Heston模型最优投资的显式解法

因此，fv/f比率可以表示为fv（v，t）f（v，t）=ddvlog Ehe-RTtrsds | rt=C/vi.（5.7）将（5.7）代入最优控制公式（4.17）和（4.19）可以得到通过债券对未来机会集进行套期保值的解释。6附录。从（4.4）中可以看出，函数f=f（v，t）只能写成一个函数，即f=f（ψ），其中ψ=ψ（v，t）由（4.5）给出。这种表示法允许我们通过使用Whittakerfunctions Mλ，u（z）的渐近性来研究Bellma n函数和最优控制（例如，参见[11]）。事实上，通过使用众所周知的公式：~ zη+1/2（1+O（z）），z→ 0，Mλ，η（z）~Γ(1 + 2η)Γ(1/2 - λ+η）ez/2z-λ、 z→ ∞,我们得到f（v，t）~Γ(1/2 - λ+η）Γ（1+2η）ψη+1/2（v，t）ψλ（v，t）+O（ψ（v，t））, ψ（v，t）→ 0，（6.1）和f（v，t）~ 1，ψ（v，t）→ ∞. （6.2）对于fv（v，t）/f，我们有fv（v，t）f（v，t）~（η+λ+1/2）v，ψ（v，t）→ 0，（6.3）和Fv（v，t）f（v，t）~2Cσvψ（v，t），ψ（v，t）→ ∞. （6.4）确认。作者感谢Yury K abanov的富有成效的讨论和有用的建议。参考文献[1]R.C.Merton（1971）连续时间模型中的最优消费和投资组合。经济理论杂志。3.4. 373-413.[2] T。Zariphopoulou（2001）一种不可规避风险的估值解决方案。金融随机。，5, 61-82 .[3] J.Fouque，R.Sircar和T.Zariphopo-ulou（2013）投资组合优化和随机波动渐近性。预印本[4]于。Kabanov，M.Safarian（2009）交易成本市场。数学理论。斯普林格·维拉格。[5] M.Boguslavsky，E.Boguslavskaya（2003）电力风险下的套利。06. 49-53.[6] A.Obizha eva，J.Wang（2013）最优交易策略和供需动态。金融市场杂志。1 6. 1- 32.[7] H。

Kraft（2005）最优投资组合和Heston的随机波动率模型：电力效用的显式解。定量金融。5. 303-313.[8] G.Chacko和L.Viceira（2005）不完全市场中随机波动的动态消费和投资组合选择金融研究综述，181369-140 2。[9] S.Heston（1993）随机波动期权的封闭形式解，适用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，6，2，327-343。[10] J.C.Cox，J.E.Ingersoll，S.A.Ross（1985）利率期限结构理论。计量经济学。53.2.385-407.[11] Abramowitz M.，Stegun I.，Eds.（1972）数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。多佛，纽约。[12] Gradshteyn I.S.，Ryzhik I.M.（1980）积分、级数和乘积表。学术出版社，纽约。[13] J.Gatheral，N.Taleb（2006）挥发性表面：实践者指南。威利。[14] R.C.默顿，《连续时间金融》，布莱克威尔出版社（1990年）。[15] D.Brigo，F.Mercurio（2006）利率模型——理论与实践：微笑、通货膨胀和信贷。斯普林格金融公司。Heston模型最优投资的显式解法*Elena Boguslavskaya+英国伦敦布鲁内尔大学，俄罗斯莫斯科高等经济学院定量金融国际实验室Dmitry Muravey§本文中，我们考虑了Merton问题的一种变化，它具有附加的随机波动性和有限时间范围。众所周知，在对下垫过程和效用函数作一定假设的情况下，相应的最优控制问题可化为线性抛物线有界问题。由此产生的抛物线偏微分方程通常很难求解，即使它是线性的。本文致力于建立随机最优控制问题的显式解库。

我们的结果是Hestonmodel中最优投资的精确解。1导言随机过程的最优控制理论在金融数学中发挥着重要作用，并允许在最优投资、最优运输和其他与金融相关的领域制定和解决问题。罗伯特·默顿[12]的开创性论文概括了几个方向。随后的研究引入了更现实、更复杂的资产动力学[15]、[6]和更现实的市场模型[10]。类似的数学问题出现在算法交易[2]和市场微观结构研究[14]中。在本文中，我们考虑了随机波动率和有限时间范围的默顿问题的一种变体。如[15]所示，在对基础过程和效用函数进行某些假设的情况下，最优控制问题可以简化为线性抛物边界问题。通常，由于该边界问题的解缺乏光滑性，需要找到非线性方程的粘性解。使用抛物线的偏微分方程通常很难求解，即使它是线性的。在一些特殊情况下，得到了显式解，类似于赫斯顿的模型见[11]，查科-维切拉模型见[4]。本文对随机最优控制问题的显式解库做出了贡献。我们的主要结果是在著名的Hes-ton模型[7]的框架内精确地解决了最优控制问题。[11]中使用的有效表示法在此不适用。为了得到所需的显式解，我们使用积分重表示理论和特殊函数。

通过[6]中的渐近和摄动方法获得了更一般过程的最优控制的Q uasi解析解。*本论文的研究得到了俄罗斯政府2007年12月14日拨款的支持。+elena@boguslavsky.net作者得到ESPRC资助的达芙妮·杰克逊奖学金的支持§dmuravey@hse.ruThe论文的结构如下：在第2节中，我们阐述了这个问题；在第3节中，我们讨论了[15]中关于将Bellman函数表示为线性抛物方程解的结果，并将其结果推广到指数效用的情况；第四节介绍了本文的主要结果；第五节分析了得到的显式解；在附录（第6节）中，我们提供了一些技术渐近关系。2.小问题（X，V）=（Xs，Vs）s的表述≥t是一个向量随机过程，由随机微分方程的三角系统Sdx/X=udt给出+√V dB，Xt=x（2.1）dV=k（Θ）- V）ds+σ√V dB，Vt=V，其中B=（Bt）s≥tB=（Bt）s≥具有相关系数ρ的皮重相关维纳过程，即hB，Bit=ρt和u，k，Θ，σ是一些常数。由（2.1）定义的资产价格xd模型在金融数学中非常有名，被称为赫斯顿模型[7]。为了求解SDE（2.1）的系统，需要先求解s第二方程，得到V，然后求解X。过程V=（Vs）s≥Tre表示资产X的波动性。ProcessV是一个Feller过程，在金融数学中也称为CIR（Cox-Ingersoll-Ross）过程[5]。我们认为V满足Feller条件2kΘ>σ。因此，V始终为正，即使V>0。让我们考虑一个受控过程W=（Ws）s≥tgiven bydW=αdX，Wt=w。

（2.2）其中控制α=（αs）s≥它适合过滤F≥t=σ{Bs- 英国电信≥ t} andRTtαsdt<∞.我们的目标是找到功能性EU（WT）达到其最大值j（w，x，v，t）=supαEU（WT）的控制。（2.3）函数J（w，x，v，t）是Bellman函数，它是HJB（Hamilton-JacobiBellman）方程的解。效用函数U（w）可以是一个幂函数或一个显式效用函数。为了便于注释，我们将对索引进行限制。UP（w）=wγ，γ<0，UE（w）=1-E-《化学武器公约》，c>0。（2.4）注意，对数效用是γ=0的幂效用的特例。这一众所周知的观察结果可以通过取极限limγ来检验→0（wγ）- 1） /γ=对数（w）且不表示效用函数被定义为加性常数。对上述过程的财务解释如下：过程W代表投资者的财富动态，而控制α代表投资者在资产中地位的演变。效用函数U代表投资者的偏好。因此，为了进行最佳投资，人们应该在每个时间t找到最佳投资规则，以便在时间t时终端财富的预期效用最大化（2.3）。函数J（w，x，v，t）是Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的解。一般情况下，HJB方程的解是非线性偏微分方程。然而，在某些效用函数的选择下，这个方程可能是线性的。Z ariphopoulou[15]提出了一种基于粘性溶液技术的方法。在这种方法下，方程（2.3）可以简化为线性抛物线方程。该方法可应用于“三角型”随机微分方程系统。

在这种限制下，标的资产X的漂移和扩散可能以任意方式取决于波动过程V。在提供精确公式的情况下，对最优解进行定性和定量分析要容易得多。然而，并非总能找到线性抛物线偏微分方程的显式解。在一些特殊情况下，我们得到了显式解：类似于赫斯顿的模式l见[7]，查科-维切拉模型见[8]。以上任一结果均基于解决方案的有效表示。这种技术不适用于我们考虑的模型（2.1）。本文提出了一种基于拉普拉斯变换的方法。这项技术使我们能够得到一个显式的解决方案，在冲突的超几何函数。3 T.Zariphopoulou的结果和推广[15]考虑了一个具有幂效用函数的非常普遍的最优投资模型（2.3）。依赖于随机过程V的资产价格动态X由随机微分方程的三角系统Sdx/X=u（V，t）dt+σ（V，t）dB，dV=b（V，t）dt+a（V，t）dB，（3.1）式中b=（Bt）s给出≥tB=（Bt）s≥用相关系数ρ关联维纳过程。我们假设满足系统（3.1）系数的必要限制，以保证强解（X，V）的存在。定理3.1（Zariphopoulou）。对于过程（3.1）和功率效用函数（2.4），我们有以下贝尔曼函数（2.3）的表示，JP（w，x，v，t）=wγf1/δ（v，t），（3.2），其中δ=1+ργ1- γ、 函数f=（v，t）是下列抛物型边值问题的解ft+a（v，t）fvv+b（v，t）+ργu（v，t）a（v，t）（1）- γ） σ（v，t）fv+γ1- γΔu（v，t）σ（v，t）f=0，（3.4）f（v，t）=1。最佳合成由α给出*P（w，x，v，t）=wx（1）- γ)u（v，t）σ（v，t）+ρδa（v，t）σ（v，t）fv（v，t）f（v，t）.

（3.5）为了在时间t处找到最优控制，应将过程W和（X，V）的值代入合成（3.5）。注意，该表示（3.2）可解释如下。首先，我们可以分离布尔曼函数J（w，x，v，t）=u（w）R（x，v，t）中的变量。这个小把戏我们都知道是关于电力设备的。第二，从系数和边界条件的形式可以看出，解不依赖于变量x。第三，经过上述操作后，剩余的非线性方程可以通过代换器δ（v，t）=f（v，t）线性化。我们使用与上述类似的推理将Zariphopoulou公式推广到指数效用的情况。这是本文的第一个结果。提议3.1。在指数效用函数UE下，贝尔曼函数（2.3）由je（x，w，v，t）=1表示-E-cwcf1/δ（v，t），（3.6），其中δ=1- ρ、 函数f=f（v，t）是下列抛物型边值问题Ft+a（v，t）fvv的解+b（v，t）- ρu（v，t）a（v，t）σ（v，t）fv-Δu（v，t）σ（v，t）f=0，（3.8）f（v，t）=1。最佳合成由α给出*E（w，x，v，t）=cxu（v，t）σ（v，t）+ρδa（v，t）σ（v，t）fv（v，t）f（v，t）. （3.9）注意，（3.7）和方程式（3.8）给出的f常数δ可通过取极限γ从电力实用公式（3.3）和（3.4）中获得→ -∞.4.主要结果使我们回到最初的问题上来。考虑（2.1）中给出的赫斯顿模型。利用第3节的结果，特别是定理3.1和命题3.1中的替换（3.2）和（3.6），我们可以将Bellman函数的原始边值问题简化为函数f=f（v，t）σvvv的下列边值问题+kΘ-1.- δρuσ - 千伏fv-Cvf+ft=0。（4.1）f（v，T）=1，等式（4.1）对于幂函数和指数效用函数的两种情况都是相同的，只是常数δa和C的值不同。

在幂函数δ=1+ργ1的情况下- γ、 C=-γ1 - γuδ. （4.2）对于指数效用情况δ=1- ρ、 C=δ。（4.3）引理4.1。（4.1）的解由f（v，t）=Γ（η）给出- λ+1/2）Γ（2η+1）e-ψ（v，t）/2（ψ（v，t））λMλ，η（ψ（v，t）），（4.4），其中ψ（v，t）=2kvσek（T-（t）- 1., λ = -kΘσ+（1）- δ） μρσ，η=sλ ++2Cσ，（4.5）Mλ，η（z）是惠特克函数，而Γ（z）是伽马函数。此外，我们有fvf=（η+λ+1/2）vM1+λ，η（ψ（v，t））Mλ，η（ψ（v，t））。（4.6）证据。进行替换v=2kvσ，k（T- t） =τ，f（v，t）=e-λτvλev/2h（v，τ）（4.7）我们得到了以下关于hhvv的边值问题+-+1/4 - ηvh=~vh~τ。h（~v，0）=~v-λe-五分之二。设G（~v；ζ）是函数h（~v，~τ）w的拉普拉斯变换，其范围为~τG（~v；ζ）=Z∞eζτh（~v，~τ）dτ。通过表示χ（~v）=~v-1.-λe-~v/2，可以看到G′+--ζ＠v+1/4- ηvG=-χ（~v）。（4.8）如果使方程（4.8）为齐次方程，则方程（4.8）为惠特克方程-ζ、 η（v）和W-ζ、 η（~v）是Whittaker方程的两个线性独立解。可以通过替换来检查以下公式是否为方程（4.8）G（~v；ζ）=Γ（1/2+ζ+η）Γ（1+2η）M的解-ζ、 η（~v）Z ~vχ（П）W-ζ、 η（k）dа+W-ζ、 η（v）Z∞~vχ（k）M-ζ、 η（η）d~n！。（4.9）为了进一步进行，我们使用[9]Z中的公式6.669.4∞E-（a+a）t cosh xcoth2ν十、I2u（t）√aasinh x）dx=Γ+ u - νT√aaΓ（1+2u）Wν，u（at）Mν，u（at），Re+ u - ν> 0，Reu>0，a>a。上述[9]公式允许我们重写（4.9）asG（~v；ζ）=√~vZ∞Z∞φ-1/2-λe-φ-~v+ψcoshψtanh2ζψI2ηpv~nsinhψd~ndψ。

（4.10）从[9]Z中应用6.643.2∞xu-E-αxI2ν2β√十、dx=Γu + ν +Γ(2ν + 1)β-1eβ2α-uM-u,νβα, 重新u + ν +> 0（4.11）到（4.10）中的内部积分，我们得到（~v；ζ）=e-~v/2Γ（η）- λ+1/2）Γ（1+2η）Z∞e（1）-coshψ）~v/4tanh2ζψ余弦ψ+1λMλ，ηcoshψ-1伏2dψsinhψ。（4.12）通过改变（4.12）as2 log中积分ψ的变量谭ψ= ν、 2dψsinhψ=dν，coshψ- 1=2eν1- eν，我们得到g（~v；ζ）=e-~v/2Γ（η）- λ+1/2）Γ（1+2η）Z-∞经验-~veνeν- 1+ ζνε- 1.λMλ，η~veνeν- 1.dν。将拉普拉斯变换倒置，并使用替换（4.7），我们恢复了f（v，t）f（v，t）=2πiΓ（η）的公式- λ+1/2）Γ（1+2η）ZN+i∞N-我∞Z-∞经验-~veνeν- 1.eζ（ν+＠τ）~ve-§τeν- 1.λMλ，η~veνeν- 1.dζdν（4.13），其中N是一个数字，使得被积函数的所有剩余都在它的右边。用狄拉克函数2πiZN+i的著名表示∞N-我∞ezζdζ=δ（z），改变（4.13）中的积分顺序，我们得到f（v，t）=Γ（η）- λ+1/2）Γ（1+2η）Z-∞δ（ν+～τ）exp-~veνeν- 1.~ve-§τeν- 1.λMλ，η~veνeν- 1.dν。（4.14）请注意，τ≥ 0.因此，我们可以将（4.14）中的积分范围补充到整条线，并使用狄拉克函数的定义，命名为∞-∞δ(ζ - z） g（ζ）dζ=g（z）对于任何连续的g，我们得到f（v，t）=Γ（η）- λ+1/2）Γ（1+2η）exp-~veτeτ- 1.~ve-■τe■τ- 1.λMλ，η~veτeτ- 1.. （4.15）最后，通过逆转变量（4.7）的变化，我们得到了主公式（4.4）。fv/f的表达式（4.6）通过使用惠特克函数的不同规则获得（见[1]）。△以下定理与第3节的结果类似，但与赫斯顿的mo de l相似。它给出了最优控制和Bellman函数的exac t解。定理4.1。

对于电力设施（2.4）和过程（2.1），贝尔曼函数（2.3）由jp（w，x，v，t）=wγf1/δ（v，t），（4.16）给出，最优控制为α*P（w，x，v，t）=wx（1）- γ)uv+ρσδ（η+λ+1/2）vM1+λ，η（ψ（v，t））Mλ，η（ψ（v，t））, （4.17）式中f（v，t）=Γ（η）- λ+1/2）Γ（2η+1）e-ψ（v，t）/2（ψ（v，t））λMλ，η（ψ（v，t）），δ=1+ργ1- γ, λ = -kΘσ+（1）- δ） μρσ，C=-γ1 - γμδ，η=sλ ++2Cσ，ψ（v，t）=2kvσek（T-（t）- 1.,Mλ，η（z）是惠特克函数，而Γ（z）是伽马函数。定理4.2。对于指数效用（2.4）和过程（2.1），Bellman函数由je（x，w，v，t）=1给出-E-cwcf1/δ（v，t），（4.18），最优控制为α*E（w，x，v，t）=cxuv+ρσδ（η+λ+1/2）vM1+λ，η（ψ（v，t））Mλ，η（ψ（v，t））, （4.19）式中f（v，t）=Γ（η）- λ+1/2）Γ（2η+1）e-ψ（v，t）/2（ψ（v，t））λMλ，η（ψ（v，t）），δ=1- ρ, λ = -kΘσ+（1）- δ） μρσ，C=μδ，η=sλ ++2Cσ，ψ（v，t）=2kvσek（T-（t）- 1.,Mλ，η（z）是惠特克函数，而Γ（z）是伽马函数。议论[11]研究了漂移u（Xt，t）=vt的模型（3.1）。对于特定模型，f在（3.4）中的系数与v成正比。这就是为什么在该特定情况下可以实现精确表示的原因。此外，如果边界条件不是常数，则不可能再次进行有效表示。相反，我们的方法允许我们获得任何边界条件和两种模型所需的解，无论是Heston模型还是[11]中考虑的模型。1.最优控制分析（4.17）和（4.19）中的最优控制与两项之和成正比：第一项u/V与静态投资组合优化问题成正比。它只是瞬时漂移与瞬时方差之比，不依赖于时间或波动过程的参数。