变量。CoVaRτ，τM | j，t+1和VaRτj，t+1表征了（YM，t+1，Yj，t+1 | y1:t，St）预测分布的条件分位数和边缘分位数。

下一个命题通过描述可预测分布，提供了动态模型和系统风险评估方法之间的自然联系。提议4.1。假设Yt=（YM，t+1，Yj，t+1）遵循一个二元SGASC过程，那么在时间t+1，给定到时间t的信息，Yt的一步预测累积分布函数是成分特定预测累积分布h（Yt+1 | y1:t，St）=LXl=1π（l）t+1 | tC（Ut+1 | St+1=l，y1:t），（16）的混合权重π（l）t+1 | t=LXm，五十、 （17）式中，Ut+1=（FM（YM，t+1，θM），Fj（Yj，t+1，θj）），j=1，N和qm，lis——马尔可夫转移矩阵Q的第（m，l）项，参见例如西葫芦和麦当劳（2009）。值得一提的是，等式（16）紧随着一个事实，即Yt+1的累积预测分布在该过程的过去历史中是一个连接函数的有限混合物，而连接函数的混合物本身就是连接函数，参见例如Durante和Sempi（2015）。我们现在提供了提前一步“预测性”系统风险度量的表达式。原则上，CoVaR的计算需要对机构的j边际VaR进行事先评估，该评估可以通过反转Yj的边际cdf来执行，即VaRτj，t+1=F-1j（τ；θj）。从计算角度来看，copula方法更容易处理，因为它不需要评估边际VaR，而边际VaR与所选分位数密度τ处的PIT一致。以VaRτj，t+1为条件，将CoVaRτ，τM|j，t+1计算为y的值*t+1如此之多YM，t+1≤ Y*t+1，Yj，t+1≤ VaRτj，t+1= ττ，（18）或根据二元SGASC预测分布，我们在这里考虑lxl=1π（l）t+1 | tC调频Y*t+1，θM, FjVaRτj，t+1，^θj; κlt，ψl=LXl=1π（l）t+1 | tC调频Y*t+1，θM, τ; κlt，ψl= ττ.

（19） Adrian和Brunnermeier（2014）还提议，通过在CoVaR水平上评估每个机构的边际风险，将预期缺口风险度量扩展到一个系统框架。CoE被定义为YM的预期短缺，t+1低于其共价τ，τM|j，t+1水平，条件为Yj，t+1低于其VaRτj，t+1水平，即CoEτ，τM|j，t+1=ESYM，t+1≤ CoVaRτ，τM | j，t+1 | Yj，t+1≤ VaRτj，t+1（20） =EYM，t+1 | YM，t+1≤ CoVaRτ，τM|j，t+1，Yj，t+1≤ VaRτj，t+1. （21）我们对COE的定义与Bernardi等人（2013b）、Bernardi和Petrella（2015）以及Mainik和Schanning（2014）给出的定义一致，与Adrianand Brunnermeier（2011）给出的定义有很大不同。在SGASC框架内，可通过对CoVaRτ、τM|j、t+1的数值积分来评估前瞻性CoESτ、τM|j、t+1，如下所示：CoESτ、τM|j、t+1=τZτCoVaRτ、γM|j、t+1dγ。（22）正如Bernardi et al.（2013b）和Mainik and Schaanning（2014）所讨论的，CoES风险衡量的是预期短缺的相同性质，例如线性组合的次可加性，参见，例如Artzner et al.（1999）。作为子可加性属性的直接结果，COE可以有效地用于衡量不同资产对整个金融系统的总体系统风险贡献。在不同的背景下，Engle et al.（2015）建议采用单个长期边际预期缺口（LRME）的线性组合，以获得欧洲地区总体市场系统性风险的总体度量。Brownlees和Engle（2015）使用同样的论点，也依赖于LTLRMS的次可加性属性来获得系统性风险（SRISK）指标的汇总版本。从我们对方程（20）-（21）中COE的定义可以很容易地看出，LRME可以通过简单地让CoVaRτ、τM | j、t+1作为COE的特殊情况来获得→ ∞, i、 e.通过施加τ=1。

为了汇总各个系统性风险水平，以获得整个经济的总体系统性风险指标，我们可以定义总的市场前瞻性系数asCoESτ，τM，t+1=NXj=1wjCoESτ，τM | j，t+1，（23），其中标量wj，j=1，2，N、 表示与属于该市场的N家系统相关金融机构中的每一家相关的权重。CoEτ、τM、t+1的定义有助于估计整个市场将因影响市场参与者的危机而面临的总损失，当我们观察到低于CoVaR水平的Ym实现时，该损失会传递给市场。正如Adrian和Brunnermeier（2011年、2014年）、Girardi和Erg¨un（2013年）以及Mainikand Schaanning（2014年）所讨论的那样，考虑CoVaR和Coesf之间的差异以及它们的“中值”也很有用。在这里，我们考虑CoVaRτ，τM | j，t+1和CoESτ，τM|j，t+1量化定义为CoVaRτ，τM|j，t+1=100×CoVaRτ，τM|j，t+1- CoVaRτ，bjM|j，t+1CoVaRτ，bjM|j，t+1，（24）和CoESτ，τM|j，t+1=100×CoESτ，τM|j，t+1- CoESτ，bjM|j，t+1CoESτ，bjM|j，t+1，（25），其中bj代表我们定义为P的基准状态Yj，t+1≤ 瓦0。5j，t+1= 0.5，即当特定国家的指数低于其中值时，系统的COVAR。这个科瓦兰COE衡量系统性风险增加的百分比，该百分比取决于预先指定的Distress事件。因此科瓦尔和COE可以有效地用来衡量特定机构陷入财务困境时CoVaR和COE的变化。换句话说科瓦尔和COE评估了特定机构j对整体系统风险的贡献的动态演变。此外，这两个数量可用于政策规则和风险管理。