两个合作保险公司的最优分红策略

这一证明与Azcue和Muler[9]引理1.2中给出的证明相似，并使用V在R+中递增且连续的证明。引理4对于R+中的任何初始盈余（x，y）和任何停止时间τ，我们可以写出ev（x，y）=supL∈πx，y（Ex，y（aτ）∧τRe-δsdLs+aτ∧τRe-δsdLs+e-δ(τ ∧τ） I{τ∧τ<τ>V（XLτ）∧τ、 YLτ∧τ） +e-δ(τ ∧τ） I{τ∧τ=τ}（aV（XLτ）+aV（YLτ）））。这个优化问题的HJB方程是（8）max{L（V）（x，y），a- Vx（x，y），a- Vy（x，y）}=0，其中（9）L（V）（x，y）=Vx（x，y）p+Vy（x，y）p- （δ+λ）V（x，y）+I（V）（x，y）+U（x，y），I（V）（x，y）=λRxV（x- α、 y）dF（α）+λRx+yxV（0，x+y）- α） dF（α）+λRyV（x，y）- α） dF（α）+λRx+yyV（x+y）- α、 0）dF（α）和（10）U（x，y）=λaV（y）（1）- F（x+y））+λaV（x）（1）- F（x+y））。由于最优值函数V是局部Lipschitz函数，但在某些点上可能不可微，我们不能说V是HJB方程的解，而是证明了V是相应HJB方程的粘性解。让我们来定义这个概念（有关更多细节，请参见Crandell and Lion s[12]和Soner[22]）。定义5局部Lipschitz函数u:R+→ R是（x，y）处（8）的粘度上解∈ R+如果有连续可微分函数：R+→ R加上φ（x，y）=u（x，y），使得u- 在（x，y）满足最大值{L（ν）（x，y），a- ~nx（x，y），a- ~ny（x，y）}≤ 0.函数u:R+→ R是（x，y）处（8）的粘度亚溶液∈ R+如果有连续可微函数ψ：R+→ R随ψ（x，y）=u（x，y），使得u-ψ达到最大（x，y）满足极大值{L（ψ）（x，y），a- ψx（x，y），a- ψy（x，y）}≥ 0.函数u:R+→ R是（x，y）的上解和下解∈ R+称为（8）在（x，y）处的粘度溶液∈ R+。命题6V是HJB方程（8）在x>0和y>0的任意（x，y）处的粘性上解。证据

初始盈余水平x>0，y>0和任意l≥ 0，l≥ 0，让我们考虑允许的策略L，其中公司1和公司2分别以固定利率支付股息，τ的定义如（3）所示。设φ为（8）在（x，y）处的上解的检验函数，其中x>0且y>0。如前所述，将τ和τ分别表示为公司一和公司二的FirstClaim的到达时间，τ=τ∧ τ. 对于t<τ，（XLt=x+（p- l） t，YLt=y+（p- l） t.注意，Nt+NTI是强度为λ的泊松过程，因为两家公司的到达时间是独立的。我们从引理4中得到了，φ（x，y）=V（x，y）≥ Ex，y（aRτ）∧te-δslds+aRτ∧te-δslds）+Ex，yE-δ (τ∧t） I{τ∧t<τ}V（XLτ∧t、 YLτ∧t） )+前，后E-ΔτI{τ∧t=τ}（aV（XLτ）+aV（YLτ））≥ Ex，y（aRτ）∧te-δslds+aRτ∧te-δslds）+Ex，yE-δ (τ∧t） ψ（XLτ）∧t、 YLτ∧t） I{τ∧t<τ}+前，后E-ΔτI{τ∧t=τ}（aV（XLτ）+aV（YLτ））.我们可以写X，yE-δ (τ∧t） ψ（XLτ）∧t、 YLτ∧t） I{τ∧t<τ}= Ex，y（I{t<τ}e）-δtа（XLτ）∧t、 YLτ∧t） ）+Ex，y（I{τ=τ）∧t<τ且τ=τ}e-Δτ~n（XLτ，YLτ））+Ex，y（I{τ=τ）∧t<τ且τ=τ}e-Δτ~n（XLτ，YLτ））。所以我们得到了0≥ 极限→0+Ex，yaRτ∧te-δslds+aRτ∧te-δsldst+ 极限→0+e-（λ+δ）t~n（x+（p-l） t，y+（p-l） （t）-ν（x，y）t+limt→0+Ex，yI{τ=τ∧t<τ且τ=τ}e-Δτ~n（XLτ，YLτ）t！+极限→0+Ex，yI{τ=τ∧t<τ且τ=τ}e-Δτ~n（XLτ，YLτ）t！+极限→0+Ex，yE-ΔτI{τ∧t=τ}（aV（XLτ）+aV（YLτ））t= 铝+铝- （δ+λ）~n（x，y）+（p- l） νx（x，y）+（p- l） y（x，y）+I（）（x，y）+U（x，y）。因此，0≥ L（~n）（x，y）+L（a）- νx（x，y））+l（a- ~ny（x，y））。取l=l=0，l→ ∞ l=0，l→ ∞ 当l=0时，我们得到max{l（φ）（x，y），a- ~nx（x，y），a- ~ny（x，y）}≤ 0命题7V是HJB方程（8）的粘性子解。证据通过矛盾的论证，我们假设V不是（8）在（x，y）处x>0和y>0的子解。

通过类似于Azcue and Muler（2014）命题3.1的证明，但将定义扩展到两个变量，我们首先表明存在ε>0，h∈ （0，min{x/2，y/2}）与连续可微函数ψ：R+→ 因此，ψ是方程（8）在（x，y）和满足（11）ψx（x，y）下解的检验函数≥ a、 ψy（x，y）≥ afor（x，y）∈ [0，x+h]×[0，y+h]，（12）L（ψ）（x，y）≤ -（x，y）的2εδ∈ [x]- h、 x+h]×[y- h、 y+h]和（13）V（x，y）≤ ψ（x，y）- （x，y）的2ε∈ R+\\（x）- h/2，x+h/2）×y- h/2，y+h/2）。由于ψ是连续可微的，我们可以找到一个正常数C，使得（14）L（ψ）（x，y）≤ Cfor all（x，y）∈ [0，x+2h]×[0，y+2h]。考虑0<θ<h2 max{p，p}，λ4δ（δ+λ），ελ2C（δ+λ）,让我们采取任何可以接受的策略∈ πx，y.考虑从（x，y）开始的相应可控风险过程（Xt，Yt），并确定停止时间τb=inf{t>0:（Xt，Yt）∈  （[x- h、 x+h]×[y- h、 y+h]），τ=inf{t>0：（Xt，Yt）∈ R+- [x]- h、 x+h]×[y- h、 y+h]}和τ*= τb∧ (τ + θ) ∧ τ. 注意τ*h足够小，有必要引入θ，因为在一次性股息支付之前，（Xτ，Yτ）可以在[X]中- h、 x+h]×[y- h、 y+h]和（Xτ，yτ）∈ R+- [x]- h、 x+h]×[y- h、 y+h]。让我们证明（15）V（Xτ）*, Yτ*) ≤ ψ（Xτ）*, Yτ*) - 2εifτ*= τb∧ (τ+ θ) < τ.

有两种可能性：（1）如果τ*= τb，（Xτ*, Yτ*) ∈  （[x- h、 x+h]×[y- h、 因此，从（13）中，我们得到V（Xτ）*, Yτ*) ≤ ψ（Xτ）*, Yτ*) - 2ε，（2）如果τ*= τ+θ，距离（Xτ）*, Yτ*) to（x，y）至少是h/2≥ H-max{p，p}θ，从（13）中，我们得到（15）。注意（Xs）-, Y-) ∈ [0，x+h+pθ]×[0，y+h+pθ] [0，x+2h]×[0，y+2h]≤ τ*, 所以我们得到了l（ψ）（Xs）-, Y-) ≤ C代表s≤ τ*.由于i=1,2时的Lit是非递减的，且是左连续的，因此可以写成（16）Lit=ZtdLi，cs+XXs+6=Xss<t（Lis+- Li），其中Li，csi是一个连续的非递减函数。由于函数ψ在R+中是连续可微的，使用表达式（16）和变量公式计算微分过程，我们可以写出ψ（Xτ*, Yτ*)E-δτ*- ψ（x，y）=Rτ*（pψx（Xs）-, Y-) + pψy（Xs）-, Y-)) E-δsds+PXs-6=Xss≤τ*（ψ（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)) E-δs+PYs-6=Yss≤τ*（ψ（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)) E-δs-Rτ*ψx（Xs）-, Y-)E-δsdL1，cs+PXs+6=Xss<τ*（ψ（Xs+，Ys+）- ψ（Xs，Ys））e-δs-Rτ*ψy（Xs）-, Y-)E-δsdL2，cs+PYs+6=Yss<τ*（ψ（Xs+，Ys+）- ψ（Xs，Ys））e-δs-δRτ*ψ（Xs）-, Y-)E-δsds。注意（Xs，Ys）∈ R+代表s≤ τ*除了τ*=τ、 其中Xτ*+ Yτ*< 0.这里我们将ψ的定义扩展为ψ（x，y）=aV（x）Ix≥0+aV（y）Iy≥0表示x+y<0。我们只在Ls的跳跃处有Xs+6=Xs，在这个例子中是Xs+- Xs=-Ls+- Ls. SinceL是可容许的，我们有Xs+=Xs-Ls+- Ls≥ 0

我们可以写作（17）-Rτ*ψx（Xs）-, Y-)E-δsdL1，cs+PXs+6=Xss<τ*（ψ（Xs+，Ys+）- ψ（Xs，Ys））e-δs=-Rτ*ψx（Xs）-, Y-)E-δsdL1，cs+PXs+6=Xss<τ*RLs+-Lsψx（Xs）- α、 Ys）dαE-δs≤ -Rτ*ae-δsdL1，cs- aPLs+6=Lss<τ*RLs+-LsdαE-δs=-aRτ*E-δsdLs。同样地，（18）-Rτ*ψx（Xs）-, Y-)E-δsdL2，cs+PXs+6=Xss<τ*（ψ（Xs+，Ys+）- ψ（Xs，Ys））e-δs=-Rτ*ψx（Xs）-, Y-)E-δsdL2，cs-PLs+6=Lss<τ*RLs+-Lsψx（Xs，Ys）- α） dαE-δs≤ -aRτ*E-δsdLs。另一方面，Xs6=Xs-仅在一号公司提出索赔时，因此（19）Mt=PXs-6=Xss≤t（ψ（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)) E-δs-λRte-δsRXs-（ψ（Xs）-- α、 Y-) - ψ（Xs）-, Y-)) dF（α）ds-λRte-δsRXs-+Y-Xs-（ψ（0，Xs）-+ Y-- α) - ψ（Xs）-, Y-)) dF（α）ds-λRte-δsR∞Xs-+Y-aV（Y）-) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）dst是t的零期望鞅≤τ. 类似地，（20）Mt=PYs-6=Yss≤t（ψ（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)) E-δs-λRte-δsRYs-（ψ（Xs）-, Y-- α) - ψ（Xs）-, Y-)) dF（α）ds-λRte-δsRXs-+Y-Xs-（ψ（Xs）-+ Y-- α, 0) - ψ（Xs）-, Y-)) dF（α）ds-λRte-δsR∞Xs-+Y-aV（Y）-) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）也是一个对t的期望为零的鞅≤τ. 我们得到（21）ψ（Xτ）*, Yτ*)E-δτ*- ψ（x，y）≤Rτ*L（ψ）（Xs）-, Y-)E-δs+Mτ*+ Mτ*-aRτ*E-δsdLs- aRτ*E-δsdLs。利用（12）、（14）的第二个不等式和θ的定义，我们得到（22）Rτ*L（ψ）（Xs）-, Y-)E-δsds≤Rτb∧τ∧τL（ψ）（Xs）-, Y-)E-δsds+Cθ≤ -2εδRτb∧τ∧τe-δsds+Cθ≤ -2εδRτ*E-δsds+Iτb∧τ∧τ<τ*2εδRτ*τb∧τ∧τe-δsds+Cθ≤ -2ε(1 - E-δτ*) + ελ/ (δ + λ) .由引理4，（15），（21）和（22）可知，（23）V（x，y）=supL（Ex0，y（aRτ*E-δsdLs+aRτ*E-δsdLs+e-δτ*V（Xτ）*, Yτ*)Iτ*<τ+aV（XLτ）+aV（YLτ）E-δτ*Iτ*=τ))≤ supL（Ex0，y（aRτ）*E-δsdLs+aRτ*E-δsdLs+e-δτ*（ψ（Xτ）*, Yτ*) - 2ε）Iτ*<τ+aV（XLτ）+aV（YLτ）E-δτ*Iτ*=τ))≤ 苏普莱克斯，yRτ*L（ψ）（Xs）-, Y-)E-δsds+Mτ* + Mτ* - 2εe-δτ*Iτ*<τ+ψ（x，y）≤ ψ（x，y）- ελ/（δ+λ）<ψ（x，y），这与V（x，y）=ψ（x，y）的假设相矛盾。

根据以上两个命题，我们得到以下结果。推论8V是HJB方程（8）的粘性解。4最小粘性解现在让我们证明最优值函数V是（8）的最小粘性上解。我们说函数u:R+→ R满足生长条件A.1，ifu（x，y）≤ K+ax+ay代表所有人（x，y）∈ R+。下面的引理是技术性的，将用于证明命题10。引理9固定x>0和y>0，并设u为（8）满足增长条件a.1的非负上解。我们可以找到一个正函数序列sum:R+→ 例如：（a）umis持续可区分。（b） 满足生长条件A.1。（c） p≤ pum，x+pum，y≤ （δ+λ）umin R+。（d） R+和R+中紧集上的umu统一形式融合到u.a.e.在R+。（e） 存在一个与limm相关的序列→∞cm=0，即sup（x，y）∈AL（um）（x，y）≤ cm，其中A=[0，x]×[0，y]。证据该证明遵循标准卷积参数，是Azcue an Muler[9]中引理4.1的两个变量的扩展。命题10最优值函数V是（8）满足生长条件A.1的最小粘度上解。证据Letu是（8）满足增长条件a.1和letL的非负上解∈ ∏x，y；定义（Xt，Yt）为从（x，y）开始的相应受控风险流程。考虑引理9在R+中的作用；我们将这个函数扩展为asum（x，y）=aV（x）Ix≥0+aV（y）Iy≥0表示x+y<0。在命题7的证明中，我们得到（24）um（Xt）∧τ、 Yt∧τ） e-δ（t）∧τ)-嗯（x，y）≤Rt∧τL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds- 艺术∧τe-δsdLs- 艺术∧τe-δsdLs+Mt∧τ+Mt∧τ、 其中m和m是零期望鞅。

所以我们得到了这个（Xt）∧τ、 Yt∧τ） e-δ（t）∧τ） Iτ>t-嗯（x，y）≤Rt∧τL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds+Mt∧τ+Mt∧τ-A.Rt∧τe-δsdLs+e-δ（t）∧τ） V（Xt）∧τ） Iτ≤T-A.Rt∧τe-δsdLs+e-δ（t）∧τ） V（Yt）∧τ） Iτ≤T.利用LTT和LTT都是非递减过程，从单调收敛定理得到（25）limt→∞（例如，y（a）Rt∧τe-δsdLs+e-δ（t）∧τ） V（Xt）∧τ） Iτ≤T+A.Rt∧τe-δsdLs+e-δ（t）∧τ） V（Yt）∧τ） Iτ≤T))= VL（x，y）。从引理9（c），我们有-（δ+λ）um（x，y）≤ L（嗯）（x，y）≤ λum（x，y）+U（x，y）。但是使用引理9（b）和不等式Xs≤ x+ps，Ys≤ y+ps我们得到（26）um（Xs，Ys）≤ K+aXs+aYs≤ K+ax+ay+ps。利用有界收敛定理，我们得到了（27）limt→∞前，后Zt∧τL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds= 前，后ZτL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds.从（24），（25）和（27），我们得到（28）极限→∞前，后嗯（Xt）∧τ、 Yt∧τ） e-δ（t）∧τ） Iτ<t-嗯（x，y）≤ 前，后ZτL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds-VL（x，y）。接下来，我们展示（29）limt→∞前，后嗯（Xt）∧τ、 Yt∧τ） e-δ（t）∧τ） Iτ>t= 从（26）开始，存在这样的aK:嗯（Xt）∧τ、 Yt∧τ） e-δ（t）∧τ） Iτ>t≤K+ax+ay+ptE-δt.由于最后一个表达式变为0，随着t变为单位，我们得到了（29）。现在让我们证明→∞前，后ZτL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds≤ 0.给定任何ε>0，我们可以找到（31）Z∞TL（um）（Xs）-, Y-)E-任意m的δsds<ε≥ 1，由于（26）、生长条件A.1、引理9（b）和引理9（c）以及Vand V的生长性质，存在正常数k，k，kandp，因此L（um）（Xs-, Y-) ≤ λum（Xs）-, Y-) + U（Xs）-, Y-)≤ k+kx+ky+ps。注意，对于s≤ T，Xs-≤ x:=x+pT，Ys-≤ y:=y+pT。从引理9（e）中，我们可以找到足够大的m，使得对于任何m≥ mZTL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds≤ 中兴通讯-δsds≤厘米δ≤ε，我们得到（30）。然后，使用（29）和（30）从（28）和d中，我们得到（32）u（x，y）=limm→∞嗯（x，y）≥ VL（x，y）。由于V是（8）的粘度溶液，结果如下。

根据之前的位置，我们可以推断出通常的粘度验证结果。推论11考虑一系列可容许策略{Lx，y∈ πx，y：（x，y）∈ R+}。如果函数VLx，y（x，y）是所有（x，y）的（8）粘性上解∈ R+，然后VLx，y（x，y）是最优价值函数（4）。5迭代法在本节中，我们通过支付股息（并在必要时进行合作）直至第n次索赔（无论来自哪家公司）的策略的价值函数递增序列来近似（4）中定义的最优价值函数，然后遵循“拿钱跑”策略。给定初始盈余水平（x，y），take the money and run Admissible Strategy立即将整个盈余x和y作为股息（即x+=y+=0），然后将即将到来的保费作为股息支付，直到第一次索赔，索赔的公司破产。请注意，在这种策略下，公司之间无法相互帮助。将τ视为第n个索赔的到达时间，无论来自哪个公司，这是泊松过程的第n个点Nt=Nt+Nt。我们定义∏x中所有允许策略的集合∏nx，yo，它紧跟在τn之后。让我们定义（33）Vn（x，y）=supL∈n的∏nx，yVL（x，y）≥ 1.我们还定义了V=VL。我们可以写ev（x，y）=ax+ay+λδ+λpλ+aV（0）+λδ+λpλ+aV（0）.注意，对于n≥ 1，我们有（34）Vn（x，y）=supL∈πx，yVnL（x，y），其中（35）VnL（x，y）=Ex，y（aRτe-δsdLs+aRτe-δsdLs+e-ΔτVn-1（XLτ，YLτ）Iτ<τ+e-δτaV（XLτ）+aV（YLτ）Iτ=τ）。在这个表达式中，我们只考虑可容许策略∈ πx，y代表t≤ τ. 以下是民进党的立场。引理12对于R+中的任何初始盈余（x，y）和任何停止时间τ，我们可以写出evn（x，y）=supL∈πx，y（Ex，y（aRτ）∧τe-δsdLs+aRτ∧τe-δsdLs+e-ΔτVn（XLτ，YLτ）Iτ<τ∧τ+e-ΔτVn-1（XLτ，YLτ）Iτ∧τ=τ<τ+e-δτaV（XLτ）+aV（YLτ）Iτ∧τ =τ=τ)).提案13我们有V≤ 五、≤ ... ≤ 五、证据

我们用归纳法证明了这个结果：（a）V≤ 五、 因为战略∈ πx，y.（b）假设Vn-2.≤ 越南-1.到（34），我们有（x，y）≥ 苏普勒∈πx，yEx，y（aRτe）-δsdLs+aRτe-δsdLs+e-ΔτVn-2（XLτ，YLτ）Iτ<τ+e-δτaV（XLτ）+aV（YLτ）Iτ=τ）越南-1（x，y）。VNB的HJB方程由（36）max给出Ln（Vn）（x，y），a- Vnx（x，y），a- Vny（x，y）= 其中（37）Ln（Vn）（x，y）=pVnx（x，y）+pVny（x，y）- （δ+λ）Vn（x，y）+I（Vn-1） （x，y）+U（x，y）。以下是关于Vn，n的规律性和生长的基本结果≥ 1与引理2和3相似。引理14：最优值函数vn满足增长条件A.1，它是递增的，并且在R+中局部Lipschitz与AH≤ Vn（x+h，y）- Vn（x，y）≤ （e（δ+λ）h/p- 1） Vn（x，y）啊≤ Vn（x，y+h）- Vn（x，y）≤ （e（δ+λ）h/p- 1） 对于任意h>0和R+中任意（x，y）的Vn（x，y）。在接下来的两个命题中，我们看到Vn是相应的Jb方程的粘性解。命题15是HJB方程（36）在x>0和>0时的粘度上解。证据与命题6中给出的相似。命题16是相应的HJB方程（36）的粘性子解。证据这个命题的证明类似于命题7的证明，但使用了零扩张（38）Mt=PXs的asmartingales-6=Xss≤T越南-1（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)E-δs-λRte-δsRXs-越南-1（Xs）-- α、 Y-) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）ds-λRte-δsRXs-+Y-Xs-越南-1（0，Xs）-+ Y-- α) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）ds-λRte-δsR∞Xs-+Y-aV（Y）-) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）dsand（39）Mt=PYs-6=Yss≤T越南-1（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)E-δs-λRte-δsRYs-越南-1（Xs）-, Y-- α) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）ds-λRte-δsRXs-+Y-Xs-越南-1（Xs）-+ Y-- α, 0) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）ds-λRte-δsR∞Xs-+Y-aV（Y）-) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）ds。而不是（19）和（20）中分别定义的鞅Mt和Mt。

在下一个命题中，我们声明Vn是关于丁HJB方程的最小v正解。命题17最优值函数Vn是（36）满足生长条件A.1的最小最粘性上解。证据这个命题的证明类似于命题10中的一个命题，但使用了一个零扩张的鞅（38）和（39）。备注18根据上述命题，我们推断出n的通常粘度验证结果-步骤：考虑一系列可接受的策略{Lx，y∈ πx，y：（x，y）∈ R+}。如果函数VnLx，y（x，y）是（36）的粘度上解，那么VnLx，y=Vn。最后，我们得到了最优值函数（4）的收敛结果。提案19 VnV as n进入实体。证据通过引理3和引理2，V是递增的，并且满足性质A.1，因此存在一个T>0，使得（40）e-δtV（x+pt，y+pt）<t的ε≥ T让我们定义κ=V（x+pT，y+pT）>0，取n>0，使得（41）P（τn≥ （T）≥ 1.-ε3κ.存在一个可接受的策略∈ πx，y等于（42）V（x，y）- VL（x，y）≤ε.我们定义了战略∈ πnx，yas Lnt=ltt≤ τn∧τ和Lnt=Lt-τn t≥ τnifτn<τ。从（40），（41）和引理3，我们得到了Vl（x，y）- VLn（x，y）≤ 前，后A.Rττ∧τne-δsdLs+e-ΔτV（XLτ）+ A.Rττ∧τne-δsdLs+e-ΔτV（YLτ）≤ 前，y（e）-δ(τ∧τn）V（XLτ∧τn，YLτ∧τn）≤ Ex，y（I{τ）∧τn≥T} e-δ(τ∧τn）V（x+p（τ）∧ τn），y+p（τ∧ τn））+Ex，y（I{τn<T}e-δ(τ∧τn）V（x+p（τ）∧ τn），y+p（τ∧ τn）≤ Ex，y（I{τ）∧τn≥T} e-δ(τ∧τn）V（x+p（τ）∧ τn），y+p（τ∧ τn））+κP（τn<T）≤2ε.然后我们从（42）V（x，y）中得到≤ VL（x，y）+ε≤ VLn（x）+ε≤ 任意n的Vn（x，y）+ε≥ N6静态股息策略在一维情况下（例如，参见Azcue和Muler[9]），我们的目标是找到一种静态股息策略，其价值函数为最优价值函数V。