Heston模型最优投资的显式解法

第二项ρσδ（η+λ+1/2）vM1+λ，η（ψ（v，t））Mλ，η（ψ（v，t））（5.1）代表未来机会集的对冲（见默顿[13]）。这个术语在许多重要的特殊情况下消失了：ρ=0：两个驱动布朗运动之间没有相关性，γ=0：当投资者有对数效用时。Heston模型波动率极限为零的情况（在（2.1）中σ=0）将资产过程转化为一个类似于几何布朗运动但具有确定性时变波动率的过程。如果我们在（2.1）中另外设置V=Θ，那么我们得到一个几何布朗运动。在σ情况下使用附录6中的渐近结果~ 0，我们得到f（v，t）~ 1，fv（v，t）f（v，t）~克维克（T）-t） 。（5.2）因此，对于σ~ 0贝尔曼函数大约等于效用函数，即JP~ 起来，杰~ UE；最优控制为α*P（w，x，v，t）=wx（1）- γ)uv+ρ∑ΔPCPkvek（T-（t）, (5.3)α*E（w，x，v，t）=cxuv+ρσδECEkvek（T-（t）, （5.4）其中常数C[-]和δ[-]取决于效用的选择。5.2假设（4.2）或（4.3）给出了通过债券C进行套期保值的解释。通过替换C/v=r，f（v，t）=g（r，t），我们可以重写（4.1）为brgrr+hr（m）- r） gr- rg+gt=0，g（r，T）=1，其中b=σ√C、 h=-σC（1+λ），m=-kCσ（1+λ）。使用Feynma n-Kac公式，我们得到了g=g（r，t）g（r，t）=Ee的以下表达式-RTtrsds，（5.5），其中过程r=（rs）s≥这是下列随机微分方程的解Dr=hr（m- r） dt+br3/2dB，rt=C/vt.（5.6）方程（5.6）描述了著名的随机利率的3/2模型（见[8]）在这个模型中，如果r被解释为短期利率，零息债券的价值由（5.6）给出，见[3]。因此，fv/f比率可以表示为fv（v，t）f（v，t）=ddvlog Ehe-RTtrsds | rt=C/vi。

（5.7）将（5.7）代入最优控制（4.17）和（4.19）的公式中，可以得到通过债券设定的未来机会套期保值的解释。6附录。从（4.4）中可以看出，函数f=f（v，t）只能写成一个函数，即f=f（ψ），其中ψ=ψ（v，t）由（4.5）给出。这种表示允许我们通过使用Whittakerfunctions Mλ，u（z）的渐近性来研究Bellma n函数和最优控制（例如，参见[1]）。事实上，通过使用众所周知的公式：~ zη+1/2（1+O（z）），z→ 0，Mλ，η（z）~Γ(1 + 2η)Γ(1/2 - λ+η）ez/2z-λ、 z→ ∞,我们得到f（v，t）~Γ(1/2 - λ+η）Γ（1+2η）ψη+1/2（v，t）ψλ（v，t）+O（ψ（v，t））, ψ（v，t）→ 0，（6.1）和f（v，t）~ 1，ψ（v，t）→ ∞. （6.2）对于fv（v，t）/f，我们有fv（v，t）f（v，t）~（η+λ+1/2）v，ψ（v，t）→ 0，（6.3）和Fv（v，t）f（v，t）~2Cσvψ（v，t），ψ（v，t）→ ∞. （6.4）确认。作者感谢Yury K abanov的富有成效的讨论和有用的建议。参考文献[1]M.Abramowitz，I.Stegun（1972）《数学函数与公式、图形和数学表格手册》，纽约多佛。[2] M.Boguslavsky，E.Boguslavskaya（2003）权力套利，风险，06,49-53。[3] D.Brigo，F.Mer curio（2006）《利率模型——理论与实践：微笑、通货膨胀与信贷》，斯普林格金融公司。[4] G.Chacko和L.Viceira（2005）《不完全市场中随机波动的动态消费和投资组合选择》，金融研究综述，18,1369-1402。[5] J.C.Cox，J.E.Ingersoll，S.A.Ross（1985）利率期限结构理论，计量经济学，53,2,385-407。[6] J.Fouque，R.Sircar和T.Zariphopoulou（2013）投资组合优化和随机波动渐近性，预印本[7]S。

Heston（1993）随机波动期权的封闭形式解，适用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，6，2，327-343。[8] J.Gatheral，N.Taleb（2006）《波动表面：实践者指南》，威利金融。[9] Gradshteyn I.S.，Ryzhik I.M.（1980）积分、级数和乘积表，学术出版社，纽约。[10] 于。Kabanov，M.Safarian（2009）交易成本市场。数学理论，斯普林格·维拉格。[11] H.Kraft（2005）《最优投资组合与赫斯顿随机波动率模型：电力效用的显式解》，定量金融，5303-313。[12] R.C.Merton（1971）《连续时间模型中的最优消费和投资组合规则》，经济理论杂志，3，4，373-41 3。[13] R.C.Merton（1990）连续时间金融，布莱克威尔出版社。[14] A.Obizhaeva，J.Wang（2013）最优交易策略和供需动态，金融市场杂志，16,1-32。[15] T.Zariphopoulou（2001）《不可忽视风险、财务和随机性的估值解决方案》，第5期，第61-82页。