多项式趋势对去趋势移动平均分析的影响

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Effects of polynomial trends on detrending moving average analysis》
---
作者：
Ying-Hui Shao, Gao-Feng Gu, Zhi-Qiang Jiang, Wei-Xing Zhou (ECUST)
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  The detrending moving average (DMA) algorithm is one of the best performing methods to quantify the long-term correlations in nonstationary time series. Many long-term correlated time series in real systems contain various trends. We investigate the effects of polynomial trends on the scaling behaviors and the performances of three widely used DMA methods including backward algorithm (BDMA), centered algorithm (CDMA) and forward algorithm (FDMA). We derive a general framework for polynomial trends and obtain analytical results for constant shifts and linear trends. We find that the behavior of the CDMA method is not influenced by constant shifts. In contrast, linear trends cause a crossover in the CDMA fluctuation functions. We also find that constant shifts and linear trends cause crossovers in the fluctuation functions obtained from the BDMA and FDMA methods. When a crossover exists, the scaling behavior at small scales comes from the intrinsic time series while that at large scales is dominated by the constant shifts or linear trends. We also derive analytically the expressions of crossover scales and show that the crossover scale depends on the strength of the polynomial trend, the Hurst index, and in some cases (linear trends for BDMA and FDMA) the length of the time series. In all cases, the BDMA and the FDMA behave almost the same under the influence of constant shifts or linear trends. Extensive numerical experiments confirm excellently the analytical derivations. We conclude that the CDMA method outperforms the BDMA and FDMA methods in the presence of polynomial trends.
---
中文摘要：
去趋势移动平均（DMA）算法是量化非平稳时间序列中长期相关性的最佳方法之一。现实系统中的许多长期相关时间序列包含各种趋势。我们研究了多项式趋势对三种广泛使用的DMA方法（反向算法（BDMA）、中心算法（CDMA）和前向算法（FDMA）的缩放行为和性能的影响。我们推导了多项式趋势的一般框架，并得到了常数位移和线性趋势的分析结果。我们发现CDMA方法的行为不受恒定位移的影响。相比之下，线性趋势会导致CDMA波动函数发生交叉。我们还发现，恒定位移和线性趋势会导致从BDMA和FDMA方法获得的波动函数发生交叉。当存在交叉时，小尺度下的标度行为来自于内在时间序列，而大尺度下的标度行为则由恒定位移或线性趋势控制。我们还解析地推导了交叉尺度的表达式，并表明交叉尺度取决于多项式趋势的强度、赫斯特指数，以及在某些情况下（BDMA和FDMA的线性趋势）时间序列的长度。在所有情况下，BDMA和FDMA在恒定位移或线性趋势的影响下表现几乎相同。大量的数值实验很好地证实了解析推导。我们得出结论，在多项式趋势存在的情况下，CDMA方法优于BDMA和FDMA方法。
---
分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
--
一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

---
PDF下载：
--> Effects_of_polynomial_trends_on_detrending_moving_average_analysis.pdf (395.69 KB)

2022-5-8 05:12:37 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：移动平均 平均分 多项式 去趋势 Quantitative

多项式趋势对趋势移动平均分析的影响，*华东科技大学商学院，上海200237，华东科技大学中国经济物理研究中心，上海200237，华东科技大学中国科学院，上海200237，中国（日期：2018年8月13日）去趋势移动平均（DMA）算法是量化非平稳时间序列中长期相关性的最佳方法之一。现实系统中的许多长期相关时间序列包含各种趋势。我们研究了多项式趋势对三种广泛使用的DMA方法（包括反向算法（BDMA）、中心算法（CDMA）和正向算法（FDMA）的缩放行为和性能的影响。我们推导了多项式趋势的一般框架，得到了常数位移和线性趋势的分析结果。我们发现CDMA方法的行为不受恒定位移的影响。相反，线性趋势会导致CDMA函数发生交叉。我们还发现，恒定位移和线性趋势会导致从BDMA和FDMA方法获得的函数发生交叉。当存在交叉时，小尺度下的标度行为来自于内在时间序列，而大尺度下的标度行为则由恒定位移或线性趋势控制。我们还分析推导了交叉尺度的表达式，并表明交叉尺度取决于多项式t趋势的强度、赫斯特指数，以及在某些情况下（BDMA和FDMA的线性趋势）时间序列的长度。在所有情况下，在恒定位移或线性趋势的影响下，BDMA和FDMABEH几乎相同。

大量的数值实验很好地证实了分析推导。我们得出结论，CDMA方法在存在多项式趋势s的情况下优于BDMA和FDMA方法。关键词：分形分析；去趋势移动平均（DMA）；标度律；交叉行为；多项式趋势；不断变换；线性趋势。*wxzhou@ecust.edu.cnI.引言许多自然、社会和技术系统表现出复杂的行为，其特点是长期的权力关系[1]。有很多方法可以用来确定长期相关时间序列中的相关强度[2–6]。最经典的方法是Hurst分析或R/S范围分析[7,8]。其他常用方法包括小波变换模极大值（WTMM）方法[4,9–13]，基于波动分析（FA）[15]的去趋势波动分析（DFA）[14]，基于移动平均或移动平均技术的去趋势移动平均分析（DMA）[16–18]等等。这些方法在许多方面都得到了推广，例如高维对象[20-23]、双时间分析的detr-End互相关分析及其变体[24-30]、多变量时间序列的detrended偏cro-ss相关分析[31-33]、多重分形分析[34,35]等等。一个重要的问题是比较这些估计器的性能和相对优点，这是通过大量的数值实验进行的。Xu等人利用改进的傅里叶滤波方法生成的时间序列[36]，发现DFA优于不同的DMA变体[37]。Bashan等人观察到，对于趋势较弱的长时间序列，CDMA的性能与DFA相当，对于趋势较弱的短数据，CDMA的性能略优于DFA[38]。

基于Davies-Harte算法[39]产生的分数高斯噪声（FGN）和通过对FGN求和产生的分数布朗运动，Se rinaldi发现DFA和DMA具有可比性能[40]。Jiang和Zhou报告说，DFA和CDMA的性能类似，它们都优于BDMA和FDMA方法[29]，其中FBM是使用基于傅立叶的Wood Chan算法生成的[41]。Huanget al.报告了使用Wood Chan算法生成的、H=1/3[42]的FBM的FA和DFA的比较性能[41]。Bryce和Sprague报告称，对于使用Davies-Harte算法生成的FGN，FA的性能优于DFA，H=0.3[43]，而Shao等人发现CDMA的性能最好，DFA在某些情况下只是稍微差一点，FA的性能最差[44]。由于不同的研究使用了不同的时间序列生成器和不同的长度，因此将结论混合在一起并不是不合理的。实际复杂系统中的时间序列通常包含各种形式的趋势和非平稳性。因此，另一个重要的问题是趋势和非平稳性对不同方法的标度行为的影响。Montanari等人研究了周期性对几种方法的影响，如聚合方差法、Higuchi法、R/s分析、周期图法、Whittle法等[3]。Ka ntelhardt等人研究了多项式趋势和振荡趋势对DFA不同阶数的影响[45]。Hu等人系统地研究了线性、周期和幂律趋势对DFA的影响[46]。Chen等人在DFA分析中考虑了非平稳性和非线性滤波器的存在[47,48]。Ma等人研究了缺失极端数据对DFA的影响[49]。

Song和Shang研究了基于线性和非线性滤波器的五种趋势对基于DFA的多重分形CCA的影响[5 0]。在大多数情况下，DFA函数的标度行为中会出现交叉，这使得难以估计时间序列中的内在长期相关性。为了减少或最小化这些对DFA方法的影响，已经采取了许多措施[51–58]。然而，关于趋势对趋势移动平均分析的影响的研究很少，尽管DMA是DFA的“首选方法”[44]。据我们所知，其中一项研究是将周期趋势对DMA方法的影响降至最低[57]。在这项工作中，我们旨在通过研究多项式趋势对DMA方法的缩放行为的影响来推动这一方向。我们通过分析得出了常数位移和线性趋势的结果，并通过数值实验证实了这些结果。二、去趋势移动平均算法去趋势移动平均分析的算法描述如下[16-18,37,59-62]。第一步。考虑一个时间序列x（t），t=1，2，·N。我们构造了累积sumsX（t）=tXi=1x（i），t=1，2，·N.（1）步骤2的序列。考虑一个盒子[t]- s、 大小为s=s+s+1的t+s]，其中s=（s）- 1)(1 - θ), s=（s）- 1)θ, 十、 是小于x的最大整数，十、 是大于x的最小整数，θ是位置参数，其值在[0,1]范围内变化。计算移动窗口[17]中的移动平均函数eX（t），eX（t）=ssXk=-sX（t）- k） 。（2） 因此，移动平均函数考虑了过去的数据点和未来的数据点。本文考虑了三种特殊情况。第一种情况θ=0指的是向后移动平均[37]，其中移动平均函数ex（t）是在过去的所有n年中计算出来的- 1.信号的数据点。

第二种情况θ=0.5与居中移动平均线[37]有关，其中ex（t）包含每个窗口的过去和未来信息的一半。第三种情况θ=1称为前向移动平均线，其中ex（t）考虑n的趋势- 1.未来的数据点。第三步。通过从X（i）中移除移动平均函数ex（i）来分解信号序列，并获得剩余序列（i）到（i）=X（i）-eX（i），（3）式中n- （s）- 1)θ 6I 6N- （s）- 1)θ.第四步。残差序列（i）被划分为大小为s的不相交段，其中Ns=不适用- 1..每个c段可以用v表示，即v（i）=（l+i）表示1 6 i 6 s，其中l=（v-1） s.窗口大小为s的均方根函数Fv（s）可以通过Fv（s）=ssXi=1v（i）来计算。（4） 第五步。通过改变段大小s的值，我们可以确定函数F（s）和大小刻度s之间的幂律关系，其读数为SF（s）~ bsH。（5） III.多项式趋势考虑由零均值信号x（t）和加法趋势u（t）z（t）=x（t）+u（t）（6）组成的信号。z（t）的曲线是x（t）和u（t）的曲线之和：z（t）=x（t）+u（t）（7）和时间t iseZ（t）=eX（t）+eU eU 8的移动平均值。当q=2时，整体曲线为fz（s）=NXi 1[z（t）-~Z（t）]=NXi=1[X（t）-~X（t）+U（t）-~U（t）]=Fx（s）+Fu（s）+2NXi=1[x（t）U（t）]（9）其中x（t）=x（t）-~X（t）和u（t）=u（t）-~U（t）。如果x（t）和u（t）不相关，我们有fz（s）=Fx（s）+Fu（s）（10），这是叠加规则[46]。我们考虑增加到增量序列中的多项式趋势：u（t）=mXp=0aptp（11）和累积和isU（t）=tXi=1u（i）=mXp=0aptXi=1tp（12）。根据Faulhaber的公式，powersPti=1ipc之和可以表示为：tXi=1ip=p+1pXk=0kp+1Bktp+1-k（13），其中系数bk是伯努利数。

对于p=0、1、2和3，我们有Pti=1i=t、Pti=1i=（t+t）/2、Pti=1i=（2t+3t+t）/6和Pti=1i=（t+2t+t）/4。接下来就是u（t）=a+a+at+a+a+at+a+at+at（14）t fr om t的移动平均线- sto t+sisZ（t）=ssXk=-sZ（t）- k） =st+sXk=t-sZ（k）（15），其中s=s+s- 1是窗口大小。四、 恒定位移：p=0A的情况。分析结果在这种情况下，我们认为a=a=a=0。趋势是一个常数：T=a（16）累积和，或者说，isU（T）=tXi=1，T（17）从T中获得的T处移动平均数- 窗口大小s iseU（t）=a的sto t+SFOt+s- 1.- s（18） 其中s+s+1=s。因为s=（s）- 1)(1 - θ） 当θ=0，0.5和1（注意s应该是奇数）时，我们有eu（t）=at+（2θ）- 1） （s）- 1)（19） 移动平均线后趋势的残差是u（t）=a（2θ）- 1） （s）- 1） （20）对于给定的窗口大小s，这是一个常数。因此叠加规则成立。当θ=0.5时，我们有fz（s）=NNXi=1（t）=Fx（t），（21）10110210410510-1100101102103shF i H=0.9H=0.1（a）FGN+a0FGN10110210310410510-1100101102shF i（b）FGN+a0，θ=0FGN+a0，θ=1fgna0101102104105100101102103shf i（c）FGN+a0，θ=0FGN+a0，θ=1fgna0101104100101102103104shf i（d）FGN+a0，θ=0FGN+a0，θ=1FGNa010-410-310-210-1100102103104H=0.1H=0.9（e）a0s×-10-7.-4.-1.-10-7.-4.-1αK，K（f）K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h） 图1。恒定偏移对DMA算法的影响。（a-d）中的每条曲线代表一个经过50次重复模拟平均的函数。（a） 对于CDMA方法，具有不同Hurst ind exe的FGN和具有恒定位移ta=0.2的FGN的hF i的对数图以s为增量。赫斯特指数H在0.1（底部）到0.9（顶部）之间变化，步长为0.1。（b） 对于Hin=0.1和a=0.0012，使用BDMA和FDMA方法记录hF i与s的对数图。（c）在H=0.5和a=0.0176的情况下，使用BDMA和FDMA方法记录hF i与s的对数图。

（d） 在H=0.9和a=0.257的情况下，使用BDMA和FDMA方法记录hF信号的对数图。（e） 交叉尺度×的幂律依赖于恒定位移，因为BDMA方法适用于不同的赫斯特指数，从0.1（左）到0.9（右）不等，步长为0.1。（f） 公式（24）的验证。交叉指数α是（e）中的幂律指数，K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h） ，其中h是生成FGN的输入Hu rst指数，h是使用BDMA生成的FGN的估计Hurst ind ex。这与常数移位项a无关。它表明，如果x是分数高斯噪声，则FZ标度中不存在交叉。当θ=0和θ=1时，去趋势的函数为Fz（s）=Fx（t）+a（s-1） ，（22）这取决于a和s。在Fz（s）中有一个cr ossover s=s×。对于s<s×，Fz（s）的行为与Fx（s）的行为非常接近，而对于s>s×，Fz（s）的行为与Fu（s）的行为非常接近。交叉标度s×是以下等式的解fx（s）=Fu（s）。（23）由此得出bsH=a（s-1)/2. 什么时候>> 1.我们有×=2ba1/(1-H） ，（24）表明s×是a的幂律函数，指数为-1/(1 - H） 。B.数值试验我们进行数值模拟，以验证由UNSEC推导的主要结果公式（21）和公式（24）的正确性。IV A.我们使用Davies-Harte算法[39]生成具有给定Hurs tindexes H的作用高斯噪声（FGN）。还有其他类似的生成器，如基于小波的FMB生成器[63]和ra ndommidpoint置换算法[64]。然而，戴维斯-哈特算法的性能稍好一些[44]。在我们的模拟中，我们考虑了不同的赫斯特指数H，其范围为0.1到0.9，步长为0.1。对于每个H，我们生成长度为10的50 FGN时间序列x（t）。

每个FGN系列的每个点都添加了常量移位。下面给出的DMA函数是50种实现的平均值。图1a说明了从CMDA方法获得的不同H值的平均函数。原始FGN时间序列和a=0.2的移位FGN的两条曲线重叠良好。此外，所有曲线都具有超幂律形式，斜率为相应的H值。改变AHA的价值对结果没有影响。因此，图1a准确验证了等式（21）。图1b显示了根据BDMA方法和FDMA方法得出的a=0.0 012和H=0.1的恒定位移FGN的平均函数。这两条曲线重叠得很好。fluction函数禁止清晰的交叉。什么时候<< s×，在斜率为H=0.1的情况下，弯曲函数与FGN的弯曲函数重叠。什么时候>> s×，函数与常数A的函数重叠，斜率e为H=1。这些观察结果与eq（22）一致。图1c和图1d分别显示了H=0.5和a=0.017 6以及H=0.9和a=0.257的结果。这些结果也与公式（22）的预测一致。我们可以通过两种方法确定交叉尺度s×。第一种方法是使用Fx（s×）=Fu（s×），确定每个图中实线和虚线的交点（s×），Fx（s×）（图1b-1d）。然而，该方法使用了有关潜在FGN和恒定位移的优先信息。另一种方法如下所述。我们精确地指出了距离连接两个端点的直线最远的点。

我们对从右点到右点中间的点和（sm，Fz（sm））的前几个点进行线性拟合，以获得基于Fz曲线右侧部分的第一条直线和类似的第二条直线。交叉比例由这两条直线的交点决定。在该程序e中，函数左部分的右点Sm和函数右部分的左点Sm的选择可能不同，这不影响s×。在我们的分析中，我们简单地使用线性回归中最左边的五个数据点和最右边的五个数据点，并获得两条回归线的交点（视为s×）。请注意，每个函数中有60个点。图1e显示了s×作为不同H值的函数的依赖性。对于每一种价值，我们都遵循一种权力关系：s×~ aα（25），与等式（24）中表示的幂律形式一致。图1f显示，赫斯特指数越大，曲线越陡。我们对每个H的数据点进行拟合，以估计幂律指数α。然后，我们定义并计算以下两个量：K=-1/(1 - H） （26）andk=-1/(1 - h） ，（27）其中，h是FGN合成的输入赫斯特指数，h是使用BDMA方法合成的DFGN的输出赫斯特指数。我们在图1f中绘制了K与α的关系图，以及K与α的关系图。我们观察到这一点≈ K≈ α、 （28）H=0.9除外。等式（25）和（28）很好地验证了等式（24）。选择Avalue并不是武断的。由于生成的FGN的大小有限，过大的a将导致s×非常小，因此生成的函数将成为斜率为1的直线，而过小的a将导致s×非常大，因此生成的函数将成为斜率为1的直线。