狄拉克过程与违约风险

作为一种常见的函数，等式6意味着函数在任何地方都是零，除了在一个不属于实数的元素的位置。除了方程5中的积分性质外，我们还将利用isits筛选性质（不含“h”）对任何普通函数g（t）：Z进行筛选∞g（t）δ（t）- a） dt=g（a）（7）微分的通常分布性质成立，即（g（t）δ（t）- a） ）=g（t）δ（t- a） +g（t）δ（t）- a） whereZ∞g（t）δ（t）- a） dt=-g（a）我们不会考虑广义函数的乘法，因为我们的应用不需要它。Dirac delta函数也可以被视为Heaviside阶跃函数的微分，即形式上的Dtu（t- （a）≡ δ（t）- （a）≡ δa（t）（8），其中u（t）是重阶梯函数，u（t）=0， t<0；1. T≥ 假设g（t）是一个性能良好的测试函数，其中性能良好意味着它在R中取值并且有界。使用Riemann-Stieltjes积分，我们可以看到，将该测试函数与Dirac delta函数相乘，等于将测试函数与Heaviside阶跃函数相积分，即Z∞-∞g（t）δ（t）- a） dt=Z∞-∞g（t）du（t）- a） =g（a）这提供了狄拉克过程和跳跃过程之间的另一种联系，以及狄拉克δ函数的另一种定义。也就是说，由于Dirac delta函数的积分得到了很好的推广，它们用普通函数表示，即阶跃函数。我们将看到泊松过程的导数是狄拉克过程，反之亦然。Dirac delta函数也可以被视为一个函数，而不是一个广义函数，因为它对积分中的测试函数有影响Hoskins（2009）；莱特希尔（2003）。C.狄拉克过程我们从定义狄拉克过程开始，然后在此基础上继续发展。

正如布朗运动不是特别有用一样，狄拉克过程也同样有用。定义1（狄拉克过程）：狄拉克过程D（t）是狄拉克δ函数序列(*)由指数分布的等待时间ej，即D（t）分隔（时移）：=∞Xi=0δ（t- Ei）Ei=j=iXj=0ejej~i、 i.d.指数随机变量，平均值ν命题1（Dirac过程性质）：Dirac过程是马尔可夫的、无记忆的、非对抗的。证据Dirac过程性质的证明：由于Dirac delta函数只存在于单个时间点，且Dirac delta函数之间的时间呈指数分布，且指数分布无记忆，因此所有三个性质都遵循。上述命题依赖于这样一个事实，即狄拉克δ函数是函数序列的极限（如等式I.B或类似），而不是该极限的任何元素。如果不是这样的话，那么就有一个潜在的问题，那就是能否提前预测下一个峰值何时出现。然而，事实并非如此。Dirac过程中尖峰的到达率与速率ν成常数。定义2（非齐次（或非齐次）狄拉克过程）：非齐次狄拉克过程有一个速率参数ν（t），它是时间的确定函数。定义3（复合狄拉克过程）：复合狄拉克过程Dx（t）是一个狄拉克过程，其中每个尖峰由非预期随机过程x（t，i）Dx（t）缩放：=∞Xi=0x（i，t）δ（t）- Ei）注意，上面的标度过程x（i，t）不需要是马尔可夫过程，并且知道它是标度的哪一个点（通过i）。缩放过程的效果是改变方程7中过程的积分。

我们也没有排除标度受尖峰发生时间（t）影响的可能性。定义4（确定性Dirac过程）：确定性Dirac过程是一系列时间偏移的Dirac delta函数，其中时间偏移是事先已知的。定义5（复合确定性Dirac过程）：复合确定性Dirac过程是指时间偏移事先已知的复合Dirac过程。复合确定性狄拉克过程模拟了已知的事件序列，其中事件的大小存在不确定性，但不确定它们应该发生的时间。例如，在利率建模中，英格兰银行货币政策委员会（MPC）的会议日期是已知的，而联邦公开市场委员会（FOMC）的会议日期至少提前一年。跳跃与这些会议日期有关（Piazzesi，2005）。在如图1所示的信贷中，还款日期可能是已知的，但不是每个还款日期违约的确切概率。从长期来看，对于信贷而言，新融资会产生还款，因此可能需要复合确定性Dirac过程和复合Dirac过程。同样，货币政策委员会和联邦公开市场委员会会议的确切日期也不早于一年。既然我们已经定义了狄拉克过程和一些变体，我们将把它放在Protter（2010）和Bichteler（2011）视角下的随机积分，以及泊松过程，尤其是以下两个定理的上下文中。然后，我们将用第三个定理证明广义过程框架的灵活性。

前两个定理是新的，而第三个定理是已知的，但这三个定理都有助于定位狄拉克过程。定理1（不好的Bichteler-Dellacherie积分器）：Dirac过程不是Bichteler-Dellacherie（Protter，2010；Bichteler，2011）意义上的好积分器。证据不好的Bichteler-Dellacherie积分器的证明：显而易见，因为它不是一个半鞅，因为它不是一个通常的函数，即仅在R中取值。定理2（积分器积分等价性）：关于泊松过程的积分与关于时间的Dirac过程的积分不同，反之亦然。证据积分积分等价性的证明：等式8的直接结果。上面的等价定理表明，从形式上来说，我们可以选择对跳跃过程进行积分，或者在建模方面对狄拉克过程w.r.t.时间进行积分。一般来说，我们选择将狄拉克过程整合为最直接、最自然的方法。这种方法还避免了指定跳转过程是被积函数（被积分的函数）还是积分器（积分所涉及的函数）的潜在混淆。如果我们与生存过程中存在跳跃（这是风险评估过程的组成部分）的生存过程方法进行比较，这种潜在的混淆在信贷方面尤其严重。http://www.bankofengland.co.uk/publications/Pages/news/2014/119.aspxhttp://www.federalreserve.gov/monetarypolicy/fomccalendars.htmFigure5.复合狄拉克过程及其积分的探讨——复合泊松过程。定理3（积分w.r.t.Dirac过程）：关于每个Dirac delta函数asZ定义的Dirac过程的积分∞-∞g（t）dδ（t）- a） =Z∞-∞g（t）δ（t）- a） dt=-g（a）（9）定义明确。证据整合。

Dirac过程：Dirac delta函数性质的基本结果和微分下广义函数的闭包。上述三个定理用于根据标准随机积分理论定义Dirac过程的积分和Dirac过程的积分（Protter，2010；Bichteler，2011）。尽管狄拉克过程不是一个好的积分器，但它也有可能与toit进行积分。我们只是为了方便才正式这么做，但机器是通过通用功能定义的。Dirac过程的积分，而不是Dirac过程的积分，也可以通过复合Dirac过程与其积分之间的关系来说明，如图5所示。从质量上讲，各个过程的集成（而不是通过）在下面向右移动。狄拉克处理器→ 跳转处理器→ 连续过程在广义过程空间中区分布朗运动是可能的，但这在数学金融中没有被证明是普遍有用的，尽管白噪声Seydel（2012）中提到了广义过程。It^o的第一种方法（It^o，1944）通过It^o积分是衍生工具定价的主要方法。It^o后来发明了广义过程（It^o，1954；Gel’fand，1955），但这些过程之前没有在数学金融中得到普遍应用。图6。美元CDS市场规模来源于提供方预先选定的主要数据提供商的报价，至少具有最低流动性。二、Dirac过程定价在上一节中，我们定义了Dirac过程和一组变体，现在我们讨论使用这些Dirac过程对金融衍生品进行定价。我们将首先考虑对线性产品有效的确定性Dirac（尖峰）到达率，然后讨论非线性产品的随机Dirac过程。

我们将为零息票债券的期权定价，然后在风险利率设置中为CDS互换期权定价。我们之所以选择CDS互换期权，是因为它们以前在风险率设置中定价时存在问题，即使有跳跃，也很难获得足够高的隐含波动率（Jamshidian，2004年；Brigo and Mercurio，2006年；Kokholm and Nicolato，2010年；Brigo and El Bachir，2010年；Roti，2013年；Weckend，2014年；Stamm等人，2015年）。Westess表示，本文提出的模型是第一个使用Dirac过程的例子。正如有任意数量的模型可以从微分和跳跃过程中建立一样，狄拉克过程本身以及与微分和跳跃过程相结合的情况也是如此。A.CDS和CDS互换期权美元CDS市场覆盖率从2002年的约200个参考实体迅速增长到2008年的约1600个，此后保持在大致相同的规模，见图6。与任何大型银行的交易对手数量相比，覆盖范围相对较小。我们按照标准（Brigo and Mercurio，2006年）从保护和高级腿部角度对以下CDS进行解释。然而，这忽略了一个事实，即信贷保护提供了监管资本减免（BCBS-1892011），这在解释CDS利差时可能非常重要（Kenyon和Green，2013）。我们将按照（Green等人，2014年）的思路将资本定价纳入本扩展部分，以备将来使用。单名CDS互换市场几乎完全是OTC（场外交易，即定制）。历史CDS价差波动性可能非常高，且取决于水平，见图7。图中的数据供参考实体使用，这些实体拥有（几乎）完整的5年期CDS报价数据系列HBPSLVOLability HPERCENTL5Y CDS2007-2011图7。2007年年中至2011年底的历史5年期CDS相对波动率和价差的密度图，使用一年窗口对两者进行分析。

Plot将122个参考实体的数据与该时期至少99%的数据覆盖率相结合。信用证是高级信用证（SNRFOR），以美元计价，并带有XRdocument条款（最常见的类型）。平均CDS价差的波动率以百分比为单位，水平以bps为单位（每个价差取自重叠的一年期窗口）。这是一个向下倾斜的样本，至少对于CDS水平而言，因为在整个危机期间需要（几乎）完整的数据。从2007年年中到2011年底，由于危机期间许多金融（和其他）参考实体的报价枯竭，因此数据中存在显著的向下偏差。我们确实观察到，至少在历史上，较低的CDS利差并不总是意味着较低的CDS利差波动性。单个引用实体显示了各种各样的模式，这里给出了所有引用实体的摘要。市场隐含波动率可能比历史波动率高得多，尤其是考虑到CDS指数波动率，例如CDX Stamm等人（2015年）多次超过100%。请注意，这里我们关注的是单名信用，而将多名信用留给未来的研究。B.短期利率和风险率原则我们给出了独立于模型的公式，我们将在后面的章节中进行扩展。对于信用衍生品，短期利率法通常被称为风险率法。无风险（即不可违约）零息债券isP（t，t）的价格：=Ethe-RTtr（u）dui其中r（u）是短期利率。可违约的零息债券isP（t，t）：=Ethe-RTtr（u）+λ（u）dui其中λ（u）是危险率。

半违约零息债券isP（t，t，t）：=Ethe-RTtr（u）du-RTtλ（u）双半违约情况是指违约风险和贴现期限不同的情况。这不是一种（目前）交易的工具，但在下文的CDS定价中使用，是一般情况。CDS合同为参考实体提供违约保护，以换取一系列称为息票的定期付款。因此，在参考实体违约时，有一个支付1-recovery的保护段，以及一个支付优惠券的溢价段，前提是参考实体尚未违约。为了简单起见，我们将忽略应计项目，它们可以简单地添加。由于大额CDS利差是量化的，也就是说，它们只接受一组特定的标准值，任何差异都用预付费弥补。许多其他功能也被标准化，但这些细节在这里并不重要。实际上，违约并不是一个连续的过程，而是以大约一天的最小时间分辨率发生的，因此我们对保护段使用离散表达式，而不是更常见的积分形式（Brigo and Mercurio，2006）。这更准确，可以用我们已经拥有的原语来表达，即可违约债券和半可违约债券。CD市场，而不是天文数字。下面的公式与模型无关。定理4（CDS价格）：具有溢价R ISCDA，b（R）=ProtectionLega，b的保护CDS的价格[Ta，Tb]- 普雷米姆莱加，b（R）（10）=LGDdXi=c+1P（0，Ti）- P（0，Ti，Ti）-1)- RbXi=a+1αiP（0，Ti）（11），其中αi表示年份分数，[Tc，…，Td]表示[Ta，Tb]的每日分区，LGD表示损失的默认值。证据证据：溢价部分是指有条件的折扣息票支付，前提是参考实体没有违约。

这是一笔可违约债券的总额，按溢价支付比例计算。保护期限是每天的违约风险之和，贴现回零时间。C.具有确定性强度和严重性的定价本节给出了具有确定性强度和严重性的零息债券、无风险债券、可违约债券和半可违约债券的价格。在下一节中，我们将介绍随机情况和期权定价。C.1。零息债券考虑了一般确定性Dirac情况，其中我们使用s标度非均匀Dirac过程Dζ（u）：Dλ（u）=s dDζ（u）（u）给出的危险率λ（t）的不同缩写，其中s是每个尖峰的（确定性）严重性。该方程表明，危险率为零，除非它是s严重度Dirac delta函数，且过程与（速率）强度ζ（u）不均匀。很明显，假设利率短期利率没有跳跃和狄拉克过程成分，λ（u）与r（u）无关。定理5（债券：具有连续短期利率的狄拉克风险）：假设短期利率是连续的，在时间t到期的可违约零息债券在时间t的价格，单位名义利率危险率由dλ（u）=s dDζ（u）（u）给出，其中s，ζ（u）是确定性的；由以下公式得出：P（t，t）=P（t，t）expE-s- 1.ZTtζ（u）du我们将使用短期利率作为利率短期利率，风险利率作为违约率短期利率。半违约零息债券的价格由以下公式给出：P（t，t，t）=P（t，t）expE-s- 1.ZTtζ（u）du证据证明：我们将证明半违约情形，因为它更一般。由于无风险债券价格没有跳跃，半违约债券价格与之无关，与狄拉克过程和布朗过程无关。

因此：P（t，t，t）=P（t，t）Ethe-RTtλ（u）dui（12）=P（t，t）Et[e-sN（RTtζ（u）du）]（13）=P（t，t）expE-s- 1.ZTtζ（u）du（14） 其中N（RTtζ（u）du）是一个具有泊松分布的随机变量，其标度为tζ（u）du。这些方程隐含的事实是，事件的到达和严重程度可以相互交换。从Brigo和Mercurio（2006）中得出的近似值（为了现在和清楚起见），即风险率=CDS spreadLoss给定违约率（15）λ=CDSLGD（16），然后将可违约零息票债券的两个表达式p（0，t）e相等-λt=P（0，t）e（e）-s-1） νt（17），这意味着到达率ν和严重程度s之间的权衡是ν=λ1- E-s（18）图8显示了两个CD级别的权衡。这些交易对于multi-namecredit更改默认时间相关性非常重要，但由于这超出了本文的范围，我们在此不再赘述。我们现在考虑的情况是，短期利率也是狄拉克过程。在此之后，我们将考虑混合情况，其中短速率是连续过程和狄拉克过程的混合。定理6（债券：Dirac Hazard with Dirac Short Rate）：假定短期利率和风险率为图8，在时间t到期的可违约零息债券在时间t的价格，单位名义利率。对于两种CDS传播水平（200bps和400bps），使用公式18，事件到达率和严重性之间可能存在权衡，详情见正文。分别是：dr（u）=sdDζ（u）（u）+sdDζ（u）（u）（19）dλ（u）=sdDζ（u）（u）+sdDζ（u）（u）（20）由以下公式给出：P（t，t））=expE-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（21）+E-s- 1.ZTtζ（u）du（22）半违约零息债券的价格由以下公式给出：P（t，t））=expE-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（23）+E-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（24）证据。