奇异递归效用

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Singular recursive utility》
---
作者：
Kristina R. Dahl, Bernt {\\O}ksendal
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  We introduce the concept of singular recursive utility. This leads to a kind of singular BSDE which, to the best of our knowledge, has not been studied before. We show conditions for existence and uniqueness of a solution for this kind of singular BSDE. Furthermore, we analyze the problem of maximizing the singular recursive utility. We derive sufficient and necessary maximum principles for this problem, and connect it to the Skorohod reflection problem. Finally, we apply our results to a specific cash flow. In this case, we find that the optimal consumption rate is given by the solution to the corresponding Skorohod reflection problem.
---
中文摘要：
我们引入了奇异递归效用的概念。这就产生了一种奇异的BSDE，据我们所知，它以前从未被研究过。我们证明了这类奇异BSDE解的存在唯一性条件。此外，我们还分析了奇异递归效用最大化问题。我们推导了该问题的充分必要的极大值原理，并将其与Skorohod反射问题联系起来。最后，我们将结果应用于特定的现金流。在这种情况下，我们发现最优消耗率由相应的Skorohod反射问题的解给出。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Singular_recursive_utility.pdf (241.61 KB)

2022-5-8 04:25:08 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Quantitative Optimization QUANTITATIV consumption Programming

奇异递归效用。R·达尔*B.Oksendal+2017年3月16日本文的最终版本将在《随机》杂志上发表。我们引入了奇异递归效用的概念。这就导致了一种单一的疯牛病，据我们所知，这种病以前从未被研究过。我们证明了这类奇异BSDE解的存在唯一性条件。此外，我们还分析了奇异递归效用最大化问题。我们推导出这个问题的有效性和必要的最大原则，并将其与克洛霍德反射问题联系起来。最后，我们将我们的结果应用于一个特定的鱼流。在这种情况下，我们发现最优消费率由相应的Skorohod反射问题的解给出。关键词：奇异递归效用，单跳扩散过程，最优控制问题，随机最大值原理，奇异倒向随机微分方程，广义Skorohod反射问题，最优消费。理学硕士分类：60H99、60J65、60J75、91G80、93E201简介小c（t）≥ 0可能是一个消耗率过程。从t=0到t=t，测量c的总效用的经典方法是通过表达式j（c）=E[ZTU（t，c（t））dt]，其中U（t，·）是每个t的效用函数。这种随时间增加效用率的方法从经济学和建模的角度受到了批评。西。g、 Mossin（1969）和Hindy，Huang&Kreps（1992）。相反，杜菲和爱泼斯坦（1992）提出使用递归效用Y（t），定义为反向随机微分方程（BSDE）的解*奥斯陆大学数学系，Pb。1053布林登，0316奥斯陆，挪威。电子邮件：kristrd@math.uio.no+奥斯陆大学数学系。

这项研究是在研究计划SEFE的挪威科学与技术学院CAS高级研究中心的部分支持下进行的。电子邮件：oksendal@math.uio.no.1引言Y（t）=E[ZTtg（s，Y（s），c（s））ds | Ft]；T∈ [0，T]。（1） 因此，我们看到，在特殊的情况下，Y（0）=J（c），其中g（s，Y，c）=U（s，c）不依赖于Y。问题是：我们应该如何建模奇异消费过程ξ的递归效用？一个可能的建议是Y（t）=E[ZTtg（s，Y（s），ξ（s））dξ（s）|Ft]。（2） 如果我们写Y（t）=E[ZTg（s，Y（s），ξ（s））dξ（s）|Ft]-Ztg（s，Y（s），ξ（s））dξ（s）我们通过鞅re表示定理（例如参见Oksendal（2007））得到Y（t）可以写成（在布朗运动的情况下）：Y（t）=-Ztg（s，Y（s），ξ（s））dξ（s）+ZtZ（s）dB（s）对于某些适应过程Z。因此，（Y，Z）解决了奇异的BSDEdY（t）=-g（t，Y（t），ξ（t））dξ（t）+Z（t）dB（t）Y（t）=0。（3） 据我们所知，之前还没有研究过这样的单一BSDE。Wang（2004）研究了一个类似的问题。然而，与BSDE（3）不同，BSDEin Wang（2004）是单积分和勒贝斯盖积分的混合。另一篇相关论文是Diehl和Friz（2012年），该论文研究了驾驶粗暴的司机。尽管Diehl和Friz（2012）中研究的BSDE类似于方程式（3），但我们的函数g比Diehl和Friz（2012）中相应的函数更通用。关于递归效用的文献的其他最新扩展包括Kraft和Seifrie d（2014年），其导出了随机微分效用作为保险效用的极限，以及Belak等人（2016年），其导出了落后线性期望方程的理论，并在此框架中定义了递归效用。Marinacci和Mo ntrucchio（2010）研究了随机递归效用解的唯一性。

此外，Kraft e t al.（2017）研究了具有递归效用的消费和投资问题。本文的目的是研究（3）类奇异BSDE，并最大化相应的奇异递归效用。在第四节中，我们分析了这一现象。在第5-6节中，推导了奇异递归效用问题的充分必要极大值原理。最后，我们应用第7节中的这些结果来解决特定现金流的最优消费问题。由此产生的最优消耗率是一个Skorohod问题的解，该问题（如果Skorohod问题有解）是一个局部时间。因此，最优消费率通常是单数的。这与最优消费问题的经典解不同，后者只允许绝对连续的消费过程。2问题公式2问题公式考虑概率空间(Ohm, F、 P）。在这个空间中，我们假设B（t）是布朗运动，并且N（dt，·）=N（dt，·）- ν（·）dt是一个独立的补偿泊松随机测度。我们假设泊松随机测度N的Lévy测度满足Zrζν（dζ）<∞.另一方面，我们允许，对于所有>0，Zζν（dζ）=∞,因此，在任何时间间隔[0，]上，ν都可能有有限的变化。我们让F={Ft}t∈[0，T]是布朗运动和补偿泊松随机测度产生的自然过滤。此外，考虑一个消费暴露的现金流X（t）=Xξ（t），该现金流由一个随机微分方程（SDE）建模，其跳跃如下：dX（t）=b（t，X（t））dt+σ（t，X（t））dB（t）+RRβ（t，X（t-), ζ） ~N（dt，dζ）- dξ（t）X（0）=X（4）（为了符号简单，我们抑制ω）。这里，ξ（t）：=ξ（t，ω）是一个随机消费过程，假设为cadlag且非递减且满足ξ（0）=0。该控制ξ从一组容许控制中选择，a。

我们假设A是所有有限变量随机过程的集合ξ，它们是自适应的，cádlág，并且具有增加的分量，并且满足ξ（0-) = 0与ξ相关，我们引入一个奇异的递归效用过程Y（t），由一个带跳跃的单倒向随机微分方程（BSDE）表示，如下所示。定义2.1设g（t，y，ξ，ω）：[0，t]×R×R×Ohm → R是一个给定的可预测函数，Lipschitz wrt。y和ξ以及一致连续wrt。t、 叫司机。同样，设h（x，ω）：R×Ohm → 对于每个x，R是一个给定的有界FT可测量随机变量，称为终端时间支付函数。然后，我们定义了奇异递归效用过程Y（t）=Yξ（t），其中ξ是以下奇异后向随机微分方程的解（Y（t），Z（t），K（t，·））的第一个组成部分：dY（t）=-g（t，Y（t），ξ（t））dξ（t）+Z（t）dB（t）+RRK（t-, ζ） 对于t，N（dt，dζ）≤ T、 Y（T）=h（Xξ（T））。（5） 有关带跳跃的（非奇异）BSDE的更多信息，请参见例如Oksendaland Sulem（2007）。3带漂移项的奇异BSDE我们想解决以下关于单一递归效用的最优消耗问题，对于给定的驱动程序g和给定的终端payo ff函数h:PROBLEMFindξ*∈ 一个这样的人∈AYξ（0）=Yξ*(0). （6） 换言之，我们想最大化控制ξ.3奇异BSDE的奇异递归效用，其漂移项为g:R+×R×R×Ohm → R和b:R+×R×Ohm 是t的有界函数∈ [0，T]。

考虑以下带有dr-ift的奇异BSDE:dY（t）=g（t，Y（t），ξ（t））dξ（t）+b（t，Y（t））dt- Z（t）dB（t）-RRK（t）-, ζ） 对于t，N（dt，dζ）≤ TY（T）=Xξ。（7） 式中，ξ是一个给定的奇异过程，Xξ是一个独立的FT可测随机变量，它可能依赖于ξ，因此E[|Xξ|]<∞.定理3.1（带漂移的奇异BSDE解的存在唯一性）假设如下Lipschitz型假设：存在常数C，C>0，对于任意两个随机过程Y，Y，E[ZTt | g（s，Y（s），ξ（s））-g（s，Y（s），ξ（s））|dξ（s）]≤ CE[ZTtE[|Y（s）-Y（s）|]dξ（s）]andE[ZTt | b（s，Y（s））- b（s，Y（s））|ds]≤ CZTtE[|Y（s）- Y（s）|]ds。此外，假设E[Xξ+RTg（s，0，ξ（s））dξ（s）+RTb（s，Ys）ds | Ft]是平方可积的，且ξ是连续的。然后，具有漂移（7）的奇异BSDE存在唯一解（Y，Z，K）。证据定义序列{Ynt}n，n≥ 通过Yt=0和yn+1t=E[Xξ+ZTtg（s，Yns，ξ（s））dξ（s）+ZTtb（s，Yns）ds | Ft]。然后，3个漂移项为φn+1（t）的奇异BSDE:=E[|Yn+1t- Ynt |]=E[|E[RTt{g（s，Yns，ξ（s））- g（s，Yn）-1s，ξ（s））}dξ（s）+RTt{b（s，Yns）- b（s，Yn）-1s）ds}|Ft]|]≤ E[E[RTt | g（s，Yns，ξ（s））- g（s，Yn）-1s，ξ（s））|dξ（s）+RTt|b（s，Yns）- b（s，Yn）-1s）| ds | Ft]=E[RTt | g（s，Yns，ξ（s））- g（s，Yn）-1s，ξ（s））|dξ（s）+RTt|b（s，Yns）- b（s，Yn）-1s）| ds]≤ CE[RTtE[|Yns- 伊恩-1s |]dξ（s）]+CRTtE[| Yns- 伊恩-1s |]ds=CE[RTt|n（s）dξ（s）]+CRTt|n（s）ds（8）其中第三个等式来自双期望规则，第一个等式来自Minkowski不等式，ξ具有递增分量，第二个不等式来自Lipschitz假设。然后，通过迭代前面的不等式，我们发现对于所有的t~nn+1（t）≤ 监督∈[0，T]~n（T）Pnm=0Cn-mCmE[ξ（T）]n-mTmn=监督∈[0，T]~n（T）n！（CE[ξ（T）]）nPnm=0（CTCE[ξ（T）]）m=supt∈[0，T]~n（T）n！（CE[ξ（T）]）n1-（CTCE[ξ（T）]n+11-CTCE[ξ（T）]，通过对有限的几何级数求和。

这里，迭代dξ积分的不等式来自半鞅的It^o引理，参见Protter[19]，定理3.2。这意味着≥ 1是一个C auchy序列（因为factorials的增长速度比指数快）。让^Y:=limn→∞伊恩。现在，让我们→ ∞ 在Ynt的定义中。那么，^Yt=limn→∞Ynt=E[Xξ+ZTtg（s，^Ys，ξ（s））dξ（s）+ZTtb（s，^Ys）ds |Ft]。我们想证明^yth是一个正确的连续版本，它是奇异BSDE的解。设mt是matingale E[Xξ+RTg（s，^Ys，ξ（s））dξ（s）+RTb（s，^Ys）ds | Ft]的正确连续版本。LetYt:=Mt-Rtg（s，^Ys，ξ（s））dξ（s）-RTtb（s，^Ys）ds=E[Xξ+RTtg（s，^Ys，ξ（s））dξ（s）+RTtb（s，^Ys）ds | Ft]=YtP-a.s.（9）和Ytis右连续。那么，Yt=Xξ+Mt- MT+RTg（s，^Ys，ξ（s））dξ（s）-Rtg（s，^Ys，ξ（s））dξ（s）+RTb（s，^Ys）ds-Rtb（s，^Ys）ds=Xξ+RTtg（s，^Ys，ξ（s））dξ（s）+RTtb（s，^Ys）ds- （MT）- Mt）=Xξ+RTtg（s，Ys，ξ（s））dξ（s）+RTtb（s，Ys）ds- （公吨- Mt）4线性奇异B，其中最终等式来自等式（9）。Mt是一个鞅，并且从它是平方可积的假设来看，因此马尔廷格尔表示定理（见Oksendal and Sulem（2007））暗示存在过程Zt，Kt（·），使得Mt=e[Mt]+RtZsdBs+RtRRKs（ζ）~N（ds，dζ）=e[M]+RtZsdBs+RtRRKs（ζ）~N（ds，dζ）。那么，MT- Mt=ztzsdbs+ztzrks（ζ）~N（dt，dζ）。因此，dYt=g（t，Yt）dξ（t）+b（t，Y（t））dt- ZtdBt-RRK（t，ζ）~N（dt，dζ），YT=Xξ。这意味着（Yt，Zt，Kt（·））解出了奇异的BSDE（7）。我们还可以证明带漂移的奇异BSDE解的唯一性：考虑奇异BSDE（7）。我们想证明这个方程有唯一的解。设（Y（t），Z（t），K（t，·））和（Y（t），Z（t），K（t，·））是方程（7）的两个解。

定义（t）：=E[|Y（t）- Y（t）|]。然后，通过与（8）中相同的计算，v（t）=E[|Y（t）- Y（t）|]≤ CE[RTtv（s）dξ（s）]+CRTtv（s）ds（10），其中我们使用了Minkowski不等式以及Lipschitz假设。不等式（10）意味着v（t）≤ 2 max{C，C}max{E[ZTtv（s）dξ（s）]，ZTtv（s）ds}。因此，根据上述最终最大值的值，通过使用正则或s-tochastic（向后）Gr"onwallinequality（参见丁和吴（19 98）中的引理2.1和科恩·安德利奥特[2]中的引理4.7），这意味着V（t）≤ 0.然而，根据v（t）的定义，这再次意味着v（t）=0。因此，奇异BSDE（7）的解是唯一的。4线性奇异BSDELetφ，α，β，c:R+×Ohm → R和γ：R+×R×Ohm → R是函数。我们想解线性情况下的奇异BSDE，也就是说，我们想解线性奇异BSDEdYt=-g（t，Yt）dξ（t）+ztdbtbt+RRK（t，ζ）~N（dt，dζ），Yt=Xξ。（11） 当（t，Y（t），ξ（t））=φ（t）+α（t）Y（t）+c（t）ξ（t）时。我们有以下定理：定理4.1假设ξ是连续的。那么，Y（t）=E[Γ（t）Γ（t）X+ZTtΓ（s）Γ（t）φ（s）+c（s）ξ（s）dξ（s）|Ft]（12）是线性奇异BSDE（11）的唯一解，其中dΓ（t）=Γ（t）-)α（t）dξ（t）Γ（0）=1。（13） 证据。我们使用了与Oksendaland Sulem（2007）中的Theo rem 1.7证明相同的方法。根据它的公式，d（Γ（t）Y（t））=Γ（t）-)dY（t）+Y（t）-)dΓ（t）+d[Γ，Y]（t）=Γ（t）-)H-φ（t）+α（t）Y（t）+c（t）ξ（t）dξ（t）+Z（t）dB（t）+RRK（t，ζ）~N（dt，dζ）i+Y（t-)Γ（t）-)hα（t）dζ（t）+β（t）dB（t）+RRγ（t，ζ）~N（dt，dζ）i=Γ（t-)H-φ（t）+c（t）ξ（t）dξ（t）+Z（t）dB（t）+RRK（t，ζ）~N（dt，dζ）+Y（t-)β（t）dB（t）+RRγ（t，ζ）~N（dt，dζ）iSoΓ（t）Y（t）+RtΓ（t）φ（t）+c（t）ξ（t）dξ（t）是鞅。因此，Γ（t）Y（t）+RtΓ（s）φ（s）+c（s）ξ（s）dξ（s）=EhΓ（T）Y（T）+RTΓ（s）φ（s）+c（s）ξ（s）dξ（s）|Fti。因此，Γ（t）Y（t）=EhΓ（t）Xξ+ZTtΓ（s）φ（s）+c（s）ξ（s）dξ（s）| fti，这是定理的主张。

5最大化奇异递归效用5最大化奇异递归效用在下面，设F={Ft}t∈[0，T]是（仅）布朗运动产生的过滤。考虑以下正向随机微分方程（FSDE）：dX（t）=b（t，X（t））dt+σ（t，X（t））dB（t）+θ（t，X（t））dξ（t）；X（0）=X∈ R.（14）其中，我们假设函数b，θ，σ是可微分的w.R.t.x（第二分量），t的有界导数∈ [0，T]。此外，考虑奇异倒向随机微分方程（SBSDE）：dY（t）=-g（t，X（t），Y（t），Z（t），ξ（t））dt- g（t，Y（t），ξ（t））dξ（t）+Z（t）dB（t）；Y（T）=h（X（T））（15），其中h:R→ R是一个给定的凹C函数，在[0，T]上可微分且有界导数。此外，函数g，gare被认为是有界的∈ [0，T]，不同的wrt。x、 y、z和y分别带有b基部分导数（对于t∈ [0，T]）。奇异递归效用函数由j（ξ）=E[RTf（t，X（t））dt+ψ（X（t））]+ψ（Y（0））（16）定义，其中φ和ψ为凹函数，且函数f为t的界∈ [0，T]以及不同的wrt。具有有界偏导数的x。问题是找到一个ξ*∈ A和Φ使得Φ：=supξ∈AJ（ξ）=J（ξ）*). （17） 这是一个奇异的正反向SDE（SFBSDE）控制问题。据我们所知，这类问题以前从未研究过。相关文献如下：在Oksendal and Sulem（2014）和Oksendal and Sulem（2015）中，建立了非奇异FBS最优控制的最大值原理。在Oksendal和Sulem（2012）和Hu等人。

（20 14），证明了奇异控制的最大原理，但结果不适用于等式（15）中给出的奇异递归效用情形。本文结合这些文献和相关文献的观点，建立了FBSDE耦合系统最优控制的最大值原理。为此，用H（t，x，y，z，ξ，p，q，λ）（dt，dξ）=H（t，x，y，z，ξ，p，q，λ）dt+H（t，x，y，ξ）dξ（t，x，y，ξ）（18），其中H（t，x，y，z，ξ，p，q，λ）=f（t，x）+b（t，x）p+σ（t，x）q+λg（t，x，y，y，z，ξ）（19）H（t，x，y，y，y，y，θ，p，ξ）。（20） 5最大化奇异递推效用a伴随变量的方程是：p（t），q（t），λ（t）的一种广义拉格朗日乘子：op（t）的BSDE，q（t）：dp（t）=-H（t）x（t）dt-H（t）x（t）dξ（t）+q（t）dB（t）；0≤ T≤ Tp（T）=~n′（X（T））+λ（T）h′（X（T））。（21）oλ（t）的FSDE:dλ（t）=Hy（t）dt+Hy（t）dξ（t）+Hz（t）dB（t）；0≤ T≤ Tλ（0）=ψ′（Y（0））。（22）在一般情况下，（21）-（22）等奇异FBSDE系统解的存在性和唯一性未知，见lso备注5.2。然后，以下最大值原理成立：定理5.1（最优奇异递归效用控制的有效最大值原理）Let^ξ∈ A、 利用耦合FBSDE系统（14）-（15）和（21）-（22）的相关解^X（t）、^Y（t）、^Z（t）、^p（t）、^q（t）、^λ（t）。