具有共同义务的结构违约模型

这给了我们报价C=0.05，C=0.0583，F=0.0583。然后我们运行校准器，确保其收敛到相同的σ、σ、ρ值，以验证我们方法的自一致性。最后，由于我们调查了相互义务对模型参数的影响有多大，在第二次测试中，我们忽略了相互义务，并应用了我们的AP，正如前面章节所讨论的。这种校准的结果如表2所示。在目标函数公差设置为10的情况下，在Matlab中获得参数值所需的典型时间约为10秒-4.如果FD算法用于网格70×70点的空间和时间步长0.03，则相应的时间大约慢12倍。当然，对于更长期限的债券，这种差异会增加。表2还列出了T=5年的结果。这里计算的报价是C=0.2579，C=0.3182，F=0.336。可以看出，相互义务的会计核算对校准参数的值有显著影响。20 Andrey Itkin，Alexander Lipton表2：校准结果T=1年T=5年∑∑∑ρ∑∑ρMO 0.300 0.400 0.500 0.300 0.400 0.500NMO 0.2819 0.4421 0.4936 0.3189 0.4234 0.2942Dif，%6.0372-10.5373 1.2801-6.3108-5.8616 41.16708结论在本文中，我们考虑了银行的相互关联（相互义务）及其对边际生存概率的影响，以及相应名称的CDS和FTD价格。我们使用一个简单的模型，其中银行资产由相关的布朗运动和漂移驱动。模型的选择取决于以封闭形式获得所有结果的优势，至少在二维情况下是如此。[15]中已经考虑了一个更复杂的模型，其资产由一般相关的L’evy过程驱动。

然而，目前的描述更加透明，使人们能够更好地理解影响的性质，并将CD和FTD价格加载到图片中。在2D案例中，我们还根据一些人工市场报价校准了该模型，并表明必须考虑相互义务，以获得模型参数的正确值，因为它们对校准结果有显著影响。据我们所知，这些结果是新的。另一个不太重要但可能有趣的结果是，由相关布朗运动和漂移驱动的两个资产的边际生存概率的封闭形式解。这个解决方案还没有在文献中给出，所以我们在本文中给出了它。为了理解这种解决方案的财务意义，我们强调，对于大银行来说，由于各种监管机构的要求，它们的资产不能降到远低于负债的水平，这意味着它们的回收率R应该接近1（或者，甚至可能超过1）。在这种情况下，当计算（例如）边际生存概率时，图2中的域变为正八分之一。感谢Darrel Du ffee、Dilip Madan和Tore Opsahl提供的有用意见。我们对任何剩余的错误承担全部责任。参考文献1。Abramowitz，M.，Stegun，I.：数学函数手册。多佛出版公司（1964）2。Abreu，L.：将连续正交多项式和离散正交多项式组合成傅里叶系统而产生的再生核结构（2008）。可在http://arxiv.org/abs/math/0601190Structural具有共同义务的默认模型213。Askey，R.，Daalhuis，A.B.O.：广义超几何函数。摘自：F.奥尔弗，D.洛泽，R.博伊斯维特，C.克拉克（编辑）NIST数学函数手册。剑桥大学出版社（2010）4。贝尔曼，R.：矩阵分析导论。麦格劳-希尔（1960）5。

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. . . . . .l1Nl2Nl3N。0=NYk=1~Lk！-1.你会。LN1L0 L。液氮。L1NL2NL3N。0通过定义任意矩阵|M |=| | mij | |，i，j∈ [1，N]det（|M |）=Xχ∈SNsgn（χ）NYi=1mi，χi，其中求和是在集合SN=[1，2，…，N]的所有置换χ上计算的，参见[4]。辛塞尔·李≥ 我们有j（F（γ））<Xχ∈SNNYi=1Li，χi“NYk=1Lk#-1.（38）现在观察等式（38）中的分子是N个元素的乘积之和，每一个这样的乘积i）是正的，ii）在分母中有其vis-`a-vis。然而，去离子器还包含一些额外的正项，例如qni=1Li，因此J（F（γ））<1。例如，当N=2 | J（F（γ））|=LL+LLL+L<1时。因此，我们证明了条件式（37）总是满足的。因此，通过Banach定点定理（[11]映射F（γ）→ γ是γ上的压缩映射，这意味着这实际上是一个线性方程组。然而，我们希望使用一种执行点迭代方法来解决这个问题，以便在以后将此技术应用于一般等式（7）。具有相互约束的结构缺省模型证明了固定点的存在唯一性，因为定义γ的单位立方体是紧度量空间。这两种极端情况自然而然地产生了一种想法，即通常如何使用定点迭代法求解等式（7）。给定上一次迭代中的向量γ，我们检查所有i的条件ai+Pj6=iγjlji<1∈ [1，N]。如果对于某些i=k，该条件不满足，我们将γk=1，并从公式（7）中排除γk的方程。否则，这个等式将保留在系统中。在这一步完成后，例如，N变量γ中的M被设置为1，我们为剩余的N解方程（7）- M变量。

解的唯一性和定点迭代的收敛性来自上述证明。B由于各种监管机构的要求，大型银行的资产不能低于负债，这意味着它们的回收率R应该接近1。在这种情况下，当计算（例如）边际生存概率时，图2中的域变为正象限。在非零漂移的正象限中寻找生存概率的解析解是一个长期存在的问题，据作者所知，这个问题还没有解决。相关文献包括[7,18,22,26]及其参考文献。从技术角度来看，我们想要计算积分q（t，X，X）=Z∞dXZ∞dXG（τ，X，X）（39），其中相应的二维格林函数由式（23）给出。当公式（39）中的漂移ξ消失时，该积分的闭式解已知，见[22]及其参考文献。然而，如果ξ6=0，闭合形式的解还不知道。在这里，我们推导出了广义超几何函数和反超几何函数的级数形式。首先，使用极坐标R，φ，我们将等式（39）改写为q（t，R，φ）=$θeκ∞Xn=1英寸νnφZ$sin（νnφ）dφZ∞Reγ（φ）Re-αRIνn（βR）dR（40），其中κ=-hξT，θiθ-R2θ- hX，θi，β=R/θ，γ（φ）=（θ+ρθ）sinφ+’ρθcosφ。α =2θ.接下来，我们使用超球面（Gegenbauer）多项式中两个变量的复指数的Gegenbauer展开式，[2]eixs=Γ（ν）s-ν∞Xk=0ik（ν+k）Jν+k（s）Cνk（x），（41）其中Cνk（x）是Gegenbauer多项式（[1]），参数ν可以任意选择。它也可以被视为指数eixt的Neumann级数（[24]）。通过改变式（41）中的变量s=可以将后者转换为-Sx=Γ（ν）s-ν∞Xk=0(-1） k（ν+k）Iν+k（S）Cνk（x）。

（42）用S=βR和x=-γ（φ）/β转化为等式（40）yieldsQ（t，R，φ）=2′ρ$eκ（ν）β-ν∞Xn=1∞Xu=0(-1） u（ν+u）sinνnφ（43）·Z$sin（νnφ）Cνu(-γ（φ）/β）dφZ∞R1-νe-αRIνn（βR）Iν+u（βR）Andrey Itkin博士，Alexander Lipton为了简单起见，选择ν=1，然后使用恒等式（[10]）Z是有意义的∞E-αRIνn（βR）Iν+u（βR）dR=2-νn-u-1α-（νn+u+1）/2βνn+Γ[（1+u+νn）/2]Γ（u+1）Γ（νn+1）（44）·F“νn+u+1νn+u+2νn+u+1u+1νn+1；-βα#，其中f（a，a，a；b，b，b；z）是广义超几何函数（[3]）。进一步观察，在ν=1时，Gegenbauer多项式成为第二类切比雪夫多项式，其表示形式（[1]）Un（x）=[n/2]Xk=0(-1） kCn-kk（2x）n-2k，其中[x]是FL oor函数。因此，式（43）中的第一个积分假设formI=[u/2]Xk=0u-2k(-1） kCu-kkZ$sin（νnφ）（\'θsinφ+\'θcosφ）u-2kdφ，（45）带‘θ=θ+ρθβ，‘ρθβ和Cu-kk可能是二项系数。式（45）的rhs中的积分可以采用闭合形式，读数为$sin（νnφ）（\'θsinφ+\'θcosφ）u-2kdφ=（46）ω22k-u-1ω(u - 2k）- πn（a[bF（n）+bF(-n） [bF（n）+bF(-n） ]F（n）=F2k- u，k+πnω- u, k+πnω- u+ 1.-1 +θθ- i′θ,F（n）=F2k- u，k+πnω- u, k+πnω- u+ 1，e2iω（\'θ+i\'θ）\'θ- i′θ,a=-θu-2k-i′θ′θ- i′θ2k-u，a=e-iπn，bi=(-1） 我-1ω(u - 2k）+πn，i=1，2，其中f（a，b，c，x）是反超几何函数（[1]）。虽然在等式（46）中，积分表示为复变元的函数，但可以证明它是实的。

例如，Z$sin（νnφ）（\'θsinφ+\'θcosφ）dφ=πnω- πn(-1） n（θsin（ω）+θcos（ω））-θZ$sin（νnφ）（\'θsinφ+\'θcosφ）dφ=2πn- 8πnω(- 4ω（θ+θ）+2πθnω+(-1） nωπnθ- θcos（2ω）- 2θsin（2ω）-θ+ θπn- 4ω),等。具有共同义务的结构违约模型25C公式（33）的计算效率表示首先，让我们提到公式（27）中给出的问题在半有限域中定义∈ [0, ∞), 十、∈ [0, ∞). 然而，出于实际目的，这个有限域总是由一些相当大的值Mi构成，i=1,2。因此，我们考虑等式（27）和X∈[0，M]。严格来说，这种截断会改变格林函数的表示形式（[23]），但是当X→ ∞, 或者换句话说，它在截断误差范围内，即将上边界从∞ 为了精确地匹配等式（27）中的边界条件，我们用一个新函数C（t，X，X）=C（t，X，X）替换C（t，X，X）-XMc1，∞（t，X）-1.-XMψ（t，X）（47）函数C（t，X，X）解决了以下问题：~C1，t（t，X，X）+L~C（t，X，X）=Ξ（t，X，X），（48）~C（t，X，0）=~C（t，0，X）=~C（t，X，M）=~C（t，∞, 十） =0，~C（T，X，X）=α（X，X）∈[^D]∪D]-XM（1）- R） 1X≤u=-1.-XM(1 - R） 1X≤~u=.这个问题的解由公式（[23]）C（t，X，X）=Z给出∞dXZ∞dXC（τ，X，X）G（τ，X，X）（49）+ZτdsZ∞dXZ∞dXΞ（τ）- s、 X，X）G（τ）- s、 X，X）。在X→ 0和X→ ∞ 由于C（t，X，X）的边界条件，新的函数C（t，X，X）消失。另外，根据边界条件c1，∞（t，X）→ -（T）- t） 在X→ ∞ 以及c1,0（t，X）和C（t，X，X）。因此，在这个极限下，~C（t，X，X）也消失了。最后，在X=0时，我们有c1，∞（t，0）=c1,0（t，0）=C（t，X，X）=1-因此，在这个极限下，~C（t，X，X）=0。因此，函数C（t，X，X）满足齐次边界条件。现在，让我们给出Ξ（t，X，X）的精确表示。

我们需要申请接线员t+L表示公式（47）的两部分，并考虑公式（27）表示C（t，X，X）。