具有共同义务的结构违约模型

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英文标题：
《Structural default model with mutual obligations》
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作者：
Andrey Itkin and Alexander Lipton
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper considers mutual obligations in the interconnected bank system and analyzes their influence on joint and marginal survival probabilities as well as CDS and FTD prices for the individual banks. To make the role of mutual obligations more transparent, a simple structural default model with banks\' assets driven by correlated multidimensional Brownian motion with drift is considered. This model enables a closed form representation for many quantities of interest, at least in a 2D case, to be obtained, and moreover, model calibration is provided. Finally, we demonstrate that mutual obligations have to be taken into account in order to get correct values for model parameters.
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中文摘要：
本文考虑了互联银行系统中的相互义务，分析了它们对单个银行的联合生存概率和边际生存概率以及CDS和FTD价格的影响。为了使相互义务的作用更加透明，考虑了一个简单的结构违约模型，该模型考虑了银行资产受相关的带漂移的多维布朗运动驱动。该模型能够获得许多感兴趣的量的闭合形式表示，至少在二维情况下是如此，此外，还提供了模型校准。最后，我们证明，为了获得正确的模型参数值，必须考虑相互义务。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Quantitative Mathematical Applications Presentation Obligations

Noname手稿编号（将由编辑插入）具有相互义务的结构违约模型Andrey Itkin·Alexander Liptonover2018Abstract本文考虑了相互关联银行系统中的相互义务，并分析了它们对联合和边际生存概率以及各银行的CDS和FTD价格的影响。为了使相互关联的作用更加透明，我们考虑了一个简单的结构违约模型，其中银行资产由相关的带漂移的多维布朗运动驱动。该模型能够获得许多感兴趣的量的闭合形式表示，至少在二维情况下是如此，此外，还提供了模型校准。最后，我们证明，为了获得正确的模型参数值，必须考虑相互义务。二维结构性违约模型、共同义务、共同和边际生存概率、CDS和FTD价格1简介结构性违约框架广泛用于评估公司EBT的信用风险。它在开创性著作[21]中以简单的形式介绍，并在各种论文中进一步扩展，参见[20]中的调查和其中的参考文献。与简化模型（例如，见[5]）相比，当交易对手数量增加时，结构性违约模型不受维度诅咒的影响；然而，这些模型为典型企业的违约事件提供了更详细、更具财务意义的描述。本文表达的观点代表作者的观点，不一定代表美国银行的观点。ItkinBank of America Merrill Lynch，New York NY，USA和纽约大学工程学院，电子邮件：aitkin@nyu.eduA.

美国纽约州利普顿银行美林和英国牛津大学牛津曼定量金融研究所，电子邮件：alex。lipton@baml.com2亚历山大·利普顿（Alexander Liptonin）的安德烈·伊特金（Andrey Itkin）在[25]中提出，在[15]中，我们考虑到银行之间存在相互负债的事实，扩展了结构框架。为了准确分析个别银行和整个银行网络的信用价值，考虑这种影响非常重要。例如，巨大的互操作性意味着对银行的不利冲击会迅速传递到整个系统，对其稳定性产生严重影响（[8]）。[8]的作者指出，高度互联的银行之间的重新谈判有助于私人部门的相互救助，以降低政府救助的需要。相互负债相对于总负债的相对规模相当大。例如，银行间贷款的相对比例在欧盟为12%，加拿大为8.5%（[8]），美国为4.5%（根据圣路易斯联邦储备银行的经济研究网站）。通过结合相关的默顿资产负债表模型，利用观察到的银行股权收益率进行校准，并本着[9]的精神分析银行间负债的潜在清算，可以建立一个具有共同负债和持续违约监控的扩展默顿模型。在[15]中，我们假设银行的资产由具有特殊和共同成分的相关L’evy过程驱动，并开发了一种新的伪偏微分方程计算方法，以使计算联合和边际生存概率的问题易于处理。

讨论了相互责任的影响，并给出了数字示例来说明其重要性。显然，联合生存概率和边际生存概率的知识对于成功校准信用违约掉期（CDS）和首次违约（FTD）工具模型非常重要。由于一般情况相当复杂，这里我们仅限于银行资产由带漂移的相关布朗运动驱动的情况。然后在2D情况下，我们得到了几个感兴趣的量的明确表达式，包括联合生存概率和边际生存概率，以及CD和FTD价格。尽管考虑中的模型没有包含跳跃，但它仍然是有益的，因为它支持分析评估，并提供了与[19,20]中考虑的分析框架的自然联系。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提出了一个适用于N个银行的一般情况的模型。第3、4节介绍了控制方程和格林函数方法，用于求解具有共同义务的两家银行的联合和边际生存概率方程。第5、6节计算了CDS和FTD合同的价格，并给出了我们的数值试验结果。我们还通过将解析解与使用[15]中描述的有限差分算法获得的数值解进行比较，验证了我们的结果。第7节讨论了模型的校准，给出了一些数值结果。我们的结论在第8.2节模型中给出，考虑一组具有外部资产和负债Ai，Li，i=1。。。，N、 以及银行间资产和负债Lji，j=1。。。，N、 分别。换句话说，LIJI是第i家银行欠第j家银行的金额，等等。

因此，第i家银行的总资产、带相互义务的结构违约模型、负债和资本的形式为eAi=Ai+Xj6=iLji，eLi=Li+Xj6=iLij，Ci=eAi-eLi=Ai- λ=i，其中λ=i=Li+Xj6=i（Lji- 丽晶）。（1） 为简单起见，我们假设相应的动力学由形式dai的des控制，t=rAi，tdt+σiAi，tdWi，t，（2）dLi，t=rLi，tdt，dLij，t=rLij，tdt，受制于初始条件Ai，0=Ai（0），Li，0=Li（0），Lij，0=Lij（0），因此Li，t，Lij，是时间t的确定函数。式（2）中r是无风险率，σi是第i项资产的波动率（假定为常数），Wi是相应的布朗运动。相应相关矩阵的元素用ρij表示。上述假设可以用多种方式概括，这将在其他地方讨论。我们假设所有负债（包括外部负债和银行间负债）在某个到期日T>0时结算。因此，在t=t时，第i银行默认为ifeAi，t<eLi（t），或者，等效地，如果Ai，t<λ=i（t）。下面我们用τi表示第i个银行的违约时间。第k个银行在τk<T时违约。我们根据[6]的精神描述了中间时间0<τi<T的违约情况，假设第i家银行在时间τi提供的违约率为ai（τi）≤ λ<i（τi），（3）λ<i（τi）=RihLi（τi）+Xj6=iLij（τi）i-Xj6=iLji（τi），其中0≤ 里≤ 1是回收率，假设在t=t之前为常数。我们需要强调的是，根据这些设置，defaultboundary在t=t时是不连续的，因为Rie在这一点经历了一个跳跃，从它的值Riat t<t到t=t时的1（因此λ<i转换为λ=i）。如果在t=t之前没有其他银行违约，则这些默认边界有效。现在假设相反的情况，即第k家银行在时间τk<T时第一个违约，因此我们只剩下一组N- 1.幸存的银行。

在τk时，第i家银行的资产和负债，I6=k，形式为EAI（τk）=Ai（τk）+Xj6=i，j6=kLji（τk）+RkLki（τk），eLi（τk）=Li（τk）+Xj6=kLij（τk）+Lik（τk）。因此，我们将它们进一步表示为Li（t），Lij（t）。4 Andrey Itkin，Alexander Lipton我们假设，对于幸存的银行，相互负债保持不变，而其外部负债根据规则Li（τk）跳跃→\'Li（τk）≡ Li（τk）+Lii（τk）- RkLki（τk）。存活下来的银行资本自然需要hitCi（τk）→\'Ci（τk）≡ Ci（τk）- (1 - Rk）Lki（τk）。因此，每次违约都会减少幸存银行的集合，并将相应的违约边界修改为∧ik（t）=（λ<ik（t），t<t，λ=ik（t），t=t，i6=k（4）λ<ik（t）=Ri[Li（t）+Lik（t）- RkLki（t）]+Xj6=i，j6=k[RiLij（t）- Lji（t）]，λ=ik（t）=Li（t）+Lik（t）- RkLki（t）+Xj6=i，j6=k[Lij（t）- Lji（t）]，例如，考虑N=2。然后，对于剩余的银行“k”≡ 3.- k、 默认边界由（[15]）λk（t）=（R\'k（L\'k+L\'kk）给出- RkLk¨k），τk≤ t<t，L\'k+L\'kk- RkLk\'k，τk<t=t.（5）很明显λ′k=~λ′k- λ′k=（（1）- R\'kRk）Lk\'k≡ λ<k，τk≤ t<t，（1）- Rk）Lk\'k≡ λ=k，t=t，和λ′k≥ 0.为了使这些定义更加透明，计算域如图1所示。在这里，如果没有默认值，我们有一个矩形的main，它位于分段常量线5的上方- 3.- 4.如果银行2违约，该域将转换为第5行右侧的域-3.-7.-8.如果bank 1默认，域将转换为line1之上的域- 2.- 3.- 4.第i家银行在τi=T时违约。在这种情况下，应改变式（5）中∧iI的定义。事实上，如果第i家银行的资产在到期前的某个时间违约低于其负债，该银行有一段时间可以恢复，除非其违约低于∧<i水平。在这个水平上，该银行的交易对手不再相信其恢复能力，并且违约。

显然，在t=t时，银行没有时间恢复。因此，它最多可以向债务人支付其手中的当前金额，即银行资产的总价值，它是一个分数γi，0<γi≤ 1.其负债情况。因此，本着[9]的精神，为了确定在这种情况下，我们省略了λika的第二个指数，因为违约银行是唯一确定的。我们考虑的是一种理想的情况，即银行的所有资产在违约时可以立即转换为现金，不会出现延迟和进一步的损失。相互义务为5AAλ<λ的结构违约模型<λ<λ<3 7 4λ<λ<λ<图1:t<t时有无相互负债的两家银行的违约边界。默认边界我们需要找到向量γ={γi}，0≤ γi≤ 1.我∈ [1，N]解决了单位立方体中的以下分段线性问题：Ai（T）+Xj6=iγjLji（T），Li（T）+Xi6=jLij（T）= γiLi（T）+Xj6=iLij（T）.（6） 引入新的无量纲变量ai=ai（T）/~Li（T），lji=lji（T）/~Li（T）。等式（6）中给出的问题可以重新写成ai+Xj6=iγjlji，1= γi.（7）很明显，如果ai+Pj6=iγjlji，γi=1（因此第i个银行仍然存在）≥ 1.和γi<1，否则，第i家银行违约。这一描述表明，当Nai（T）<λ=i（T）和通过传染，当Nli（T）+Xj6=i[Lij（T）时，相互关联的银行集合中的违约可以直接发生- γjLji（T）]>Ai（T）≥ λ=i（T）。6安德烈·伊特金，亚历山大·利普托内克。（7） 可以唯一地解决。附录A中给出了一个简短的讨论。因此，在这种情况下，我们将τi=T处λ=i（T）的定义改为∧i，T=Li（T）+Xi6=jLij（T）-Xj6=iRj，T（γ）Lji（T）（8），其中Rj，T（γ）=min1，Aj（T）+Xi6=jγiLij（T）Lj（T）+Xi6=jγiLji（T）, γ=[γ，…，γN]。（9） AAλ=λ=6 7λ<λ<λ<λ<λ=td<T∧=td<TDDD^DFig。2：在t=t时，有相互负债和无相互负债的两家银行的违约边界。

点模式标记了整个计算域D。因此，默认边界∧i，T分段线性依赖于allAj（T），j∈ [1，N]，j6=i。特别是，设N=2和τ=T，因此当（T）=0时，我们从等式（8）~λ1，T=L+L，4=LL+LL+LL。因此∧=τ<T-~λ1，T=L（~R2，T（1）- R） =LLL+L- R.具有相互义务的结构违约模型7这种行为如图2所示。因为τj=T，因此，Rj=1，来自等式。（5） 我们有λ=i=λ=i，或者λi=0。因此，当A（T）从0增长到λ=，默认边界λ1，T从l+Ltoλ=沿8-9-6线移动。在第6点，默认边界λ1转变为λ==λ=，当后者增加时，它不依赖于A（t）。这发生在点A=（T）=λ=。因此，图2中第一排的整个默认边界可视为一条穿过点8-9-6-5的线。类似地，对于第二组，图2中的默认边界可视为穿过点1-2-6-4的线。同样在图2中，D是两个银行都没有违约的域，D是第二个银行违约而第一个银行没有违约，D是第一个银行违约而第一个银行没有违约的域，D是由点模式标记的整个计算域，在D=D\\D域中，两个银行都违约。和往常一样，用无量纲变量来描述欠考虑银行集合的演化是有用的。

为此，我们引入平均波动率ω≡QNi-1σi1/N，且定义‘t=ωt，’t=ωt，Xi，’t=ωσilnAi，\'tλ<i（\'t）, ξi=-σiω。“Xi”的相应动力学由SDE控制：d“Xi”，t=ξid“t+dWi，”（10），而默认条件现在转换为Xi≤ ui，其中u定义为ui（\'t）=u<i≡ 0，\'t<\'t，u=i≡ωσilnλ=i（\'t）λ<i（\'t）,\'t=\'t。（11） 根据定义，u=i>0。为了简单起见，下面我们省略了条。如果第j个组的默认值为τj<T，那么对于第i个组，默认值边界由¨uij（T）给出=√u<ij≡ωσilnλ<ij（t）λ<ij（t）！，t<t，μ=ij≡ωσilnλ=ij（t）λ<ij（t）, t=t.（12）注意，根据式（2）~u<ij与t无关。可以看出，式（12）中t=t处的边界条件与终端条件不匹配，根据式（8），终端条件为~uij，t=ωσilnλij，t（t）λ<ij（t）！6=)u=ij（T）。（13） 从数学上讲，这意味着我们的问题属于t=t处有边界（过渡）层的一类问题。在财务上，该层解决方案的行为取决于合同的详细规定。8 Andrey Itkin，Alexander Lipton举个例子，如果银行即将到期，比如说前一天，回收率可以确定为在最后一天内从Rito 1顺利过渡。或者，可以发布相关合同的其他特定条件。然而，我们不考虑这些细节，假设边界层很薄，因此，当离开这一层时，由于这一层的存在，解的任何扰动都会很快消失。换言之，当我们详细考虑边界层时，我们的解在t=t时会经历一次起伏。

因此，在找到闭式解后，我们将与该问题的数值解进行比较，以揭示闭式解对所述效应值的敏感性。下面我们只提供了二维情况N=2的所有结果，而多维情况将在其他地方给出。因此，为了便于阅读，我们将省略第二个索引，因为在这种情况下，它不会带来任何混淆。3控制方程基于上一节中给出的分析，定义了两个资产X，Xis的联合生存概率Q（t，X，X）Ohm（t，X，X）：[0，t]×[0，∞] × [0, ∞]. 它解决了以下终端边值问题（[20]）Qt（t，X，X）+LQ（t，X，X）=0，（14）Q（t，X，X）=1X∈D、 Q（t，0，X）=0，Q（t，X，0）=0，其中lq=ρQ+ξ·Qρ≡X+ρ十、X+十、 ξ=（ξ，ξ）T，xis是用半最大值约定定义的高阶阶梯函数，以及图2中定义的面积。我们强调，域Diin Xvariables有一个曲线边界，它取决于a’i（T）的值。事实上，根据式（3）、式（8）、式（9）和式（13）中的定义，我们可以发现，例如，对于i=1u1，T=ωσln“L+L”-~R2，T（1）LL+L- L#=ωσln“1+L（1-~R2，T（1））L+L- L#。接下来，我们定义了相应的边际生存概率qi（t，X，X），i=1，2，它们是X和X的函数，也在该域中Ohm（t，X，X）。为简洁起见，我们提供了第一银行（i=1）的所有定义和公式，同时提供了Ohm 对应于图2中的虚线区域。由于省略了对t=t处过渡层的详细考虑，因此该条件允许获得正确的χ（t，~u=）值，见等式（22）。第二个模型可以通过类比来实现。