Heston模型最优投资的显式解法

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英文标题：
《An explicit solution for optimal investment in Heston model》
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作者：
Elena Boguslavskaya and Dmitry Muravey
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we consider a variation of the Merton\'s problem with added stochastic volatility and finite time horizon. It is known that the corresponding optimal control problem may be reduced to a linear parabolic boundary problem under some assumptions on the underlying process and the utility function. The resulting parabolic PDE is often quite difficult to solve, even when it is linear. The present paper contributes to the pool of explicit solutions for stochastic optimal control problems. Our main result is the exact solution for optimal investment in Heston model.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了具有随机波动性和有限时间范围的默顿问题的一个变种。众所周知，在对潜在过程和效用函数的某些假设下，相应的最优控制问题可以化为线性抛物型边界问题。由此产生的抛物线偏微分方程通常很难求解，即使它是线性的。本文致力于随机最优控制问题的显式解库。我们的主要结果是赫斯顿模型中最优投资的精确解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
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关键词：Est sto Quantitative Mathematical Applications

Heston模型最优投资的显式解法*Elena Boguslavskaya+英国伦敦布鲁内尔大学，俄罗斯莫斯科高等经济学院定量金融国际实验室Dmitry Muravey§本文中，我们考虑了Merton问题的一种变化，它具有附加的随机波动性和有限时间范围。众所周知，在对下垫过程和效用函数作一定假设的情况下，相应的最优控制问题可化为线性抛物型有界问题。由此产生的抛物线偏微分方程通常很难求解，即使它是线性的。本文致力于建立随机最优控制问题的显式解工具。我们的结果是Hestonmodel中最优投资的精确解。1导言随机过程的最优控制理论在金融数学中发挥着重要作用，可以制定和解决最优投资、最优交易和其他与金融相关的领域中的问题。罗伯特·默顿[1]的开创性论文被概括为几个方向。接下来的研究引入了更现实、更复杂的资产动态[2]、[3]和更现实的市场模型[4]。类似的数学问题出现在算法阅读[5]和市场微观结构研究[6]中。在本文中，我们考虑了随机波动和有限时间范围的默顿问题的一种变化。如[2]所示，在对基础过程和效用函数进行某些假设的情况下，最优控制问题可以简化为线性抛物边界问题。通常，由于该边界问题的解缺乏光滑性，需要找到非线性方程的粘性解。使用抛物线的偏微分方程通常很难求解，即使它是线性的。

在几个特殊情况下，得到了显式解，其中模式l的显式解与Heston的类似[7]，而Cha-cko-Viceira模型的显式解[8]。本文对随机最优控制问题的显式解库做出了贡献。我们的主要结果是在著名的Hes-ton模型[9]的框架内精确地解决了最优控制问题。此处无法应用[7]中使用的有效表示法。为了得到所需的显式解，我们使用积分重表示理论和特殊函数。利用文献[3]中的渐近和摄动方法得到了更一般过程的最优控制的准解析解。*本论文的研究得到了俄罗斯政府2007年12月14日拨款的支持。+elena@boguslavsky.net作者得到ESPRC资助的达芙妮·杰克逊奖学金的支持§dmuravey@hse.ruThe论文的结构如下：在第2节中，我们阐述了这个问题；在第三节中，我们讨论了[2]关于Bellman函数表示为线性抛物方程解的结果，并将其结果推广到指数效用的情况；第四节介绍了本文的主要结果；第五节分析了得到的显式解；在附录（第6节）中，我们提供了一些技术渐近关系。2.小问题（X，V）=（Xs，Vs）s的表述≥t是一个向量随机过程，由随机微分方程的三角系统Sdx/X=udt给出+√V dB，Xt=x（2.1）dV=k（Θ）- V）ds+σ√V dB，Vt=V，其中B=（Bt）s≥tB=（Bt）s≥具有相关系数ρ的皮重相关维纳过程，即hB，Bit=ρt和u，k，Θ，σ是一些常数。

由（2.1）定义的资产价格Xde模型在金融数学中非常有名，被称为赫斯顿模型[9]。为了求解SDE（2.1）的系统，需要先求解s第二方程，得到V，然后求解X。过程V=（Vs）s≥Tre表示资产X的波动性。ProcessV是一个Feller过程，在金融数学中也称为CIR（Cox-Ingersoll-Ross）过程[10]。我们认为V满足Feller条件2kΘ>σ。因此，V始终为正，即使V>0。让我们考虑一个受控过程W=（Ws）s≥tgiven bydW=αdX，Wt=w.（2.2），其中控制α=（αs）s≥它适合过滤F≥t=σ{Bs- 英国电信≥ t} andRTtαsdt<∞.我们的目标是找到功能性EU（WT）达到其最大值j（w，x，v，t）=supαEU（WT）的控制。（2.3）函数J（w，x，v，t）是Bellman函数，它是HJB（Hamilton-JacobiBellman）方程的解。效用函数U（w）可以是一个幂函数或一个显式效用函数。为了便于注释，我们将对索引进行限制。UP（w）=wγ，γ<0，UE（w）=1-E-《化学武器公约》，c>0。（2.4）注意，对数效用是γ=0的幂效用的特例。这一众所周知的观察结果可以通过取极限limγ来检验→0（wγ）- 1） /γ=对数（w）且不表示效用函数被定义为加性常数。对上述过程的财务解释如下：过程W代表投资者的财富动态，而控制α代表投资者在资产中地位的演变。效用函数U代表投资者的偏好。因此，为了进行最佳投资，人们应该在每个时间t找到最佳投资规则，以便在时间t时终端财富的预期效用最大化（2.3）。函数J（w，x，v，t）是Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的解。

一般情况下，HJB方程的解是非线性偏微分方程。然而，在某些效用函数的选择下，这个方程可能是线性的。Zariphopoulou[2]提出了一种基于粘度溶液技术的方法。在这种方法下，方程（2.3）可以简化为线性分解方程。该方法可应用于“三角型”随机微分方程系统。在这种限制下，标的资产X的漂移和扩散可能以任意方式取决于波动过程V。在提供精确公式的情况下，对最优解进行定性和定量分析要容易得多。然而，并非总能找到线性抛物线偏微分方程的显式解。在一些特殊情况下，我们得到了显式解：类似于赫斯顿的模式l见[7]，查科-维切拉模型见[8]。以上任一结果均基于解决方案的有效表示。这种技术不适用于我们考虑的模型（2.1）。本文提出了一种基于拉普拉斯变换的方法。这项技术使我们能够得到一个显式的解决方案，在冲突的超几何函数。3 T.Zariphopoulou的结果和推广[2]中考虑的具有幂效用函数的最优投资（2.3）的一个相当普遍的模型。依赖于随机过程V的设定价格动态X由随机微分方程的三角系统给出，其中dx/X=u（V，t）dt+σ（V，t）dB，dV=b（V，t）dt+a（V，t）dB，（3.1），其中b=（Bt）s≥tB=（Bt）s≥用相关系数ρ关联维纳过程。我们假设满足系统（3.1）系数的必要限制，以保证强解（X，V）的存在。定理3.1（Zariphopoulou）。

对于过程（3.1）和功率效用函数（2.4），我们有以下贝尔曼函数（2.3）的表示，JP（w，x，v，t）=wγf1/δ（v，t），（3.2），其中δ=1+ργ1- γ、 函数f=（v，t）是下列抛物型边值问题的解ft+a（v，t）fvv+b（v，t）+ργu（v，t）a（v，t）（1）- γ） σ（v，t）fv+γ1- γΔu（v，t）σ（v，t）f=0，（3.4）f（v，t）=1。最佳合成由α给出*P（w，x，v，t）=wx（1）- γ)u（v，t）σ（v，t）+ρδa（v，t）σ（v，t）fv（v，t）f（v，t）. （3.5）为了在时间t处找到最优控制，应将过程W和（X，V）的值代入合成（3.5）。注意，该表示（3.2）可解释如下。首先，我们可以分离布尔曼函数J（w，x，v，t）=u（w）R（x，v，t）中的变量。这个小把戏我们都知道是关于电力设备的。第二，从系数和边界条件的形式可以看出，解不依赖于变量x。第三，经过上述操作后，剩余的非线性方程可以通过代换器δ（v，t）=f（v，t）线性化。我们使用与上述类似的推理将Zariphopoulou公式推广到指数效用的情况。这是本文的第一个结果。提议3.1。在指数效用函数UE下，贝尔曼函数（2.3）由je（x，w，v，t）=1表示-E-cwcf1/δ（v，t），（3.6），其中δ=1- ρ、 函数f=f（v，t）是下列抛物型边值问题Ft+a（v，t）fvv的解+b（v，t）- ρu（v，t）a（v，t）σ（v，t）fv-Δu（v，t）σ（v，t）f=0，（3.8）f（v，t）=1。最佳合成由α给出*E（w，x，v，t）=cxu（v，t）σ（v，t）+ρδa（v，t）σ（v，t）fv（v，t）f（v，t）. （3.9）注意，（3.7）和方程式（3.8）给出的f常数δ可通过取极限γ从电力实用公式（3.3）和（3.4）中获得→ -∞.4.主要结果使我们回到最初的问题上来。

考虑（2.1）中给出的赫斯顿模型。利用第3节的结果，特别是定理3.1和命题3.1中的替换（3.2）和（3.6），我们可以将Bellman函数的原始边值问题简化为函数f=f（v，t）σvvv的下列边值问题+kΘ-1.- δρuσ - 千伏fv-Cvf+ft=0。（4.1）f（v，T）=1，等式（4.1）对于幂和指数效用函数的两种情况都是相同的，只有δa和C的常数值不同。对于幂效用函数δ=1+ργ1的情况- γ、 C=-γ1 - γuδ. （4.2）对于指数效用情况δ=1- ρ、 C=δ。（4.3）引理4.1。（4.1）的解由f（v，t）=Γ（η）给出- λ+1/2）Γ（2η+1）e-ψ（v，t）/2（ψ（v，t））λMλ，η（ψ（v，t）），（4.4），其中ψ（v，t）=2kvσek（T-（t）- 1., λ = -kΘσ+（1）- δ） μρσ，η=sλ ++2Cσ，（4.5）Mλ，η（z）是惠特克函数，而Γ（z）是伽马函数。此外，我们有fvf=（η+λ+1/2）vM1+λ，η（ψ（v，t））Mλ，η（ψ（v，t））。（4.6）证据。进行替换v=2kvσ，k（T- t） =τ，f（v，t）=e-λτvλev/2h（v，τ）（4.7）我们得到了以下关于hhvv的边值问题+-+1/4 - ηvh=~vh~τ。h（~v，0）=~v-λe-五分之二。设G（~v；ζ）是函数h（~v，~τ）w的拉普拉斯变换，其范围为~τG（~v；ζ）=Z∞eζτh（~v，~τ）dτ。通过表示χ（~v）=~v-1.-λe-~v/2，可以看到G′+--ζ＠v+1/4- ηvG=-χ（~v）。（4.8）如果使方程（4.8）为齐次方程，则方程（4.8）为惠特克方程-ζ、 η（v）和W-ζ、 η（~v）是Whittaker方程的两个线性独立解。

可以通过替换来检查以下公式是否为方程（4.8）G（~v；ζ）=Γ（1/2+ζ+η）Γ（1+2η）M的解-ζ、 η（~v）Z ~vχ（П）W-ζ、 η（k）dа+W-ζ、 η（v）Z∞~vχ（k）M-ζ、 η（η）d~n！。（4.9）为了进一步进行，我们使用[12]Z中的公式6.669.4∞E-（a+a）t cosh xcoth2ν十、I2u（t）√aasinh x）dx=Γ+ u - νT√aaΓ（1+2u）Wν，u（at）Mν，u（at），Re+ u - ν> 0，Reu>0，a>a。上述[12]公式允许我们重写（4.9）asG（~v；ζ）=√~vZ∞Z∞φ-1/2-λe-φ-~v+ψcoshψtanh2ζψI2ηpv~nsinhψd~ndψ。（4.10）从[12]Z中应用6.643.2∞xu-E-αxI2ν2β√十、dx=Γu + ν +Γ(2ν + 1)β-1eβ2α-uM-u,νβα, 重新u + ν +> 0（4.11）到（4.10）中的内部积分，我们得到（~v；ζ）=e-~v/2Γ（η）- λ+1/2）Γ（1+2η）Z∞e（1）-coshψ）~v/4tanh2ζψ余弦ψ+1λMλ，ηcoshψ-1伏2dψsinhψ。（4.12）通过改变（4.12）as2 log中积分ψ的变量谭ψ= ν、 2dψsinhψ=dν，coshψ- 1=2eν1- eν，我们得到g（~v；ζ）=e-~v/2Γ（η）- λ+1/2）Γ（1+2η）Z-∞经验-~veνeν- 1+ ζνε- 1.λMλ，η~veνeν- 1.dν。将拉普拉斯变换倒置，并使用替换（4.7），我们恢复了f（v，t）f（v，t）=2πiΓ（η）的公式- λ+1/2）Γ（1+2η）ZN+i∞N-我∞Z-∞经验-~veνeν- 1.eζ（ν+＠τ）~ve-§τeν- 1.λMλ，η~veνeν- 1.dζdν（4.13），其中N是一个数字，使得被积函数的所有剩余都在它的右边。用狄拉克函数2πiZN+i的著名表示∞N-我∞ezζdζ=δ（z），改变（4.13）中的积分顺序，我们得到f（v，t）=Γ（η）- λ+1/2）Γ（1+2η）Z-∞δ（ν+～τ）exp-~veνeν- 1.~ve-§τeν- 1.λMλ，η~veνeν- 1.dν。（4.14）请注意，τ≥ 0.因此，我们可以将（4.14）中的积分范围补充到整条线，并使用狄拉克函数的定义，命名为∞-∞δ(ζ - z） g（ζ）dζ=g（z）对于任何连续的g，我们得到f（v，t）=Γ（η）- λ+1/2）Γ（1+2η）exp-~veτeτ- 1.~ve-■τe■τ- 1.λMλ，η~veτeτ- 1.. （4.15）最后，通过逆转变量（4.7）的变化，我们得到了主公式（4.4）。

fv/f的表达式（4.6）通过使用惠特克函数的不同规则获得（见[11]）。△以下定理与第3节的结果类似，但与赫斯顿的mo de l相似。它给出了最优控制和Bellman函数的exac t解。定理4.1。对于电力设施（2.4）和过程（2.1），贝尔曼函数（2.3）由jp（w，x，v，t）=wγf1/δ（v，t），（4.16）给出，最优控制为α*P（w，x，v，t）=wx（1）- γ)uv+ρσδ（η+λ+1/2）vM1+λ，η（ψ（v，t））Mλ，η（ψ（v，t））, （4.17）式中f（v，t）=Γ（η）- λ+1/2）Γ（2η+1）e-ψ（v，t）/2（ψ（v，t））λMλ，η（ψ（v，t）），δ=1+ργ1- γ, λ = -kΘσ+（1）- δ） μρσ，C=-γ1 - γμδ，η=sλ ++2Cσ，ψ（v，t）=2kvσek（T-（t）- 1.,Mλ，η（z）是惠特克函数，而Γ（z）是伽马函数。定理4.2。对于指数效用（2.4）和过程（2.1），Bellman函数由je（x，w，v，t）=1给出-E-cwcf1/δ（v，t），（4.18），最优控制为α*E（w，x，v，t）=cxuv+ρσδ（η+λ+1/2）vM1+λ，η（ψ（v，t））Mλ，η（ψ（v，t））, （4.19）式中f（v，t）=Γ（η）- λ+1/2）Γ（2η+1）e-ψ（v，t）/2（ψ（v，t））λMλ，η（ψ（v，t）），δ=1- ρ, λ = -kΘσ+（1）- δ） μρσ，C=μδ，η=sλ ++2Cσ，ψ（v，t）=2kvσek（T-（t）- 1.,Mλ，η（z）是惠特克函数，而Γ（z）是伽马函数。议论[7]研究了漂移u（Xt，t）=vt的模型（3.1）。对于该特定模型，在（3.4）中f的系数与v成正比。这就是为什么在该特定情况下，f的代表性是可能的。此外，如果边界条件不是常数，则不能再次进行有效表示。相反，我们的方法允许我们获得任何边界条件和两种模型的所需解，无论是Heston模型还是[7]中考虑的模型。1.最优控制分析（4.17）和（4.19）中的最优控制与两项之和成正比：第一项u/V与静态投资组合优化问题成正比。

它只是瞬时漂移与瞬时方差之比，不依赖于时间或波动过程的参数。第二项ρσδ（η+λ+1/2）vM1+λ，η（ψ（v，t））Mλ，η（ψ（v，t））（5.1）代表未来机会集的对冲（见默顿[14]）。这个术语在许多重要的特殊情况下消失了：ρ=0：两个驱动布朗运动之间没有相关性，γ=0：当投资者有对数效用时。Heston模型波动率极限为零的情况（在（2.1）中σ=0）将资产过程转化为一个类似于几何布朗运动但具有确定性时变波动率的过程。如果我们在（2.1）中另外设置V=Θ，那么我们得到一个几何布朗运动。在σ情况下使用附录6中的渐近结果~ 0，我们得到f（v，t）~ 1，fv（v，t）f（v，t）~克维克（T）-t） 。（5.2）因此，对于σ~ 0贝尔曼函数大约等于效用函数，即JP~ 起来，杰~ UE；最优控制为α*P（w，x，v，t）=wx（1）- γ)uv+ρ∑ΔPCPkvek（T-（t）, (5.3)α*E（w，x，v，t）=cxuv+ρσδECEkvek（T-（t）, （5.4）其中常数C[-]和δ[-]取决于效用的选择。5.2假设（4.2）或（4.3）给出了通过债券C进行套期保值的解释。通过替换C/v=r，f（v，t）=g（r，t），我们可以重写（4.1）为brgrr+hr（m）- r） gr- rg+gt=0，g（r，T）=1，其中b=σ√C、 h=-σC（1+λ），m=-kCσ（1+λ）。使用Feynma n-Kac公式，我们得到了g=g（r，t）g（r，t）=Ee的以下表达式-RTtrsds，（5.5），其中过程r=（rs）s≥这是下列随机微分方程的解Dr=hr（m- r） dt+br3/2dB，rt=C/vt.（5.6）方程（5.6）描述了著名的随机利率的3/2模型（见[13]）在这个模型中，如果r被解释为短期利率，零息债券的价值由（5.6）给出，见[15]。