大气中的集体同步和高频系统不稳定性

这意味着只有一个时间尺度来表征果仁的衰变我们施加的条件是u=ηE[λt]，其中0<η<1。这意味着观察过程中的多重性分布与基线（或祖先）过程中的多重性分布相同。换句话说，霍克斯过程不同成分之间的交叉激发不会改变多重性的无条件性。注意，这个假设意味着ΓE[λt]=（1- η） E[λt]，即E[λt]（或u）是特征值为1的Γ的特征向量- η .o 描述变量j对变量i的激发强度的通用矩阵元素Γij是一个依赖于激发变量的项dii和一个项σ（|i）的乘积- 这取决于两个多重数的绝对差异。因此，我们可以重写Γ=D∑，其中D是元素di:=（1）的对角矩阵- η） uiPNj=1ujσ（|i- j |），和∑ij=σ（|i）- j |）最后，我们将矩阵∑参数化为∑ij=σ（|i）- j |）=（i）- j |+1）-γ选择这种双曲线衰变，仅用一个参数γ模拟两个非常不同的多重数之间的强交叉激发。因此，该模型通过向量u和三个参数η、γ和β进行参数化。在介绍估计过程之前，我们讨论了模型的一些性质。只要Γ的所有项都是严格正的，就可以应用佩龙-弗罗贝尼乌斯定理。然后，只存在一个具有所有严格正分量的特征向量，相关的特征向量是谱半径。因为对于所有i=1，…，E[λit]>0，N、 我们得出结论，光谱半径为1- η. 顺便说一句，我们注意到Γ的所有特征值都是实的。通过观察Γ是两个对称矩阵的乘积，D是对角和正定义，这个性质很好地证明了这一点。

的确，指的是√矩阵D的平方根，Γ与√D-1D∑√D、 这是对称的。此外，如果Γ是对角占优的，即如果|Γii |>Pj6=i | ij |对于i=1，N、 特征值也是严格正的。C.3模型参数的估计通过似然最大化对我们的模型参数进行严格估计会带来几个计算问题。相反，我们提出了一种基于矩的启发式和鲁棒性校准程序。我们特别考虑以下两个条件期望，真实和模拟数据的值如主要文章的图4所示：f（1）τ（M；J）：=PhT∈ （t，t+τ）s.t.Mt≥ JMt≥ Mi，（3）f（2）τ（M）：=EhMtMt≥ MT∈ （t，t+τ]s.t.Mt>0i。（4）第一个量f（1）τ（M；J）是在一个长度τ的时间间隔内观察到一个多重性至少为J的系统事件的概率，在多重性Mt大于或等于M的cojump之后。因此，它测量了多重性的cojump至少触发系统cojump的概率（J等于系统cojump的阈值）。第二个量f（2）τ（M）是在重数mtm大于或等于M的acojump之后，在长度τ的时间间隔内CoJump的平均重数。因此，它测量由至少M的多重性的共跳触发的典型共跳多重性。我们使用f（1）τ（M；J）（对于固定J和τ）和f（2）τ（M）（对于固定τ）通过加权最小二乘法估计三个模型参数η、γ和β。由于我们无法从模型中分析计算f（1）τ（M；J）和f（2）τ（M）的矩，我们使用固定参数进行蒙特卡罗模拟。具体地说，给定一个多重数M，让等式[3]和[4]中任何一个量的数据和模型条件期望由它们的偏差值ad（M）、am（M）和标准误差δd（M）、δM（M）表示。

然后，对于期望f（i）τ（i=1，2），我们构造了损失函数χ（i）=XM∈S（广告）- am）δd+δm，（5）其中总和取一组重数S。然后我们构造总损失函数χ（1）+0.5χ（2），并搜索使损失函数最小化的模型参数。给定少量参数，我们在0.05间距的网格上探索三维参数空间的大区域。C.4调查数据集的结果作为估算程序的一个例子，为了讨论已确定模型的性质，我们详细考虑了2013年罗素3000指数中N=140高流动性资产的情况。在正文的图4中也使用了相同的集合。公式[3]中的J=10，τ=5。[3] 和[4]，S={5,10,15，…，65,70}并寻找使Totaloss函数最小化的参数。按照这种方法，我们找到了一个明确的最小值，对应于η=0.15、β=0.6、γ=2.65的值。图6的左面板报告了Γ矩阵140×140个条目的对数值。与上面给出的定义一致，固定i的Γij是过去事件的多重性j对多重性i的影响。最大值对应于对角线项Γii=dii，并量化自激效应引起的强度冲击。然后，离开Γii，核矩阵沿着行对称地减少，按照双曲线，尾部指数γ=2.65。参数η重新缩放1 50 100 140J15010140i主对角线的水平-6.-4.-日志10Γij1 50 100 140i00。250.50.751Γii图6：左面板：矩阵的对数项Γij:=αij/βij，对于βij=β=0.6，对于alli，j=1，140，η=0.15，γ=2.65。右面板：矩阵Γ的对角线项作为多重数i的函数的线性图，在图的右面板中报告。

6，并确定过程的平稳程度。在图7中，我们绘制了矩阵Γ的完整光谱。正如所料，最大值对应于1- η=0.85，而所有特征值的正不确定性都来自于从数字上验证的证据，即矩阵是对角占优的。更具体地说，对于η、β和γ的选定值，矩阵Γ是通过指定预期强度向量E[λt]唯一确定的。在我们的数值实验中，我们将预期强度乘以时间序列长度的向量（即96861）替换为2013年罗素3000指数中140项资产的经验频率。图8根据与经验数据（粗体线）相关联的cojump多重数的累积分布函数的互补性传达了该信息。我们还报告了从与140维霍克斯过程（虚线）的蒙特卡罗模拟相对应的合成时间序列中测量的相同数量。150 100 14000.50.851 IGENVALUESρ（Γ）=1- η图7：矩阵Γ的特征值谱。光谱半径ρ（Γ）对应于1- η. 由于η=0.15，更一般地说，对于0<η<1，描述多重性随机演化的多维Hawkes过程保持平稳。对于选择的参数值，我们通过数值验证了Γ满足对角占优条件，因此其所有特征值都是严格正的。1 10 100多重性-5-4-3-2-1log10ccdfdatahawkes图8：共同多重性累积分布函数互补的对数-对数图。粗线对应于2013年罗素3000数据样本140项资产的经验分布。虚线是多维霍克斯过程模拟得出的分布。

模拟得出的总分钟数与经验时间序列的长度一致，等于96861。确认SFL承认SNS13LILLB“金融市场中的系统性风险跨越时间尺度”基金的部分支持。作者感谢E.巴克里、V.菲利莫诺夫和M.兰巴迪的有益讨论。此处表达的观点仅为作者的观点，不代表其雇主的观点。参考文献[1]刘易斯，M.闪电男孩：华尔街的反抗（WW Norton&Company，2014）。[2] Gomber，P.，Arndt，B.，Lutat，M.和Uhle，T.高频交易。可从SSRN1858626（2011）获得。[3] 麦金托什，J.G.高频交易员：天使还是魔鬼？CD Howe研究所评论391（2013）。[4] 高频交易使金融市场的价格同步。可在SSRN 2173247（2013）上获得。[5] 关于2010年5月6日市场事件的调查结果。CFTC和SEC向新兴监管问题联合咨询委员会提交的报告。可在线访问：www.sec。gov/news/studies/2010/marketevents report。pdf（2010）。[6] 《闪电崩盘：高频交易对电子市场的影响》。可从SSRN 1686004（2014）获得。[7] 约翰逊，N.等人，《超越人类反应时间的新机器生态学的突然兴起》。科学报告3（2013年）。[8] Golub，A.，Keane，J.&Poon，S.-H.高频交易和小型金融崩溃。arXiv预印本arXiv:1211.6667（2012）。[9] Bormetti，G.等人。用霍克斯因子模型对系统性价格波动进行建模。定量金融（2015）。内政部：10.1080/14697688.2014.996586。[10] Andersen，T.G.，Bollerslev，T.和Dobrev，D.受杠杆效应、跳跃和iid噪声影响的连续时间波动模型的无套利半鞅限制：理论和可测试的分布含义。

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