具有共同义务的结构违约模型

所以q（t，X，X）解决了以下终端边值问题q1，t（t，X，X）+Lq（t，X，X）=0，（15）q（t，X，X）=1X∈[D]∪D] ，q（t，0，X）=0，q（t，X，0）≡ Ξ（t，X）=（χ1,0（t，X），X≥ ~u<,0, 0 ≤ X<μ<，q（t，X，X↑ ∞)= χ1,∞（t，X），q（t，X）↑ ∞, 十） =1。在式（15）中，图2中定义了域。函数χ1,0（t，X）是生存概率，它解决了以下终端边值问题tχ1,0（t，X）+Lχ1,0（t，X）=0，（16）χ1,0（t，X）=1X>~u=，χ1,0（t，~u<）=0，其中=Xi+ξixi相应地，函数χ1，∞（t，X）是1D生存概率，它解决了以下终端边值问题tχ1，∞（t，X）+Lχ1，∞（t，X）=0，（17）χ1，∞（T，X）=1X>u=，χ1，∞（t，0）=0,4生存概率我们通过引入格林函数G（t，X，X | t，X，X）来求解等式（14）和等式（15），其中X，X是X的初始值，X，X t=t。下面，为了简洁起见，我们还将使用符号G（t-t、 从而明确地揭示了这样一个事实：对于我们的问题，格林函数只依赖于-t、 省略第二对参数。格林函数解决了下列初边值问题Gt（t- t、 X，X）- L+G（t）- t、 X，X）=0，（18）G（0，X，X）=δ（X- 十） δ（X）- 十） ，G（t）- t、 0，X）=0，G（t- t、 X，0）=0，其中L+=ρ- ξ · . 一个简单的计算得到（QG）t+LGQ- QL+G=0，或者明确地说，（QG）t+ ·（QXG）- QGX）- ρQGX+ξQG（QXG- QGX）+ρQXG+ξQG！=0.10 Andrey Itkin，Alexander Lipton格林定理（[17]）yieldsQt、 X，X=Z∞dXZ∞dXGT- t、 X，X（19） =ZZ（X，X）∈DGτ、 X，Xdx，其中τ=T- t、 类似地，q（t，X，X）=ZZ（X，X）∈[D]∪D] Gτ、 X，Xdx（20）+Zτtds∞Z¨u<dXGXτ- s、 X，0χ1,0（s，X）-∞ZdXGXτ- s、 X，0χ1,∞（s，X）我们首先注意到一维格林函数g（θ，X），θ≡ T- tatX（t）≤ u<的形式为g（θ，X）=e-ξθ/2+ξ（X）-十）√2πθ“e-（十）-十） 2θ- E-（X+X）-2~u<)2θ#.

（21）相应地，χ1,0（t，X）=∞Z|u=e-ξτ/2+ξ（X）-十）E-（十）-十） 2τ√2πτ-E-（X+X）-2~u<)2τ√2πτdX（22）=∞Z|u=e-（十）-十、-ξτ)2τ√2πτdX- E-2ξ（X）-~u<)∞Z|u=e-（X+X）-2~u<-ξτ)2τ√2πτdX=N-~u=- 十、- ξτ√τ- E-2ξ（X）-¨u<）N-u=+X- 2~u<- ξτ√τ.和χ1，∞（t，X）=N-u=- 十、- ξτ√τ- E-2ξXN-u=+X- ξτ√τ,相应的二维格林函数的形式为（参见[18,26]和其中的参考文献）G（θ，X，X）=（23）$θρe-hξT，θiθ+hX-十、 θi-R+R2θXn=1IνnRRθsin（νnφ）sinνnφ,具有相互义务的结构违约模型11h，i表示点积，Ik（x）是第一类修正贝塞尔函数，C=1 ρρ 1, C-1=ρ1.-ρ-ρ 1,θ=C-1ξ，νn=nπ$，′ρ=1- ρ,$ =π+arctan(-ρ/ρ），ρ>0π/2，ρ=0，arctan(-ρ/ρ），ρ<0，R=hX，C-1XTi，R=hX，C-1X0Ti，Φ（X，X）=π+arctanρX-ρX+X, X<ρX，π/2，X=ρX，arctanρX-ρX+X, 十> ρX，φ=Φ（X，X），φ=Φ（X，X），X=（X，X）。因此，GX（θ，X，0）=$θXe-hξT，θiθ+θX-hX，θi-X/°ρ+R2θ（24）·Xn=1(-1） n+1νnIνnXR′ρθ罪νnφ,将这些公式代入式（19）和式（20）中，可以得到Q和Q的半解析表达式。然而，从计算的角度来看，引入一个新函数“Q（t，X，X）=qi（t，X，X）”更有效- χ1,∞（t，X）。与q（t，X，X）相反，这个新函数解决了一个类似于等式（15）中给出的问题，但具有齐次上边界条件：\'q1，t（t，X，X）+L\'q（t，X，X）=0，（25）\'q（t，0，X）=\'q（t，X，X）↑ ∞) = 0，`q（T，X，X）=-1X∈\'D，其中\'D是曲线三角形内的区域，其顶点位于图2中的点6-7-9处。由于式（15）和式（25）中的方程式仅与源项不同，式（25）的格林函数也由式（23）给出。因此，ofEq的解决方案。（25）readsq（t，X，X）=χ1，∞（t，X）-ZZ（X，X）∈“DGτ、 X，XdXdX（26）+ZτdsZ∞GX（τ）- s、 X，0）Ξ(τ- s、 十）- χ1,∞(τ- s、 十）dX。如果希望计算公式（20）中的第一个积分，可以进行另一个简化。

为了获得更好的精度，可以将其表示为12 Andrey Itkin，Alexander Liptona两个积分的差分。第一个象限位于正象限（X，X）∈ [0, ∞) × [0, ∞) 而第二个积分定义为两个半无限条的并集：D∪ D∪ D.第二个积分定义在一个或另一个方向上不确定的区域，第一个积分可以用闭合形式表示。因此，总的计算误差较小。我们强调，就我们所知，文献中尚未给出封闭形式的第一个积分的表示，因此我们在附录B.4.1数值试验中给出了这个推导。在我们的测试示例中，我们使用第一个有限差分格式（FD）解出了公式（15），然后将其与公式（26）给出的解析解进行了比较。由于式（15）是一个纯对流扩散二维问题，我们使用Hundsdorfer-Verwer方案对其进行了数值求解，见[12]。非均匀有限差分网格的构造与[14]类似，网格节点集中在|u=i，i=1,2附近。我们使用表1中给出的参数解决了这个问题：表1：结构默认模型的参数。L1,0L2,0L12,0L21,0RRTσ∑ρ60 70 10 15 0.4 0.45 1 0.5我们使用100×100空间网格计算所有测试。我们也在时间上使用了一个恒常的步骤τ=0.01，因此给定到期日的总时间步数为100。图3显示了使用该方法计算的t=0时的边际生存概率q（X，X）。图3：使用aHundsdorfer-Verwer方案计算的边际生存概率q（X，X）。无花果

4：使用FD方法计算的有和无共同义务的边缘生存概率q（X，X）之间的差异。在我们的设定中，利率r的值并不重要。具有相互义务的结构默认模型13很容易看出，对于我们所选的参数<<u<=0.6659，<<u<=0.2548，u==1.4424，u==0.9764，<<u==1.5821，>>u==1.0534。为了观察相互责任的影响，我们重复了这个测试，但没有相互责任。因此，与之前的案例相比，现在第i家银行的总资产为Ai+PjLji，负债为Li+PjLji。但为了提供正确的比较，我们需要保持资产价值不变。因此，在这种情况下，我们将负债重新调整为Li+PjLji-PjLij。换句话说，这意味着，如果Pjlij为正值，银行i将获得额外现金，然后将其部分外部负债用于偿还。如果该金额为负数，则从外部来源借款。调整完成后，我们在计算中设置L=L=0。在接下来的过程中，我们称此过程为调整过程（AP）。两种解决方案的差异如图4所示。上图清楚地表明，在接近X=u=、X=u=、即相互责任的影响在该区域明显存在的区域内，溶液存在显著差异。接下来我们要比较解析解和FD解。由于等式（26）中的被积函数是高度振荡的函数，为了获得合理的精度，我们在两个方向上都使用了Gauss-Kronrod算法。图5显示了在没有相互义务的情况下，这些解决方案的差异。两种解决方案都非常吻合。然而，当考虑到相互义务时，差异会增加，如图6所示。toX=u=附近区域的差异更大。无花果

5：在没有相互义务的情况下，通过分析和FD方法计算的边际生存概率q（X，X）之间的差异。图6：用分析法和FD法计算的边际生存概率q（X，X）之间的差异，T=5年。就性能而言，在T=1年内，使用FD方案计算该空间网格上的边际概率需要21秒。同时，使用我们的分析方法计算网格上的单个点需要0.4-0.6秒。所以，若使用分析方法计算网格中每个节点的边际概率，将需要大约4000秒，这相当慢。然而，当校准具有未知波动率和相关系数的模型时，我们只需要三个可以引用的函数。我们在配备Intel Xeon E5620 2.4 Ghz CPU的标准PC上，在Matlab中运行了此测试。14 Andrey Itkin，Alexander Lipton从CDS价差和首次违约掉期价差的市场价值中得出结论。因此，在我们过于简单的模型中，我们只需要三个点，使用我们的分析计算大约需要1.2秒。相比之下，FD方案不能仅简化为网格上的三个点，因此，对于此类校准，其效率远低于分析方法。这就是我们提出本文方法对模型进行快速校准的原因。在更一般的情况下，例如[15]中提出的方法，这种简化方法可用于对边缘分布的参数进行“智能”初始猜测。

然后，使用这种猜测，整个相当复杂的问题可以比从一些参数的任意值开始校准快得多，因为在这种情况下，应该只找到初始猜测的相对较小增量。5定价CD合同我们现在介绍如何在我们的环境中为CDS和FTD定价。5.1 CDS在第一银行上的CDS C（t，X，X）的价格解决了以下问题，（[5]）：C1，t（t，X，X）+LC（t，X，X）=，（27）C（t，X，0）=ψ（t，X）=（C1,0（t，X），X>u<1- R、 X≤ u<，C（t，0，X）=1- R、 C（t，X，X）↑ ∞) = c1，∞（t，X），其中是息票率，c1,0（t，X）是一维终端边值问题的解tc1,0（t，X）+Lc1,0（t，X）=，（28）c1,0（t，*u<）=1- R、 c1,0（t，∞) = -（T）- t） ，c1,0（t，X）=（1- R） 1u<≤十、≤√u=，和c1，∞（t，X）是另一个一维终端边值问题的解tc1，∞（t，X）+Lc1，∞（t，X）=（29）c1，∞（t，0）=1- R、 c1，∞（t），∞) = -（T）- t） ，c1，∞（T，X）=（1）- R） 1X≤u=.此外，等式（27）中给出的问题说明必须与终端条件C（T，X，X）一起提供，该条件可以根据图C（T，X，X）提供，类似的表达式可以通过类比提供。图2显示了具有相互义务的结构违约模型。省略一些中间代数，我们得到以下条件C（T，X，X）=α（X，X）∈[^D]∪D] α（X，X）=（1）- 最小值[~R1，T（1），R]，（X，X）∈ D1- 最小[~R1，T（γ），R]，（X，X）∈^D.组分γiat（X，X）的值∈^D是通过求解方程式（6）A+γL=γ（L+L），A+γL=γ（L+L）中给出的一般N维问题得出的详细平衡方程来确定的，原始变量中的解为γi=L’iAi+L’i，i（Ai+A’i），i=1,2。观察等式（29）的格林函数是由等式（21）给出的。因此，c1,0（t，X）=（1- R） Zμ=μ<g（τ，X）dX+1- RZτg（τ）- s、 十）十、X=＠u<ds- ZτZ∞u<g（τ）- s、 X）dXds≡ I+I+I。

（30）所有这些积分都可以用闭合形式计算。省略一些中间代数，我们只提供最终结果：I=（1）- R） （e）-2ξ（X）-：/u<）[N(-Y-)- N(-2y-- z） ]+N（y+）- N（z）），I=（1- R） 他-2ξ（X）-¨u<）N（y）-)+ N(-y+）i，（31）i=-τ1.-y+ξ√τN(-y+）- E-2ξ（X）-u<）y-ξ√τN（y）-),y±=±（X- ~u<) + ξτ√τ、 z=X- ~u=+ τξ√τ.通过类比1，∞（t，X）=（1）- R） Zu=g（τ，X）dX+1- RZτ\'g（τ）- s、 十）十、X=0ds- ZτZ∞\'g（τ）- s、 X）dXds，（32），其中，通过在等式（21）中设置，可以从g（τ，X）中获得¨g（τ，X）¨u<=0。相应地，这些封闭形式的积分由等式（31）给出，通过替换¨u<=0和¨u==u=.16 Andrey Itkin，Alexander Lipton使用与前一节相同的技巧计算边缘生存概率q（t，X，X），这个问题的最终解可以表示为：C（t，X，X）=c1，∞（t，X）+Z∞Z∞φ（X，X）Gτ、 X，XdXdX（33）+ZτdsZ∞GX（τ）- s、 X，0）Ψ(τ- s、 十）- c1，∞(τ- s、 十）dX，φ（X，X）≡ α（X，X）∈[^D]∪D]- (1 - R） 1X<u=，其中格林函数Gτ、 X，X5.2数值实验在热传导理论中是众所周知的，它直接实现了Eq。（33）仍然不切实际。原因是，在X=0时，等式（33）中的第一个积分消失，因此第二个积分必须收敛到c1,0（t，X）- c1，∞（t，X）在X=0时提供正确的边界条件。然而，正如可以检查的那样，atX=0我们有GX（τ-s、 X，0）=0，因此，公式（20）的形式验证在边界处失败。它被解释了。

在[16]中，原因是等式（33）中第二个积分的级数在X=0时不是一致收敛的，因此过渡到极限X→ 从计算的角度来看，使用这种表示法是复杂且不切实际的。然而，这个问题可以通过应用我们在附录C中更详细描述的另一个优雅技巧来克服。接下来，我们使用表1中给出的模型参数进行了与上一节相同的测试，=0.02。我们使用了相同的FD方法来验证我们的解决方案，有关方法的描述，请参见上一节。图7显示了t=0的CDSprices。同样，为了观察相互责任的影响，我们进行了等效计算，但相互责任为零，应用了AP。两种解决方案的差异如图8所示。正如人们所料，我们的结果表明，在接近X=u=，X=u=，即共同责任的影响在这一领域不仅表现为边际生存概率，而且也表现为CDS价格。6定价优先违约（FTD）合同FTD的价格F1，t解决了以下终端边值问题：F1，t+LF=，（34）F（t，0，X）=1- R、 F（t，X，0）=1- R.F（t，X，X↑ ∞) = f1，∞（t，X），F（t，X）↑ ∞, 十） =f2，∞（t，X），F（t，X，X）=β（X，X）∈^D+β（X，X）∈D+β（X，X）∈D.对于F2，这可以通过类比来完成。具有相互义务的结构违约模型。7：使用Hundsdorfer-Verwer方案计算的CDS价格C（X，X）。图8：使用FD方法计算的CDS价格差异SC（X，X）中有无共同义务。菲菲，∞（t，Xi），i=1，2是一维终端边值问题的解tfi，∞（t，Xi）+Lifi，∞（t，Xi）=i，（35）fi，∞（t，0）=1- 李菲，∞（t），∞) = -i（T）- t） ，fi，∞（T，Xi）=（1- Ri）1Xi≤u=i。可以看出，f1，∞（t，X）=c1，∞（t，X）在等式（32）中给出。

等式（34）中的βi=βi（X，X）定义为βi=1- 最小值[~R\'i，T（1），R\'i]，（X，X）∈ Di，i=1，2，β=1- min[min[~R2，T（γ），R]，min[~R1，T（γ），R]，（X，X）∈^D.与上一节类似，可以证明这个问题的解为sf（t，X，X）=Z∞Z∞β（X，X）∈[^D]∪D] Gτ、 X，XDX（36）- ZτZ∞\'g（τ）- s、 X）dXds+（1）- R） ZτdsZ∞GX（τ）- s、 X，0）dX+（1）- R） ZτdsZ∞GX（τ）- s、 0，X）dX，其中格林函数Gτ、 X，X同样，公式（23）中给出了数值实验。6.1从计算角度来看，直接实现公式（36）是不切实际的，原因与之前相同。然而，同样可以应用类似的技巧来显著提高边界积分计算的精度。我们在附录D.18 Andrey Itkin，Alexander Lipton中对其进行了更详细的描述。我们再次使用表1中给出的模型参数进行了与上一节相同的测试，并且相同的=0.02。我们使用了相同的FD方法来验证我们的解决方案，有关该方法的描述，请参见上一节。FTD价格如图9所示。为了了解相互责任对FTD价格的影响，我们进行了这项测试，但相互责任为零，应用了AP。两种解决方案的差异如图10所示。用我们的分析方法也可以得到同样的结果。与之前的案例一样，双方的义务对FTD价格产生了重大影响，尤其是在接近X=u=、X=u=。图9：使用Hundsdorfer-Verwer方案计算的FTD价格F（X，X）。图10：使用FD方法计算的FTD价格差异SF（X，X）在没有和有相互义务的情况下计算。我们还介绍了第一家银行的CDS和FTD价格的差异，包括有无共同义务和到期日T=5年。这些结果如图11、12所示。

可以看出，随着到期日的增加，相互债务的影响减少，在非常长的到期日范围内几乎消失。为了说明价格的最终分布在图13的某个特定示例（图2示意性给出）中是什么样子的，差异（T，X，X）- C（T，X，X）表示为（X，X）的函数。显然，F（T，X，X）在D中为正，而C（T，X，X）在那里消失（图右下角的红色框）。它们也在域名D的一部分（左下角）有所不同。在计算领域的其他点上，F（T，X，X）和C（T，X，X）的值相互吻合。7校准第3节中描述的模型有三个未知参数：σ、σ、ρ。我们使用两种资产的CDS价格和两种资产的FTD价格来校准这些参数。校准是在Matlab中使用简单的非线性最小二乘法完成的，其中每个给定点（引号）都具有相同的权重。具有相互义务的结构违约模型19Fig。11：有无共同义务计算的CDS价格差异C（X，X），T=5年。图12：在没有和有共同义务的情况下计算的FTD价格差异SC（X，X），T=5年。图13：差异F（T，X，X）- C（T，X，X），T=1年。在测试实验中，我们使用表1中的所有参数，并使用A1,0=300、A2,0=300、==0.05。然后我们用以下方法校准σ，σ，ρ。首先，我们设置σ=0.3，σ=0.4，ρ=0.5，并使用我们的算法计算CDS和FTDU的价格。