两个合作保险公司的最优分红策略

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英文标题：
《Optimal Dividend Strategies for Two Collaborating Insurance Companies》
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作者：
Hansjoerg Albrecher and Pablo Azcue and Nora Muler
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider a two-dimensional optimal dividend problem in the context of two insurance companies with compound Poisson surplus processes, who collaborate by paying each other\'s deficit when possible. We solve the stochastic control problem of maximizing the weighted sum of expected discounted dividend payments (among all admissible dividend strategies) until ruin of both companies, by extending results of univariate optimal control theory. In the case that the dividends paid by the two companies are equally weighted, the value function of this problem compares favorably with the one of merging the two companies completely. We identify this optimal value function as the smallest viscosity supersolution of the respective Hamilton-Jacobi-Bellman equation and provide an iterative approach to approximate it numerically. Curve strategies are identified as the natural analogue of barrier strategies in this two-dimensional context. A numerical example is given for which such a curve strategy is indeed optimal among all admissible dividend strategies, and for which this collaboration mechanism also outperforms the suitably weighted optimal dividend strategies of the two stand-alone companies.
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中文摘要：
我们考虑了一个二维最优红利问题，在两个保险公司具有复合泊松盈余过程的背景下，他们在可能的情况下通过支付彼此的赤字进行合作。通过推广单变量最优控制理论的结果，我们解决了最大化预期贴现股息支付（在所有可接受的股息策略中）的加权和直到两家公司破产的随机控制问题。在两个公司支付的股息权重相等的情况下，该问题的价值函数比完全合并两个公司的价值函数更有利。我们将此最优值函数确定为相应Hamilton-Jacobi-Bellman方程的最小粘度上解，并提供了一种迭代方法来数值逼近它。曲线策略被认为是这种二维背景下屏障策略的自然类比。文中给出了一个数值例子，说明这种曲线策略在所有可接受的股利策略中确实是最优的，并且这种协作机制也优于两个独立公司的适当加权最优股利策略。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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2022-5-8 05:22:04 上传

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关键词：保险公司 Optimization Collaboratio Quantitative Dimensional

两个合作保险公司的最优分红策略*, Pablo Azcue+和Nora Muler+摘要我们考虑两个具有复合泊松盈余过程的保险公司的二维最优红利问题，他们在可能的情况下通过支付彼此的红利进行合作。通过推广单变量最优控制理论的结果，我们解决了最大化预期贴现股息支付（在所有可接受的股息策略中）的加权和直到两家公司破产的随机控制问题。在两个公司支付的被分割的ds权重相等的情况下，该问题的价值函数与两个公司完全合并的价值函数相比是有利的。我们将此最优值函数确定为相应Hamilton-Jacob i-Bellman方程的最小粘度上解，并提供一种迭代方法来数值逼近它。曲线策略被认为是二维环境中障碍策略的自然类似物。本文给出了一个数值例子，在所有可接受的股利策略中，这种曲线策略确实是最优的，而且这种合作机制也优于两个独立公司的适当加权最优股利策略。1简介自从de Finetti[14]在1957年提出通过在投资组合的生命周期内支付的预期股息贴现总额来衡量保险投资组合的价值以来，确定使该数量最大化的最佳股息支付策略一直是人们特别感兴趣的问题。更重要的是，多年来，这一领域的研究结合了分析、概率和随机控制的工具，成为一个具有挑战性和迷人的领域。

1969年，Gerber[15]sh认为，如果一个投资组合的自由盈余是由复合和泊松风险模型建模的，那么根据所谓的bandstrategy支付股息是最优的，该bandstrategy崩溃为指数分布索赔金额的屏障策略。Gerber是通过对相关的离散问题进行限制来发现这个结果的，而这个最优红利问题是用现代随机控制理论的技术在Zcue and d Muler[7]中研究的，详情参见例如Schmidli[21]。从那时起，针对许多不同的模型设置、目标函数和侧约束研究了最优红利问题（关于该主题的调查，我们参考了Albrecher和Thonhauser[2]以及Avan zi[4]）。当投资组合的盈余水平高于b时，带有障碍b的障碍策略会支付股息，因此盈余水平保持在b，并且在障碍b以下不支付股息。目前，障碍策略最佳的最一般标准可以在Loeffen和Renaud[19]中找到。[23]研究了当包括破产时间价值时，以及当包括股东注资时，障碍策略的最优性*洛桑大学商业与经济学院精算学系，CH-1015洛桑和瑞士金融研究所。由瑞士国家科学基金项目200020143889资助。+泰拉托尔库托大学马蒂马蒂斯分校。Av。阿根廷布宜诺斯艾利斯城市菲格罗亚阿尔科塔7350（C1428BIJ）。在库伦科和施密德利[18]。所有这些控制问题都是在一维框架下制定和研究的。然而，近年来，人们对同时考虑多个相关保险组合的动态的风险理论越来越感兴趣，参见Asmussen and Albrecher[3，第十三章9]的概述。

Avram等人[5,6]研究了二维风险过程的破产概率表达式，研究了同时索赔到达和比例索赔规模，最近Badila等人[11]和Ivanovs和Boxma[17]在更一般的框架中进行了研究。在Azcue和Muler[8]中，考虑了在交易成本存在的情况下，两个投资组合之间最优转移资本的问题，另见Bad escu等人[10]。Czarna和Palmowski[13]研究了两家保险公司的股息问题和冲动控制，这两家公司按照特定股息策略的特定比例分担索赔和保费。事实证明，这些多维问题虽然在实践中具有高度相关性，但很快就会变得非常复杂，如果没有非常有力的假设，通常无法获得明确的解决方案。在本文中，我们希望将最优股利问题从非变量风险理论扩展到两个合作公司的二维模型。合作包括支付合作伙伴公司的亏损（“纾困”），前提是其盈余为负，并且该财务帮助可以与当前自身的盈余水平挂钩。我们解决了最大化预期贴现股息支付的加权和直到两家公司破产的问题。在这种情况下，一个自然的问题是，这种合作程序是否有利于两家公司的完全合并；我们将证明，当两家公司支付的股息权重相等时，情况就是如此。关于合并比将两家独立公司置于预先定义的壁垒战略和边际差异化流程下更有利的标准，参见Gerber和Shiu[16]，关于其他预先定义的风险和利益共享安排的绩效，参见。

Albrecher和Lautscham[1]。然而，我们的目标是解决在这个合作框架下为每家公司确定最优分红策略（在所有可接受的分红策略中）的一般问题。这就引出了一个完全二维的随机控制问题，以及最优单变量障碍策略在二维中的自然相似性是什么的问题。本文中实施的合作的特殊结构并不重要，因此这些技术也可能适用于其他风险分担机制。然而，具体规范允许通过示例明确地对库存控制问题进行必要的分析。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们详细介绍了模型和随机控制问题，并证明了相应的值函数V的一些简单性质。在第三节中，我们证明了V是独立剩余过程对应的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的粘性解，在第四节中，我们证明了V实际上是它的最小粘性上解。第5P节提供了一种迭代方法来近似值函数V，以及每个迭代步骤的类似验证步骤。第6节讨论了我们模型中出现的固定红利策略，第7节我们建立了曲线策略作为单变量障碍策略的适当类似物。最后，第8节展示了如何构造性地搜索最优曲线策略，第9节给出了索赔额呈指数分布的对称（和等重）情况的一个显式数值例子，对于这种情况，这种策略在所有可容许的二元分红策略中确实是最优的。

然后还表明，在这种情况下，拟议的合作类型是指添加尽可能最好的独立利益。2模型我们考虑两家保险公司，第一公司和第二公司，它们同意合作。让我们把第一公司的自由盈余称为XT，把第二公司的自由盈余称为YT。我们假设每个公司的自由盈余都遵循一个克拉姆-厄伦堡过程，即一个复合泊松过程，其漂移由（1）（Xt=x+pt）给出-PNti=1U（1）iYt=y+pt-PNti=1U（2）i，其中x和y分别为初始盈余水平；并对各自的价格进行比较；U（k）是k公司第i次索赔的规模，是k=1,2的连续分布的i.i.d.随机变量；n和n分别是强度为λ和λ的泊松过程。这里我们假设过程Nt，n和随机变量U（1）i，U（2）都是相互独立的，并且pj>λjE（U（j）i），j=1，2。这两家公司签署了一条合作规则：如果一号公司的当前盈余为负，二号公司应该弥补一号公司的确切亏损，只要它不自毁，反之亦然。因此，当一家公司的盈余变为负值，而另一家公司无法弥补这一不足时，就会产生公司的收益。图1.1显示了该协作规则下的模拟盈余轨迹。两个人帮一个人帮两个人毁了公司。奥纽因公司。TwoHx，yL-2-1-2-1图。1.1：合作规则下的剩余流程。两家公司都用部分盈余向股东支付股息。分期付款策略=它，它是截至t时两家公司支付的股息总额。我们称τk为k公司第i次索赔的到达时间，k=1，2。

我们定义了相关的受控过程XLt，YLt初始盈余水平（x，y）为（2）（XLt=Xt）- Lt+C2,1t- C1,2tYLt=Yt- Lt+C1,2t- C2,1t，其中C2,1t=NtXi=1I（XLτi<0，YLτi+XLτi≥0)XLτi对应于截至时间t从二号公司转移到一号公司的累计金额，以弥补一号公司和C1,2t=NtXi=1I（YLτi<0，YLτi+XLτi≥0)YLτi对应于截至时间t从一号公司转移到二号公司的累计金额，以弥补二号公司的亏损。更准确地说，我们将τ称为只有一家公司仍然存在的时间（因为它不能覆盖另一家公司的损失），即（3）τ=infnt≥ 0:XLt+YLt<0o。过程XLt，YLt定义为t≤τ. 我们说股息支付策略=它，它T≤如果τ是非递减的，c`agl`ad（左连续右极限），可预测二元过程（Xt，Yt）产生的过滤，且满足，则τ是可接受的书信电报≤ Xt+C2,1t- C1，2t，Lt≤ Yt+C1,2t- C2,1t。最后一个条件意味着，公司支付的股息不得超过其当前盈余。让我们称R+为第一象限。我们用∏x表示初始剩余水平（x，y）的可容许ledividend策略集∈ R+。我们的目标是最大化两家公司支付的预期贴现股息的加权平均数，直到两家公司破产。请注意，在时间τ之后，幸存的公司可以继续向自己的破产支付股息。让我们将Vk（k=1，2）定义为一维问题的最优值函数，即最大化预期贴现股息直到公司破产。

因此，对于任何初始盈余水平（x，y）∈ R+，我们可以把最优值函数写为（4）V（x，y）=supL∈πx，yVL（x，y），其中（5）VL（x，y）=Ex，yA.τRe-δsdLs+e-ΔτV（XLτ）+ A.τRe-δsdLs+e-ΔτV（YLτ）.这里，δ>0是一个常数贴现因子，而∈ [0,1]和a=1- A公司一和公司二分别支付的股息的重量。函数Vk（k=1，2）在(-∞, 所以取决于哪个公司在τ破产，V（Xτ）=0或V（Yτ）=0。从持股人的角度来看，对应于（4）的最优股息支付策略可以被视为最佳股息支付策略，持股人在公司1的总股份中占一定比例，在公司2的总股份中占一定比例，持股时间约为0<m≤ min{1/a，1/a}。一个重要的特殊情况是a=a=1/2，在这种情况下，两个公司支付的股息权重相等（关于在单变量股息背景下对目标函数中的单独项进行加权的较早示例，请参见Radner和Shepp[20]）。注1：如果两家公司由同一股东所有，两家公司之间的另一种合作可能是合并，在这种情况下，两家公司将其所有盈余放在一起，支付两家公司的索赔，并支付截至时间τ的股息，此时合并盈余变为负值（参见例如Gerber和Shiu[16]）。给定初始盈余水平（x，y），我们可以解释任何可接受的股息支付策略（Lt）t≥0对于合并，可允许的合作协议如下Lt=tRXLtXLt+YLtdLt，Lt=tRYLtXLt+YLtdLt。因为t是常数≥ τ=τ，存续公司不支付任何股息。因此，在（5）中定义了a=a=1/2，满足2vl（x，y）>2Ex，yτRe-δsdLs+τRe-δsdLs= Ex+y（τRe）-δsdLs）。最后一个期望值是合并股利策略（Lt）t的价值函数≥0

我们得出的结论是，对于同等权重的股息支付，最优合作策略优于最优合并策略。与独立公司对应的最优值函数和V最终都与斜率1呈线性增长，它们是Lipschitz，参见立场Azcue和Muler[7]。让我们陈述一些关于（4）中定义的最优值函数的正则性和增长性的基本结果。从现在开始，我们把λ：=λ+λ和p:=ap+ap。引理2：最优值函数定义良好，满足X+ay+pδ+λ≤ V（x，y）≤ 所有（x，y）的ax+ay+pδ∈ R+。证据让我们首先证明第二个不等式。注意，当泊松度λ和λ减小时，V（x，y）增大，但对于参数λ=λ=0的问题，最优值函数为isax+ay+Z∞E-δspds=ax+ay+pδ，对应于战略的价值函数，在该函数中，每家公司立即支付初始盈余，然后作为股息永远支付即将到来的溢价。为了得到第一个不等式，考虑可容许策略=它，它其中，每家公司立即支付初始盈余，然后在与第一次索赔到达时间τ=τ一致的时间τ支付进货溢价∧ τ; 我们有，V（x，y）≥ VL（x，y）≥ ax+ay+Ex，yτRe-δspds= ax+ay+pδ+λ。引理3：最优值函数V是递增的，局部是Lipschitz，满足任何（x，y）∈ R+，啊≤ V（x+h，y）- V（x，y）≤ （e（δ+λ）h/p- 1） V（x，y）和≤ V（x，y+h）- V（x，y）≤ （e（δ+λ）h/p- 1） V（x，y）表示任何h>0。证据让我们证明顶部的不等式，底部的不等式是相似的。如果ε>0，则采用可接受的策略∈ πx，y等于VL（x，y）≥ V（x，y）- ε. 我们定义了战略∈ πx+h，y对于h>0，如下所示：立即从公司1的盈余中支付h作为股息，然后遵循策略。

我们有VL（x+h，y）=VL（x，y）+a和so（6）V（x+h，y）≥ VL（x，y）+ah>V（x，y）+ah- ε.再考虑一个可接受的策略∈ 在V（x+h，y）处的∏x+h，ysuch th≥ VL（x+h，y）-ε并确定可接受的策略∈ 从盈余（x，y）开始的∏x，y不支付任何股息，直到∧τ=infnt≥ 0:XLt≥ x+h，YLt≥ yo，在时间＠τ支付XLt中的任何一个- （x+h）任何一个或YLt公司的盈余- 根据这些差异中的哪一个是正面的，然后遵循策略∈ πx+h，y.在没有索赔的情况下，τ=t:=h/p；从诺克莱姆的概率直到e-λt，我们得到（7）V（x，y）≥ VL（x，y）≥ VL（x+h，y）e-（δ+λ）t≥ （V（x+h，y）- ε） e-（δ+λ）t。从（6）和（7）中，我们得到了顶部的不等式。3汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程为了得到与优化问题（4）相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，我们需要说明所谓的动态规划原理（DPP）。