两个合作保险公司的最优分红策略

股利分配策略是静态的，而股利支付的决定只取决于当前盈余，而不是受控过程的全部历史；注意，一个固定的dividendstrategy会生成一系列可接受的策略Lx，y∈ 任何（x，y）的∏x，y∈ R+.如果我们假设最优值函数V处的th是可微的，则最优值函数在任意（x，y）处解HJB方程的形式∈ R+表示当前盈余为（x，y）时应如何支付股息。只有七种可能性：（i）如果当前盈余在开放的setC中*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）=0，Vx（x，y）>a，Vy（x，y）>a,不支付股息。集合C*被称为非动作集。（ii）如果当前盈余处于开放状态*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）<0，Vx（x，y）=a，Vy（x，y）>a,第一公司一次性支付股息。该总额应至少为{b>0:（x- b、 y）/∈ B*}.（iii）如果当前盈余处于开放状态*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）<0，Vx（x，y）>a，Vy（x，y）=a,第二公司一次性支付股息。

该总额应为最小{b>0:（x，y）- b）/∈ B*}.（iv）如果当前盈余处于挫折中*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）<0，Vx（x，y）=a，Vy（x，y）=a,但不是在关闭B*∪ B*, 两家公司都一次性支付股息。（v） 如果当前盈余处于闭合setA*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）=0，Vx（x，y）=a，Vy（x，y）=a,两家公司都以股息的形式支付即将到来的保费。（vi）如果当前盈余在setA中*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）=0，Vx（x，y）=a，Vy（x，y）>a,第一公司以某种特殊利率支付股息，以便盈余保持在一个固定的水平*∪A.*.（vii）如果当前盈余在setA中*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）=0，Vx（x，y）>a，Vy（x，y）=a,第二公司以某种特殊的利率支付股息，以使盈余保持不变*∪A.*.注意，如果V是（8）的连续可微分溶液，则a*= A.*∪ A.*∪ A.*是封闭的，B*= B*∪ B*∪ B*是开放的，任何连接B点的线段*用开集C的一个点*应该包含一个*.注20：让我们考虑（1）中相同且独立的Cram’er-Lundberg过程的最简单情况；也就是p=p=p；λ= λ; 和Ui，uif有相同的分布。我们还可以选择两个公司支付的股息权重相等，即a=a=1/2。在这些假设下，最优值函数是对称的，即V（x，y）=V（y，x），因此上面介绍的集合满足以下性质：直线y=x是集合C的对称轴*, B*还有*; 布景B*还有*是相对于集合B的线y=x的反射*还有*分别地7曲线策略我们介绍了一系列固定股息策略，称为曲线策略，其中股息按照上一节提到的七种方式支付，结构简单：这里，作用区域和非作用区域之间的边界由曲线给出。

这些策略可以被视为一维势垒策略在二维情况下的天然类似物。有理由认为，如果最优策略是曲线策略，那么它应该满足以下性质：if（x，y）∈ B*∪ A.*（这是唯一一家支付s股息的公司），那么（x，y）应该在B中*对于所有x>x；类似地，如果（x，y）∈ B*∪ A.*（也就是说，只有两家公司支付股息），那么（x，y）应该在B中*最后，国家经贸委*应该是有界的，因为在一维情况下，最优策略下每个公司的盈余应该为t>0有界。让我们定义满足上述属性的曲线策略。对于这些策略，R+被分为七组C、A、A、B和B，其中A=A∪A.∪ a是一条与两个坐标轴相交的曲线A={（x，y）}与（x，y）∈ R+。如果当前盈余为（x，y），两家公司都会支付未来溢价作为股息。让我们用斜率p/p通过（x，y）来计算直线的x截距和v截距；让我们将O（x，y）和O（x，y）分别表示为第一个象限中以这条线为上下边界的区域B=[x，∞) ×[y，∞) - A.如果当前盈余为（x，y）∈ B、 一号公司和二号公司支付x-x和y- y分别作为股息该集合是一条O（x，y）中的曲线，参数为a=n（u+ppξ（u），ξ（u）），其中u<u≤ Mξo，式中ξ：[u，Mξ]→ R是一个连续可微函数，其ξ（u）=y，ξ（Mξ）=0和负导数。如果当前盈余（x，y）∈ A、 公司2不支付股息，公司1以某种特殊利率支付股息，二元盈余保持在曲线A中。

通过基本的微积分，可以证明这个速率是由byl（x，y）=-pξ′（x）- （p/p）y.o集合B是Ain O（x，y）右边的集合，即isB=n（x，y）∈ R+：y≤y和x>ξ-1（y）+ppyo。如果当前盈余（x，y）∈ B、 第二公司不支付股息，而第一公司支付总额{B>0:（x）- b、 y）∈ A} =x- （p/p）y- ξ-1（y）。o集合A和Bin O（x，y）的定义类似于A和B，公司1和公司2的角色互换；isA=n（ξ（v），v+ppξ（v）），v<v≤ Mξo，and b=n（x，y）∈ R+：x≤x和y>ξ-1（x）+ppxo，式中ξ：[v，Mξ]→ R是一个连续可微函数，ξ（v）=x，ξ（Mξ）=0，导数为负。如果当前盈余（x，y）∈ A、 公司一方不支付股息，公司二方以某种特殊利率支付股息，二元盈余保留在曲线A中。这里的利率isl（x，y）=-pξ′（y）- （p/p）x.o如果电流超过s（x，y）∈ B、 第一公司不支付股息，第二公司支付总额{B>0:（x，y）- b）∈ A} =y- （p/p）x- ξ-1（x）。o无动作区域C是由曲线A和轴分隔的开放集。如果当前盈余（x，y）∈ C、 不支付股息。对应于（x，y）=（1，2）和函数ξ（u）=2（u）的曲线策略的集合划分-4） （u）-6） 为了你∈ [-1,4]和ξ（v）=（u-3） （u）-6） 为了v∈ [1,3]如图7.1所示。uvCB1B2A1A2A0B0uvCB1B2A1A2A0B0-1xyFig。7.1：任何w的曲线策略示例∈ R、 让我们定义一组（43）Φw=ξ：[w，Mξ]→ R+，ξ（Mξ）=0，Mξ≥ 0，ξ′<0和ξ′连续.请注意，曲线策略仅取决于点（x，y）∈ R+与函数ξ∈ Φuandξ∈ Φv，用于曲线A的参数化。

我们联系到任何ξ=（（x，y），ξ，ξ）和任何（x，y）∈ R+容许策略Lξ=（L1，ξt，L2，ξt）∈ πx，yLetus将该曲线策略的值函数Vξ定义为（44）Vξ（x，y）=VLξ（x，y）。我们将寻找ξ*使得相关的价值函数Vξ*是（4）中定义的最佳值函数。备注21如果A是R+中某些K>0的x+y=K，则公司一和公司二支付的股息率之和为该行任何当前盈余的p+p。点A=（x，K）- x） 表明该股息支付如何在A中的两个公司之间分配：在A，公司一支付，公司二支付p，在这一点的右边（A）公司一支付总利率p+p，在这一点的左边（A）是公司二支付p+p。8搜索最佳曲线策略，以确定问题（4）的最佳价值函数V，我们使用第5节和命题19中介绍的迭代方法。我们的最终目标是确定最优价值函数V是否是上一节定义的曲线策略的价值函数。我们首先定义一个辅助函数。对于任何ξ=（（x，y），ξ，ξ），其中（x，y）∈ R+，ξ∈ Φu，ξ∈ Φvand任意连续函数W:R+→ [0, +∞), 设（45）Wξ（x，y）：=Ex，y（Rτe）-δsadL1，ξs+adL2，ξs+ E-ΔτW（XLξτ，YLξτ）Iτ<τ+e-δτaV（XLξτ）+aV（YLξτ）Iτ=τ）。If Wis是可容许策略族的值函数=九、Y∈ πx，y（x，y）∈R+、C、A、A、A、B带出与ξ相关的集合（如前一节所定义），那么Wξ将是策略的价值函数，该策略根据曲线策略lξ直到第一次索赔以及之后的toL支付股息。

我们称这种策略为一步曲线策略。定义（46）H（x，y）：=I（W）（x，y）+U（x，y）。在下一个命题中，我们用（x，y）的Wandξ找到函数Wξ的显式公式∈ O（x，y）；（x，y）的值函数公式∈ O（x，y）以一种不规则的方式跟随，并且依赖于ξ。为了得到这个公式，我们使用了Wξ满足积分微分方程Ln（Wξ）=0的事实∪ A和th在Wξx=A∪ A.∪ B∪ B.命题22 givenξ=（（x，y），ξ，ξ）和一个连续函数W，我们得到Wξ（x，y）=e-（δ+λ）ξ（x）-（ppy）-ypk（x）-ppy）In（y）-u） 聚丙烯≤十、≤ξ-1（y）+ppy，y≤yo+（Rξ（x）-（ppy）-类型-（δ+λ）wH（x+pw，y+pw）dw）In（y）-u） 聚丙烯≤十、≤ξ-1（y）+ppy，y≤哟+a（x）- ξ-1（y）-ppy）+k（ξ）-1（y））因克斯≥ξ-1（y）+ppy，y≤哟+a（x）- x） +a（y）- y） +k（x）-（ppy）I{x≥x、 y≥y} ，代表（x，y）∈ O（x，y），其中u=x-ppy，函数H在（46）和k（u）=e（δ+λ）ξ（u）中定义-ξ（u）ppδ+λ+δ+λH（u+ppξ（u），ξ（u））+e（δ+λ）ξ（u）paRuue-（δ+λ）ξ（w）pdw+e（δ+λ）ξ（u）ppRξ（u）ξ（u）H（ξ）-1（t）+ppt，t）e-（δ+λ）tpdt。证据让我们首先考虑初始盈余（x，y）∈ C∩ O（x，y）。通过定义（45），我们得出t<τ的受控盈余过程∧ 足够小的h和h>0由（Xt，Yt）=（x+pt，y+pt）给出。所以我们有wξ（x，y）=Ex，y（e）-δtWξ（Xt）∧τ、 Yt∧τ） 它∧τ=t+e-ΔτW（Xτ，Yτ）It∧τ=τ<τ+e-δτaV（Xτ）+aV（Yτ）信息技术∧τ=τ=τ).我们可以写X，yE-δ (τ∧t） I{τ∧t=t<τ}Wξ（XLτ）∧t、 YLτ∧t） +e-δ (τ∧t） I{τ∧t=τ<τ>W（XLτ）∧t、 YLτ∧t） )= 前，后E-δ (τ∧t） Iτ∧t=t<τWξ（XLτ）∧t、 YLτ∧（t）+Ex，y（I{τ=τ）∧t<τ且τ=τ}e-ΔτW（XLτ，YLτ））+Ex，y（I{τ=τ）∧t<τ且τ=τ}e-ΔτW（XLτ，YLτ））和solimt→0+e-（λ+δ）tWξ（x+pt，y+pt）- Wξ（x，y）t=-H（x，y）。那么g（t）=Wξ（x+pt，y+pt）是连续的，只要（x+pt，y+pt）是可微的∈C与（47）g′（0）=（λ+δ）Wξ（x，y）- H（x，y）。现在我们来证明函数Wξ在a中是连续的，并且在该曲线的方向上具有连续导数。

如果是（x，y）∈ A、 对于t<τ，我们有th∧ 当h和h>0足够小时，受控的过程是（Xt，Yt）=x+pt+Rtpξ′（Xs- （p/p）y）ds，y+pt∈ A.到（45），我们得到wξ（x，y）=Ex，yaZτ∧T-pξ′（Xs）- （p/p）Ys）e-δsds+e-δtWξ（Xt）∧τ、 Yt∧τ） 它∧τ=t+ 前，后E-ΔτW（Xτ，Yτ）It∧τ=τ<τ+e-δτaV（Xτ）+aV（Yτ）信息技术∧τ=τ=τ.然后，用一个类似于C的论点，我们得到了任意（x，y）∈ A、 极限→0e-（λ+δ）tWξx+pt+Rtpξ′（Xs-（p/p）y）ds，y+pt- Wξ（x，y）t=-H（x，y）+apξ′（x）- （p/p）y）。Sog（t）：=Wξ（x+pt+Rtpξ′（Xs）- （p/p）Ys）ds，y+pt）在t=0且满足（48）g′（0）=（λ+δ）Wξ（x，y）时是连续且可微分的- H（x，y）+apξ′（x）- （p/p）y）。自（x+pt+Rtp/ξ′（Xs- （p/p）y）ds，y+pt）∈ 在足够小的情况下，我们得到了（x+pt+Rtpξ′（Xs- （p/p）Ys）ds，y+pt）=（u（t）+ppξ（u（t）），ξ（u（t）），对于u（t）：=x- （p/p）y+Rtp/ξ′（Xs）- （p/p）Ys）ds；因此ξ（u（t）+ppξ（u（t）），ξ（u（t））=g（t）。因为u′（t）=p/ξ′（Xt-（p/p）Yt）是连续的和负的，u-1存在且连续可微分，sok（u）：=Wξ（u+ppξ（u），ξ（u））=go U-1（u）是连续可区分的。定义W（u，s）：=Wξ（u+ppξ（u）- ps，ξ（u）- ps），我们得到了（u+（p/p）ξ（u）- ps，ξ（u）- ps）∈ C.thatbL（W）（美国）：=-Ws（美国）- （δ+λ）W（u，s）+H（u+ppξ（u）- ps，ξ（u）- 方程bl（W）（u，s）=0是变量s，soW（u，s）e（δ+λ）s中的线性常微分方程- k（u）=Rse（δ+λ）tH（u+ppξ（u）- pt，ξ（u）- pt）dt；因此ξ（u+ppξ（u）- ps，ξ（u）- ps）（49）=e-（δ+λ）s（k（u）+Rse（δ+λ）tH（u+ppξ（u）- pt，ξ（u）- pt）dt），例如≤ U≤ Mξ和0≤ s≤ min{ξ（u）/p，u/p+ξ（u）/p}。所以Wξ在集合C的交集上是连续可微的∪ a带O（x，y）。

从（47）和（48）中，我们还得到了（x，y）∈ A、 极限→0-Wξ（x+pt，y+pt）-Wξ（x，y）t=limt→0+Wξ（x+pt+ptξ′（x-ppy），y+pt）-Wξ（x，y）t- apξ′（x）-ppy）。然后从pwξ开始。十、-（x，y）+pWξ。Y-（x，y）=p+pξ′（x）-（ppy）Wξ。十、-（x，y）+pWξ。Y-（x，y）- apξ′（x）-ppy），我们得出结论：Wξx-（x，y）=a乘以（49），并且自（u+（p/p）ξ（u），ξ（u））∈ A、 Wξx（u+ppξ（u），ξ（u））=k′（u）+H（u+ppξ（u）），ξ（u））- （δ+λ）k（u）ξ′（u）p=a，然后（50）k（u）=k（u）e（δ+λ）ξ（u）-ξ（u）p+ZuuA.- H（w+ppξ（w）），ξ（w））ξ′（w）pe（δ+λ）ξ（u）-ξ（w）pdw。在点（u+（p/p）ξ（u），ξ（u））处∈ a股息策略包括收集所有收入作为股息，直到时间τ，sok（u）=pδ+λ+δ+λH（u+ppξ（u），ξ（u））。那么我们有，从（50），k（u）=e（δ+λ）ξ（u）-ξ（u）ppδ+λ+δ+λH（u+ppξ（u），ξ（u））+鲁A.- H（w+ppξ（w）），ξ（w））ξ′（w）pe（δ+λ）ξ（u）-ξ（w）pdw。对于（49）我们得出结论，对于集合C与O（x，y）相交的任意（x，y），Wξ（x，y）=e-（δ+λ）ξ（x）-（ppy）-ypk（x）-ppy）+Rξ（x）-（ppy）-类型-（δ+λ）wH（x+pw，y+pw）dw，由此得出结果。注23：O（x，y）中的Wξ公式可通过使用命题22中给出的公式，通过交换公司1和公司2的角色，使用Wξy=A来获得∪ A.∪ B∪ B.更准确地说，如果（x，y）∈ O（x，y），Wξ（x，y）=e-（δ+λ）ξ（y）-ppx）-xpek（y）-ppx）Inx≤x、 y≤ξ-1（x）+ppxo+（Rξ（y）-ppx）-xpe-（δ+λ）wH（x+pw，y+pw）dw）Inx≤x、 y≤ξ-1（x）+ppxo+a（y）- ξ-1（x）-ppx）+ek（ξ）-1（x））因克斯≤x、 y≥ξ-1（x）+ppxo+a（x）-x） +a（y）- y） +ek（y）-ppx）I{x≥x、 y≥y} 式中，Ek（v）=e（δ+λ）ξ（v）-ξ（v）ppδ+λ+δ+λH（ξ（v），v+ppξ（v））+e（δ+λ）ξ（v）paRvve-（δ+λ）ξ（w）pdw+e（δ+λ）ξ（v）ppRξ（v）ξ（v）H（t，ξ）-1（t）+ppt）e-（δ+λ）tpdt。根据命题22和备注23中得到的公式，我们得到了以下结果。命题24如果（46）中定义的函数H是连续可微的，那么Wξ在R+中是连续可微的。证据

由于ξ和ξ是连续可微分的，很明显，Wξ是连续可微分的，除了可能在Bor的边界点或线段=n（x，pp（x- x） +y）∈ R+和x≤ xo。经过一些简单的计算和使用，Wξ满足- （δ+λ）Wξ（x，y）+H（x，y）=0，可以看出Wξ在S中与Wξx（x，pp（x）连续可微-x） +y）=Rx-xpe-（δ+λ）wHx（x+pw，pp（x-x） +y+pw）dw+e-（δ+λ）x-xpaandWξy（x，pp（x- u） ）=Rx-xpe-（δ+λ）为什么（x+pw，pp（x- x） +y+pw）dw+e-（δ+λ）x-xpa。最后，b的边界处的可微性与S的（x，y）处Wξ的可微性是一致的。让我们定义函数集SM={w:R+→ [0, +∞) 连续w（x，y）- 斧头- 哎}。命题25（44）中定义的与ξ=（（x，y），ξ，ξ）对应的曲线策略的值函数Vξ满足命题22和备注23中给出的公式，用Vξ替换Wξ和Wξ。此外，Vξ是M中唯一满足这一性质的函数。证据M是距离d（w，w）=supR+|w的完备度量空间- w |。接线员：M→ 定义的asT（w）（x，y）：=Ex，y（Rτe-δsadL1，ξs+adL2，ξs+ E-Δτw（XLξτ，YLξτ）Iτ<τ+e-δτaV（XLξτ）+aV（YLξτ）Iτ=τ）是收缩因子λ/（δ+λ）<1的收缩。然后，这里存在一个唯一的固定点，通过定义（44），t（Vξ）=Vξ。在命题22和备注23中，函数是Vξ，我们从（45）中得到Vξ=Wξ，所以我们得到了结果。最后一个命题给出了一个获得Vξ的建设性方法。从w（x，y）开始=ax+ay∈ M、 我们迭代定义wn+1=T（wn）。因此，Vξ=limn→∞嗯。注意，在每个步骤中，wn+1可以从命题22和备注23中给出的公式中获得，替换Wb为wn。现在考虑（45）中定义的函数Vn，ξ是最佳值函数Vn-1对应于步骤n- 1英寸（33）。

我们试图找到ξ*n、 在所有可能的ξ=（（x，y），ξ，ξ）中最大化Vn，ξ。如果函数Vn，ξ*如果是（36）的粘度上解，那么根据注释18，我们将得到Vn，ξ*n=Vn。在一步曲线策略对应于ξ的情况下*nexist for all n≥ 1，根据命题19，Vn，ξ*nV。让我们称之为（46），（51）Hn-1（x，y）：=I（Vn-1） （x，y）+U（x，y）。为了找到与ξ对应的最佳一步曲线策略*n=（（x）*n、 y*n） ，ξ*1，n，ξ*2，n），我们首先寻找最佳顶点（x*n、 y*n） 。根据命题22中给出的公式，Vn，ξ（x，y）=pδ+λ+Hn-1（x，y）δ+λ和Vn，ξ（x，y）=Vn，ξ（x，y）+a（x- x） +a（y）- y） 。对于足够大的x和d。所以（x）*n、 y*n） =arg max（x，y）∈R+Hn-1（x，y）δ+λ- 斧头- 嗯。如果在临界点达到该最大值（假设Hn-1是不同的），我们有（x*n、 y*n） 这是解决问题的办法xHn-1（x，y）=a（δ+λ）yHn-1（x，y）=a（δ+λ）。让我们给你打电话*n=x*N- （p/p）y*nand v*n=y*N- （p/p）x*n、 接下来，我们使用变分法来寻找两条曲线ξ*1，nandξ*在所有ξ=（（x）中最大化Vn，ξ（x，y）的n*n、 y*n） ，ξ，ξ）表示ξ∈ Φu*n、 ξ∈ Φv*nand（x，y）足够大。这两条曲线可以单独获得。命题26假设Hn-1是可区分的，存在ξ*n=（（x）*n、 y*n） ，ξ*1，n，ξ*2，n）式中ξ*1，n∈ Φu*nandξ*2，n∈ Φv*n确保Vn=Vn，ξ*n、 然后ξ*1、nsatis fiesxHn-1（u+ppξ）*1，n（u），ξ*1，n（u））=a（δ+λ）for u*N≤ U≤ Mξ*1，n和ξ*2、nsatis fiesyHn-1(ξ*2，n（v），v+ppξ*2，n（v））=a（δ+λ）forvn≤ 五、≤ Mξ*2.证明。我们将为ξ证明这个结果*1，n，ξ的证明*2.相似。给定任何ξ∈ Φu*n、 我们有vn，ξ（Mξ，0）+a（x）- 对于ξ=（（x*n、 y*n） ，ξ，ξ）和x≥ Mξ。那么，如果存在ξ*1，n∈ Φu*nsuch t hat Vn=Vn，ξ*n、 Vn，ξ*n（Mξ）*1，n，0）- aMξ*1，n=最大ξ∈Φu*NVn，ξ（Mξ，0）- aMξ.考虑带有（u）的非负测试函数*n） =0和（Mξ）*1，n）=0。