薄半鞅在附加信息下的无套利

以下断言是等价的。（a） 集合{eZ=0>Z-} 完全无法进入。（b） Xτ满足任何薄过程X的N UPBR（G），可预测的跳跃满足N UPBR（F）。证据定理的p屋顶将分两部分实现，即第1部分）和第2部分），其中我们证明（b）==>（a） 及（a）==>（b） 分别。1） 假设断言（b）成立。然后，多亏了命题2.3，我们推导出对于任何可预测的停止时间T，[[T]]∩ {eZ=0<Z-} =  （2.11）一方面。另一方面，因为{eZ=0<Z-} 如果很薄，则存在一系列F停止时间（σk）k≥1具有不相交的图，使得{eZ=0<Z-} =+∞[k=1[[σk]]。（2.12）回想一下，对于每个σk，存在两个F-停止时间（σi和σa，分别完全不可访问和可访问）和一系列F-可预测的停止时间（T（k）l）≥1在[[σk]]=[[σik]]∪ [[σak]]，[[σak]]+∞[l=1[[T（k）l]]。因此，通过将这些与+∞[k=1[[σik]]！∩+∞[k=1，l=1[[T（k）l]]= , （2.12）和（2.11），我们得出+∞[k=1[[σak]]=+∞[k=1，l=1[[T（k）l]]∩ {eZ=0<Z-} = .这个p在{eZ=0<Z时移动-} 是一个完全不可访问的集合和（b）的位置==>（a） 完成了。2） 为了证明相反的意义，我们假设断言（a）成立，并考虑X=PξnI[[Tn+∞[[满足NUPBR（F），其中tn是F-可预测的停止时间，ξ是有界的FTn可测随机变量。因为{x6=0}=+∞[n=1[[Tn]]是可预测的，我们得到{eZ=0<Z-} ∩ {X 6=0}=,因此，从备注2.5中，Xτ满足NUPBR（G）。这就结束了定理的证明。本着描述τ模型的精神，完整的一般结果如下：保持NUPBRafter以τ停止。定理2.7。以下断言是等价的。（a） 集合{eZ=0>Z-} 是转瞬即逝的。（b） Xτ满足满足NUPBR（F）的任何X的NUPBR（G）。证据

这个证明紧跟着[3]中定理2.6和命题2.22的结合（作者在这里证明了薄集{eZ=0<Z）-} 当且仅当上述断言（b）适用于任何F-准左连续过程X）时，才可访问。2.2显式局部鞅定义本节讨论如何从F-定义中为一类过程显式构造G-局部鞅定义。对于单跳过程和之后的一般薄过程，这是通过考虑F-neu变换过程实现的。提议2.8。设M:=ξI[[T+∞[[是F-鞅，其中T是F-可预测的停止时间，ξ是FT-可测的随机变量。那么以下断言是等价的。（a）M是（2.7）给出的QT下的F-鞅。（b）在集合{T<+∞}, 我们有MTI{eZT=0}|FT-= 0，P- a、 s.（2.13）（c）Mτ是qgtdp下的G-鞅：=UG（T）E（UG（T）|GT-)其中UG（T）：=I{T>τ}+I{T≤τ} ZT-埃兹特。（2.14）证据。当我们证明（a）时，p屋顶将分两步实现<==>（b） 及（a）<==>（c） 分别。第一步。在这里，我们证明（a）<==>（b） 。为了简单起见，我们用Q:=QT表示，其中QT在（2.7）中定义，并在{ZT]上注释-= 由于{ZT，Q与P和（2.13）保持一致-= 0}  {eZT=0}。因此，足以证明（a）<==>（2.13）在片场{T<+∞ & ZT-> 0}. 在这一组中，由于脚趾（ξ|英尺-) = 0（因为M是F-鞅），我们导出q（ξ| FT）-) = E（ξI{eZT>0}|FT-)P（eZT>0 |英尺-)-1= -E（ξI{eZT=0}|FT-)P（eZT>0 |英尺-)-1.因此，断言（a）（或等效等式（ξ| FT-) = 0）相当于（2.13）。（a）的证明到此结束<==> （b） 。第二步。证明（a）<==>（c） ，我们注意到由于{T≤ τ}  {eZT>0} {ZT-> 0}，在{T≤ τ} 我们有eZT>0 |英尺-EQGT（ξ| GT）-) = EZT-eZTξI{T≤τ} |GT-= EξI{eZT>0}|FT-= 等式（ξ| FT）-) PeZT>0 |英尺-.这个等式证明了Mτ∈ M（QG，G）当且仅当M∈ M（Q，F），以及（a）的证明<==>（c） 我完成了。

定理的证明到此为止。为了将这一命题推广到可能根本没有顺序的许多跳跃的情况，我们需要引入一些符号，并回顾[3]中的一些事实。首先，我们参考[12]（第VIII.2章第32-35节，第356-361页）和[21]（第III.4.b章，定义3（3.8），第106-109页）了解可选的随机积分（另见[3]中的定义3.4]）。定义2.9。设N是具有连续部分N的H-局部鞅，K是H-可选过程。K被认为是关于ifp可积的，H（K）是Nc可积的，p，H（K）|N |）+∞和X（K）N-p、 H（K）N）1/2∈ A+loc（H）。PutKG:=Z-简单-1Z-+ hmiFI]]0，τ]]，VG:=Xp，F（I{eZ=0}）I]]0，τ]]，（2.15）并且对于任何F-局部鞅M，我们将由cm:=Mτ给出的Mτ的G-局部鞅部分关联起来- Z-1.-I[[0，τ]]·hM，miF。（2.16）下面，我们回顾了[3]的一些有用结果。提议2.10。以下断言成立。（a） 根据上述定义，G-可选过程Kgbm是可积的。这里bm:=mτ- Z-1.-一] ]0，τ]]·hmiF。此外，得到的积分el（b）：=E-KG1- VG⊙ bm, （2.17）是满足[eL（b），M]的正（即eL（b）>0）G-局部鞅∈ 任意F-局部鞅的Aloc（G）。（b） VG∈ A+loc（G）和（1）- （VG）-1是G-局部有界的。这个命题的证明可以在[3]中找到（见引理3.3和命题3.6）。命题2.8的扩展通过将（2.14）中定义的随机变量UG（T）与过程（a）连接起来，如下所示。备注2.11。

根据[3]中的计算（见方程式（B.1），作者计算了KG的跳跃⊙ bm），我们有-(1 - （VG）eL（b）eL（b）-= 公斤 bm-p、 G公斤 bm=meZI]]0，τ[[- VG。因此，对于F-可预测的停止时间T，在{T≤ τ} 我们得到了-eZT=（1- VGT）eL（b）电话（b）T-.这证明了命题2.8的断言（a）和（b）是等价的。对于任何单跳F-鞅M（2.18）定理2.12，Mτ是G-鞅。考虑（2.17）中定义的L（b），并设M为满足P，F的细F-鞅MI{eZ=0<Z-}≡ 0.（2.19）那么，eL（b）Mτ是G-局部鞅。证据我们首先指出，这足以证明存在一个G-可预测过程，使得0<0≤ 1 andeL（b）（ν·Mτ）是G-鞅（局部鞅）。这就是说，thateL（b）∈ L（Mτ，G）（即G下Mτ的σ-martin gale密度）。这句话基于[eL（b），Mτ]是局部可积的，以及[7]的命题3.3和推论3.5，简化了假设。再次感谢[eL（b），Mτ]∈ Aloc（G），我们推导出p，GeL（b）|Mτ|< +∞, 考虑以下G-可预测过程φ：=h1+p，G(|Mτ|）+p，GeL（b）|Mτ|我-1“我Ohm\\(∪n[[Tn]]）++∞Xn=1-nI[[Tn]#，其中（Tn）n≥1是F-可预测的停止时间序列，它会耗尽M的跳跃。因此，很容易检查0<φ≤ 1和两个过程φ·MτandeL（b）-φ·Mτ+[eL（b），φ·Mτ]=PeL（b）φMτ一方面具有可积变化。另一方面，sincePeL（b）φMτ仅在可预测的停止时间上跳跃，其G补偿器为xp，GeL（b）φMτ=Xφp，GeL（b）Mτ≡ 这证明了El（b）-φ·Mτ+[eL（b），φ·Mτ]是G-局部鞅，或等价于y（b）（φ·Mτ）是aG-局部M-局部鞅。这就是定理的证明。推论2.13。对于任何薄F-鞅M{m6=0}∩ {eZ=0<Z-} eL（b）Mτ是G-局部鞅。证据

作为条件，推论的证明直接来自定理2.12{m6=0}∩ {eZ=0<Z-} =  意味着（2.19）。3在τ之后的部分，我们关注的是过程S-在第2节的同一部分中，我们将结果总结为两个小节。第一小节概述了主要结果，而第二小节解释了如何获得S的G-局部鞅微分- 当S在一系列过程中变化时，Sτ来自S的F因子。然而，在本节中，我们认为以下关于ττ的假设是一个诚实的时间，Zτ<1 P- a、 s.（3.20）3.1主要结果本小节介绍了我们关于（s）的NUPBR的主要结果-Sτ，G）。这些结果对单跳过程和一般薄过程也仅适用于可预测跳变。定理3.1。假设τ是一个诚实的时间。考虑F-可预测的停止时间T和anFT可测量的r.v.ξ，使得E（|ξ| FT-) < +∞ 关于{T<+∞}.如果S:=ξI{ZT-<1} 我+∞，那么以下是等价的：（a）S- Sτ满足NUPBR（G）。（b） 它满足NUPBR（F，eQ′T），其中eQ′T：=1.-eZT1- ZT-I{ZT-<1} +I{ZT-=1}· P.（3.21）（c）满足NUPBR（F，Q′T），其中对于Γ（T）：={P（eZT<1 | FT-) > 0&T<+∞} 我们没有：=I{eZT<1}∩Γ（T）P（eZT<1 | FT-)+ 我Ohm\\Γ（T）· P.（3.22）（d）eS:=ξI{eZT<1}I[[T+∞[[满足NUPBR（F）。该定理的证明很长，需要中间结果。因此，我们将证明推迟到第4.1子节。备注3.2。定理3.1为以下条件提供了两个等价（概念上不同）的特征：- Sτ满足NUPBR（G）。

其中一个特征使用P下的NUPBR（F）属性表示S的变换，而另一个特征基本上基于绝对连续概率测度下的S的NUPBR（F）。下一个定理描述了τ的模型，该模型在任何单个jumpF鞅的τ之后保持NUPBR（G）。定理3.3。假设τ是诚实的，并考虑F-可预测的停止时间T。然后，以下断言是等价的：（a）关于{T<+∞}, 我们有1o个 {ZT-= 1}. （3.23）（b）对于任何ξ∈ L∞（FT）使得E（ξ|FT-) = 在{T<+∞}, 过程-Mτsatis fies nupbr（G），其中M:=ξI[[T+∞假设断言（a）成立，考虑ξ∈ L∞（FT）使得E（ξ|FT-) = 0，P-a、 s.on{T<+∞ }. 通过将gm分解为M=I{ZT-<1} ξI[[T+∞[I{ZT]-=1} ξI[[T+∞注意M（2）- （M（2））τ=0，一方面我们可以将注意力限制在M=M（1）的情况。另一方面，自从{ZT-= 1}  {eZT=1}P-a.s.{T<+∞ }, 很明显，（3.23）意味着{eZT<1}={ZT-< 1} 关于{T<+∞}, hencefM:=I{eZT<1}M=M是F-鞅。因此，断言（b）遵循定理3.1对M的直接应用。（a）的证明到此结束=>（b） 。为了证明相反，我们假设断言（b）成立，并考虑FT可测且有界的r.v.ξ：=（I{eZT=1}-P（eZT=1 |英尺-))I{T<+∞}有界F-鞅M:=ξI[[T+∞一方面，M-Mτsatis fies NUPBR（G）。另一方面，由于{T>τ} {eZT<1}，有限的变化过程- Mτ=-P（eZT=1 |英尺-)I{T>τ}I[[T+∞是G吗- 可预测的因此，它是空的，或者相当于{ZT-< 1}  {eZT<1}P-a、 s.关于{T<+∞}. 这证明了断言（a），定理的证明就完成了。下面将定理3.1推广到一般薄过程的情况。定理3.4。

假设τ满足（3.20），S是一个只有可预测跳跃的薄过程。那么，以下断言是等价的。（a） 这一过程令人震惊- Sτ满足NUPBR（G）。（b） 对于任何δ>0，都存在一个正的F-局部鞅Y，例如p，FY|S|I{eZ<1}< +∞ &p、 FYSI{eZ<1}= {1上的0- Z-≥ δ}. （3.24）（c）对于任何δ，过程（1）：=XSI{eZ<1&1-Z-≥δ} ，（3.25）满足NUPBR（F）。这个定理的证明很长，并且是基于下一个问题的结果。因此，该证明依据第5.2小节。备注3.5。1） 在（3.25）中定义的过程S（1）是一个薄半鞅。事实上，我们有（1）=I{1-Z-≥δ} ·S-PSI{eZ=1和1-Z-≥δ} ，和xi{eZ=1和1-Z-≥δ}≤ δ-2X(m）≤ δ-2[m，m]∈ A+loc（F）。2）证明（A）==>（b） 这是定理证明中非常技术性的部分，而其余部分则很简单，为了保持这一部分的简短，将其推迟。定理3.6。以下断言是等价的。（a） 集合{eZ=1>Z-} 完全无法进入。（b） X-Xτ满足任何薄过程X的NU-PBR（G），可预测的跳跃满足NUP B R（F）。证据假设断言（a）成立，并考虑一个具有可预测跳跃X的精简进程，满足NUPBR（F）。因此{X6=0}是一个薄的可访问集，因此{eZ=1>Z-} ∩ {X 6=0}=. 因此，我们得出结论X（1）：=XXI{eZ<1和1-Z-≥δ} =I{1-Z-≥δ} ·X s atis NUPBR（F）。然后，直接应用定理3.4得到X的NUPBR（G）-Xτ。这证明了（a）==>（b） 。为了证明相反，我们指出集合{eZ=1>Z-} 很薄，我们完全模仿了T heorem 2.6证明的第1部分。定理的证明到此为止。定理3.7。以下断言是等价的。（a） 集合{eZ=1>Z-} 是转瞬即逝的。（b） X- Xτ满足任意X满足NUPBR（F）的NUPBR（G）。证据

这个证明紧接着来自于[4]中定理3.6和命题2.18的组合（其中作者证明了这个集合{eZ=1>Z）-} 当且仅当上述定理的断言（b）适用于任何拟左连续过程X时（即X不会在可预测的停止时间上跳跃）。3.2局部鞅定义的显式构造要构造薄F-局部鞅的G-定义，我们首先说明单跳F-鞅的这种构造。定理3.8。让τ成为一个诚实的时间。考虑F-可预测的停止时间T和ftr.v.ξ，使得E[|ξ| FT-] < +∞, P-a.s.定义M:=ξI{ZT-<1} 我+∞[dQFTdP:=DF:=I{eZT<1&P（eZT<1|FT-)>0}P（eZT<1|FT-)+ I{P（eZT<1 | FT-)=0}，且dqgtdp:=DG:=1- ZT-(1 -eZT）P（eZT<1 |英尺-)I{T>τ}+I{T≤τ}. （3.26）那么下列断言是等价的。（a） M是（QFT，F）-鞅。（b） 关于{ZT-< 1} 我们有ξI{eZT<1}|FT-= 0，P- a、 s.（3.27）（c）（M）- Mτ）是（QGT，G）-鞅。证据为了简单起见，通过证明，我们把Q:=qf和Q:=QGT放在一起。定理的证明将分两步进行。1） 在这里，我们证明（a）<==>（b） 。多亏了{eZT<1} {ZT-< 1} 和E[DF | FT-] = 1关于{T<+∞},我们导出q[ξI{ZT-<1} |英尺-] = EhDFξI{ZT-<1} |英尺-i=Ehξi{eZT<1}|FT-iP（eZT<1 |英尺-)I{ZT-<1}.因此，（a）<==>（b） 由这个等式和M是a（Q，F）-鞅当且仅当EQ（MT | FT）的事实结合而来-)I{T<+∞}= 0.2）在这里，我们讨论（b）<==> （c） 。为此，我们首先注意到M- Mτ=ξI{ZT-<1&T>τ}I[[τ+∞[[isa（Q，G）-鞅当且仅当EQ[ξI{ZT]-<1&T>τ}GT-]I{T<+∞}= 0

然后，使用e[DG | GT-] = 1关于{T<+∞}, 我们得到eq[ξI{ZT-<1&T>τ}GT-] = EhDGξI{ZT-<1} I{T>τ}| GT-i=EξI{T>τ}1-埃兹特燃气轮机-1.- ZT-P（eZT<1 | FT-)I{ZT-<1&T>τ}=EhξI{eZT<1}|FT-iP（eZT<1 |英尺-)I{ZT-<1} I{T>τ}，（3.28），其中（3.28）中的最后一个等式来自以下事实，τ是诚实的andE（H | GT-) I{T>τ}=EH（1-|FT-(1 - ZT-)-1I{T>τ}。对于任何FT可测量的随机变量H，存在上述条件预期（见[23]第5.3页）。因此，如果断言（b）成立，那么断言（c）紧跟在（3.28）之后。相反，如果断言（c）成立，则等式[ξI{ZT-<1} I{T>τ}GT-] = 因此，这与（3.28）的结合导致EhξI{eZT<1}|FT-i（1）-ZT-) = 这证明了断言（b），并且定理的证明已经完成。备注3.9。定理3.8可以被视为[8]中定理4.5的连续时间版本，一方面，它可以很容易地推广到有限个有序F-可预测停止时间的情况。另一方面，当把这个定理推广到一般的薄半鞅的情况时，主要的困难在于找到一个正的F-局部鞅，例如（3.26）中定义的QFTD的密度与任何F-可预测的停止时间T的LTT一致。这个难题仍然是一个悬而未决的问题，我们无法看到如何解决它。与QFT相比，（3.26）中给出的概率QGT满足dQGT/dP=eL（a）T/eL（a）T-, 其中，el（a）是一个正的G-局部鞅，将在下面描述。为此，我们需要引入一些符号，并回顾[4]中的一些结果。在本小节的其余部分中，我们考虑以下任何M的符号：∈ Mloc（F）厘米（a）：=M- Mτ+（1）- Z-)-1I]]τ+∞[·hmiF∈ Mloc（G），（3.29）WG:=Xp，FI{eZ=1}一] ]τ+∞[，（3.30）K（a）：=（1）- Z-)(1 -（埃兹）-1(1 - Z-)+ HMFI]]τ+∞[[.

（3.31）在下文中，我们回顾了[4]中的一个有用结果。提案3.10。以下断言成立。（a） 积极的过程（1）- （工作组）-1是G-局部有界的。（b） G-可选过程K（a）是bm（a）-可积的（关于定义2.9）。结果积分el（a）：=EK（a）（1）- （工作组）-1.⊙ bm（a）, （3.32）是满足[eL（a），cM（a）]∈ Aloc（G）。为了将定理3.8推广到一般薄半鞅的情况，我们首先将概率QGTandeL（a）连接起来，如下所示。备注3.11。放置LG：=K（a）⊙ bm（a）。然后，我们导出g（T）：=1- ZT-1.-eZTI{T>τ}P（eZT<1 | FT-)+ I{T≤τ}=1 +mT1-埃兹特I{T>τ}+I{T≤τ}=1 + LG- VG1- VG=1+eL（a）=eL（a）电话（a）T-.因此，定理3.8的断言（a）和（b）等价于toeL（a）（M）- Mτ）是任意单跳F-鞅M的Gmartingale（3.33），具有可预测的ju-mp时间。现在，我们正处于将定理3.8推广到薄过程的一般情况的阶段。定理3.12。设M是一个细F-局部鞅，如thatp，FMI{eZ=1>Z-}≡ 0.（3.34）那么，eL（a）（M）- Mτ）是G-局部鞅。证据多亏了It^o的公式，它是直接的thateL（a）（M）- Mτ）是G-局部鞅当且仅当xg:=M- Mτ+[eL（a），M- Mτ]（3.35）是一个G-lo-cal鞅。由于XGis是一个G-特殊半鞅，因此证明XGis是G下的σ-鞅就足够了。为了证明后一个事实，由于[7]中的P-位置3.3和推论3.5，证明Φ·XGis G-局部鞅对于某些G-可预测过程Φ0<Φ就足够了≤ 1.因为M是一个具有可预测跳变时间的薄过程，我们用（Tn）n表示≥1，我们得到xg=XeL（a）MI]]τ+∞[]和ju mps关于停止时间（Tn）n的顺序≥1一方面。