多项式趋势对去趋势移动平均分析的影响

在这两种情况下，无法识别交叉点。在数值实验中，对于每个H，我们使用10个在对数尺度上均匀分布的数值。对于实例e，当H=0.1时，Avalue分布在[0.00018,0.012]中；当H=0.5时，Avalue分布在[0.0064,0.0621]中；当H=0.9时，Avalue分布在[0.203,0.346]中。通过这种方式，可以识别CRO。图1b至图1d中使用的AVALUE是10个AVALUE中的第五个。很明显，图1所示的数值结果验证了前一小节中的分析结果。V.线性趋势：p=1A的情况。分析结果我们现在考虑a=a=0的线性趋势的情况。线性趋势isu（T）=at。（29）u（t）isU（t）=a（t+t）/2，（30）和移动平均iseU（t）=at+s- 第二-ss+s+s-, （31）式中s=（s）- 1)(1 - θ). 当θ=0,0.5,1（注意s应该是奇数）时，我们有eu（t）=at+2（1）- θ） +s（2θ）- 1） t+ 五十、 （32）其中L=a（s）- 1） （s）- 3sθ+3sθ- 3θ+ 6θ - 2)/6. （33）残差序列为u（t）=u（t）-欧盟（t）=At- 五十、 （34）其中=-a（s）- 1)(2θ - 1)/2. （35）趋势函数为Fz（s）=NNXt=1[x（t）+u（t）]（36）应用叠加规则[46]和Faulhaber公式，我们得到Fz（s）=NNXt=1[x（t）+u（t）]=Fx+NNXt=1（至少- 五十） =Fx+L+A（2N+3N+1）- AL（N+1）（37）当θ=0.5时，我们有A=0和L=A（s- 1)/24. 将它们插入式（37）中，Fz=Fx紧随其后+a（s）- 1).（38）我们得到交叉尺度s×如下×=24ba1/(2-H） 。（39）我们注意到，s×依赖于邻接的N.101102103104105100102104shF i（a）FGN+a1t，θ=0.5fgna1t1011010104105100102104shf i（b）FGN+a1t，θ=0.5fgna1t101101010410-1103105shf i（c）FGN+a1t，θ=0.5fgna1t101101031010410510-1103105shf i（d）FGN+a1t，θ=0.5FGNa1t10-710-610-510-410-310-2103104H=0.1H=0.9a1s×（e）-0.9-0.7-0.5-0.9-0.7-0.5αK，K（f）K=-1/(2 - H） k=-1/(2 - h） 图2。

线性趋势对CDMA算法的影响。（a-d）中的每条曲线代表一个经过50次重复模拟平均的函数。（a） H=0.1的FGN的hF i的对数图被a=9.55×10的线性趋势污染-6.逐步增加。（b） H=0.3和a=2.70×10时FGN的hF i对数图-5.（c）对于H=0.7和a=2.18×10，FGNSF的hF i对数图-4.（d）H=0.9和a=4.61×10时FGN的hF i对数图-4.（e）交叉量表s×对不同赫斯特指数的线性系数的幂律依赖性，从0.1（左）到0.9（右）不等，步长为0.1。（f） 验证公式（39）。交叉指数α是（e）中的幂律指数，K=-1/(2 - H） k=-1/(2 - h） ，其中h是生成FGN的输入Hu rst指数，h是使用CDMA生成的FGN的估计Hurst ind ex。当θ=0时，我们有L=a（s）- 1） （s）- 2） /6和A=A（s）-1)/2. 最终计算结果为Fz=Fx+a（s）-1） （s）- 2)+a（2N+3N+1）（s）- 1)-a（N+1）（s）- 1） （s）- 2） （40）当1<< s<< N，我们有FZ≈ Fx+ass-Ns+N≈ Fx+aNs（41）在天平上有一个交叉点×=√12禁令！1/(1-H） ，（42）这取决于A和N。当θ=1时，我们有A=-a（s）-1） /2和L=a（s）- 1)/6. 这就是FZ≈ Fx+ass-Ns+N≈ Fx+aNs（43）c-rosovers s×由以下公式导出：=√12禁令！1/(1-H） （44）这取决于A和N。我们注意到FDMA和BDMA的交叉尺度s具有近似相同的表达式。B.数值模拟我们现在进行数值模拟，以验证第二节中得出的主要结果的正确性。V A，尤其是Req。（39）对于CDMA方法（θ=0.5），等式（42）对于BDMA方法（θ=0），等式（44）对于FDMA方法（θ=1）。数值实验的步骤与秒内恒位移的情况相同。IV B.CDMA方法的结果如图2所示。在图中。

2a，我们展示了受a=9.55×10线性趋势污染的H=0.1的FGN的平均扩散函数-6.我们观察到在s×内函数上有明显的交叉。什么时候<< s×，当斜率为H=0.1时，函数与函数ofFGNs的函数重叠良好。什么时候>> s×，在斜率为H=2时，函数与线性趋势的函数重叠良好。这些观察结果与公式（38）一致。我们分别给出了H=0.3和a=2.70×10的结果-5在图2b中，对于H=0.7和a=2.18×10-4inFig。2c，对于H=0.9和a=4.61×10-4在图2d中。所有这些结果也与ofEq的预测一致。(38).在确定不同值的交叉尺度s×时，我们采用了与恒定位移情况相同的程序。对于每个H，我们选择10个a值，它们以对数比例均匀分布。图2e显示了s×作为不同H值的函数的依赖性。对于固定的a，s×随H增加，表明FGNs中更强的长期相关性使池塘与内禀函数中更宽的标度范围相关。对于固定H，s×随a减小，表明更强的Trend将缩小固有FGN的标度范围，并使确定固有Hurst指数变得更困难。对于每一个H值，我们都观察到一个良好的幂律关系：s×~ aα（45），与等式（39）中表示的幂律形式一致。图2f显示，赫斯特指数越大，曲线越陡。我们对每个H的数据点进行拟合，以估计幂律指数α。然后，我们定义并计算以下两个量：K=-1/(2 - H） （46）andk=-1/(2 - h） ，（47）其中，h是用于合成FGN的输入赫斯特指数，h是使用CDMA方法合成的DFGN的输出赫斯特指数。

我们在图1f中绘制了K与α的对比图和ka与α的对比图。我们观察到所有的点都落在对角线上≈ K≈ α. （48）等式（45）和（48）很好地验证了等式（39）。BDMA和FDMA方法的结果如图3所示。应用BDMA和FDMA方法，我们在图3a中显示了H=0.1的FGN的平均函数，该函数被a=2.28×10的线性趋势污染-这两条曲线重叠得很好。我们在函数中观察到一个明显的交叉点s×。10110210310410510-1100101102shF i（a）FGN+a1t，θ=0FGN+a1t，θ=1fgna1t101101010410510-1100101102shF i（b）FGN+a1t，θ=0FGN+a1t，θ=1fgna1t101101010410510-1100101102103shF i（c）FGN+a1t，θ=0FGN+a1t，θ=1fgna101102103104105100101102shf i（d）FGN+a1t，θ=0FGN+a1t，θ=1fgna101102103104105100101102104shf i（e）FGN+a1t，θ=0FGN+a1fgna1t10-1010-810-6102103104H=0.1H=0.9（f）a1s×-10-7.-4.-1.-10-7.-4.-1αK，K（g）K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h） 50000 10000101102103104h=0.1H=0.9Ls×（h）-10-7.-4.-1.-10-7.-4.-1βK，K（i）K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h） 图3。线性趋势对BDMA和FDMA算法的影响。（a-e）中的每条曲线代表了50次重复模拟的平均波动函数。（a） H=0.1的FGN的hF i的对数图被a=2.28×10的线性趋势污染-9.增量。（b） 在H=0.3和a=7.53×10的情况下，hF i与s的对数图-9.（c）在H=0.7和a=3.95×10的情况下，hF i与s的对数图-8.（d）在H=0.7和a=1.21×10的情况下，hF i与s的对数图-7.（e）在H=0.9和a=4.45×10的情况下，hF i的对数图-7.（f）从BDMA方法获得的交叉尺度s×对不同Hu rst指数的线性系数的幂律依赖性，从0.1（左）到0.9（右）不等，步长为0.1。（g） s×的验证≈ A.-1/(1-H） 在等式（42）中。

交叉指数α是（f）中的幂律指数，K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h） ，其中h是生成FGN的输入赫斯特指数，h是使用BDMA生成的FGN的估计赫斯特指数。（h） 对于不同的赫斯特指数，从BDMA方法获得的交叉尺度s×对时间序列长度N的幂律依赖性，从0.1（底部）到0.9（顶部），步长为0.1。（i） s×的验证≈ N-1/(1-H） 在等式（42）中。交叉指数β是（h）中的幂指数，K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h） 。什么时候<< s×，函数与FGNs的函数重叠，Hurstindex H=0.1，显示为实心直线。什么时候>> s×，该函数与直线tr端的函数重叠良好，斜率为H=1，如虚线所示。我们分别给出了H=0.3和a=7.53×10的结果-9在图3b中，H=0.7，a=3.95×10-8在图3c中，对于H=0.7和a=1.21×10-7在图3 d中，对于H=0.9和a=4.45×10-7在图3e中。所有这些结果与公式（41）和公式（43）的预测一致，公式（41）和公式（43）具有相同的表达式。请注意，这两个表达式是公式（37）的近似值。BDMA和FDMA方法的FZ函数之间的差异约为2AL。这些结果表明，这种差异是可以忽略的，得出式（41）和式（43）的近似值是合理的。我们确定了不同H和avalues的交叉尺度s×值。图3f显示了s×作为不同H值的函数的依赖性。我们再次发现，对于固定的Aa，s×随H增加，而对于固定的H，s×减小。对于每一个H值，我们观察到一个良好的幂律关系：s×~ aα。

（49）我们确定不同H值的幂律指数α，并绘制K=-1/(1-H） 对α和k=-1/(1-h） 与图3g中的α相反。我们观察到所有的点都落在对角线K上≈ K≈ α、 （50）H=0.9除外。等式（49）和（50）很好地验证了等式（42）。我们现在研究交叉尺度s×对时间序列长度N的依赖性。在图3h中，我们绘制了不同Hurst指数H和avalues的对数标度s×与N的关系图：a=7×10-8对于H=0.1，a=2×10-7对于H=0.2，a=4×10-7对于H=0.3，a=6×10-7对于H=0.4，a=1×10-6对于H=0.5，a=2×10-6对于H=0.6，a=3×10-6对于H=0.7，a=5.4×10-6对于H=0.8，a=6.4×10-6表示H=0.9。在我们的数值实验中，N的范围从50000到100000，步长为500。这个范围的确定不是任意的。如果我们包括更短的时间序列，比如N~ 10.我们有s×~ 103.3，大于N/10，因此无法在函数中检测到。如果我们包含更长的时间序列，比如N~ 10.我们有s×~ 101~2.很难识别。对于每一个H值，我们都观察到一个良好的幂律关系：s×~ Nβ。（51）H=0.9的幂律标度是最差的。当N为s mall（左部分）或大（右部分）时，交叉尺度为la rge或s mall，这使得识别非常困难，因为交叉点位于函数的端点附近。我们确定不同H值的幂律指数β，并绘制K=-1/ (1 - H） 对抗β和k=-1/(1 - h） 图3i中的β。我们观察到所有的点都落在对角线K上≈ K≈ β、 （52）H=0.9除外。等式（51）和（52）很好地验证了等式（42）。六、

本文利用具有不同Hurs-t指数的分数高斯噪声（fgn），研究了多项式趋势对三种广泛使用的DMA方法的缩放行为和性能的影响，包括反向算法（BDMA）、中心算法（CDMA）和正向算法（FDMA）。我们推导了多项式趋势的一般框架，并获得了FGN中常数位移和线性趋势的分析结果。我们进行了大量的数值实验，证实了分析推导的正确性。我们首先考虑了FGN中的恒定变化。我们发现CDMA方法的行为不受恒定位移的影响。相比之下，当采用BDMA和FDMA方法时，恒定位移会导致函数中出现交叉s×交叉。交叉s×标度为常数位移的幂律，其随赫斯特指数H增加而增加，随常数位移a的强度而减少。然后，我们考虑了FGN中的线性趋势。我们发现，at的线性趋势会导致CDMA方法的函数发生交叉。交叉尺度s×是线性趋势强度Ao的幂律，它随Hurst指数H增加而增加，随线性tr端a的强度而减少。当应用BDMA和FDMA方法时，线性趋势也会导致函数的交叉。c rosover s×scales是线性趋势强度和时间序列长度产生的幂律，它随Hurst指数H增加而增加，随恒定位移强度A和线性趋势长度而减少。

有趣的是，当采用B DMA和FDMA方法时，较长的时间序列对线性趋势的抵抗力较小。当出现cros sover时，标度小于s×的函数的左半部分反映FGNs的行为，而标度大于s×的函数的右半部分受多项式趋势支配。我们的发现表明，Hurst指数较大的时间序列对多项式趋势的抵抗力更强，多项式趋势对BDMA和FDMA的影响相同。由于使用较大的交叉尺度将更容易估计固有的赫斯特指数，我们得出结论，CDMA方法在多项式趋势的存在方面优于BDMA和FDMA方法（参见图1a和图1e中的恒定位移，以及图2e和图3f中的线性tr端）。感谢中国国家自然科学基金会第11375064号拨款和中央大学基础研究基金的资助。[1] Sornette，D.《自然科学中的临界现象》（柏林斯普林格，2004年），第2版。[2] Taqqu，M.S.，Teverovsky，V.和Willinger，W.长期依赖的估计：一项实证研究。分形3785–798（1995）。[3] Montanari，A.，Taqqu，M.S.和Teverovsky，V.估计存在周期性的长期依赖性：一项实证研究。数学计算机。模型29, 217–228 (1999).[4] Audit，B.，Bacry，E.，Muzy，J.-F.&Arn\'eodo，A.基于小波的尺度行为估计。IEEE Trans。信息。理论482938-2954（2002）。[5] Delignieres，D.等人，《短时间序列的分形分析：对经典方法的重新评估》。J.数学。心理学。50,525–544 (2006).[6] 《分形与多重分形时间序列》。梅耶斯，R.A.（编辑）《复杂性与系统科学百科全书》，第LXXX卷，3754-3778页（柏林斯普林格，2009年）。[7] 赫斯特，H.E。

水库的长期库容。跨。艾默尔。Soc。土木工程116770–808（1951）。[8] Mandelbrot，B.B.和Wallis，J.R.分数高斯噪声的计算机实验。第二部分，重新标度的范围和范围。水资源。第5242-259号决议（1969年）。[9] 霍尔施奈德，M.关于分形对象的小波变换。J.统计物理。50, 963–993 (1988).[10] Mu zy，J.F.，Bacry，E.和Arn\'eodo，A.奇异信号的小波和多重分形形式：对湍流数据的应用。菲斯。牧师。莱特。67, 3515–3518 (1991).[11] Bacry，E.，Mu zy，J.F.和Arn\'eodo，A.S.小波分析分形信号的奇异谱：精确结果。J.统计物理。70, 635–674 (1993).[12] Mu zy，J.F.，Bacry，E.&Arn\'eodo，A.分形信号的多重分形形式：结构函数方法与小波变换模极大值方法。菲斯。牧师。E 47875–884（1993年）。[13] Mu zy，J.F.，Bacry，E.和A rn\'eodo，A.用小波重新审视多重分形形式主义。内J.分叉。混沌4245–302（1994）。[14] Peng，C.-K.等人。DNA核苷酸的镶嵌组织。菲斯。牧师。E491685-1689（1994）。[15] Peng，C.-K.等。核苷酸序列的长程相关性。《自然》356168-170（1992）。[16] Alessio，E.，Carbone，A.，Castelli，G.和Frappietro，V.随机时间序列的二阶移动平均和标度。欧元。菲斯。J.B 27，197-200（2002年）。[17] Arianos，S.和Carbone，A.去趋势移动平均算法：标度律的闭合形式近似。Physica 382，9-15（2007）。[18] Carbone，A.去趋势移动平均算法：简要回顾。人类科学与技术（TIC-STH）IEEE 691–696（2009）。[19] N.Vandewalle和A usloos，M.两个移动平均值的交叉：测量粗糙度指数的方法。菲斯。牧师。E 586832–6834（1998年）。[20] 顾，G-F.和周，W-X。

去趋势函数是对高维分形和多重分形的分析。菲斯。牧师。E 74061104（2006年）。[21]Carbone，A.估计高维分形赫斯特指数的算法。菲斯。牧师。E 76056703（2007）。[22]Alvarez Ramirez，J.，Echeveria，J.C.和Rodriguez，E.高维R/S方法在Hurst指数估计中的性能。Physica A 3876452–6462（2008）。[23]T–urk，C.，Carbone，A.和Chiaia，B.M.分形非均匀介质。菲斯。牧师。E 81026706（2010）。[24]Jun，W.C.，Oh，G.和Kim，S.用幅度互相关函数理解波动率相关性行为。菲斯。牧师。E 73066128（2006年）。[25]Podobnik，B.和Stanley，H.E.去趋势互相关分析：分析两个非平稳时间序列的新方法。菲斯。牧师。莱特。100, 084102 (2008).[26]侯志伟，W.-X.两个非平稳信号的多重分形去趋势互相关分析。菲斯。牧师。E 77066211（2008）。[27]Podobnik，B.，Horvatic，D.，Petersen，A.M.和Stanley，H.E.数量变化和价格变化之间的交叉相关性。过程。纳特尔。阿卡德。Sci。《美国法典》10622079–22084（2009年）。[28]Horvatic，D.，Stanley，H.E.和Podobnik，B.具有周期趋势的非平稳时间序列的去趋势互相关分析。EPL（Europhys.Lett.）94, 18007 (2011).[29]蒋，Z-Q.&周，W-X.多重分形去趋势移动平均互相关分析。菲斯。牧师。E 84016106（2011）。[30]Kristoufek，L.多重分形高度互相关分析：一种分析长期互相关的新方法。EPL（Europhys.Lett.）95, 68001 (2011).[31]Liu，Y.-M.三个非平稳时间序列的去趋势偏相关分析（华东理工大学，硕士论文，2014）。[32]元，N.-M.等。