二叉树方法与美式网格的显式差分格式

在定理3.2的条件下，forevery tn（0≤ N≤ N- 1） 存在一个jn∈ Z使得vnj=对于j≤ jn，Vnj>对于j=jn+1，Vnj≤ νjj≥ jn+2。此外，我们还有-1.≤ jn。（3.4）在不丧失普遍性的情况下，我们假设S=1，E=1。（否则，使用变量^S=S/E，^h=V/E的变化。）因为vnj=（1- Sj）+=j，（j=N，N- 2, ··· , -N+2，-N） ，我们有φj=VNj=0（j≥ 0); νj=VNj>0，（j≤ -1).自从VN-1j=最大值ρN-1[θN-1~nj+1+（1）- θN-1） ~nj-1] 我们有-1j≥ 0=VNj=~nj，j≥ 0.10 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，特别是H.Y.Kim，VN-1j=аj（j≥ 1); 越南-1= ρ-1N-1(1 - θN-1)φ-1> 0 = φ. （3.5）现在我们考虑j的情况≤ -1.VN-1j=最大值ρN-1[θN-1~nj+1+（1）- θN-1） ~nj-1] ，~nj= 最大值ρN-1.θN-1(1 - uj+1）+（1）- θN-1)(1 - uj-1), ~nj= 最大值ρ-1N-1.- η-1N-1uj，1- uj. （3.6）注意如果j→ -∞ , 那么ρ-1N-1.- η-1N-1uj<1和1- uj→ 1.所以存在-1=最大{j∈ Z:j≤ -1, ρ-1N-1.- η-1N-1uj≤ 1.- uj}。如果j≤ jN-1，那么我们有ρ-1N-1.- η-1N-1uj≤ 1.- 乌贾德-1j=1- uj=k j.IfjN-1+ 1 ≤ J≤ -1，那么我们有ρ-1N-1.-η-1N-1uj>1-乌贾德-1j>~nj.所以-1含n=n的满意度（3.3）-1.（尤其是当ηN-1.≤ 1(<=> qN-1.≤ 0），然后是jN-1= -1.）现在假设当n=k时，存在（3.3）和（3.4）。那么如果≤ jk- 1，然后是Vkj-1=φj-1，Vkj+1=аj+1，因此根据公式（3.1）和（3.6）中的相同计算，我们得到了vk-1j=最大值ρk-1[θk-1~nj+1+（1）- θk-1） ~nj-1] ，~nj= 最大值ρk-1.-ujηk-1, 1 - uj.如果ηk-1> 1 (<=> qk-1> 0），letl=max{j∈ Z:j≤ jk- 1, ρ-1k-1.- η-1k-1uj≤ 1.- uj}那么我们有了l≤ jk- 1.如果l<jk- 1，然后我们定义jk-1=l。

然后，当n=n时，使用与考虑类似的方法- 1和定理3.2，我们有j≤ jk-1.=> Vk-1j=аj；j=jk-1+ 1 => Vk-1j>~nj；J≥ jk-1+ 2 => Vk-1j≥ Vkj≥ 如果l=jk，则为j- 1（即Vk-1j=对于所有j≤ jk- 1），然后注意j=jk-1+ 1 => Vk-1j≥ Vkj>νj；J≥ jk-1+ 2 => Vk-1j≥ Vkj≥ 一般来说，我们有Vkj≥ 当j=jk时为jj。因此，如果Vkjk>~njk，那么我们定义jk-1=jk- 1.如果Vkjk=jk，则我们定义jk-1=jk。因此无论如何jk-1(≤ jk）定义明确。（QED）含时系数美式期权的BTM和EDS 114含时系数美式期权变分不等式模型的显式差分格式。给出了美式期权的一个变分不等式定价模型，该模型具有时间相关系数：-五、T-σ（t）S五、s- （r（t）- q（t））S五、S+r（t）V，V- ψ= 0,0 ≤ t<t，0<S<∞,V（S，T）=ψ（S），0<S<∞. （4.1）这里ψ（S）=（S）-E） +（用于调用），ψ（S）=（E）- S） +（用于put）。使用变换u（x，t）=V（S，t）；S=ex，（4.2）将问题（4.1）更改为以下问题min-UT-σ（t）U十、-r（t）- q（t）-σ（t）Ux+r（t）u，u- φ= 0,0 ≤ t<t，- ∞ < x<∞,u（x，T）=а（x），- ∞ < x<∞. （4.3）这里的φ（x）=（ex- E） +（用于通话），ν（x）=（E）-ex）+（用于put）。我们在∑={-∞ < x<∞, 0≤ t<t}如下所示：选择任意c∈ 兰德十、设xj=jx+c。当0<α≤ 1.我们定义如下：t=0，t=αxσ（t），t=t+Tt=αxσ（t），··，tn=tn-1+ tn-1.tn=αxσ（tn），n=0，1，2，·。（4.4）该过程持续到tN=tN-1+ tN-1.≤ T<tN+1=tN+αxσ（tN）。然后我们在∑={-∞ < x<∞, 0≤ t<t}:Qc={（xj，tn）：xj=jx+c，0≤ N≤ N、 j∈ Z} 。（4.5）在假设（2.2）下，我们有αx′σ≤ tn≤αxσ。（4.6）12 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim因此存在N，使得tN≤ T<tN+1，我们有T·σα十、- 1<N≤T·∑α十、

（4.7）因此，如果十、→ 0，然后是N→ ∞ 和0≤ T- tN≤ tN≤αxσ→ 0 .unj=u（j）x+c，tn）表示（j）处的近似值x+c，tn），并设аj=а（jx+c）。考虑到（4.3）中时间的显式差分和空间变量的常规差分离散，我们得到了(-un+1j- unjtn-σ（tn）·un+1j+1- 2un+1j+un+1j-1.十、-r（tn）- q（tn）-σ（tn）un+1j+1- un+1j-12x+r（tn）unj，unj- νj）=0。（4.8）如果我们表示rn=r（tn），qn=q（tn），σn=σ（tn），那么（4.8）相当于tounj=max1+rntn1.-σntn十、un+1j+σntn十、+x2σn注册护士- qn-σnun+1j+1+-x2σn注册护士- qn-σnun+1j-1., ~nj.这里，如果我们表示S=ec，那么φj=（Sej十、- E） +（用于通话），νj=（E）- Sejx） +（用于put）。从（4.4）我们得到α=σntnX和勒坦=+x2σn注册护士- qn-σn. （4.9）然后我们有明确的差异模式nj=j，j∈ Z、 （4.10）Unj=最大值ρn(1 - α） Un+1j+αanUn+1j+1+（1）- an）Un+1j-1., ~nj, （4.11）n=n- 1, ··· , 1, 0.（注意ρn=1+rn尤其是，如果α=σntn那么x=1x=σn√tnandUnj=maxρnanUn+1j+1+（1）- an）Un+1j-1., ~nj, n=n- 1, ··· , 1, 0. （4.12）现在我们考虑BTM与美式期权显式差异方案的关系。具有时间相关系数的美式期权的BTM和EDS 13引理4.1，如果ln u=x=σn√tn，我们有θn=+x2σn注册护士- qn-σn+ O(x） 。这里，由（2.6）定义的BTM的θnare系数。证据很简单。对比（3.1）和（4.12），BTM相当于一个特殊的显式差异方案（4.12），在忽略O的意义上(x） 。现在我们证明了美式（看跌）期权价格的条件是单调的。定理4.1假设0<α≤ 1和xσn注册护士- qn-σn< 1.（i）如果φj=（Sej十、- E） +（呼叫），然后是Unj≤ Unj+1和0≤ Unj≤ ejx+c.（ii）如果φj=（E）- Sejx） +（put），然后是Unj≥ Unj+1和0≤ Unj≤ E.假设我们有0<an的证明≤ 1.（i）UNj=~nj=（Sej）十、- （E）+≤ （Se（j+1）十、- E） +=~nj+1=UNj+1。现在假设UK+1j≤ 英国+1j+1。

那么我们就有了UKJ=maxρk(1 - α） Uk+1j+αakUk+1j+1+（1）- ak）英国+1j-1., ~nj≤ 最大值ρk(1 - α） Uk+1j+1+αakUk+1j+2+（1）- ak）英国+1j, νj+1= Ukj+1。（ii）以与（i）相同的方式证明。（QED）定理4.2假设0<α≤ 1.xσn注册护士- qn-σn< 1，r（t）/σ（t）在t上增加，q（t）/σ（t）在t上减少。然后，美式看跌期权的价格由（4.10）和（4.11）给出，其中φj=（E- Sejx） +在t上减少，即Unj≥ Un+1j，j∈ Z、 n=n- 1, ··· , 1, 0.n=n时的证明- 从（4.11）开始，我们有联合国-1j≥ νj=UNj，j∈ Z假设UK+1j≥ 英国+2j，j∈ Z根据假设和引理3.1（i），我们得到ρk≤ ρk+1和Thusukj=最大值ρk(1 - α） Uk+1j+αakUk+1j+1+（1）- ak）英国+1j-1., ~nj≥ 最大值ρk+1(1 - α） Uk+2j+αakUk+2j+1+（1）- ak）英国+2j-1., ~nj.14 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kimak=+十、rkσk-qkσk-假设我们有ak≤ ak+1。根据理论4。1（ii），我们有英国+2j-1.≥ Uk+2j+1，因此引理3.2与ak≤ ak+1gives usak+1Uk+2j+1+（1）- ak+1）英国+2j-1.≤ akUk+2j+1+（1）- ak）英国+2j-1.因此我们有UKJ≥ 最大值ρk+1(1 - α） Uk+2j+αak+1Uk+2j+1+（1）- ak+1）英国+2j-1., ~nj= 英国+1j。（QED）备注4.1。定理4.2有力地代表了时间相关系数的影响。这里的主要工具是引理3.1（i）和引理3.2。定理4.2的条件是必要的。如果r（t）/σ（t）没有增加，那么通过明确差异方案的美式看跌期权的价格可能不会在t上下降，如备注4所示。备注4.2。仅使用引理3.1和引理3.2的类似物，似乎很难证明美式看涨期权的价格在t上下降。参见第6节和第7节。现在我们证明了近似最优运动边界的存在性。定理4.3在定理4.2的假设下，对于任何0≤ N≤ N-1.存在∈ 就是这样≤ jn=> Unj=аj；j=jn+1=> Unj>~nj；J≥ jn+2=> Unj≥ ~nj.（4.13）j≤ J≤ ··· ≤ jN-1.

（4.14）证明注释UNj=（E）- Sejx） +=在j上减小的μjis∈ Z.Letk=max{j∈ ZE- Sejx> 0}。（4.15）如果j≤ K- 1那么j- 1，j，j+1≤ 坎德尼j-1=E- Sej十、-x、 ~nj=E- Sejx、 ~nj+1=E- Sejx+x> 0。让u=ex、 d=e-xandψj=EρN-1.- Suj·1-α+α[aN]-1u+（1）-一-1） d]ρN-1、thenUN-1j=最大值ρN-1[(1 - α） νj+α（aN-1~nj+1+（1）- 一-1） ~nj-1） ]j= max{ψj，ψj}。然后我们有了Limj→-∞ψj=EρN-1<E=limj→-∞νj，（j）≤ K- 1).首先，我们考虑ψj≤ ~nj(J≤ K- 1). 如果j≤ K- 1那么联合国-1j=j，如果j=k+1，则φj=j+1=0，φj-1> 0，所以我们没有-1j=最大值α(1 - 一-1） ρN-1~nj-1, 0> 0=φj.BTM和EDS，适用于具有时间相关系数15If j的美式期权≥ k+2，然后从（4.11）开始我们有UN-1j≥ 那么如果联合国-1jk>~njk，然后我们定义-1=k- 1.如果联合国-1jk=~njk，那么我们定义jN-1=k。接下来，我们考虑以下情况：j（j）≤ K- 1） ：ψj>ψj.我们定义-1=最大{j<k- 1：ψj≤ ~nj}。然后我们有了J≤ jN-1.=> ψj≤ ~nj=> 联合国-1j=j，j=jN-1+ 1 => ψj>ψj=> 联合国-1j=ψj>ψj，j≥ jN-1+ 2 => 联合国-1j≥ 因此，我们证明了jN的存在-1.≤ k、 现在我们假设当n=k+1时，存在jk+1，比如jk+1≤ jk+2≤ ··· ≤ jN-1，j≤ jk+1=> Uk+1j=νj，j=jk+1+1=> Uk+1j>~nj，j≥ jk+1+2=> 英国+1j≥ ψj.（4.16）如果j≤ jk+1- 1，然后j+1，j，j- 1.≤ jk+1，因此Uk+1i=~ni（i=j- 1，j，j+1）。如上所述，设ψj=Eρk- Suj·1-α+α[aku+（1-ak）d]ρk.然后通过（4.11）我们得到了最大值ρk[（1）- α） νj+α（ak~nj+1+（1- ak）~nj-1） ]j= max{ψj，ψj}。注意，对于足够大的j，ψj<φj∈ Z.如果ψj≤ ~nj(J≤ jk+1-1） ，我们有Ukj=对于所有j≤ jk+1-1.根据定理4.2和归纳假设（4.16），我们得到了一个事实，即j=jk+1+1=> Ukj≥ 英国+1j>英国；J≥ jk+1+2=> Ukj≥ 英国+1j≥ 因此，如果Ukjk+1>φjk+1，那么让jk=jk+1- 1.

如果Ukjk+1=~njk+1，那么让jk=jk+1。如果j（j）≤ jk+1- 1） ：ψj>ψj，我们定义jk=max{j<jk+1- 1：ψj≤ ~nj}。然后≤ jk=> Ukj=j，j=jk+1=> Ukj=ψj>ψj，j≥ jk+2=> Ukj≥ 因此我们证明了jk的存在≤ jk+1。（QED）备注4.3。如果x足够小，那么jk∈ [jk+1- 1，jk+1]。现在我们估计接近成熟期的最佳锻炼边界。在定理4.3证明的第一部分，我们证明了jN的存在性-1.接近成熟期的近似最佳运动边界。如果kis是16年定义的Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim（4.15）和S=ec，那么k=max{j∈ ZE- ejx+c>0}对于j≤ K- 1，我们有φj=E- ejx+cand letψj=ρN-1[(1 - α） νj+α（aN-1~nj+1+（1）- 一-1） ~nj-1)] .如果ψj≤ ~nj(J≤ K- 1） 我们认识jN-1=k- 1或k.然后我们有了- ejN-1.x+c>0，E- e（jN）-1+2)x+c≤ 所以我们有- 2.十、≤ jN-1.x+c≤ 在E.（4.17）中，如果j（j）≤ K- 1） ：ψj>ψj，根据定理4.3，我们有jn-1=最大{j≤ K- 1：ψj- ~nj≤ 0}.通过使用anand Taylor展开的定义，我们得到x+（1）- an）e-x=1+rn- qnσnx+O(x） 。那么对于j≤ K- 1我们有ψj- νj==（1）- α） （E）- ejx+1）+α一-1（E）- e（j+1）x+1）+（1）- 一-1） （E）- e（j）-1)x+1）ρN-1.-（E）- ejx+1）=ρN-1·∑N-1.tN-1.十、（qN）-1ejx+c- 注册护士-1E）xσN-1+O(十）.注意E>ejx+CforJ≤ K- 1.如果qN-1.≤ 注册护士-1，然后是rN-1E>qN-1ejx+candifx足够小，那么我们有ψj<φj(J≤ K-1) . 因此，在我们的情况下j（j）≤ K-1） ：ψj>ψj，我们必须有qN-1> 注册护士-1.那么对于足够小的我们有-1=最大{j≤ K-1:qN-1ejx+c≤ 注册护士-1E}因此jN-1.x+c≤ LNN-1qN-1E。如果j=jN-1+1，然后是qN-1ejx+c>rN-1E因此（jN-1+ 1)x+c>lnrN-1qN-1E。

索威·哈维尔恩-1qN-1E- x<jN-1.x+c≤ LNN-1qN-1E。因此，将这个不等式与（4.17）相结合，我们得到了以下定理，它提供了接近到期日的近似最佳行使边界的估计。定理4.4 ln minE、 注册护士-1qN-1E- 2.十、≤ jN-1.x+c≤ 最小E、 注册护士-1qN-1E.固定的近似最佳运动边界x=ρx（t）定义如下：ρx（t）=t- tntn+1- 总氮（jn+1）x+c）+tn+1- ttn+1- tn（jn）x+c），t∈ [tn，tn+1]，n=0，·n- 2.推论（i）ρx（tN）-1) ∈林敏E、 注册护士-1qN-1E- 2.x、 最小E、 注册护士-1qN-1Ei、 （ii）ρx（t）在美式期权的t.BTM和EDS上增加，其时间相关系数是显式差异方案和美式看跌期权的BTM的175收敛。在这一节中，我们将证明美式看跌期权的显式差分格式（4.10）和（4.11）收敛于变分不等式（4.3）的粘性解，并用它证明美式看跌期权价格及其最优性边界的单调性。我们用l表示∞（Z） 具有超范数的所有有界双边序列的Banach空间。在洛杉矶∞（Z） ，我们定义（Uj）≤ （Vj）<=> Uj≤ Vj，J∈ Z.对于固定的每n，双边序列Un=（··，Uj，··）∞j=-∞美国putoption的价格Uj，J∈ 由（4.10）和（4.11）给出的Z由定理4.1有界。如果我们用（FnUn+1）j表示（4.11）的右侧，那么FnUn定义了一个操作符un:=FnUn+1={（FnUn+1）j}∞j=-∞（5.1）将tn+1时间价格序列Un+1发送至tn时间价格序列UNO。运算符Fn不仅取决于n和x，但也在tnand上tn.引理5.1如果0<α≤ 1.xσn注册护士- qn-σn< 1，那么fn在增加，也就是U≤ 五、 U，V∈ L∞（Z）=> FnU≤ FnV。（证明）注意到从假设中我们有1- α ≥ 0和0<an<1时，所需结果很容易来自（4.11）。

（QED）引理5.2如果U∈ L∞（Z） K=（··，K，K，K·）和K≥ 0，然后fn（U+K）≤ FnU+K.（证明）由于ρn>1，我们有fn（U+K）==最大值ρn[（1）- α） （Uj+K）+α（an（Uj+1+K）+（1- an Uj-1+K））]，νj∞j=-∞≤最大值ρn[（1）- α） Uj+α（anUj+1+（1- an）Uj-1） ]j+ 最大值Kρn，0∞j=-∞≤ FnU+K（QED）定义扩展函数ux（x，t）如下：∈ [（j）- 1/2)x+c，（j+1/2）x+c），t∈ [tn，tn+1）=> Ux（x，t）：=Unj，（5.2）x∈ [（j）- 1/2)x+c，（j+1/2）x+c），t∈ [tN，T]=> Ux（x，t）：=UNj。（5.3）备注5.1。给你xis分段连续函数。如果我们定义你，下面的讨论也是正确的Xa是插值数据集（j）的连续函数x+c，tn；18 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim根据定理4.1，我们有0≤ Ux（x，t）≤ E.（5.4）因此，对于每个固定的t，如果我们表示ux（o，t）：={ux（x，t）：x∈ R} 那我们就有你了x（o，t）∈ L∞（Z） 。当t∈ [tn，tn+1），n=0，·n- 1.如果我们定义t=t（t，x） ：=t- tntn+1- tntn+1+tn+1- ttn+1- tntn，（5.5）然后t+T∈ [tn+1，tn+2）因此我们有x（o，t）=Fnux（o，t+t） 。(5.6)Ttn=t-tntn+1-tn·σn+1σn+tn+1-ttn+1-tn·1是σn+1σ与1的凸线性组合。因此，如果σ（t）是连续的，那么当十、→ 0 . 这样，我们证明了下面的引理：引理5.3假设σ（t）是连续的。然后林十、→0t（t，十）tn=1。为了证明收敛性，我们回顾了粘性解的概念。设USC（[0，T]×R）（LSC（[0，T]×R））是定义在[0，T]×R上的所有上（下）半连续函数的空间。

如果你∈ U SC（[0，T]×R）（LSC（[0，T]×R））满足以下两个条件，则U称为变分不等式（4.3）的粘性次解（上解）：（i）U（x，T）≤ (≥)ψ（x），（ii）如果Φ∈ C1,2（[0，T]×R）和u- Φ在（x，t）处达到其局部最大值（最小值）∈[0，T]×R，我们有-ΦT-σ（t）Φ十、-r（t）- q（t）-σ（t）Φx+r（t）u，u- φ（x，t）≤ (≥)0u∈ C（[0，T]×R）称为变分不等式（4.3）的粘性解，如果它同时是（4.3）的粘性次解和粘性上解。引理5.4（比较引理）[7]如果u和v是（4.3）和| u（x，t）|，|v（x，t）|的粘性下解和上解≤ E、 然后你≤ v、 定理5.1[7]如果r（t），q（t）在[0，t]上是连续的，那么问题（4.3）有唯一的粘性解。此外，存在一个最佳运动边界ρ（t）：[0，t]→ R（连续函数），如果x<ρ（t），那么u（x，t）=φ（x）；如果x>ρ（t），那么u（x，t）>~n（x），在这个区域，u（x，t）是方程的经典解-UT-σ（t）U十、-r（t）- q（t）-σ（t）Ux+r（t）u=0。时间相关系数美式期权的BTM和EDS 19备注5.2。用[10]的方法很容易显示ρ（T）=ln E min[1，r（T）/q（T）]。定理5.2假设u（x，t）是（4.3）的粘性解。假设0<α≤1，r（t）/σ（t）在t上增加，q（t）/σ（t）在t上减少。然后我们有（i）ux（x，t）收敛到u（x，t）为十、→ 0.（ii）ρx（t）收敛到ρ（t）as十、→ 0.证明假设u（x，t）是（4.3）的粘度解，并表示u*（x，t）=lim十、→0，（y，s）→（x，t）辅助x（y，s），u*（x，t）=lim十、→0，（y，s）→（x，t）inf ux（y，s）（5.7）来自（5.4），美国*你呢*定义明确，我们有0个≤ U*（x，t）≤ U*（x，t）≤ E显然你*∈ USC（[0，T]×R）和u*∈ LSC（[0，T]×R）。

如果我们能证明*你呢*分别是（4.3）的下解和上解，然后从引理5.4，我们得到u*≤ U*因此你*= U*= u（x，t）变成了（4.3）的粘性解，因此我们有近似解u的收敛性x（x，t）。我们将证明*是（4.3）的子解。（事实上*是一个类似证明的超解。）从定义（5.3）中，我们可以很容易地知道*（x，T）=~n（x）=（E）- ex）+。假设φ∈ C1,2（[0，T]×R）和u*-φ在（x，t）处达到局部最大值∈ [0，T）×R。我们不妨假设（u）*- φ） （x，t）=0且（x，t）是严格的局部极大元Br={（x，t）：t≤ T≤ t+r，| x- x|≤ r} ，r>0。设Φ=φ- ,  > 0，然后是u*- Φ在（x，t）和（u）处达到严格的局部最大值*- Φ）（x，t）>0。（5.8）从美国*, 存在一个序列uxk（yk，sk）这样xk→ 0，yk→x、 sk→ 坦德利克→∞Uxk（yk，sk）=u*（x，t）。（5.9）如果我们表示u的全局最大点xk- Φ在Brby（^yk，^Sk）上，则存在一个u序列xki（^yk，^Sk）使xki→ 0，（^yki，^Ski）→ （x，t），（u）xki- Φ）（^yki，^Ski）→ （u）*- Φ）（x，t）作为ki→ ∞.（5.10）的确，假设（^yki，^Ski）→ （y，s），然后从（5.9）我们有（u*-Φ）（x，t）=limki→∞（u）xki-Φ）（yki，滑雪）≤ 林基→∞（u）xki-Φ）（^yki，^Ski）≤ （u）*-Φ）（^y，^s）。因此我们有（y，s）=（x，t），因为（x，t）是（u）的严格局部极大值*- Φ).因此，对于足够大的ki，t=t(由（5.5）定义的xki）足够小，如果（x，^Ski+t(xki）∈ 那么我们有xki- Φ）（x，^Ski+t(xki）≤ （u）xki- Φ）（^yki，^Ski），20 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim也就是说，uxki（x，^Ski+t(xki）≤ Φ（x，^Ski+t(xki）+（uxki- Φ）（^yki，^Ski）。（5.11）从（5.8）到（5.10），我们有xki- Φ）（^yki，^Ski）>0（对于足够大的ki）。（5.12）对于每个ki，定义tnandtn=αxkiσ（tn）如（4.4）所示xki。