薄半鞅在附加信息下的无套利

另一方面，由于命题3.10（断言（b）），我们假设，G（eL（a）|M |）I]]τ+∞[[< +∞, 因此G-可预测过程Φ：=hXI[[Tn]]-n+IOhm\\(∪n[[Tn]]i1+p，G（eL（a）|M |）I]]τ+∞[[-1、满意度0<0≤ 1，Φ·XG∈ A（G），其G补偿器由（XG）p，G=XnΦp，G（eL（A）给出M（n））I]]τ+∞这里M（n）：=MTnI[[Tn+∞[[，而最后一个等式来自注释3.11的（3.33）。这证明了Φ·xG是一个G-局部鞅，并且定理的证明已经完成。推论3.13.a）如果M是一个细F-局部鞅{m6=0}∩ {eZ=1>Z-} = ,theneL（a）（M）- Mτ）是G-局部鞅。b） 假设S很薄{s6=0}∩ {eZ=1>Z-} = , 并满足NUPBR（F）。然后- Sτ满足NUPBR（G）。证据由于S满足NUPBR（F），因此存在一个F-可预测过程φ，即停止时间序列（Tn）n≥1增加到完整性，以及概率度量Qn~ 继续(Ohm, FTn）在0<φ时≤ 1, φ  STn∈ M0，位置（Qn，F）。回想一下，对于任何问题~ P，{eZ=1}={eZQ=1}，其中ezqt:=Q（τ）≥ t | Ft）。因此，这一事实与{s6=0}∩ {eZ=1>Z-} =  导致{(φ  STn）6=0}∩ {eZQn=1>ZQn-} = .因此，直接将定理3.12应用于φ STnunder Qn，我们得出结论φ STn-(φ  STn）τ（或等效STn- STn∧τ） 满足NUPBR（G，Qn）。因此，从命题1.5直接得出推论。这就结束了推论的证明。4定理2.1和3.1的证明在本节中，我们将证明定理2.1和3.1。这些证据不是技术性的，而是很长的。4.1定理的证明2.1证明分为四个步骤，其中我们证明（c）<==>（d） ，（d）<==> （b） ，（a）==> （c） ，及（b）==> （a） 分别。第一步：在这一步中，我们证明（c）<==> （d） 。

由于S是一个具有可预测跳变时间T的单跳过程，因此很容易看出S满足NUPBR（R），对于某些概率R，相当于IAS和IAcS满足任何FT的NUPBR（R）--可测量的事件A。因此，在事件{ZT）上分别证明断言（d）和断言（c）之间的等价性是不够的-= 0}和{ZT-> 0}. 自{ZT-= 0}  {eZT=0}和E（eZT|FT-) = ZT-关于{T<+∞}, 把Γ：=nP（eZT>0 | FT-) = 0&T<+∞o、 我们嘲笑ZT-IΓ∩{T<+∞}= E埃兹蒂Γ∩{T<+∞}= 0，和0=P{ZT-= 0} ∩ {eZT>0}∩ {T<+∞}= EI{ZT-=0}∩{T<+∞}PeZT>0 |英尺-.这些等式意味着{T<+∞}, P- a、 在美国，我们有{ZT-= 0} = Γ {eZT=0}。（4.36）因此，在片场{T<+∞}∩Γ，三个概率P，qt和qt重合，断言（c）和（d）之间的等价性是显而易见的。在集合{T<+∞ & P[eZT>0 |英尺-] > 0}，在e haseQT上~ QT，并且（c）和（d）之间的等价性也很明显。这就实现了第一步。第二步：这一步证明（d）<==> （b） 。多亏了{ZT-= 0}  {eZT=0}，我们在{ZT=0}上推导-= 0}，eS≡ s≡ 0和qt也与P一致。因此，在这种情况下，断言（d）和（b）之间的等价性是显而易见的。因此，证明这些关于{T<+∞ & P（eZT>0 |英尺-) > 0}.假设（d）成立。然后，存在一个FT可测量的随机变量Y，使得Y>0QT- a、 在{T<+∞}, 我们有（Y |英尺）-) = 1，EQT（Y |ξ| FT-) < + ∞ , & EQT（YξI{eZT>0}|FT-) = 0.由于Y>0在{eZT>0}上，通过puttingY:=yi{eZT>0}+I{eZT=0}和Y:=YE[Y|FT-],很容易检查Y>0，eY>0，EheY | FT-i=1和EheYξi{eZT>0}|FT-i=EhYξi{eZT>0}|FT-iE[Y|FT-]= 因此，eS是R:=eY·P下的鞅~ P和henceeS satis NUPBR（F）。这就结束了对（a）的理解=>（b） 。为了证明相反的意义，我们假设断言（b）成立。

然后，就有了∈ L（FT），使得E[Y|ξ|I{eZT>0}|FT-] < +∞, E[Y |英尺-] = 1和de[YξI{eZT>0}|FT-] = {ZT上的0-> 0}. 然后，考虑：=yi{eZT>0}P（eZT>0|FT-)E[yi{eZT>0}|FT-]+ I{eZT=0}那么很容易验证Y>0qt- a、 美国，EQT（Y |英尺-) = 1和EQTYξI{ZT->0}|英尺-=EhYξI{eZT>0}|FT-iE[yi{eZT>0}|FT-]= 0.此p证实了断言（d）和（d）的证明<==>（b） 实现了。第三步：在此，我们证明（a）=> （c） 。假设Sτ满足NUPBR（G）。然后存在正的GT可测随机变量YGI，使得E[ξYGI{T≤τ} |GT-] = {T<0+∞}. 根据引理B.2–（a），我们证明了两个正FT可测变量yfi和yfi的存在性≤τ} =YFI{T<τ}+YFI{T=τ}。然后，在{T<+∞}, 我们得到0=E[ξYGI{T≤τ} |GT-] = E[ξ（YFZT+（ZT-eZT）YF | FT-]I{T≤τ} ZT-.因此，通过在上述等式和puttingeY中取条件期望：=YFZTeZTI{eZT>0}+（ZTeZT- 1） I{eZT>0}YF+I{eZT=0}>0，我们得到0=E[ξeYeZTZT]-I{ZT->0}|英尺-] = EeQT[ξeY | FT-]I{ZT->0}=EeQT[STeY|FT-].本文件证实了（d）项主张和（a）项证明=>（d） 实现了。第4步：最后一步证明（b）=>（a） 。假设这是满足NUPBR（F）的条件。然后，就存在了∈ L（FT）在{T<+∞} 我们有[Y |英尺-] = 1，Y>0，E[Y|ξ|I{eZT>0}|FT-] < +∞, P- a、 s.andE[YξI{eZT>0}|FT-] = 0.然后把R:=Y·P~ P，我们推导出这是一个（F，R）-鞅SI{eZ=0}≡ 因此，断言（a）从命题2.8直接应用到R下的M:=eS~ P（很容易看出（2.13）适用于（eS，R），即ER（eSTI{eZT=0}|FT）-) = 0). 这就结束了第四步，完成了定理的p屋顶。4.2定理3.1{ZT]的证明-= 1} ={P（eZT<1 | FT-) = 0}  {eZT=1}很明显，eq′T~ Q\'T<< P.因此，（b）<==>（c） 立即跟进。

因此，证明的剩余部分包括三个步骤，即e（c）==>（d） ，（d）==>（a） 及（a）==>（b） 分别是p罗文。第一步：（c）=>（d） 。假设（c）保持不变。然后，存在一个FT可测的随机变量YT>0，Q′T-a.s，使得EQ′T[STYT | FT-] = 0，或相当于[ξYTI{eZT<1}|FT-]I{ZT-<1} =0和E[ξYT | FT-]I{ZT-=1}= 0.自从，在片场{ZT-= 1} ，eS≡ 0，集中在{ZT]对应的部分就足够了-< 1}.PuteYT:=YTI{eZT<1}+I{eZT=1}和Q:=eYT/E（eYT | FT-) · P~ 然后，我们推导出等式[ξI{eZT<1}|FT-] = 因此，我们得出结论ES是（Q，F）-鞅，因此断言（d）如下。第2步：（d）=> （a） 。由于满足NUPBR（F），存在一个可测量的FT Y>0，使得e[YξI{eZT<1}|FT-] = 0.放置Q:=Y/E（Y | FT-) · P~ 注意{eZT<1}={eZQT<1}，其中eZQT:=Q（τ≥ t | Ft）。因此，直接应用定理3.8在Q下，我们得出- Sτ=eS-eSτsatis fies NUPBR（G）。步骤3：（a）=> （b） 。假设S-Sτ满足NUPBR（G）。存在一个GT可测量的YG>0，即E[XYGI{T>τ}GT-] = 0.那么，多亏了提议？？，我们推导了在YGI{T>τ}=YFI{T>τ}处正的可测性的存在性。然后，我们计算0=E[ξYGI{T>τ}GT-] = E[ξYF（1）-|FT-]I{T>τ}1- ZT-= EeQ′（T）XYF |英尺-I{T>τ}。因此，通过采用条件期望并利用{ZT\'中包含了对eq′（T）的支持这一事实-< 1} ，我们得到（1）- ZT-)EeQ′（T）[ξYF|FT-] = 0，或等效EeQ′（T）[STYF|FT-] = 0便士- a、 这个p证明了断言（b），并得到了定理的证明。5定理2.4和3.4的证明本节致力于定理2.1和3.4的证明。这些证明是关于随机测度和半鞅特征的技术性和必要的符号。对于任何过滤H，wedenoteeO（H）：=O（H） B（Rd），eP（H）：=P（H） B（Rd），其中B（Rd）是Rd上的Borelσ场。

对于c`adl`ag H适应过程X，我们将以下可选随机测量值uxd与uX（dt，dx）相关联：=Xu>0I{Xu6=0}δ（u，徐）（dt，dx）。（5.37）对于产品可测量的功能W≥ 0开Ohm × [0, +∞[×Rd，我们表示W uX（或有时滥用符号W（X） uX）过程（W） uX）t:=ZtZRd-{0}W（u，x）ux（du，dx）=X0<u≤tW（美国），（徐）我{Xu6=0}。（5.38）定义5.1。考虑一个c`adl`agh-适应过程X及其可选的随机度量uX。（a）我们用Gloc（uX，H）表示，alleP（H）可测函数的集合WXt≤·W（t，圣）我{St6=0}-ZWt（x）νx（{t}，dx）1/2∈ A+loc（H）。（b） 集合Hloc（uX，H））是所有（H）可测量的fu nc，W的集合，使得（W uX）1/2∈A+loc（H）。也在Ohm × [0, +∞[×Rd，我们定义了测量值MPuX:=P uXbyZW dMPuX:=E[（W uX）∞] ,（当预期明确时）。产品可测函数W的条件“期望”给定nep（H），用MPuX（W | eP（H））表示，是uniqueeP（H）-可测函数满足性[（W I∑] uX）∞] = Eh（fW I∑） uX）∞i、 总之∑∈eP（H）。当X=S时，为了简单起见，我们表示u：=uS。然后，S的F-正则分解isS=S+h (u - ν） +b·A+（x）- h） u，（5.39），其中h，定义为h（x）：=xI{x|≤1} ，是trun阳离子函数。当X=S时，我们将其与（5.38）中定义的u联系起来，即其可预测的补偿器随机测量值ν。理论的直接应用。[3]中的1（参见[21]中的定理3.75）（第103页）或[22]中的引理4.24（第三章）），到（2.5）中定义的鞅m，导致局部鞅m的存在⊥还有fm∈ Gloc（u，F），转基因∈ Hloc（u，F）和βm∈ L（Sc）su ch thatm=βm Sc+fm (u - ν） +gm u+m⊥.

（5.40）G下Sτ的相应正则分解由Sτ=S+h给出 （uGb）- νGb）+hfmZ-一] ]0，τ]] ν+b Aτ+（x）- h） uGb（5.41），其中（βm，fm）由（5.40）给出，uGb和νGb由uGb（dt，dx）给出：=I[[0，τ]]（t）u（dt，dx），νGb（dt，dx）：=（1+Z）-1.-fm）I[[0，τ]]（t）ν（dt，dx）。（5.42）5.1定理2.4的证明该证明包括四个步骤，我们在其中证明（b）<==>（c） ，（b）==>（a） ，及（a）==>（b） 分别。技术上只涉及最后一步。第一步：在这里，我们证明（b）<==>（c） 。注意（c）==>（b） 紧随引理1.4。假设断言（b）成立，并考虑以下F-可预测过程φ：=h1+p，FY|S | I{eZ>0}我-你好Ohm\\(∪n[[Tn]]）+X-nI[[Tn]]i，式中（Tn）n是F-可预测停止时间的序列，因此{s6=0}+∞[n=1[[Tn]]。然后，很容易看到进程x:=Y-~n·S（0）+[~n·S（0），Y]=XYSI{eZ<1&Z-≥δ} 具有可积变化，其F补偿器由以下公式给出（由于F作用，它是一个具有有限变化的纯jum p过程，仅在可预测的停止时间上跳跃）Xp，F=Xp，FY~nSI{eZ>0}I{Z-≥δ}≡ 0.因此，Y（ν·S（0））是F-局部鞅，S（0）满足NUPBR（F）。这就结束了（b）的证明<==>（c） 。第二步：在这里，我们证明（b）=> （a） 。假设断言（b）成立，并考虑一系列增加到整数的Fstopping时间（τn），使得Yτ是F-鞅，Qn:=Yτn/Y·P~P那么，（2.9）意味着（S（0））σ是一个Qn局部鞅，并且满足（2.19）在Qndue到{eZQT=0}={eZT=0}下，对于任何Q~ P和任何F-停止时间T，（5.43），其中ezqt:=Q[τ≥ t |英尺]。这源于Ehezti{eZQT=0}i=EhI{τ≥T}I{eZQT=0}I=0（这意味着{eZQT=0} {eZT=0}）以及Q和P的对称作用。因此，定理2.12的直接应用（S（0））σn，Qn导致（S（0））σn的NUPBR（G，Qn）∧τ=I{Z-≥δ} ·Sσn∧τ.

由于命题1.5，这意味着I{Z的NUPBR（G）-≥δ} ·对于任何δ>0的情况，S。自从Z-1.-I[[0，τ]]是G-局部有界的，存在一系列G-停止时间τδ，当δ减小到零时，它增加到完整性，[[0，τ]]∧ τδ]]  {Z-≥ δ}. 因此，我们得出结论Sτ∧τδ满足NUPBR（G）。因此，命题1.5再次暗示，Sτ最终满足NUPBR（G）。第二部分到此结束。第3步：在这一步中，我们将重点放在证明（a）=>（b） 。假设Sτ满足NUPBR（G）。因此，对于I{Z，G下存在σ-鞅密度-≥δ} Sτ（δ>0），我们用DG表示。然后，从定理a.1的直接应用出发，我们推导出一个正的EEP（G）-可测泛函fG的存在性∈ Gloc（uGb，G），使得DG:=E（NG）>0，其中NG:=WG （微克）- νG），WG:=fG- 1+bfG- aG1- aGI{aG<1}，其中在（5.42）中定义了νGwas，并在（5.40）中定义了Fmgi{Z-≥δ} νG=xfG1+fmZ-一] [0，τ]]I{Z-≥δ} ν ≡ 0.（5.44）由于引理B.2，我们得出了一个正的（F）-度量函数F的存在性，例如fGI]]0，τ]]=fi]]0，τ]]。因此，（5.44）变成（b）：=xf1+fmZ-一] [0，τ]]I{Z->0} ν ≡ 0.介绍以下符号u：=I{eZ>0&Z-≥δ} ·u，ν：=hI{Z-≥δ} ·ν，h:=MPuI{eZ>0}|eP,g:=f（1+fmZ）-)hI{h>0}+I{h=0}，a（t）：=v（{t}，Rd），（5.45）并假设p（g- 1) u∈ A+loc（F）。（5.46）然后，由于引理A.2，我们推导出W:=（g- 1)/(1 - a+bg）∈ Gloc（u，F）和局部鞅n（0）：=g- 11- a+bg (u- ν） ，Y（0）：=E（N（0）），（5.47）定义良好，满足1+N（0）>0[N（0），S]∈ A（F）和{Z-> 0}我们有p，FY（0）SI{eZ>0}Y（0）-=p、 F(1 + N（0））SI{eZ>0}=p、 Fg1- a+bgSI{eZ>0}= gxh1- a+bg ν = xf（1+fm/Z）-)1.- a+bgI{Z->0} ν=p，FU（b）1.- a+bg≡ 这证明了断言（b）在假设（5.46）下成立。证据的剩余部分将表明这个假设始终成立。

对于这个en d，我们首先注意到在s et{h>0}上，g- 1=f（1+fmZ）-)H- 1=（f）- 1） （1+fmZ）-)h+fmZ-h+MPuI{eZ=0}|ePh:=（f）- 1） （1+fmZ）-)h+MPumI{eZ>0}|ePZ-h=：g+MPumI{eZ>0}|ePZ-h、 自从（f）- 1） I]]0，τ]] u1/2∈ A+loc（G），然后根据命题A.3–（e）q（f）- 1） I{Z-≥δ} （eZ·u）∈ A+loc（F），对于任何δ>0。然后，直接应用命题a.3–（a），对于任何δ>0，我们有（f- 1） I{|f-1|≤α&Z-≥δ} （eZ·u），|f- 1 | I{| f-1 |>α&Z-≥δ} （eZ·u）∈ A+loc（F）。通过停止，在不丧失一般性的情况下，我们假设这两个过程和[m，m]属于A+（F）。注意-+fm=MPueZ | eP≤ MPuI{eZ>0}|eP= 这是弗罗梅兹的故事≤ I{eZ>0}。因此，我们嘲笑gI{|f-1|≤α} u(∞)= E“（f- 1） （1+fmZ）-)你好{f-1|≤α} u(∞)#= E“（f- 1） （1+fmZ）-)你好{f-1个|≤α} ν(∞)#≤ δ-2E（f）- 1） （Z）-+ fm）I{|f-1|≤α&Z-≥δ} ν(∞)= δ-2Eh（f）- 1） I{|f-1|≤α} （eZI{Z）-≥δ}· u)(∞)我+∞,安第斯山脉gI{|f-1|>α} u(∞)= E“| f- 1 |（1+fmZ）-)你好{f-1|>α} u(∞)#= E|F- 1 |（1+fmZ）-)I{|f-1 |>α}I{Z-≥δ} ν(∞)≤ δ-1Eh | f- 1 | I{| f-1|>α} （eZI{Z）-≥δ}· u)(∞)我+∞.（5.45）中定义了u和ν。因此，通过命题A.3-（A），我们再次得出结论 u∈ A+loc（F）。由于MPu（HK | eP（F））≤ MPu（H|eP（F））MPu（K|eP（F）），我们MPumI{eZ>0}|ePZ-H u(∞)≤ EMPu(m） | ePMPuI{eZ>0}|ePZ-H u(∞)= EMPu(m） | ePZ-I{Z-≥δ} u(∞)≤ δ-2E[[m，m]∞] < +∞.因此，我们得出结论P（g- 1) u∈ A+loc（F）。这就结束了（5.46）的证明，Theorem的证明就完成了。5.2定理的证明3.4在证明定理的两个断言之间的等价性之前，我们将开始概述大量的注释，这些注释极大地简化了证明。在{T<+∞} 对于Q，我们有{eZQT=1}={eZT=1}~ P和F- 停止时间T，（5.48），其中ezqt:=EQ（τ）≥ t | Ft）。事实上，杜伊图（1）-eZT）I{eZQT=1}I=EhI{τ<T}I{eZQT=1}I=0，夹杂物{eZQT=1} {eZT=1}后面跟着，而反向包含后面跟着s y mmetry。

这证明了（5.48）。由于S是一个只有可预测跳变时间的薄过程，因此存在一系列F-可预测停止时间（Tn）n≥1.这样{s6=0}+∞[n=1[[Tn]]。定理的证明包括三个步骤，其中我们证明（b）<==>（c） ，（b）==>（a） 及（a）==>（b） 分别。第一步：在这里，我们证明（b）<==>（c） 。注意，k s到引理1.4，（c）==> （b） 立即跟进。证明相反（即（b）==>（c） ），我们考虑以下F-可预测过程φ：=h1+p，FY|S|I{eZ<1}我-1“我Ohm\\（S）+∞n=1[[Tn]]++∞Xn=1-nI[[Tn]#。很容易检查0<Д≤ 1和U:=Y-是一个具有可积变量的过程，其补偿器（因为它是一个纯跳跃过程，具有有限的变量，且仅在可预测的停止时间上）为up，F=X k p，FYSI{eZ=1>Z-}≡ 这证明Y是S（1）（即Y）的σ-鞅密度∈ L（S（1），F）），然后紧接着是hen-ce断言（c）。第二步：在这里我们将证明（b）=> （a） 。假设断言（b）成立，并考虑停止时间序列（σn）确保Yσ是鞅，并将Qn:=（Yσn/Y）·P~ P那么，因为：=PSI{eZ<1}是一个只有可预测跳变时间的薄过程，条件（3.24）转化为σ是一个Qn-lo-cal鞅满足的事实{eSσn6=0}∩ {eZQn=1>ZQn-} = ,由于（5.48）。因此，多亏了命题1.5，就足以证明断言（a）在qnSσn下成立。因此，在不丧失普遍性的情况下，我们假设Y≡ 1和hen ceeS是满足（3.34）的F-局部鞅。因此，直接应用定理3.12意味着τ满足上br（G）。步骤3：在这里，我们将证明（a）=>（b） 。假设这是- Sτ满足NUPBR（G）。直接应用Theorem A.1意味着fG的存在∈ Gloc（uGa，G）使fG>0，NG:=WG （uGa）-νGa），WG:=fG- 1+bfG- aG1- aGI{aG<1}和xfg νGa=xfG1.-fm1- Z-一] ]τ+∞[[ ν ≡ 0

（5.49）此处fm:=MPu(m | eP（F））（也由（5.40）给出，而uGa和νGaAle由uGa:=I]]τ给出+∞[·u，νGa:=1.-fm1- Z-一] ]τ+∞[[·ν.由于引理B.2，存在一个P（F）-度量泛函F>0，使得fG=F在随机区间]]τ+∞[3]和（5.49）变成1.-fm1- Z-一] ]τ+∞[[ ν ≡ 0.（5.50）由于位置A.4和G-局部有界性（1- Z-)-1I]]τ+∞[]，我们可以找到停止时间（σFn）n的序列≥1增加到完整性和（1）-Z-)-1I[[0，σFn]]I]]τ+∞[[以（n+1）为界。而且，因为（f）- 1） I]]τ+∞[[ u1/2∈ A+loc（G），得益于命题A.4（断言（c）和（A）），我们推导出了F-停止时间序列（τn）的存在性，该序列增加到完整性，使得三个过程[m，m]τn（F- 1） I{|f-1个|≤α & 1-Z-≥δ}u）τ与| f- 1 | I{| f-1|>α& 1-Z-≥δ}u）τnare可积，其中u：=（1）-eZ）·u。考虑以下符号u：=I{eZ<1&1-Z-≥δ} ·u，ν：=hI{1-Z-≥δ} ·ν，h:=MPuI{eZ<1}|eP,g:=f（1）-fm1-Z-)你好{h>0&Z-<1} +I{h=0或Z-=1} ，假设w（1）（t，x）：=gt（x）- 11- a（1）t+bgt∈ Gloc（u，F），（5.51），其中a（1）t:=ν（{t}，Rd）和bgt:=Rgt（x）ν（{t}，dx）。然后，我们可以很容易地证明断言（b）成立。实际上，我们取（1）：=g- 11- a（1）+bg (u- ν） Y:=E（N（1））。那么很明显1+N（1）=1- a（1）+bgI{S=0或Z=1}+g(S） 一,- a（1）+bgI{S6=0&eZ<1}>0，且在{Z-< 1} 我们得到了P，FYSI{eZ<1}t=Yt-p、 F(1 + N（1））SI{eZ<1}t=Yt-p、 Fg(（S）SI{eZ<1}t1- a（1）t+bgt=Yt-1.- a（1）t+bgtZgt（x）xh（t，x）ν（{t}，dx）=Yt-1.- a（1）t+bgtZxft（x）1.-fm（t，x）1- Z-ν（{t}，dx）≡ 0.上述等式串中的最后一个等式直接从（5.50）开始。因此，只要我们证明（5.51），断言（b）就会立即出现。