比例风险下货币模型中的期权定价与套期保值博弈

由于没有这样的偿付能力要求，因此很容易适应买方的情况，在这种情况下，支付往往是“负的”，因为它们对应于收到的投资组合，而不是交付的投资组合。典型案例如例5.1和5.2.3.1所示。卖方博弈期权（Y，X，X′）的卖方套期保值策略的定价和套期保值包括取消时间σ和自融资交易策略，允许卖方在买方选择的任何行使时间无损失地交付支付。定义3.4（卖方的对冲策略）。卖方的套期保值策略是一对（σ，y）∈ T×Φs满足σ∧τ- Qστ∈ Kσ∧τ代表所有τ∈ T（3.3）卖方至少存在一种套期保值策略。事实上，fi xingi=1，d和定义m:=最大值dXj=1πijt（ω）max{Yjt（ω）|，|Xjt（ω）|，|X′jt（ω）| t=0，T、 ω∈ Ohm,（可能昂贵的）买入并持有策略y=（yt）Tt=0，yt=meifort=0，T通过任何取消时间σ的选择为卖方对冲g ame期权∈ T现在考虑以下构造。建筑3.5。构造适应集值映射（Yat）Tt=0，（Xat）Tt=0，（Uat）Tt=0，（Vat）Tt=0，（Wat）Tt=0，（Zat）Tt=0，如下所示。对于所有t=0，T letYat:=Yt+Kt，Xat:=（X′T+KTif T=T，Xt+KTif T<T.（3.4）定义：=VaT:=LT，ZaT:=Xat。对于t=t- 1.0通过反向迭代定义wat:=Zat+1∩ Lt，（3.5）增值税：=Wat+Kt，（3.6）Zat:=Vat∩ （一）∪ Xat。（3.7）对于每个t=0，T，集合是指在买方在时间T行使且卖方未在时间T取消期权的情况下，允许卖方结算期权的交易组合。集合是指允许卖方在时间T取消期权时结算期权的交易组合，无论买方是否在时间T行使。

属性（3.2）给出thatXat=（Xt+Kt）∩ （X′t+Kt）表示t<t。XaT=X′t+Kt的关系源自这样一个事实，即在最后时刻t的任何癌变都必须通过同时运动来匹配。下面的结果表明，Za是一组初始恩赐，允许卖方在3.6上对冲博弈期权。我们为卖方提供了{y:（σ，y）对冲（y，X，X′）。（3.8）提案证明N3.6（见第4节）表明，对于每个t<t，Vat、WAT和Zathave自然解释对期权卖方很重要。set Wat由时间t的投资组合组成，允许卖方在未来（时间t+1或更晚）对冲期权，VAT由时间t重新平衡为Wat投资组合的投资组合组成。set ZAT考虑所有投资组合，允许卖方在时间t或未来任何时间结算期权，且无损失风险。构造3.5本质上是在汇率生成的价格树节点上的迭代（时间上向后）；特别注意（3.5）可以等效地写为waut:=\\ν∈成功的uZaνt+1∈ Ohmt、 （3.5′）这种性质使得构建重组模型特别有效，对于重组模型，尽管状态空间呈指数增长，但节点的数量仅与模型中的步数呈多项式增长。构造3.5中的集合Xat和Yatin显然是多面体l，对于所有t=0，还有增值税、瓦特税和扎特税。构造3.5中的操作是（3.4）和（3.6）中多面体圆锥体的直接加法，以及（3.5）和（3.7）中的相交和并集。（3.7）中的并集的出现意味着对于某些t<t，集合Vat、WAT和ZATMA可能是非凸的。

然而，很明显，这些集合可以写成非空（闭合）多面体的有限并集，因此是闭合的。特别是，Za的封闭性对于下面的定理3.10至关重要。以任何货币表示的游戏期权的要价被定义为在该货币的初始捐赠中，允许卖方在没有风险的情况下对冲游戏期权。定义3.7（要价）。以货币i=1表示，在时间0时博弈期权（Y，X，X′）的要价或卖方价格或上限价格，d是πai（Y，X，X′）=inf{z∈ R：（σ，y）∈ T×Φ，y=Z边（y，X，X′）表示序列r}。卖方存在买入并持有策略，这意味着askprice的定义非常明确。现在，我们给出了随机停止时间和近似鞅对的询问价格的对偶表示。定理3.8。博弈期权（Y，X，X′）的要价，以货币i=1，d是πai（Y，X，X′）=minσ∈Tmaxχ∈Xsup（P，S）∈Pi（χ∧σ） EP（（Qσ·Sσ）∧·)χ） =最小σ∈Tmaxχ∈Xmax（P，S）∈π（χ）∧σ） EP（（Qσ·Sσ）∧·)χ） 其中Qσ·Sσ∧·表示过程（Qσt·Sσ∧t） Tt=0，换句话说，（Qσ·Sσ）∧·)χ=σ-1Xt=0χtYt·St+χ*σ+1Xσ·Sσ+χσX′σ·Sσ。Theo rem 3.8的证明见第4节。备注3.9。Kifer（2013b，Theor em 3.1）在一个双货币模型中获得了一个类似的博弈选项（Y，X，Y）的对偶表示，该模型不具有运行停止时间χ∧ σ和停止的进程Sσ∧·, 而不是χ和S。例5.2表明，这些对偶表示在总体上并不等价，定理3.8中的表示确实是正确的。这两种表述之间差异的原因可以用以下方式直观地解释。

定理3.8的证明取决于这样一个事实：一对（σ，y）对冲卖方的博弈期权，当且仅当卖方的美式期权具有支付过程Hσ（定义见（4.1））和随机到期日σ。相比之下，Kifer（2013b）定理3.1的证明声称，（σ，y）为卖方对冲博弈期权（y，X，y），并且仅当y通过支付过程对冲美式期权时QY，X，YσtTt=0，卖方的采购日期T（而非σ）。这种说法在gene ral中并不成立，因为对这种美式期权进行套期保值需要卖方能够在{σ>t}的任何时间t，换句话说，在期权已经被取消之后，在{σ>t}上交付Qσt=Xσ。如例5.2所示，当交易成本在时间σ和/或Xσ为无偿付能力投资组合时，非等价性最容易被注意到。回到计算博弈期权的要价的问题，下面的结果是命题3.6和ZA的封闭性的直接结果。定理3.10。我们有πai（Y，X，X′）=min{X∈ R:xei∈ Za}。（3.9）此外，卖方存在一种对冲策略（^σ，^y），使得^y=πai（y，X，X′）ei。如果卖方的套期保值策略（σ，y）满足定理3.10中的性质，则称为最优。构建这种策略的程序可以从命题3.6的证明中提取出来。建筑3.11。为卖方构建一个最优策略（^σ，^y），如下所示。设^y:=πai（y，X，X′）ei。对于每个t=0，T-1和u∈ Ohmt、 如果^yut∈ Zaut\\Xaut，然后选择任意^yut+1∈ Waut∩ [^yut- Kut]，（3.10）否则将^yut+1:=^yut。还定义了^σ：=最小{t:^yt∈ Xat}。一般来说，卖方的最优策略不是唯一的；这反映在选项（3.10）中。

在实践中，卖方可能会使用次要考虑因素，例如持有某些货币的偏好，或二级套期保值标准的最优性，来指导合适的最优套期保值策略的构建。第5.3.2节“买方的定价和套期保值”中给出了两个玩具示例，说明了构造3.5和3.11以及定理3.8，以及第三个更具现实意义的示例。现在，关于博弈期权（Y，X，X′）买方的套期保值、定价和最佳行使问题。定义3.12（买方的Hedg策略）。买方的套期保值策略是一对（τ，y）∈ T×Φ满足σ∧τ+Qστ∈ Kσ∧所有σ的τ∈ T，（3.11），其中支付过程Q在（3.1）中定义。从（3.1）中观察到qστ=QY，X，X′στ=-Q-十、-Y-所有σ的X′τσ，τ∈ T，（3.12），而且从（3.2）可以看出，对于所有的T=0，T-Yt- (-X′t）=X′t- Yt∈ Kt，-X\'t- (-Xt）=Xt- X\'t∈ Kt。因此，如果（Y，X，X′）是博弈期权的报酬，那么它也是(-十、-Y-X′），和（3.11）是等效的τ∧σ- Q-十、-Y-X′τσ∈ Kτ∧σ代表所有σ∈ T因此，我们得出以下结果。3.13的提议。一对（τ，y）∈ T×Φ为买方对冲博弈期权（Y，X，X′），当且仅当（τ，Y）对冲博弈期权(-十、-Y-X′）表示卖方。这种对称性意味着前一小节中针对卖方案例开发的结果和结构也可以应用于买方的套期保值和定价问题，从而实现Kifer的索赔（2013b，第6 79-80页）。特别是，如果Yatand Xatin（3.4）重新定义，以考虑到现在的选择，可以直接应用构造3.5(-十、-Y-而不是（Y，X，X′）。由此产生的解释如下。建筑3.14。对于所有致命的：-Xt+Kt，Xbt:=(-X′T+k如果T=T，-如果t<t.defi neWbT:=VbT:=LT，ZbT:=XbT。对于t=t- 1.

，0 letWbt:=Zbt+1∩ Lt，Vbt:=Wbt+Kbt，Zbt:=（Vbt）∩ （Ybt）∪ Xbt。直接从定理3.6得出，Zb是允许买方对冲期权的初始捐赠集，即Zb={z:（τ，y）∈ T×Φ，y=Z边（y，X，X′）用于买方}。任何货币的博弈期权的买入价是买方在时间0时通过期权支付作为担保而以该货币筹集的最大金额。定义3.15（投标价格）。货币i=1的博弈期权（Y，X，X′）的买入价或较低套期保值价或买方价格，d定义为πbi（Y，X，X′）：=sup{-z:（τ，y）∈ T×Φ，y=zeisup（y，X，X′）用于买方}。命题3.13和构造3.14给出πbi（Y，X，X′）=-πai(-十、-Y-X′）=-infz:zei∈ Zb. （3.13）如果y=-πbi（Y，X，X′）ei。最佳套期保值策略可以通过重写结构3.11生成，如下所示。建筑3。16.为买方构建一个最优策略（ˇτ，ˇy），如下所示。让ˇy:=-πbi（Y，X，X′）ei。对于每个t=0，T-1和u∈ Ohmt、 如果yut∈ Zbut\\Xbut，然后选择一个nyˇyut+1∈ Wbut∩[ˇyut- Kut]，（3.14）否则将ˇyut+1:=ˇyut。同时确定ˇτ：=mint:嗯∈ Xbt.第5节给出了说明结构3.14和3.16的玩具示例。它表明，卖方的最佳取消时间^σ和买方的最佳行使时间^τ一般不相同，这些时间也可能不同于停止时间^σ∧ ˇτ支付期权报酬的时间。最后，将定理3.8与（3.12）和（3.13）结合，立即给出投标价格的以下双重表示。定理3.17。

我们有πbi（Y，X，X′）=maxτ∈Tminχ∈Xinf（P，S）∈Pi（χ∧τ）EP（（Q·τ·S）·∧τ） χ）=maxτ∈Tminχ∈Xmin（P，S）∈π（χ）∧τ）EP（（Q·τ·S）·∧τ） χ），其中Q·τ·S·∧τ表示过程（QY，X，X′sτ·Ss∧τ） Ts=0，即（Q·τ·S）·∧τ)χ=τ -1Xs=0χsXs·Ss+χ*τ+1Yτ·Sτ+χτX′τ·Sτ。定理3.17中的表示不同于Kifer（2013b，定理3.1）在两种货币模型中对博弈选项（Y，X，X′）的表示，原因已在定理3.8中讨论过；卖方对提案3.6的案例证明见备注3.9.4结果证明。修正任何错误∈ 扎。我们声称，对于y=z的卖方，存在一个混合策略（σ，y）。为此，我们将y=（yt）Tt=0与停止时间的非递减序列（σt）Tt=0一起构造。定义：=z，σ：=（如果z为0）∈ Xa，如果z∈ Za\\Xa。如果σ=0，则y:=y。如果σ=1，则y∈ Za\\Xa 弗吉尼亚州∩ 对 Wa+K，因此存在一些y∈ 真是太可怕了- Y∈ 康迪∈ 扎。通过归纳，假设对于某些t>0，我们构造了y，YT和非减薄σ，σt-1对于s=0，T- 1我们有可测量的ys+1，σs≤ s+1，Y- ys+1∈ Ks，yσs∈ Xaσson{σs≤ s} 安度∈ Zau\\Xauon{σs>u}对于所有的u=0，s、 定义σt:=σt-1{σt-1<t}+t1{σt-1=t}∩{yt∈Xat}+（t+1）1{σt-1=t}∩{yt∈Zat\\Xat}。关于集合{σt>t}={σt=t+1}={σt-1=t}∩ {yt∈ 我们有∈ Zat\\Xat 增值税∩ 一 Vat=Wat+Kt，因此存在Ft可测量的随机变量x∈ Zat+1就是这样-十、∈ 在这台电视机上。现在定义Ft可测随机变量yt+1:=x1{σt=t+1}+yt{σt≤t} 。从0开始∈ 我们有- yt+1∈ Kt。此外，yσt=yσt{σt<t}+yt{σt=t}+yt+1{σt=t+1}=yσt-1{σt<t}+yt{σt-1=t}∩{yt∈Xat}+yt+1{σt=t+1}so yσt∈ Xaσton s e t{σt≤ t} ={σt-1<t}∪ [{σt-1=t}∩ {yt∈ Xat}]。归纳步骤到此结束。设σ：=σT；然后是一对（σ，y）∈ T×Φ满足σ∈ Xaσ，yt∈ Zat\\Xaton{t<σ}对于t=0，T- 1.确定任何停止时间τ。

关于{τ<σ}我们有τ∈ Zaτ\\Xaτ Vaτ∩ Yτ Yτ=Yτ+Kτ。在set{τ=σ}上有yσ∈ Xaσ X′σ+Kσ。在集合{τ>σ}上有σ<τ≤ T和yσ∈ Xaσ=Xσ+Kσ。因此yσ∧τ- Qστ∈ Kσ∧τ、 由此得出（σ，y）对冲卖方的博弈期权。相反，假设（σ，y）对冲卖方的博弈期权。我们用反向归纳法证明∈ 扎顿{t≤ σ} 还有yt∈ 增值税∩ Yaton{t<σ}对于所有t=0，T，由此可以推断z=y∈ 这就完成了证明。在时间T，我们有{T=σ}={T≤ σ} 很明显∈ X′T+KT=XaT=ZaTon{T≤ σ}.对于任何t<t，假设yt+1∈ Zat+1 on{t+1≤ σ} ={t<σ}。这意味着yt+1∈ Waton{t<σ}为yt+1∈ 中尉-yt+1∈ KT意味着yt∈ Vaton{t<σ}，因此∈ 增值税∩ [Yt+Kt]=增值税∩ 一 扎顿{t<σ}。关于集合{t=σ}={t≤ σ} \\{t<σ}我们有yt∈ Xt+Kt=Xat 扎特。归纳法到此结束。下一个结果将在定理M3.8的证明中发挥重要作用。定义辅助流程HST≡ H（Y，X，X′）st:=Yt{s>t}+Xs{s=t<t}+X\'s{s=t=t}（4.1）对于所有s，t=0，T观察到过程Hσ=（Hσt）Tt=0适用于任何σ∈ 对于所有T=0，…，在{σ<T}上HσT=QσT=Yton{σ>T}和HσT=0，T如果已知买方将不会在取消期权的同时行使期权（时间t=t除外），则支付σt可被解释为卖方需要在时间t准备好交付预先选择的取消时间σ的支付；由于（3.2），这实际上是此类卖方的最坏情况。引理4.1。一对（σ，y）∈ T×Φ在且仅在以下情况下为卖方对冲博弈选项：∧τ- Hστ∈ Kσ∧τ代表所有τ∈ T（4.2）证据。在整个证明过程中，我们将频繁而含蓄地使用这样一个事实，即对于所有t，尤其是性质0，KT是一个尖锥∈ Kt。修正任何（σ，y）∈ T×Φ（4.2）。

鉴于（4.1），这意味着（yσ∧τ- Yσ∧τ)1{σ>τ }∈ Kσ∧τ代表所有τ∈ T，（4.3）（yσ- Xσ）1{σ=τ<T}∈ Kσ∧τ代表所有τ∈ T，（4.4）（yσ- X′σ）1{σ=τ=T}∈ Kσ∧τ. 总之τ∈ T，（4.5）替换τ=0，T- 1除以（4.4），τ=T除以（4.5）得到（yσ- Xσ）1{σ<T}∈ Kσ，（4.6）（yσ）- X′σ）1{σ=T}∈ Kσ。（4.7）属性（3.2）与（4.6）-（4.7）一起得出yσ- X′σ∈ Kσ，从何处（yσ）∧τ- X′σ∧τ） 1{σ=τ}=（yσ）- X′σ）1{σ=τ}∈ 1{σ=τ}Kσ=1{σ=τ}Kσ∧τ Kσ∧τ代表所有τ∈ T（4.8）也可以从（4.6）得出（yσ∧τ- Xσ∧τ） 1{σ<τ}=（yσ）- Xσ）1{σ<τ}=（yσ）- Xσ）1{σ<T}{σ<τ}∈ 1{σ<τ}Kσ=1{σ<τ}Kσ∧τ Kσ∧τ代表所有τ∈ T（4.9）房地产（4.3）、（4.8）和（4.9）导致（3.3），因此（σ，y）为卖方对冲期权。反过来假设（σ，y）∈ T×Φ为卖方对冲了博弈选择权。性质（3.3）给出（4.3）和（选择τ=T）yσ- Xσ{σ<T}- X′σ{σ=T}∈ Kσ，由此得出（yσ∧τ- Xσ）1{σ=τ<T}+（yσ）∧τ- X′σ）1{σ=τ=T}=yσ∧τ{σ=τ }- Xσ{σ=τ<T}- X′σ{σ=τ=T}=yσ∧τ- Xσ{σ<T}- X′σ{σ=T}{σ=τ }=yσ- Xσ{σ<T}- X′σ{σ=T}{σ=τ }∈ 1{σ=τ}Kσ=1{σ=τ}Kσ∧τ Kσ∧τ代表所有τ∈ T（4.10）属性（4.3）和（4.10）一起给出（4.2），这就完成了证明。定理3.8的证明。引理4.1表明，对于σ∈ T给定，成对（σ，y）∈当且仅当（4.2）成立时，卖方的博弈选项（Y，X，X′）等价于yyτ- Hστ∈ Kτ表示所有τ∈ T以至于τ≤ σ.定义3.7和T的完整性，然后给出πai（Y，X，X′）=minσ∈Tinf{z∈ R:（σ，y）模糊限制语（y，X，X′）用于seller和y=zei}=minσ∈Tpai（σ），其中pai（σ）：=inf{z∈ R:y∈ Φy=zei，yτ- Hστ∈ Kτ表示所有τ∈ T，τ≤ σ}.

（4.11）这意味着任何一对（σ，y）对卖方的博弈期权（y，X，X′）进行套期保值，当且仅当在Roux&Zastawniak（2015）的术语中，策略y是一个支付过程Hσ=（Hσt）Tt=0的期权，买方可以在任何停止时间τ满足{τ=t}的情况下执行该期权 Et:={t≤ σ} 对于所有t=0，t卖方。直觉上，这是一个带有（随机）到期日期σ的美式期权。（4.11）中的数量pai（σ）是资产i中此类期权的要价，Roux&Zastawniak（2015，定理3）确定pai（σ）=maxχ∈XEsup（P，S）∈Pi（χ）EP（（Hσ·S）χ）=ma xχ∈XEmax（P，S）∈π（χ）EP（（Hσ·S）χ），其中Hσ·S=（Hσt·St）Tt=0和xe:={χ∈ X:{χt>0} 对于所有t=0，T}=X∧ σ.然后得出pai（σ）=maxχ∈Xsup（P，S）∈Pi（χ∧σ） EP（（Hσ·S）χ∧σ） =最大χ∈Xmax（P，S）∈π（χ）∧σ） EP（（Hσ·S）χ∧σ） 所以πai（Y，X，X′）=minσ∈Tmaxχ∈Xsup（P，S）∈Pi（χ∧σ） EP（（Hσ·S）χ∧σ） =最小σ∈Tmaxχ∈Xmax（P，S）∈π（χ）∧σ） EP（（Hσ·S）χ∧σ). （4.13）现在修复任何σ∈ T，χ∈ X和（P，S）∈\'-P（χ∧ σ） 注意（Hσ·S）χ∧σ=（Qσ·Sσ）∧·)χ+ (χ*σ{σ<T}- χ*σ+1）Xσ·Sσ+（χ*σ{σ=T}- χσ）X′σ·Sσ=（Qσ·Sσ）∧·)χ+χσ{σ<T}- χ*σ+1{σ=T}Xσ·Sσ- χσ{σ<T}X′σ·Sσ=（Qσ·Sσ）∧·)χ+χσ{σ<T}（Xσ- X′σ）·Sσ。（4.14）这源于χ的性质*: 尤其是χ*T+1=0，χ*T=χTandχ*σ= χ*σ+1+ χσ. 自Xσ- X′σ∈ Kσ乘以（3.2）和Sσ∈ K*σ、 我们立即有（Hσ·S）χ∧σ≥ （Qσ·Sσ）∧·)χ. （4.15）π=π=10Y=（0,0）X=（0,5）X′=0，π=π=16Y=（0,3）X=（0,4）X′=0，uπ=π=16Y=X=X′=（0,9）uuπ=π=6Y=（0,0）X=（0,1）X′=0，dπ=π=4Y=X=X′=（0,0）ddπ=π=10Y=X′=（0,4）ud，du图1：二进制两步两货币模型中的博弈选项，示例5.1确定停止时间χ′=（χ′t）∈ X乘χ′t:=χt{t<σ}+χ*σ{t=t}对于t=0，T然后χ∧ σ = χ′∧ σ和so（P，s）∈\'P（χ′）∧ σ). 此外，由于χ′σ{σ<T}=0，从（4.14）可以得出（Hσ·S）χ∧σ=（Hσ·S）χ′∧σ=（Qσ·Sσ）∧·)χ′.