狄拉克过程与违约风险

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英文标题：
《Dirac Processes and Default Risk》
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作者：
Chris Kenyon and Andrew Green
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We introduce Dirac processes, using Dirac delta functions, for short-rate-type pricing of financial derivatives. Dirac processes add spikes to the existing building blocks of diffusions and jumps. Dirac processes are Generalized Processes, which have not been used directly before because the dollar value of non-Real numbers is meaningless. However, short-rate pricing is based on integrals so Dirac processes are natural. This integration directly implies that jumps are redundant whilst Dirac processes expand expressivity of short-rate approaches. Practically, we demonstrate that Dirac processes enable high implied volatility for CDS swaptions that has been otherwise problematic in hazard rate setups.
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中文摘要：
我们引入狄拉克过程，使用狄拉克三角函数，为金融衍生品的短期利率类型定价。狄拉克过程为扩散和跳跃的现有构造块添加了尖峰。狄拉克过程是广义过程，以前没有直接使用过，因为非实数的美元价值没有意义。然而，短期利率定价是基于积分的，所以狄拉克过程是自然的。这种整合直接意味着跳跃是多余的，而Dirac过程扩展了短速率方法的表达能力。实际上，我们证明了Dirac过程为CDS互换期权带来了高隐含波动性，而CDS互换期权在风险率设置中一直存在问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Dirac_Processes_and_Default_Risk.pdf (1.7 MB)

2022-5-8 03:21:00 上传

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关键词：违约风险 狄拉克 Quantitative Mathematical Applications

Dirac过程和违约风险Chris KENYON和ANDREW GREEN*2015年4月17日摘要我们使用Dirac delta函数引入Dirac过程，用于金融衍生品的短期利率类型定价。Dirac流程为现有的差异和跳跃构建块添加了尖峰。狄拉克过程是广义过程，以前没有直接使用过，因为非实数的多拉值是没有意义的。然而，短期利率定价是基于积分的，所以利率过程是自然的。这种整合直接意味着跳转是多余的，而dirac过程扩展了短速率方法的表达能力。实际上，我们证明了Dirac过程为CDS互换期权带来了高隐含波动性，而CDS互换期权在风险利率设置中一直存在问题。JEL分类：G12，C63。*两位作者：劳埃德银行集团，伦敦格雷沙姆街10号EC2V 7AE。免责声明：本作品中表达的观点是作者的个人观点，不一定反映当前或之前雇主的观点或政策。不保证用于任何目的。使用风险自负。致谢：作者感谢2015年PRMIA会议“CVA中当前危险率建模的局限性”与会者的反馈，以及与罗兰·斯塔姆的有益讨论。在这里，我们介绍了由狄拉克三角函数序列（狄拉克，1926；霍斯金斯，2009；Duistermaat和Kolk，2010）构建的狄拉克过程，并将其应用于金融衍生品的短期利率类型定价。Dirac过程扩展了数学金融中的构建块集，超越了Weiner和Poisson过程构建的微分和跳跃过程，还包括基于Dirac delta函数的微分和跳跃过程。

Dirac过程是广义过程的一个子集，它是It^o（It^o，1954；Gel’fand，1955）在介绍It^o引理（It^o，1944；D¨oblin，1940）大约十年后首次引入的，但之前没有直接用于数学金融。广义过程以前没有直接用于数学金融，因为不在R中的值的多拉值，例如原点处狄拉克δ函数的值，是没有意义的。然而，由于短期利率定价是基于积分的，所以广义过程，特别是我们在这里介绍的狄拉克过程，是自然的。狄拉克过程解决了短期利率定价中如何在衍生远期利率中引入跳跃的一般问题。这为短期利率型建模提供了所需的表现力，使其与长期使用跳跃的远期利率型建模处于更平等的基础上（Cont和Tankov，2003；Eberlein，Jacod和Sch¨onbucher，2006；Jiang和Yan，2009；Crosby，2008；Peng和Kou，2008）。对于一个特定的例子，我们展示了如何在信用违约掉期期权（CDS掉期期权）中获得高隐含波动率，这在风险率模型中是有问题的（Jamshidian，2004年；Brigo和Mercurio，2006年；Kokholm和Nicolato，2010年；Brigo和El Bachir，2010年；Roti，2013年；Weckend，2014年；Stamm，Gallagher和Lichters，2015年）。危机前的利率建模是由对混合型和异类定价的需求推动的，这导致了对期限远期利率模型的重视，如SABR（Hagan、Kumar、Lesniewski和Woodward，2002）和基于利维的模型（Eberlein等人，2006）。在信贷领域，重点放在结构性信贷（Brigo、Pallavicini和Torresetti，2010年）和基于前瞻性的模型上（Peng和Kou，2008年）。单名信用建模在很大程度上采用短期利率法（Brigo and Mercurio，2006）。

危机后，融资和信贷成本以及监管资本成本推动了估值调整的快速发展，这些调整被统称为XVA（Kenyon and Stamm，2012；Green，Kenyon and Dennis，2014；Green，2015；Stammet al.，2015）和XVA交易台，作为共同定价和管理交易对手净额设置的需要的一部分，主要基于蒙特卡罗技术。这让短期利率和HJM模型重新成为利率关注的焦点。我们在这里开发的Dirac过程通过向前速度的跳跃和可控微笑，从根本上扩展了短速率和危险速率方法的表现力。它们同样适用于大宗商品。对CDS定价中的风险率使用狄拉克过程意味着参考实体的生存概率从一天跳到下一天。鉴于referenceentity通常只会因未能付款而违约，这提供了一个明确的模型。例如，如图1所示，它可能必须在给定日期赎回债券，即偿还名义金额，但在日期范围内没有可比的付款。实际上，参考实体指出，均值回复过程既不是L’evy过程，也不是Sato过程（Applebaum，2004；Sato，2013），但可以从中构建（Schoutens和Carriboni，2009；Kokholm和Nicolato，2010）。图1。参考实体示例：已知债券利息和本金还款以及可能的融资还款。在特定赎回日期（或前一个周末）之外，违约可能性不大。可能会在每次付款前的前一个星期六违约，但在日期范围内没有其他重大违约可能性。因此，结合Dirac过程的危险率建模捕捉到了实际相关的动态。

此外，虽然CDS交易员可能会关注标准化CDS合同，根据定义，所有CDS合同每年只在四个日期到期（IMMdates，Markit（2009）），但一般来说，信贷定价，例如CVA或XVA（Kenyon和Stamm，2012；Stamm等人，2015；Green，2015）需要任意日期。从计量经济学角度来看，利率出现了跳跃（Das，2002；Johannes，2004；Piazzesi，2005），而具有跳跃的远期利率模型也很常见（Jiang和Yan，2009）。关于跳跃式利率期权的定价（Cont和Tankov，2003）和一般（L’evy）方法在远期利率领域有广泛的文献（Eberlein等人，2006）。然而，如果没有dirac过程，在短期利率设置中就无法产生远期利率或互换期权价格的跳跃。衍生工具定价中使用的大多数随机过程都是由布朗运动（连续）和跳跃过程（不连续，即泊松过程）组合而成。这些可以被描述为良好的积分器，Bichteler-Dellacherie定理（Protter，2010；Bichteler，2011）证明了这些积分器等价于半鞅。然而，Dirac过程逃避了Bichteler-Dellacherie定理和半鞅的定义，因为虽然Dirac过程是适应的，但它们不是c\'adl\'ag，也不是只在R中取值。相反，Dirac过程是l\'edc（limites\'egale deux c^ot\'es），而混合Dirac跳跃过程是，当至少一个跳跃与一个Diracδ函数重合时，ladc（双重限制）。一项相关但截然不同的研究涉及It^o微积分的函数扩展（Cont和Fournie，2010）。广义函数有其局限性，例如，尽管存在方法，但没有一种公认的方法来处理两个广义函数的乘法（Colombeau，1992；Grosser，1999）。

出于我们的目的，我们将始终使用Dirac delta函数的积分，因此这不是一个明显的限制。我们推迟了狄拉克过程的进一步理论定位及其实际应用，直到我们定义了它们。本文的第一个主要贡献是引入了短期利率定价的Dirac过程，将数学金融扩展到了差异和跳跃之外，以包括基于Dirac delta函数的尖峰。第二个主要贡献是展示了Dirac过程如何用于衍生品定价，包括对表现出高波动性的CDS互换期权进行定价。第三个贡献是从单一隐含波动率中检测不完整市场的可能性，而不是隐含波动率微笑。本文的结构如下：第一部分从短期利率定价中的Dirac过程入手，介绍了Dirac过程，然后回顾了Dirac delta函数的性质；然后我们定义Dirac过程，并描述一些（许多）可以用作构建块的方法。本文的第二部分讨论了利率衍生工具和单名信用衍生工具的定价，即为隐含波动率较高的CDS互换期权定价。最后我们讨论我们的结果并得出结论。I.Dirac过程我们首先从短期利率类型定价开始推动Dirac过程的发明，然后回顾Dirac delta函数的特征，然后定义Dirac过程及其与广义过程和随机积分的更广泛类别的关系。假设狄拉克过程是一个积木，与布朗运动或泊松过程类似，可以用任意数量的方法来构建。同样，没有必要单独使用狄拉克过程，但它们可以与微分和跳跃相结合。

我们将介绍一组基本的构造，这些构造绝非详尽无遗，但其中一些用于下一节关于狄拉克过程的导数定价。A.动机考虑无风险零息票债券P（t，t）的价格，在t到期时，利率采用短期利率法建模：P（t，t）=EQthe-RTtr（s）dsi（1）r（t）是短期利率，即即时即期利率。Q是我们假设存在的风险中性度量，EQT是关于可用信息的预期，包括t（即t处的适当过滤），并使用Q。从等式1中，我们看到只有图2。过程（虚线）及其积分（连续线）：（LHS）连续过程；和（RHS）跳跃过程。短期利率的积分是相关的，对于价格为：P（t，t）=Iτ>tEQthe的可违约债券P也是如此-RTtr（s）+λ（s）dsi（2），其中危险率由λ（t）给出，参考实体的默认时间为τ，Iτ>参考实体存活的指示函数。同样，只有危险率的积分是相关的。一般来说，可观察和可交易的资产只使用短期利率和危险利率的积分。假设我们想要改变这些债券价格的波动性，我们必须改变短期利率和风险率的波动性。从工程的角度考虑图2和这个问题：在短期利率中引入跳跃过程对决定价格的短期利率（或风险率）的积分有什么影响。

我们观察到，引入跳跃过程对质量没有显著影响：短期利率的积分保持连续。引入了一个不可微分点（没有广义函数），但如果短速率是基于布朗运动的，而布朗运动在任何地方都是不可微分的（没有广义过程），那么这不是一个定性的差异。显然，而且（回顾过去）很明显，从工程的角度来看，在短速率过程中增加跳跃对于获得质量上不同的挥发性行为是没有用的。如果我们在图2中的连续过程中加入一个单位位移的狄拉克-德尔塔函数，我们可以观察到积分中的ajump，如图3所示。因此，我们得到了短期利率积分的不同性质。因此，基于Dirac delta函数的过程是构建积分中定性不同波动性的合适工程解决方案。暂时忽略危机后利率的多曲线性质（Kenyon，2010年；Mercurio，2010年；Moreni和Pallavicini，2014年），考虑一个确定的远期利率期限，我们有时使用短期利率作为方法，包括任何资产类别，有时也包括利率——这应该从上下文中明确。图3。单位位移Dirac delta函数（虚线，包括t=1处的垂直截面延伸到单位，但在图中被截断）和积分（连续线）到Tde的连续过程定义为：t- TE-RTTr（s）ds- 1.（3） 我们看到，短波率中的狄拉克δ函数也会在前进速度中产生跳跃，否则，仅使用微分和跳跃过程是不可能的。

现在，如果我们采用Kenyon（2010）中的贴现和期限短期利率方法（而不是inKenyon和Stamm（2012）中的贴现加利差版本），则远期利率协议的价格为f（t，t，t）=EQtE-RTTR折扣（s）dsT- TE-RTTrtenor（s）ds- 1.（4） 其中，“贴现”表示使用贴现短期利率，“期限”表示使用期限贴现利率，例如，三个月期的美元Xibor。Xibor利率动态的跳跃可能出现在贴现率、期限或两者中。例如，在石油远期（Brigo、Chourdakis和Bakkar，2008年）中，可以使用折扣和便利收益率对商品远期利率进行直接类似的设置，从而在那里引入跳跃。现在让我们转向默认时间。考虑图1，它显示了一个债券本金和利息的支付计划示例。在短期内，比如说在这个例子中长达六个月的时间内，有许多已知的还款，但此后就更少了。一般来说，这种模式并不意味着参考实体无债务，而只是债务融资尚未安排。因此，我们既有确定性时间与随机事件结果（违约与否）的混合，也有随机事件时间与结果的区域。许多参考实体共享这种已知和不确定事件的模式。关键的一点是，在头六个月内，违约不太可能超过还款日期（以及非主权借款人之前的周末）。大型实体的大多数违约是流动性违约（即未能融资），而不是破产违约（由审计师声明）。这种事件类型的混合可以使用aDirac过程建模，该过程具有混合的确定性和随机事件到达。图4。逼近狄拉克三角函数（LHS）及其导数的函数序列，即Heaviside函数（RHS）。B

Dirac delta函数为了方便起见，我们在此提供了Dirac delta函数的基本细节（Arfken，2012；Hoskins，2009；Duistermaat and Kolk，2010）。Dirac delta函数最早以现代形式引入量子力学（Dirac，1926），并广泛应用于物理学（偏微分方程、格林函数、傅立叶分析、Arfken（2012））。Dirac delta函数是广义函数的一个例子（Hoskins，2009），也称为分布（Duistermatand Kolk，2010）。基于分布的严格数学处理在1950年建立，并在1980年代末扩展到代数（即处理广义函数的乘法）（Colombeau，1992；Grosser，1999）。理论上，广义函数可以被视为微分Duistermaat和Kolk（2010）下的UsualFunction（即R值函数）空间的最小闭包。它们不是普通函数，因为它们的性质通常只能在它们对其他函数（称为测试函数）的影响的上下文中理解，或者在集成以创建普通函数时理解。狄拉克δ函数可以看作是一系列函数的极限：fk（t- （a）=1/k a≤ T≤ a+k0其他情况下，特定的函数序列不是唯一的，许多其他序列是可能的（如图4），但极限的性质在适当意义上是唯一的（Hoskins，2009；Duistermatand Kolk，2010），例如在测试函数的宇宙中，它们的行为。现在积分是常数，即：Ik=Z∞fk（t）- a） dt=Za+kakdt=1（5）这个词重复使用了概率中的单词，有一些重叠。因此，狄拉克δ函数可以定义为：δ（t- a） =limk→0fk（t）- a） （6）显然这不是一个常见的功能。