奇异递归效用

包括以下内容：o连续性：^ξ（t）是连续的o凹性：函数ψ和ψ是凹的，ψ′≥ 图（x，y，z，ξ）7→ H（t，x，y，z，ξ，^p（t），^q（t），^λ（t））（dt，dξ（t））（23）是凹的变分不等式：supξH（t，^X（t），^Y（t），^Z（t），ξ，^p（t），^q（t），^λ（t），^λ（t））（dt，dξ）=H（t，^X（t），^Y（t），^Z（t），^p（t），^q（t），^λ（t））（dt，d^ξ（t））（24）即^g（t，^X（t），^+^p（t）θ（t，^X（t））+^λ（t）g（t，^Y（t），ξ（t））dξ（t）≤^λ（t）g（t，^X（t），^Y（t），^Z（t），^ξ）dt+^p（t）θ（t，^X（t））+^λ（t）g（t，^Y（t），^ξ（t））d^ξ（t）（25）表示所有ξ（其中微分不等式表示积分时对应的等式成立）。然后，^ξ是问题（17）的最优控制。5最大化奇异递归效用。选择ξ∈ 考虑，用^X（t）=X^ξ（t）等J（ξ）- J（^ξ）=J+J+J，（26），其中J=E[RT{f（t）-^f（t）}dt]式中，^f（t）：=f（t，^X（t）），J=E[~n（X（t））- ψ（^X（T））]J=ψ（Y（0））- ψ（^Y（0））；其中Y（0）=Yξ（0），^Y（0）=Y^ξ（0）。根据Hwe的定义，b:=b-^b等，J=E[RTH（t）-^H（t）- ^p（t）~b（t）- ^q（t）~σ（t）-这里我们使用了简写符号H（t）=H（t，X（t），Y（t），Z（t），ξ（t），^p（t），^q（t），^λ（t）），^H（t）=H（t，^X（t），^Y（t），^Z（t），^ξ（t），^p（t），^q（t），^λ（t））。（28）（29）通过φ的凹度和It^o公式，我们得到了j≤ E[~n′（^X（T））~X（T）]=E[{^p（T）-^λ（T）h′（^X（T））}X（T）]=E[RT^p（T）~b（t）dt+~σ（t）dB（t）+θ（t）dξ（t）-^θ（t）d^ξ（t）+rtx（t）-^Hx（t）dt-^Hx（t）dξ（t）+^q（t）dB（t）+RT^q（t）~σ（t）dt]-E[^λ（T）h′（^X（T））~X（T）]。（30）考虑由τn:=T定义的停车时间τn的增加顺序∧ inf{t>0:Zt^p（s）^σ（s））+（^X（s）^q（s））ds≥ n} 。注意序列{τn}∞n=1连接到T a s n→ ∞.

由于它与林特格朗德的积分具有期望值零，因此它从（30）得出E[~n′（^X（τn））~X（τn）]=E[Rτn^p（t）{b（t）dt+θ（t）dξ（t）-^θ（t）d^ξ（t）}-RτnX（t）^Hx（t）dt-RτnX（t）^Hx（t）dξ（t）+Rτn^q（t）~σ（t）dt]-E[^λ（τn）h′（^X（τn））~X（τn）]。（31）通过传递到（31）中的极限，并使用有限制的收敛定理（由于我们对系数函数的假设，无法应用该定理），我们发现E[^′（^X（T））~X（T）]=E[RT^p（T）{b（T）dt+θ（T）dξ（T）-^θ（t）d^ξ（t）}-rtx（t）^Hx（t）dt-rtx（t）^Hx（t）dξ（t）+RT^q（t）~σ（t）dt]-E[^λ（T）h′（^X（T））~X（T）]。（32）5通过组合（30）和（32）最大化单一递归效用，我们发现≤ E[RT^p（t）{b（t）dt+θ（t）dξ（t）-^θ（t）d^ξ（t）}-rtx（t）^Hx（t）dt-rtx（t）^Hx（t）dξ（t）+RT^q（t）~σ（t）dt]-E[^λ（T）h′（^X（T））~X（T）]。（33）根据ψ的凹性和它的乘积规则，J=ψ（Y（0））- ψ（^Y（0））≤ ψ′（^Y（0））~Y（0）=^λ（0）~Y（0）=E[^λ（T）~Y（T）]-E[RTY（t）d^λ（t）+RT^λ（t）dY（t）+RT^Hz（t）~z（t）dt]。（34）再次考虑一个不断增加的停止时间序列，由τn:=T定义∧ inf{t>0:Zt（)Y（s）^Hz（s））+（^λ（s）~z（s））ds≥ n} 。与之前类似，序列{τn}∞n=1将T转化为n→ ∞.

由于林特格兰积分的期望值为零，它遵循（34）、Ite^o公式和h thatJ的凹度≤ -E[R′τn^Hy（t）~y（t）dt+^Hz（t）~z（t）dt+^Hy（t）~y（t）d^ξ（t））]- E[R′τn^λ（t）~g（t）dt+g（t）dξ（t）- ^g（t）d^ξ（t）]+E[^λ（\'τn）h′（^X（\'τn））~X（\'τn）]。（35）让n→ ∞ 在（35）中，使用支配收敛定理（这可以应用于我们对系数函数的假设，即E[|Y|]、E[|Z|]）∞ 根据定理3.1），我们可以看到≤ -E[RT^Hy（t）~y（t）dt+^Hz（t）~z（t）dt+^Hy（t）~y（t）d^ξ（t））]- E[RT^λ（t）~g（t）dt+g（t）dξ（t）- ^g（t）d^ξ（t）]+E[^λ（T）h′（^X（T）~X（T）]。（36）加上（27），（33）和（36）我们得到，通过H的凹度，J（ξ）- J（^ξ）≤ E[RT{H（t）-^H（t）-^Hx（t）~x（t）-^Hy（t）~y（t）-^Hz（t）~z（t）}dt+p（t）θ（t）dξ（t）-^θ（t）d^ξ（t）-^Hx（t）~x（t）d^ξ（t）-^Hy（t）~y（t）d^ξ（t）+λ（t）g（t，Y（t），ξ（t））dξ（t）- g（t，^Y（t），^ξ（t））d^ξ（t）= E[RT{H（t）-^H（t）-^Hx（t）~x（t）-^Hy（t）~y（t）-^Hz（t）~z（t）}≤ E[RThξ^H（t），ξ（·）-^ξ（·）i]≤ 0,5最大化奇异递归效用，因为ξ=^ξ最大化Hξ^H（t），ξ（·）-^ξ（·）i=^λ（t）[^gξ（t）ξ（t）-^ξ（t）dt+^gξ（t）ξ（t）-^ξ（t）d^ξ（t）]+H（t）（dξ（t）- d^ξ（t））（37）是梯度的作用（Fréchet导数）ξ（·）上H的ξ^H（t）-^ξ（·），即H在ξ方向上的方向导数-^ξ. 注释5.2假设g（t，x，y，x，ξ）=g（t，x，y，z）g（t，y，ξ）=g（t，y）（38）不依赖于ξ。然后，变分不等式（25）等价于变分不等式（i）^p（t）θ（t，^X（t））+^λ（t）g（t，^Y（t））≤ 0代表所有t∈ [0，T]，（ii）{p（T）θ（T，^X（T））+λ（T）g（T，^Y（T））}d^ξ（T）=0表示所有T∈ [0，T]。（39）为了看到这一点，我们首先应用（25）todξ（t）=d^ξ（t）+dβ（t），其中β（t）是一个不断增加的连续适应过程。

然后我们得到{p（t）θ（t，^X（t））+λ（t）g（t，^Y（t））}dβ（t）≤ 0代表所有t∈ [0，T]。由于这适用于所有这些β，我们推断出^p（t）θ（t，^X（t））+^λ（t）g（t，^Y（t））≤ 0代表所有t∈ [0，T]。（40）另一方面，如果我们应用（25）todξ（t）=d^ξ（t），我们得到{p（t）θ（t，^X（t））+^λ（t）g（t，^Y（t））}d^ξ（t）≥ 0代表所有t∈ [0，T]。（41）通过组合（40）和（41）我们得到（39）。特别是，（39）意味着当耦合系统（14）-（15）和（21）-（22）的前后奇异SDE的对应解（^X（t）、^Y（t）、^p（t）、θ（t，^X（t））+^λ（t）g（t，^Y（t））=0时，^ξ（t）仅增加区域的G:={（t，x，y，λ，p）∈ Rpθ（t，x）+λg（t，y）<0}。（42）因此，我们看到最优奇异控制^ξ出现在G反映了这一过程。在只有一个的特殊情况下，可能是（14）形式的多维奇异SDE的一个必要极大值原理，该问题的解（X（t），ξ（t））为（X（t）∈对于所有t，ξ是连续的，且ξ仅在X（t）时增加∈ D（43）对于给定的域D，称为Skorohod反射问题。解（^X（t），^ξ（t））的存在性和唯一性在系统（14）和域D的某些条件下已被证明。参见例如Freidlin（1985）和其中的参考文献。然而，就我们所知，对于单前向-后向SDE耦合系统，如上所述，相应的KoroHod反射问题解的存在性和唯一性尚不清楚。这个问题的研究超出了本文的范围。6奇异递归效用的一个必要极大值原理我们还可以证明一个奇异递归效用问题的必要极大值原理。

为了做到这一点，我们需要一些额外的符号和假设：forξ∈ 设V（ξ）表示有限变量的F适应过程β的se t，使得满足ξ+Aβ的δ=δ（ξ）>0∈ A全部A∈ [0, δ]. （44）假设对于所有ξ∈ A和所有人∈ V（ξ）存在下列派生过程，它们属于L（[0，T]×）Ohm):x（t）=利马→0+Xξ+aβ-Xξa（t）y（t）=利马→0+Yξ+aβ-Yξa（t）z（t）=lima→0+Zξ+aβ-Zξa（t）。（45）备注6.1这些导数过程的存在性和L-特征是一个非常重要的问题，我们在本文中不讨论这个问题的条件。在这里，我们将假定这些性质成立。我们参考了Prév^ot和R"ockner（2007）在相关背景下对这一问题的研究。然后，通过FSDE（14）和BSDE（15），dx（t）=Bx（t）x（t）dt+σx（t）x（t）dB（t）+θx（t）x（t）dξ（t）+θ（t）dβ（t），dy（t）=-(Gx（t）x（t）+Gy（t）y（t）+Gz（t）z（t）+Gξ（t）β（t））dt+(-Gy（t）y（t）-Gξ（t）β（t））dξ（t）- g（t，Y，ξ）dβ（t）+z（t）dB（t）。这里，我们使用了g（t，Yξ+aβ，ξ+aβ）d（ξ+aβ）（t）=g（t，Yξ+aβ，ξ+aβ）dξ（t）+ag（t，Yξ+aβ，ξ+aβ）dβ（t）6一个奇异递归效用的必要最大原理，这意味着（根据乘积规则）lima→0+g（t，Yξ+aβ，ξ+aβ）d（ξ+aβ）（t）-g（t，Y，ξ）dξ（t）a=(-Gy（t）y（t）-Gξ（t）β（t））dξ（t）- g（t，Y，ξ）dβ（t）- 利马→0+{a(Gy（t）y（t）+Gξ（t）β（t））}=(-Gy（t）y（t）-Gξ（t）β（t））dξ（t）- g（t，Y，ξ）dβ（t）。还要注意，从方程（14）-（15）的边界条件中，x（0）=0和y（T）=h′（x（T））x（T）。将T定义为过程ξ（T）跳跃的时间集，将Tβ定义为两个过程β（T）和ξ（T）跳跃的时间集。考虑到这一点，我们准备证明必要的最大原则。提案6.2假设（45）成立。

那么，以下是等效的：o利马→0+J（ξ+aβ）-J（ξ）a≤ 全部为0∈ V（ξ）。oE[RTH（t）dβ（t）]+E[RTβ（t）{λ（t）Gξ（t）d^ξ（t）+λ（t）Gξ（t）dt}]-E[Pt∈Tβg（T-)y（t）-)Hy（t）-)ξ（t）β（t）]-E[Pt∈T(Gy（t）-)y（t）-) +Gξ（t）-)β（t-))Hy（t）-)(ξ（t））]≤ 0 β ∈ V（ξ）。证据与定理5.1的证明类似，通过引入一个合适的递增序列，使停止时间收敛到T，我们可以假设下面证明中出现的所有局部鞅都是鞅。注意利马→0+J（ξ+aβ）- J（ξ）a=I+I+I其中I=lima→0+E[RTf（t，Xξ+aβ（t））dt]-E[RTf（t，Xξ（t））dt]a，I=lima→0+E[（Xξ+aβ（T））]-E[ψ（Xξ（T））]aI=lima→0+ψ（Yξ+aβ（0））-ψ（Yξ（0））a.然后，通过改变积分和微分的顺序，I=E[ZTFx（t）x（t）dt]。此外，I=E[~n′（X（T））X（T）]=E[（p（T）- λ（T）h′（X（T）））X（T）]and i=ψ′（Y（0））Y（0）=λ（0）Y（0）。此外，根据It^o的乘积规则和定义6，一个必要的最大效用原则i=E[RTp（t）dx（t）+RTx（t）dp（t）+RTd[p，x]（t）]- E[λ（T）h′（X（T））X（T）]=E[RTp（T）(Bx（t）x（t）dt+θx（t）x（t）dξ（t）+θ（t，x（t））dβ（t））]-E[RTx（t）{Hx（t）dt+Hx（t）dξ（t）}]+E[RTq（t）σx（t）x（t）dt]-E[λ（T）h′（X（T））X（T）]=E[RTx（T）{-Fx（t）dt- λ（t）Gx（t）dt}]+E[RT{H（t）- λ（t）g（t）}dβ（t）]- E[λ（T）h′（X（T））X（T）]=-我- E[RTx（t）{λ（t）Gx（t）dt}]+E[RT{H（t）- λ（t）g（t）}dβ（t）]- E[λ（T）h′（X（T））X（T）]。类似地，我们从它的乘积规则和链规则中看到，I=E[λ（T）y（T）]- E[RTλ（t）dy（t）+RTy（t）dλ（t）+RTd[λ，y]（t）]=E[λ（t）h′（X（t））X（t）]- E[RTλ（t）{(-Gξ（t）β（t））dξ（t）-g（t）dβ（t）- (Gx（t）x（t）+Gξ（t）β（t））dt}]-E[Pt∈Tβg（T-)y（t）-)Hy（t）-)ξ（t）β（t）]-E[Pt∈T(Gy（t）-)y（t）-) +Gξ（t-)β（t-))Hy（t）-)(ξ（t））]其中ξ（t）：=ξ（t）- ξ（t）-) 和β（t）：=β（t）- β（t-).

然后，通过前面的计算，I+I+I=E[RTH（t）dβ（t）]+E[RTβ（t）{λ（t）Gξ（t）d^ξ（t）+λ（t）Gξ（t）dt}]-E[Pt∈Tβg（T-)y（t）-)Hy（t）-)ξ（t）β（t）]-E[Pt∈T(Gy（t）-)y（t）-) +Gξ（t）-)β（t-))Hy（t）-)(ξ（t））]。因此，ddaJ（ξ+aβ）|a=0=E[RTH（t）dβ（t）]+E[RTβ（t）{λ（t）Gξ（t）d^ξ（t）+λ（t）Gξ（t）dt}]-E[Pt∈Tβg（T-)y（t）-)Hy（t）-)ξ（t）β（t）]-E[Pt∈T(Gy（t）-)y（t）-) +Gξ（t）-)β（t-))Hy（t）-)(ξ（t））]。如果我们假设ξ（t）=^ξ（t）是一个连续过程，我们得到命题6.2的以下推论：推论6.3假设（45）成立，且^ξ是连续的。然后，以下是等效的：o利马→0+J（^ξ+aβ）-J（^ξ）a≤ 全部为0∈ V（^ξ）E[RT^H（t）dβ（t）]+E[RTβ（t）{λ（t）^gξ（t）d^ξ（t）+λ（t）^gξ（t）dt}]≤ 0为所有β∈ V（^ξ）。6奇点递归效用的一个必要极大值原理这个最终不等式也是等价的ξH（dt，d^ξ（t）），β（t）i]≤ 全部为0∈ V（^ξ）（46）式中hξH（dt，d^ξ（t）），β（t）i:=lima→0+H（^ξ+aβ）（dt，d（^ξ+aβ））-^H（^ξ）（dt，d^ξ）a.证明。这是提案6.2、提案后的评论和以下计算的直接结果：hξH（dt，d^ξ（t）），β（t）i=lima→0+H（^ξ+aβ）（dt，d（^ξ+aβ））-^H（^ξ）（dt，d^ξ）a=lima→0+^H（^ξ+aβ）dt-^H（^ξ）dta+lima→0+^H（^ξ+aβ）d^ξ（t）-^H（^ξ）d^ξ（t）a+lima→0+^H（^ξ+aβ）d（aβ）（t）a=β（t）{^λ（t）^gξ（t）dt+^λ（t）^gξ（t）d^ξ（t）}+H（t）dβ（t）。我们从推论6.3的第二项更仔细地分析了不等式，即我们考虑：e[RT^H（s）dβ（s）]+e[RTβ（s）{r^λ（s）^gξ（s）d^ξ（s）+λ（s）^gξ（s）ds}]≤ 0.因为这对所有人都是正确的∈ V（^ξ），对于β（s）尤其如此：=[t，t]（s）α（ω）^ξ（s）和β（s）：=-1[t，t]（s）α（ω）^ξ（s），其中^ξ（s）如推论6.3所示，且α=α（ω）是有界Ft可测随机变量。

通过将两者结合起来，我们可以看到0≤ E[RTt^H（s）d^ξ（s）α]+E[RTt^ξ（s）{λ（s）^gξ（s）d^ξ（s）+λ（s）^gξ（s）ds}α]≤ 因此，E[RTt^H（s）d^ξ（s）α]+E[RTt^ξ（s）{^λ（s）^gξ（s）d^ξ（s）+λ（s）^gξ（s）ds}α]=0。（47）通过区分关于t的等式（47），我们看到了[{p（t）θ（t）+λ（t）g（t）}d^ξ（t）+ξ（t）λ（t）{^gξ（t）d^ξ（t）+^gξ（t）dt}α] =0对于几乎所有的t。由于这适用于所有有界Ft可测随机变量α，我们得出结论{p（t）θ（t）+λλ（t）^g（t）}d^ξ（t）+ξ（t）λ（t）{^gξ（t）d^ξ（t）+^gξ（t）dt}=0.7应用这与ξ=^ξ在（24）中最优的一阶条件有关（效率最大原理定理5.1的条件）。更准确地说，如果我们区分函数7，这就是我们得到的结果→^λ（t）g（^ξ+aβ）dt+{p（t）θ（t）+^λ（t）g（^ξ+aβ）（t）}d（^ξ（t）+aβ（t））（48）关于a=0时的a，将该导数设为0，然后在β=ξ时对结果进行评估。7个应用示例7.1假设我们有一个现金流X（t）=X（ξ）（t）=X（t）]- X（t）-)dξ（t）；T∈ [0，T]X（0）=X>0。（49）这里dξ（t）表示时间t时X（t）的相对消耗率。假设相对消耗率ξ（t）的奇异递归效用过程Y（t）=Y（ξ）（t）的形式为dy（t）=-α（t）Y（t）dξ（t）+Z（t）dB（t）；T∈ [0，T]Y（T）=h（X（T））。（50）我们想找到ξ*∈ 一个这样的人（ξ）*)（0）=supξ∈AY（ξ）（0）。

（51）我们应用第5节的结果来研究这个问题：哈密顿量（18）得到形式h（t，x，y，ξ，p，q，λ）（dt，dξ）=（xb（t）p+xσ（t）q）dt+(-xp+λα（t）y）dξ（t）（52）伴随方程（21）-（22）变为λ（t）=λ（t）α（t）dξ（t）；T∈ [0，T]λ（0）=1（53）dp（T）=-（b（t）p（t）+σ（t）q（t））dt- λ（t）α（t）dξ（t）+q（t）dB（t）；T∈ [0，T]p（T）=λ（T）h′（X（T））（54）和变分不等式（Skorohod反射问题）（39）简化为-^p（t）^X（t）+^λ（t）α（t）^Y（t）≤ 0代表所有t∈ [0，T]{-对于所有t，p（t）X（t）+λ（t）α（t）Y（t）}d^ξ（t）=0∈ [0，T]。（55）因此，我们得出以下结论：参考定理7.2假设Skorohod反射问题（55）有一个解（^X（t），^Y（t），^λ（t），^p（t），^ξ（t））。然后，^ξ（t）是奇异递归效用问题（51）的最优相对消耗率。有关Skorohod问题和保证此类问题解决方案存在的条件的更多信息，请参见Oksendal and Sulem（2007），第5.2章。参考文献[1]Belak，C.，Seiferling T.和Seifr ie d F.（2016）：反向非线性期望方程，工作论文，https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2547940.[2] Cohen，S.N和Elliot，R.J.（2012）：一般空间中BSDE的存在性、唯一性和比较，应用概率年鉴，402264-2297。[3] Diehl，J.和P.Friz（2012）：具有粗糙驾驶者的后向斯泰克微分方程。《概率年鉴》，401715-1758。[4] 丁，X.和R.吴（1998）：关于半鞅的随机微分不等式比较理论的一个新证明。随机过程及其应用，78155-171。[5] 杜菲，D.和L.G.爱泼斯坦（1992）：随机微分效用。《计量经济学》，60353-394。[6] Freidlin，M.（1985）：函数积分和偏微分方程。普林斯顿：普林斯顿大学校长s.[7]辛迪，A.，C.黄和D。

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