比例风险下货币模型中的期权定价与套期保值博弈

（4.16）结合（4.15）和（4.16），然后给出最大χ∈Xmax（P，S）∈π（χ）∧σ） EP（（Hσ·S）χ∧σ） =最大χ∈Xmax（P，S）∈π（χ）∧σ） EP（（Qσ·Sσ）∧·)χ） 5数值例子本节给出了三个数值例子。第一个是一个玩具示例，用于说明第3节中的构造。第二个例子说明了定理3.8，并作为Kifer（2013b）定理3.1的最小反例。最后一个例子具有更现实的风格。例5.1。图1给出了二元两步两阶段模型中的博弈选项（Y，X，X′）。该模型是重组的，ha s transactio ncosts只在时间1的节点u上运行，该选项与路径无关，在时间2没有取消惩罚。让我们使用第3.5节的内容为卖方找到一套对冲基金。克利里扎乌=x、 x∈ R:16x+x≥ 9,扎德=x、 x∈ R:10x+x≥ 4.,扎德=x、 x个∈ R:4x+x≥ 0Wau=Zauu∩ 扎扎乌扎德-XXWAU=Ku的沃洛尔边界-第二十五条∩ 尤--3xxVau∩ 友绍祖=沃∩ 尤∪ Xau^y-3.-XXX图2:Wau，Vau，Vau∩ Yau，Zauand^y，示例5.1时间t=2。对于时间t=1，考虑节点u，我们得到Waufrom（3.5′）和Vaufrom（3.6）；这两个过程如图2所示。请注意，该节点的交易成本的大小意味着Wau+Ku=Wau，其中Vau=Wau。下一步是计算Zaufrom（3.7）。如图2所示，这可以通过找到Vauan和Yau Fi-stand的交叉点，然后与Xau联合完成。Zauis的非凸性是由于交易成本的大小和该节点的支付形状。在no de d上的类似考虑给出了thatZad=Xad=x、 x: 6x+x≥ 1.. （5.1）最后，按照时间t=0的相同步骤，得到图3所示的portfoliosWa、Va和Za的集合。

两种货币的ga me期权的要价是ZA下边界与轴的交点，因此可以直接从图3中的最终g图中读取，即πa（Y，X，X′）=，πa（Y，X，X′）=4。现在考虑一下买方的情况。在备注3.3中，注意(-十、-Y-X′）满足定义3.1的条件，即使某些支付组合没有偿付能力，例如，- X=（0，-5) /∈ K.ZauZadWa=Zau∩ 扎德o^y-3.-1.-5×KWaVa的下边界=Wa+Ko^y=^y-3.-1.-5xyAvava∩ Ya=Vao^y-4xxVa∩ 雅克萨=弗吉尼亚州∩ Ya=Vao^yxx图3:Wa，Va，Va∩ Ya，Zaand^y，示例5.1施工3.14和类似计算，如Seller的yieldZbuu案例=x、 x∈ R:16x+x≥ -9,Zbud=Zbdu=x、 x∈ R:10x+x≥ -4.,Zbdd=x、 x∈ R:4x+x≥ 0,Zbu=x、 x∈ R:16x+x≥ -4，8x+x≥ -4.,Zbd=x、 x∈ R:6x+x≥ -1.,Zb=x、 x∈ R:6x+x≥ -连同投标价格πb（Y，X，X′）=，πb（Y，X，X′）=。让我们使用Construction 3.16从初始值ˇy为场景uu中的买方找到一个最优套期保值策略（ˇτ，ˇy）：=0, -. 很明显/∈ Xb=Kand soˇτ>0。如图5.1所示，Wb∩ [ˇy- K]=-,所以=-,到（3.14）。观察这些/∈ Xbu=x、 x∈ R:16x+x≥ -3，8x+x≥ -3.,换句话说，τ（uu）>1，我们继续选择ˇyu。图5.1也显示了WBU∩ [ˇy- Ku]=公司内华达州ˇy，-,,-,, (0, -4),Wbˇy- Koˇyoˇy--1.-xxWbuˇy- 库伊--4.----xxFigure 4:ˇyandˇy，示例5.1π=13π=y=(-20,1）X=(-15,1）π=π=12Y=X=（0,0）uπ=π=9Y=X=（0,0）图5：二进制单步两货币模型中的博弈选项，例如5.2，在选择ˇyu时有一定的自由度。事实上WBU∩ [ˇy- [Ku] Xbuu=x、 x∈ R:16x+x≥ -9,这意味着你的每一个选择∈ Wbu∩[ˇy- Ku]将使买方能够在节点uu的时间2行使该选项，并保持（或返回）一个解算位置。

同样清楚的是，τ（uu）=2。回到卖方，可以直接使用Construction 3.11为卖方创建一个最佳对冲策略（^σ，^y），从初始捐赠^y:=（0,4）开始。从图3可以明显看出^y/∈ Xa（和so^σ>0），以及alsothatWa∩[^y]- K] ={（0，4）}={^y}，所以在（3.10）之前，我们必须选择^y:=^y。图2和（5.1）显示了^y/∈ Xa和s o^σ=1。这意味着，如果卖方遵循（^σ，^y）和买方遵循（ˇτ，ˇy），那么在场景uu中，该选项将在节点u处取消（但未行使），此时卖方将（0，4）交付给买方。例5.2。图5展示了二进制单步两货币模型中的一个游戏选项（Y，X，Y）。隐含假设X′=Y在博弈期权文献中是常规的（参见备注3.2）。还请注意，尽管YNRE或Xare溶剂均不存在，但该选项满足定义3.1（参见备注3.3）。卖方可能会在时间0时取消期权，因为在时间0时向买方交付XT实际上与收到Portfolio（15，-1） ，卖方可以立即将其转换为15- π=2>0Za-15-2 25 84-7.-xxz-15-2.-7.-xxFigure 6:Za和z，示例5.2货币单位1。如果买方在时间0时交货，那么卖方处于更好的位置，因为-同样地，Y也可以被转换成7个货币单位。将Construction 3.5应用于此选项，可获得图6中显示的设置。早期πa（Y，X，Y）=-2，这意味着时间0的取消对卖方来说确实是最佳的。

Kifer（2013b）的定理3.2（i）构造了一个函数z，也如图6所示，并给出了ask pr ice asz（0）=-2=πa（Y，X，Y）。注：Zat是z的题词，反映在x=x线周围；换言之，扎德将成为扎德的警句，因为货币被不同程度地贬值。我们将比较上面定理3.8和Kifer（2013b）定理3.1中πa（Y，X，Y）的对偶表示。该模型只有两个停止时间，0和1，因此可以轻松直接地完成。也要注意这个问题*= 锥{（1,10）、（1,13）}，K*u=cone{（1，12）} K*,K*d=cone{（1，9）}。这意味着（参见定义2.4）该地产（P，S）=PS、 S∈\'P（χ）等于toP（u）≥, P（d）=1- P（u）≥ 0，加上S=S=1，10≤ s≤ 13，S（u）=12，S（d）=9。对于T heorem 3.8中πa（Y，X，Y）的表示，第一个σ=0。预测χ∈ X和（P，S）∈\'-P（χ∧ 我们有（Q0··S0）∧·)χ= χ*X·S+χY·S=-5χ- 15+S，最大χ∈Xmax（P，S）∈\'-P（χ∧0）EP（（Q0··S0）∧·)χ） =最大值{-5χ- 15+S:χ∈ [0,1]，S∈ [10, 13]} = -2.类似地，对于σ=1，（Q1··S1∧·)χ=χY·S+χ*X·S+χY·S=χ（S）- 20） 和somaxχ∈Xmax（P，S）∈\'-P（χ∧1） EP（（Q1··S1）∧·)χ） =max{χ（S）- 20) : χ∈ [0,1]，S∈ [10, 13]} = 0. （5.2）最后，最小σ∈Tmaxχ∈Xmax（P，S）∈\'-P（χ∧σ） EP（（Qσ·Sσ）∧·)χ） =分钟{-2, 0} = -2=πa（Y，X，Y）如预期。现在转向基弗（2013b）定理3.1中的双对数表示。它可以用符号asVa写成：=minσ∈Tmaxχ∈Xmax（P，S）∈P（χ）EP（（Qσ·S）χ），其中（Qσ·S）χ=σXt=0χtYt·St+TXt=σ+1χtXσ·Stand T=1。

对于σ=1，计算（5.2）得出最大值χ∈Xmax（P，S）∈\'P（χ）EP（（Q1··S）χ）=最大χ∈Xmax（P，S）∈\'-P（χ∧1） EP（（Q1··S1）∧·)χ) = 0.对于σ=0和每个χ∈ X和（P，S）∈我们有（Qσ·S）χ=χY·S+χX·S=χ（S）- 5) + (1 - χ） S- 15，所以ep（（Q0··S）χ）=χ（S）- 5) + (1 - χ） （3P（u）+9）- 15.这意味着Maxχ∈Xmax（P，S）∈P（χ）EP（（Q0··S）χ）=max{χ（S）- 5) + (1 - χ） （3P（u）+9）- 15: χ∈ [0,1]，S∈ [10,13]，P（u）∈ [, 1]} = -3.最后，Va=min{0，-3} = -3 6=πa（Y，X，Y），这表明vai不是πa（Y，X，Y）的正确对偶表示。例5.3。考虑一个三货币模型，其T步和时间范围为1，基于两资产重组的K-orn-Muller模型（Korn&M–Uller 2009），并采用Cholesky分解，即无摩擦汇率，按照流程（St）Tt=0重新建模，其中=εtSt-1，εtSt-1, 1对于t=1，Tand（εt）Tt=1=εt，εtTt=1是一系列独立的同分布随机变量，取E-σ-σ√, E-σ-(ρ+√1.-ρ)σ√,E-σ-σ√, E-σ-(ρ-√1.-ρ)σ√,E-σ+σ√, E-σ+(ρ-√1.-ρ)σ√,E-σ+σ√, E-σ+(ρ+√1.-ρ)σ√,每个都有正概率，其中 :=这是步长。具有交易成本的交换被建模为πijt:=（SjtSit（1+k）如果i6=j，如果i=j，则为1，对于i，j=1，3和t≤ T，k在哪里∈ [0,1]我们采取S、 S= (40, 50) , σ= 0.15, σ= 0.1, ρ = 0.5.考虑一个游戏看跌期权，实物交割在一个篮子上，每个篮子包含1和2种货币的一个单位，并且在货币3中有K点，即Yt=(-1.-1，K）对于t=0，T.取消时，卖方将上述付款连同取消罚款p交付给买方≥ 货币3中的0，因此xt=X′t=(-1.-1，K+p）对于t=0。

，T.我们考虑到卖方可能选择不取消期权，而买方可能选择不行使期权，通过增加额外的时间步长T+1和tak ingYT+1=XT+1=X′T+1=（0,0,0）。除并集外，构造3.5和3.14中的操作，即多面体圆锥体的相交和直接相加，在应用于多面体时是标准的几何过程，可以使用现有的软件库实现。这两种操作都是保持并集的，并且poly he dra的并集的扩展是直截了当的。下面的数值结果是使用Maple和凸包生成的（Franz 2009）。表1包含一系列履约价格的违约金p=5的篮子货币3的买入价和卖出价。买卖价格均随k=0 k=0.005Kπbπaπbπa100 10.043290 11.033942 9.568590 11.68774995 5.266479 6.817389 4.706543 7.48002890.967824 2.774598 0.367975 3.42379885而上涨-2.934360-1.091048-3.587214-0.44470880-6.910514-5.131149-7.584034-4.614029表1：N=10、p=5和不同击数K的游戏篮子看跌期权的买卖价格，例5.3k=0 k=0.005pπbπaπbπa0 10.000000 10.0000009.550000 10.44776110.014709 10.278348 9.556726 10.7909102 10.027095 10.497310 9.562075 11.0513515 10.043290 11.033942 9.568590 11.68774910 10 10.050958 11.571319.5718512.29791320 10.052026 11.7921 9.572414 12.57722110.058110.057美式选项板：竞价和竞价盘，K=100和不同的处罚，例如5.3罢工。注意负面出价和要价的出现（即K<S+S=90）。

这是因为卖方可以随时取消期权，当期权远远超出资金范围时，取消期权往往对卖方具有特别大的吸引力（对买方来说成本非常高）；例如，如果K=80，那么从卖方的角度来看，在时间0时取消期权相当于从买方处收到篮子，并以货币3支付K+p=85，这低于基础设施的市场价格S+S=90（忽略交易成本）。表2列出了罢工k=100且罚款金额范围较大的g ame bas ket看跌期权的买入价和卖出价，以及相同罢工的美国篮子看跌期权的买入价和卖出价（使用Roux&Zastawniak（2015）的构造）。在实践中，罚金较大的博弈期权类似于美式期权（因为罚金较大会降低卖方提前取消期权的吸引力），这就解释了随着收益率的增加，博弈期权的买入价和卖出价与美式期权的买入价和卖出价趋同的原因。参考Baxter，S.和Chac on，R.（1977），《时代的紧凑性》，泽茨里夫-沃尔·谢因利克斯基茨理论和维尔旺特·格比特40169–181。Bensaid，B.，Lesne，J.-P.，Pag`es，H.&Scheinkman，J.（1992），“具有交易成本的衍生资产定价”，数学金融2,6 3–86。Bielecki，T.R.，Cr\'epey，S.，Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.（2008），“适用于可转换债券的可违约博弈期权套利定价”，量化金融8（8），795-810。Chalasani，P.和Jha，S.（20 01），“随机停站时间和交易成本下的美国无期权定价”，数学金融11（1），33–77。Dolinsky，Y.（2013），“存在交易成本的博弈期权对冲”，《应用概率年鉴》23（6），221 2–2237。F–ollmer，H.和Schied，A。

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