狄拉克过程与违约风险

证据：几乎可以肯定，不同的狄拉克过程ζi（s）之间没有共同的尖峰。现在：P（t，t））=Ethe-（sN（RTtζ（u）du）+sN（RTtζ（u）du）+sN（RTtζ（u）du）+sN（RTtζ（u）du）+sN（RTtζ（u）du））i（25）每个泊松过程N(*) 是独立的，所以它们的指数是独立的，因为独立随机变量的函数保持独立，所以结果如下。半违约债券是一种直接延伸。定理7（债券：混合短期利率下的狄拉克风险）：在t时到期的可违约零息债券在t时的价格，单位名义利率，假设短期利率和风险率如定理6所示，除了无风险债券价格为：P（t，t）=PC（t，t）PD（t，t），其中PC（t，t）是连续短期利率给出的价格部分，PD（t，t）是Dirac过程给出的价格部分，由：P（t，t））=PC（t，t）exp给出E-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（26）+E-s- 1.ZTtζ（u）du（27）半违约零息债券的价格由：P（t，t））=PC（t，t）exp给出E-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（28）+E-s- 1.ZTtζ（u）du+E-s- 1.ZTtζ（u）du（29）证据。证明：连续过程和狄拉克过程之间没有相关性，因此结果遵循给定的定理6。产量和存活曲线的校准是直接的。然而，我们观察到，我们可以权衡狄拉克过程的严重性和强度，但这对价格没有影响，前提是不同狄拉克过程之间没有权衡。这可能会影响多人信用定价，但这超出了本文的范围。C.2。利率互换我们将注意力集中在利率互换（IRS）定价上，使用的是一条无风险的曲线。典型的例子是SONIA、EONIA和Fed Funds曲线分别代表英镑、欧元和美元。

多曲线定价不在本文讨论的范围内，因为本文的重点是信用卡应用。考虑到无风险贴现债券价格，IRS价格是基于方程式3和方程式4的标准价格，这使得通常的假设是，使用相同货币的现金抵押品进行完全抵押交易。为简单起见，我们选择初始保证金成本，以及任何投资组合影响。D.随机严重性定价：非线性工具为期权定价，我们需要考虑狄拉克过程中的随机强度或严重性。有许多可能的模型，我们展示了一种简单而直接的方法，即Dirac OU严重性模型。在所有模型中，关键是信息流，在这方面，狄拉克过程带来了特殊的挑战，因为它是唯一无记忆的。当没有狄拉克尖峰时，过程为零。图9。方程式31的图示显示了b=1，其中驱动程序映射到[0,1]，而b=3，其中驱动程序映射到[3/4,1]，详情见正文。这不同于以当前值存储某些状态的扩散或跳跃过程。在Diracprocess中，这些信息可以存储在许多地方，但最终会出现在尖峰强度、尖峰严重程度或两者中。这种随机的严重性或强度是由外部过程驱动的，就像跳跃过程的跳跃大小一样。示例模型：Dirac OU严重性Dirac OU严重性模型使用tanh transformedOrnstein-Uhlenbeck过程计算严重性，并确定Dirac尖峰的到达强度：严重性驱动因素dx=θ（u- x） dt+σdB（30）严重性v=tanh（x）+1。b+（b- 1） /b（31）=e2x1+e2x。b+（b- 1） /b（32）等式30意味着跃迁密度函数是解析已知的。

它是条件正态的，方差和平均值低于var（OU）（θ，σ，t）=σ1.- E-2θt2θ（33）平均值（OU）（x，u，θ，σ，t）=u1.- E-θt+ xe-θt（34）方程31是严重性驱动因素转换，这个转换[-∞, ∞] 7.→ [1 - 1/b，1]，事件的真实性如图9所示。一减去严重性，就得到了在事件中存活的概率。我们在严重性过程的事件时间内进行操作，即我们对事件之间的单位事件时间进行缩放。这是金融建模中对离散事件过程（如jumpprocess）的常见思考方式。从属项概括了事件时间的概念，该模型是一个简单的例子，因为事件之间的所有时间都具有相同的日历分布（指数分布）。在这个Dirac OU严重性模型中，严重性与强度无关，因为强度是恒定的。通过这种建模设置，我们可以通过离散严重过程的状态空间来有效定价。D.1。零息债券OREM 8（债券：Dirac OU严重风险与持续短期利率）：在时间T到期的可违约零息债券在时间T的价格，假设o短期利率是连续的；o危险率由比亚迪λ（u）=s（u）dDζ（u）（u）（35）s（u）=（tanh（x（u））+1）/2（36）dx（u）=θ（u）给出- x（u））du+σdB（37），其中ζ（u）是确定性的；由以下公式得出：P（t，t）=P（t，t）h∞Xi=0（A（I）- S） iP{N（ZTtζ（z）dz））=i}！i半违约零息债券的价格由以下公式给出：P（t，t，t）=P（t，t）h∞Xi=0（A（I）- S） iP{N（ZTtζ（z）dz）=i}！这里：A是转移矩阵；S是对角严重性矩阵；h是表示t（“此处”）状态的行向量；I是单位列向量。证据证据：我们在事件时间内操作，即事件之间有单位事件时间。因此，对于每个新事件，转换矩阵A都是常数。

在每个事件中都有违约概率，我们可以将其放在严重性矩阵S的对角线上。假设严重性由一个Ornstein-Uhlenbeck过程驱动，该过程是马尔可夫过程，因此S是常数。事件发展到新的严重程度和存活率的综合概率为a（I-S） 这也是恒定的。由于短期利率是连续的，无风险债券P（t，t）独立于可违约部分。现在，在区间（t，t）中，狄拉克事件的数量与强度和泊松分布给出的SOI无关，标度为tζ（z）dz，henceP（t，t）=P（t，t）h Eth（as）N（ζ（t-t） i（38）=P（t，t）h∞Xi=0（A（I）- S） iP{N（ZTtζ（z）dz））=i}！I（39）半违约债券价格直接如下。请注意，一般来说，只要是有效的传递度矩阵，我们就可以完全自由地选择。使用Ornstein-Uhlenbeck过程是一种简单的方法，可以生成一个参数数量很少的模型。现在，我们将使用与危险率类似的过程对短期利率进行建模。在这种情况下，严重性不需要限制为[0,1]，而是可以有任意范围。

为了一般性，我们将在范围中引入比例因子，但为了简单说明，我们不包括它。定理9（债券：Dirac OU严重性风险和混合短期利率）：在时间t到期的可违约零息票债券在时间t的价格，假设短期利率和风险率的Dirac部分由以下公式给出：dr（u）=sdDζ（u）（u）+sadDζ（u）（u）（40）dλ（u）=sdDζ（u）（u）+sbdDζ（u）（u）（u）（41）ζi6=ζj，（42）和（43）P（t，t）=PC（t，t）PD（t，t）（44），其中PC（t，t）是连续短期利率给出的价格部分，PD（t，t）是狄拉克过程给出的价格部分o三个狄拉克过程的严重性如下所示，并使用公式31进行范围变换，dxa=θa（ua）- xa）dt+σadB（45）dxb=θb（ub）- xb）dt+σbdB（46）dx=θ（u）- x） dt+σdB（47）dx=θ（u）- x） dt+σdB（48）dBidBj=δi，jdt，i，j∈ {1,2,3}（49）xi（t=0）=0 i∈ {a，b，1，2}（50）那么半违约零息债券的价格由以下公式给出：P（t，t，t）=PC（t，t）Yk∈αhk∞Xi=0（Ak（I）-k） iP{N（ZTαtζk（z）dz）=i}！I（51）α={a，b，1，2}（52）Tα={T，T，T，T}（与α连用）。（53）其中：A*是一个转移矩阵；s*是对角线严重性（信用）或变化（比率）矩阵；表示t处状态的hkarea行向量；I是单位列向量。证据证据：无风险债券的非狄拉克部分没有跳跃，因此与所有狄拉克项无关。这只是定理8的推广，所以我们只需要证明等式51中的元素是独立的。首先注意，严重程度的驱动过程与结构无关，等式49。还有方程式42 dDζi，i中的狄拉克过程∈ 1、2、3在结构上是独立的。因为我们有可违约零息债券的价格，所以我们有可违约耦合债券的价格。因为我们有半违约零息票债券的价格，所以我们有定理4中CDS的价格。D.2。

在使用上述设置的Dirac OU严重性模型中，使用Dirac过程的选项定价选项很简单，因为我们已经离散了状态空间。它进一步简化了，因为不同的驱动过程是独立的，尽管它们可能对可违约债券的信用和利率部分都有贡献。考虑定理9和等式51，债券期权的定价是显而易见的，但很长，因为我们已经有了向量u，给出了等式中的当前状态。我们在世界上所有的州都有我（one）的未来回报。因此，由于我们有依赖于国家的半违约债券价格，我们自动有依赖于国家的CDS价格，因此有期权onCDS。定理10（债券期权：狄拉克短期利率）：假设短期利率为：dr（t）=s（t）dDζ（t）（t）（54）s（t）=（tanh（x（t））+1）/2（55）dx（t）=θ（u）- x（t））dt+σdB（56）那么，在到期日为t的无风险零息债券上，行使日期为TK和行使时间为K的欧洲看涨期权的计算公式为：CallZCB（t，K，TK，t）=h∞Xi=0（A（I）- S） ）iP{N（ZTK）-ttζk（z）dz）=i}！最大值∞Xi=0（A（I）- S） ）iP{N（ZT）-TKtζk（z）dz）=i}i-K、 0！（57）t<TK<t（58）K≥ 0（59）证明。证明：A和S矩阵都是常数。上面等式57第二行中的最大值给出了一个支付向量，具体取决于世界的状态。然后，第一行将其折回到t，h行向量得到当前世界状态下的价格。定理10表明，单因素期权定价与债券定价具有相同的复杂性。

相比之下，当涉及更多因素时，期权支付会在行使日期将这些因素联系起来，并产生更高的复杂性。定理11（债券期权：Dirac OU严重风险和短期利率）：与定理9的条件相同，但我们取PC（t，t）≡ 0，半违约零息债券的欧洲看涨期权价格，行使日期为TKisCallZCB（t，K，TK，t，t）=hXiXjXkp（TK，i）p（TK，j）pa（TK，k）pb（TK，k）×XiXjXkmax（p（T- TK，i）p（T）- TK，j）pa（T）- TK，k）pb（T- TK，k）- K、 0）我（60）pα（T，i）=（Aα（i- Sα）iP{N（ZTtζβ（α）（z）dz）=i}（61）α∈ {1,2,a,b}（62）β（α）={1,2,0,0}（63）证明。这是定理10、定理4和定理11的直接推广。很明显，我们可以根据我们确定的过程和我们使用的驱动过程的不同复杂程度，对CD上的期权定价。我们可以假设（Brigo and El Bachir，2010）（基于Brigo and Mercurio（2006）），无风险利率的波动几乎没有影响，并将其建模为常数。这是在假设短期利率是连续的情况下提出的。在这种情况下，危险率与狄拉克过程没有相关性。另一方面，如果我们假设利率是狄拉克，并且存在显著的共同冲击，那么独立性的假设是错误的，并且可能存在显著的相互作用。在任何市场中，我们都可能看到大公司违约率和利率之间的显著共同跳变，而公司被认为具有结构性重大影响。同样，如果政府冲击利率，这可能会对许多公司造成冲击，造成综合风险，即生存风险。因此，如何对总体情况进行建模是一个校准和判断的问题。

为了空间的利益，我们只考虑最简单的例子来证明狄拉克过程的能力。之前很少有模型能够提供非常高的隐含波动率，约为CDS期权空间所需的100%（Stamm et al.，2015）。在这里，我们将展示基于狄拉克的模型可以提供这种水平的隐含波动性。所谓隐含波动率，我们指的是使用CDS期权市场模型（Brigo和Mercurio，2006年）从价格中支持的波动率。这些模型直接类似于利率空间中的掉期市场模型。定理12（CDS期权：Dirac OU严重风险率）：假设短期利率是确定性的，风险率与之前一样，在CDSTa上具有行使日期Tk和利率R的欧洲看涨期权，Tb具有到期日T，由以下公式给出：CallCDSa，b=h EP（0，TK）（保护法A，b（TK）- 普雷米姆莱加，b（TK，R））+其中，保护和溢价分支使用半违约债券的未来价值（T，T，T）=∞Xi=0（A（I）- S） iP{N（ZTtζ（z）dz）=i}！下划线前的IAs表示向量，上面是列向量。带下划线的运算符，即max，按元素操作。证据证明：现在P（T，T，T）是一个向量，其中的条目对应于世界的未来状态。因此，结果直接来自于半违约债券的定义和状态空间的离散。请注意，除了azero息票债券上的期权定价外，CDS上的期权定价还需要边际效应。这是状态空间离散化方法的直接结果。D.3。示例CDS互换期权定价我们现在将考虑CDS互换期权定价的示例，以说明隐含的高波动性。

我们首先非正式地注意到，CDS利差通常主要平行移动（如利率收益率曲线），除非参考实体在其CDS利差曲线反转时陷入困境。当CDS利差曲线反转时，流动性从通常流动性最高的5年期CDS合约转移到1年期CDS合约，应仔细查看较长期合约的数据，以确定其是否可靠（即可执行的可比数量）。对平行CDS曲线移动的观察表明，可能存在显著的波动性期限结构（TSOV），如图10所示。我们使用带有两个部分的分段波动TSOV，直到期权行使日期和超过该日期（σ，σ），以获得隐含波动率的CDS互换期权，如图11所示。CDS选择参数设置示例如下：ob=6，T步=1，u=0.73，σ=60%，σ=10%，θ=0.1%，回收率=40%，r=2%，强度=2.or是当前的零收益率曲线水平Tstep表示严重性驱动OU过程的事件之间发生单位事件时间，强度表示每单位日历时间预计发生两个事件。图10。通过观察CDS曲线的大部分平行移动，即1，可以得出波动率形状的期限结构/√T图11。CDS掉期期权隐含波动率微笑，以1:5的CDS掉期期权为例。该模型非常简洁，Diracpart的参数数量相对较少（六个）。三、 讨论和结论在本文中，我们将基于Dirac delta函数序列的Dirac过程引入数学金融，重点关注短期利率（利率）和风险率（信用）模型。Dirac过程提供了短速率类型的模型，其表达能力与远期速率（eitherinstantaneous，HJM，或tenor，LMM）在包含跳跃时已经具有的表达能力相同。

事实上，每一个带有跳跃的远期利率模型都隐含地定义了一个带有Dirac delta函数的短期利率模型，因为这些模型一直存在。因此，现在可以选择最合适的模型设置、短期利率、瞬时远期利率或期限远期利率，而不影响实际表现力。事实上，从工程的角度来看，混合连续过程和狄拉克过程的短速率模型是有效的，因为跳跃在质量上是多余的。我们使用Dirac过程为基本利率和单名信用产品开发了定价，包括线性（零息票债券和掉期）和非线性（期权）。用于CDS互换定价的Dirac过程表明，这种方法可能会产生较高的隐含挥发性，这与其他方法相比是一个问题（Jamshidian，2004年；Brigo and Mercurio，2006年；Kokholm and Nicolato，2010年；Brigo and El Bachir，2010年；Roti，2013年；Weckend，2014年；Stamm等人，2015年）。总的来说，一个过程Pt的微分Mt，跳跃和Dirac过程Dt可以写成：Pt=Mt+At+Dt。然而，在短期率建模中，跳跃不会增加质量上不同的行为（后积分）这一事实表明，跳跃可能是多余的，而Dirac过程扩展了短期率和风险率建模范式的表达能力。在短期利率设置中需要Dirac过程意味着远期利率和掉期利率都会出现跳跃。因此，狄拉克过程定价可能为不完全市场的检测提供了一个额外的工具。然而，这种方法只需要一个隐含的波动率类似的方法，需要整个波动率微笑到fit（即使用尾部形状信息）。