薄半鞅在附加信息下的无套利

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英文标题：
《Non-Arbitrage Under Additional Information for Thin Semimartingale
  Models》
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作者：
Anna Aksamit, Tahir Choulli, Jun Deng and Monique Jeanblanc
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper completes the two studies undertaken in \\cite{aksamit/choulli/deng/jeanblanc2} and \\cite{aksamit/choulli/deng/jeanblanc3}, where the authors quantify the impact of a random time on the No-Unbounded-Risk-with-Bounded-Profit concept (called NUPBR hereafter) when the stock price processes are quasi-left-continuous (do not jump on predictable stopping times). Herein, we focus on the NUPBR for semimartingales models that live on thin predictable sets only and the progressive enlargement with a random time. For this flow of information, we explain how far the NUPBR property is affected when one stops the model by an arbitrary random time or when one incorporates fully an honest time into the model. This also generalizes \\cite{choulli/deng} to the case when the jump times are not ordered in anyway. Furthermore, for the current context, we show how to construct explicitly local martingale deflator under the bigger filtration from those of the smaller filtration.
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中文摘要：
本文完成了在{aksamit/choulli/deng/jeanblanc2}和{aksamit/choulli/deng/jeanblanc3}进行的两项研究，在这两项研究中，作者量化了当股票价格过程是准左连续的（不跳到可预测的停止时间）时，随机时间对具有有限利润概念的无无界风险（下文称为NUPBR）的影响。在此，我们主要研究仅存在于薄可预测集上的半鞅模型的NUPBR以及随机时间的渐进放大。对于这种信息流，我们解释了当一个人以任意随机时间停止模型时，或者当一个人将完全诚实的时间纳入模型时，NUPBR属性受到的影响有多大。这也将{choulli/deng}推广到了跳转时间不按顺序排列的情况。此外，在当前的背景下，我们展示了如何在较大过滤条件下从较小过滤条件下显式构造局部鞅平减指数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Non-Arbitrage_Under_Additional_Information_for_Thin_Semimartingale_Models.pdf (332.44 KB)

2022-5-8 04:41:53 上传

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关键词：无套利 Mathematical Quantitative information mathematica

Thinsemi鞅模型在附加信息下的无套利性*Anna Aksamit、Tahir Choulli+1、Jun Deng和Monique Jeanblanc数学和统计科学系。，艾伯塔大学，埃德蒙顿，加拿大银行与金融学院，北京对外经济贸易大学，中国实验室，埃弗里-瓦尔-德桑大学，埃弗里，Francieth这篇论文发展了我们早期版本中提到的薄跳和单跳过程的一部分：“半鞅模型的随机视界和诚实时间后的无套利”，可在以下网址获得：http://arxiv.org/abs/1310.1142v1July本文完成了[3]和[4]中的两项研究，其中作者用有界利润概念（称为NUPBRhereafter）量化了随机时间对非无界风险的影响，当股票价格过程是准左连续的（不跳到可预测的停止时间）。在此，我们主要研究仅存在于thinprodictable集上的半鞅模型的NUPBR和随机时间的渐进放大。对于这一信息流，我们解释了当一个人通过任意随机时间停止模型，或者当一个人将完全诚实的时间纳入模型时，NUPBR属性会受到多大程度的影响。这将[8]简化为跳转时间不按顺序排列的情况。此外，对于当前的c上下文，我们展示了如何在较大过滤下从较小过滤下显式构造局部鞅。1导言我们考虑的是随机基础(Ohm, G、 F=（英尺）t≥0，P），其中F是满足通常假设（即，正确的连续性和完整性）的过滤，F∞ G.从财务角度来说，过滤代表了公共信息随时间的流动。

在此基础上，我们考虑了一个任意但固定的d维c`adl`ag半鞅，S，它代表数据股票的贴现价格过程，而无风险资产的价格假定为常数。在最初的m模型旁边(Ohm, G、 F，P，S），我们考虑一个随机时间τ，即一个非负的G-可测随机变量。在实际层面上，这种随机时间可以模拟死亡时间、一个事件的默认时间，或者可能以某种方式影响市场的事件的任何发生时间。本文的主要目的在于讨论*Tahir Choulli和Jun Deng的研究由加拿大自然科学与工程研究委员会通过G121210818拨款资助。Anna Aksamit和Monique Jeanblanc的研究由法国银行业联合会转型期市场主席支持。+通讯作者，电子邮件：tchoulli@ualberta.cawhether新模型（S，F，τ）是无套利的或非套利的。为了严格地解决这个问题，我们需要一方面详细说明本文采用的非套利概念，因为连续时间的套利具有相互竞争的定义。另一方面，我们需要对信息流进行建模，以捕获流F和τ表示的信息。对于这一随机时间，我们将过程D和过滤G与byD相关联：=I[[τ+∞[G=（Gt）t≥0，Gt=\\s>t财政司司长∨ σ（Du，u）≤ （s）. （1.1）过滤G是最小的右连续过滤，其中包含F，使τ成为停止时间。在概率论文献中，G被称为F随τ的逐步扩大。为了从主题上定义无套利条件，我们需要定义一些在本文中有用的符号。1.1一些一般符号和定义在本文中，H表示满足通常假设的过滤，以及过滤概率空间上的Q a概率测量(Ohm, H） 。

用M（H，Q）表示的QI下过滤H的马丁盖尔集。当Q=P时，我们只表示M（H）。通常，A+（H）表示一组递增的、右连续的、H适应的和可积的过程。如果C（H）是一类H适应过程，我们用C（H）表示过程集X∈ C（H）的X=0，而Cloc（H）的过程集X存在一个序列（Tn）n≥1小时停车时间增加至+∞ 停止的过程从XTnbelong到C（H）。我们计算c0，loc（H）=C（H）∩ Cloc（H）。对于具有H-局部可积变分的过程K，我们用Ko表示，Hits对偶可选投影。K的对偶可预测投影（也称为H-对偶可预测投影）表示为Kp，H。对于过程X，我们表示o，HX（resp.p，HX）及其相对于H的可选（resp.predictable）投影。对于H-半鞅Y，集合L（Y，H）是H可积的H可预测过程w.r.t.Yand的集合∈ L（Y，H），我们表示H Yt:=RtHsdYs。通常，对于过程X和随机时间θ，我们用Xθ表示停止的过程。为了区分过滤效果，我们将h表示为。如果，或h。如果可能出现混淆，则使用过滤F或G中计算的尖括号（可预测的协变量过程）。我们记得，对于一般半鞅X和Y，尖括号是（如果存在）协变量过程[X，Y]的对偶可预测投影。为了方便读者，我们回顾了精简流程/集合的定义定义定义1.1。一套 Ohm ×[0, ∞[i’s thin if，无论如何ω∈ Ohm, 集合A（ω）是可数的。如果存在一个随机变量序列ξ和一个随机时间序列tn的递增序列，则称为thin的过程∞n=1ξnI[[Tn，∞[[.

它的路径只在一个小集合上变化，henceX=I∪∞n=1[[Tn]] X=∞Xn=1I[[Tn]] X=∞Xn=1I[[Tn]]XTn。1.2无套利概念我们将介绍本文将讨论的无套利概念。定义1.2。H-半鞅X满足（H，Q）（以下称为NUPBR（H，Q））下的无无界Pro-fit和有界风险条件，如果对于任何t∈ (0, +∞) setKT（X，H）：=n（H S） T|H∈ L（X，H）和H 十、≥ -1在Q下概率有界。当Q~ P，我们只是在滥用语言的情况下写了一篇文章，内容是Xsatis fies NUPBR（H）。[3]中给出了这一定义，以及以下内容。提议1.3。设X是H-半鞅。那么下面的断言是等价的。（a） X满足NUPBR（H）。（b） 存在正H-局部鞅Y和满足0<θ的H-可预测过程θ≤ 1和Y（θ） 十） 是一个局部鞅。对于任何H-半鞅X，满足命题1.3的断言（b）的局部鞅称为X的σ-鞅密度。这些σ-马丁鞅密度集将通过p-byL（H，X）：={Y进行分解∈ Mloc（H）| Y>0，θ ∈ P（H），0<θ≤ 1，Y（θ） 十）∈ Mloc（H）}（1.2），其中P（H）通常表示Ohm × [0, ∞) 通过滥用符号θ∈ P（H）表示θ是P（H）-可测的。在没有证据的情况下，我们陈述了一个明显的引理。引理1.4。对于任意H-半鞅X和任意Y∈ L（H，X），一个搭扣，H（Y）|X |）<∞ andp，H（Y）十） =0。下面，我们陈述了一个在[3]中得到证明的结果，并将在本文中经常使用。提议1.5。设X为H适应过程。

那么，以下断言是等价的。（a） 存在一个序列（Tn）n≥1小时停车时间增加到+∞, 这样对每个人来说≥ 1，存在一个概率Qnon(Ohm, HTn）使Qn~ Qn下的P和XTnsatis fies NUPBR（H）。（b） X满足NUPBR（H）。（c） 存在一个H-可预测过程φ，使得0<φ≤ 1和（φ 十） 满足NUPBR（H）。在本节结束时，我们给出了一个简单但有用的结果，用于预测具有有限变化的过程。引理1.6。设X是一个具有有限变化的H-可预测过程。那么X满足NUPBR（H）当且仅当X≡ 1.3我们的成就考虑到新信息流的建模，我们的主要目标是当S是F-半鞅时，（S，G）是否满足NUPBR。准确地说，我们描述了一对初始市场和随机时间（S，τ），新市场（S，G）充满了NUPBR。[3]和[4]中针对零件（Sτ，G）和（S）解决了这个问题-当S是拟左连续过程时，分别为Sτ，G）。因此，具有可预测跳数的薄F-半鞅的情况在这些工作中没有涉及。[8]给出了具有有限期限的离散时间市场的情况。因此，这项工作的主要目标是在随机时间产生的附加信息下，推导薄过程的NUPBR结果。值得一提的是，尽管有关于一般半鞅的NUPBR的额外信息的影响，这项工作符合其他部分的要求。这可以通过回忆f或H-半鞅X，我们将一系列H-可预测停止时间（TXn）n关联起来而看出≥1耗尽X的可及跳跃时间，并将ΓX:=S∞n=1[[TXn]]。然后，我们可以将X合成如下。X=X（qc）+X（a），X（a）：=IΓX 十、 X（qc）：=X- X（a）。

（1.3）过程X（a）（X的可接近部分）是一个只有可预测跳跃的薄过程，而X（qc）是一个H-准左连续过程（X的准左连续p部分）。引理1.7。设X是H-半鞅。那么X满足NUPBR（H）当且仅当X（a）和X（qc）满足NUPBR（H）。证据由于命题1.3，X满足NUPBR（H）当且仅当存在H-可预测实值过程φ>0和正H-局部鞅Y，使得Y（φ 十） 是一个H-局部鞅。很明显，Y（φIΓX 十） an dy（φIΓXc） 十） 都是H-局部鞅。这证明了X（a）和X（qc）都满足NUPNR（H）。相反，如果X（a）和X（qc）满足NUPNR（H），则存在两个H-可预测实值过程φ，φ>0和两个正H-局部鞅D=E（N），D=E（N），使得D（φ（IΓX S） ）和D（φ （IΓXc） 十） ）都是H-局部鞅。注意，在假设N=IΓX时，并没有失去一般性 Nand N=IΓXc N.PutN:=IΓX N+IΓXc Nandψ：=φIΓX+φIΓXc。显然，E（N）>0，E（N）和de（N）（ψ） S） 是H-局部鞅，ψ是H-可预测的，0<ψ≤ 1.引理的证明到此结束。因此，在本文中，S被假定为一个薄F-半鞅。本文的组织结构如下。下一节（第2节）讨论了在τ处停止的情况（即处理模型（Sτ，G）），而第3节主要讨论模型（Sτ，G）- Sτ，G）。第4节和第5节证明了第2节和第3节所阐述的主要结果。第五部分是本文技术性最强的部分。我们在附录中总结了本文，在附录中我们回顾了一些有用的技术成果。2在τ处停止的情况本节阐述了我们对模型（Sτ，G）的NUPBR结果，分为两小节。

第一节介绍了我们的主要结果及其直接后果和/或应用，而第二小节概述了从F局部鞅函数显式构造G局部鞅函数的方法。为此，除了（1.1）中定义的G和D之外，我们还将τ与zt:=P给出的两个重要的F-超鞅联系起来τ>t | FtandeZt:=Pτ ≥ T英尺. （2.4）超人gale Z与左极限是右连续的，与I]]0，τ[[的F-可选投影重合，而Z仅限制右极限和左极限，是I]]0，τ]]的F-可选投影。Z的分解导致了一个重要的F-鞅m，给定bym:=Z+Do，F，（2.5）其中Do，F是D的F-对偶可选投影（更多细节请参见[23]）。2.1主要结果在本小节中，我们概述了关于带τ的停止的细FSEMI鞅（仅具有可预测跳跃）的NUPBR条件的主要结果。为此，我们首先讨论具有F-可预测停止时间的单跳过程。定理2.1。考虑一个F-可预测的停止时间T和一个FT-可测量变量ξ满足（|ξ| FT）-) < + ∞ 关于{T<+∞}.如果S:=ξI{ZT->0}I[[T+∞[[，那么下列断言是等价的：（a）Sτ满足NUPBR（G）。（b）过程：=ξI{eZT>0}I[[T+∞[=I{eZ>0} 满足NUPB R（F）的要求。（c） S satifies NUPBR（F，eQT），其中eqtiseqt:=eZTZT-I{ZT->0}+I{ZT-=0}!· P、 （2.6）（d）S satifies NUP B R（F，QT），其中QT由dqtdp定义：=I{eZT>0}∩Γ（T）P（eZT>0 | FT-)+ 我Ohm\\Γ（T），Γ（T）：={P（eZT>0 | FT-) > 0}. （2.7）这个定理的证明很长，需要下一小节的结果。因此，这一证明被归入第4节。备注2.2。（a） 定理2.1的重要性超出了它的关键作用，它是更一般结果的基础。

事实上，定理2.1为Sτ的NUPBR（G）提供了两个不同的特征。刻画（c）和（d）用绝对连续变化测度下的S的NUPBR（F）表示，而刻画（a）使用S的变换而不改变测度。此外，定理2.1可以很容易地推广到可数多指令可预测跳跃时间T=0的情况≤ T≤ T≤ ... 带supnTn=+∞ P- a、 s。。（b） 在定理2.1中，选择形式为S:=ξI{ZT的S->0}I[[T+∞[[没有限制性。这可以从以下事实中理解：任何单个跳跃过程都可以分解为：=ξI[[T+∞[[=ξI{ZT->0}I[[T+∞[[+ξI{ZT-=0}I[[T+∞感谢{T≤ τ}  {ZT-> 0}，我们有bτ=ξI{ZT-=0}I{T≤τ} 我+∞[[≡ 0（显然）是aG鞅。因此，S中唯一需要仔细注意的部分是S:=ξI{ZT->0}I[[T+∞[[.以下命题描述了τ的模型，其中任何单跳F-鞅（在固定的F-p可预测停止时间T处跳跃）在τ处停止，满足NUPBR（G）。命题2.3.设T为F-可预测停止时间。那么，以下断言是等价的：（a）在{T<+∞}, 我们有一个zt=0onZT-= 0o。（2.8）（b）对于任何M:=ξI[[T+∞[[ξ在哪里∈ L∞（FT）使得E（ξ|FT-) = 0，Mτ满足NUPBR（G）。证据我们从证明（a）开始=> （b） 。假设（2.8）成立。然后，由于注释2.2–（b），我们可以将注意力限制在M:=ξI{ZT的情况->0}I[[T+∞[[带ξ]∈ L∞（FT）和E（ξ|FT-) = 0.因为断言（a）等同于[[T]]∩ {eZ=0&Z-> 0} = , 我们得出fm:=ξI{eZT>0}I{ZT->0}I[[T+∞[[=M是F-鞅。因此，直接应用定理2.1（对M）可以得出结论，Mτ满足上鞅（G）。这结束了（a）的证明=> （b） 。

为了证明相反的含义，我们假设断言（b）成立并考虑：=ξI[[T+∞[]，式中ξ：=I{eZT=0}- P（eZT=0 |英尺-)I{T<+∞}.自从{T≤ τ }  {eZT>0} {ZT-> 0}，那么我们得到mτ=-P（eZT=0 |英尺-)I{T≤τ} 我+∞[[，并且这个过程是G-可预测的。因此，当一个d是一个常数过程等于M=0（见引理1.6）时，Mτ满足NUPBR（G）。这相当于0=EhP（eZT=0 | FT）-)I{T≤τ} 我+∞[i=E]ZT-I{eZT=0&T<+∞}.很明显，这个等式等价于（2.8），断言（a）如下。这是定理的证明。下一个定理是定理2.1的一个扩展，推广到了存在可数个任意可预测跳的情况，并且构成了我们对于仅具有可预测跳的一般薄半鞅的第一个主要结果。定理2.4。让我们做一个只有可预测跳转时间的精简过程。然后，以下断言是等价的。（a） 过程Sτ满足NUPBR（G）。（b） 对于任何δ>0，都存在一个正的F-局部鞅Y，如P，FY|S | I{eZ>0}< +∞P-a.s.{Z-≥ δ} andp，FYSI{eZ>0}I{Z-≥δ}= 0. （2.9）（c）对于任何δ，过程（0）：=XSI{eZ>0&Z-≥δ} =I{Z-≥δ} ·S-十、SI{eZ=0&Z-≥δ} ，（2.10）满足NUPBR（F）。这个定理的证明涉及技术，尤其是（a）的证明==>（c） ，因此，它属于第4.1小节。备注2.5。需要注意的是，在定理2.4中，我们没有对S假设任何套利条件。因此，我们得到以下结果。假设S是一个瘦过程——只有可预测的跳跃——满足NUPBR（F）和{eZ=0&Z-> 0} ∩ {s6=0}=.然后，Sτ满足NUPBR（G）。这直接来自定理2.4，使用Y∈ L（S，F）和引理1.4。下面将命题2.3扩展到可数多个跳跃的情况，这些跳跃可能不会以任何方式排序。定理2.6。