二叉树方法与美式网格的显式差分格式

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英文标题：
《The Binomial Tree Method and Explicit Difference Schemes for American
  Options with Time Dependent Coefficients》
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作者：
Hyong-chol O, Song-gon Jang, Il-Gwang Jon, Mun-Chol Kim, Gyong-Ryol
  Kim, Hak-Yong Kim
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Binomial tree methods (BTM) and explicit difference schemes (EDS) for the variational inequality model of American options with time dependent coefficients are studied. When volatility is time dependent, it is not reasonable to assume that the dynamics of the underlying asset\'s price forms a binomial tree if a partition of time interval with equal parts is used. A time interval partition method that allows binomial tree dynamics of the underlying asset\'s price is provided. Conditions under which the prices of American option by BTM and EDS have the monotonic property on time variable are found. Using convergence of EDS for variational inequality model of American options to viscosity solution the decreasing property of the price of American put options and increasing property of the optimal exercise boundary on time variable are proved. First, put options are considered. Then the linear homogeneity and call-put symmetry of the price functions in the BTM and the EDS for the variational inequality model of American options with time dependent coefficients are studied and using them call options are studied.
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中文摘要：
研究了含时系数美式期权变分不等式模型的二叉树方法（BTM）和显式差分格式（EDS）。当波动率与时间相关时，如果使用等分的时间间隔划分，则假设标的资产价格的动态形成二叉树是不合理的。提供了一种时间间隔划分方法，该方法允许标的资产价格的二叉树动态变化。研究了BTM和EDS美式期权价格对时间变量具有单调性的条件。利用美式期权变分不等式模型的EDS收敛性，证明了美式看跌期权价格的递减性和时间变量上最优行权边界的递增性。首先，考虑看跌期权。然后研究了具有时间相关系数的美式期权变分不等式模型的BTM和EDS中价格函数的线性齐性和看涨期权对称性，并利用它们研究了看涨期权。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> The_Binomial_Tree_Method_and_Explicit_Difference_Schemes_for_American_Options_wi.pdf (596.83 KB)

2022-5-8 05:35:01 上传

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关键词：二叉树 coefficients Quantitative coefficient Variational

具有时间相关系数的美式期权的二叉树方法和显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案。o@ryongnamsan.edu.kpAbstract研究了具有时间相关系数的美式期权变分不等式模型的二叉树方法（BTM）和显式差分格式（EDS）。当波动率与时间有关时，如果使用等分的时间间隔划分，则假设标的资产价格的动态形成二叉树是不合理的。提供了一种时间间隔划分方法，允许标的资产价格的二叉树动态。发现了BTM和EDS美式期权价格在时间变量上具有单调性的条件。利用美国期权变分不等式模型的EDS收敛性，证明了时间变量上美国看跌期权价格的递减性和最优行使边界的递增性。首先，考虑看跌期权。

然后研究了具有时间相关系数的美式期权的变分不等式模型的BTM和EDS中价格函数的线性齐性和看涨期权对称性，并利用它们研究了看涨期权。美式期权；二叉树方法；显式差异方案；汇聚粘度溶液；时间相关系数2010数学学科分类35Q91、35R35、65M06、65M12、91B021简介期权定价有两种数值方法；一种是基于概率方法，另一种是PDE的有限差分法。Cox、Ross和Rubinstein[6]首次提出的二叉树方法（BTM）是期权定价的概率数值方法之一。由于其简单性和灵活性，它已成为最流行的期权定价方法之一。[1,2,5,10,14,18,19]众所周知，Black-Scholes扩散模型中欧式期权的BTM收敛于Black和Scholes的相应连续时间模型（[8]）。蒋[10]特别指出，欧式期权的BTM等价于Black-Scholes偏微分方程的特殊有限差分格式，并用偏微分方程方法证明了其收敛性。Amin和Khanna[2]首先使用概率方法证明了美式期权BTM的收敛性。Jiang和Dai（[11,12]）利用偏微分方程的粘性解理论证明了美式期权显式差分格式和BTM的收敛性。他们证明了美国期权的BTM等价于Black-Scholes偏微分方程相关变量不等式的特殊显式有限差分格式，通过BTM和显式有限差分格式证明了价格的单调性，近似最优边界的存在性和单调性，并使用了Barles等人[3,4]的方法和[3,7]的比较原理。

蒋和戴[13]通过PDE方法研究了欧洲和美国2 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kimpath依赖期权的BTM收敛性。Liang等人[16]获得了采用惩罚法的美式看跌期权BTM的收敛速度，Hu等人[9]获得了显式有限差分格式的非最优收敛速度，以及美式看跌期权变量不等式问题的BTM。BTM被扩展到期权定价的跳跃扩散模型。Amin[1]将[2]的算法推广到跳跃扩散模型。张[25]研究了跳跃扩散模型中美国期权的数值分析。Xu等人[24]研究了Amin跳跃扩散模型中欧式期权BTM的数值分析，并对明码差分格式给出了严格的误差估计，对BTM给出了最优误差估计。钱等人[23]证明了跳差模型中美式期权的BTM和显式差分格式的等价性，显式差分格式的收敛性，最优行使边界的存在性和单调性。罗[19]研究了跳跃扩散模型中美式选择的近似最佳运动边界。Liang[15]获得了跳跃扩散模型中美国看跌期权BTM的收敛速度。Liang等人[17]获得了在扩散模型中美式看跌期权的变分不等式问题的BTM的最优收敛速度，以及近似最优行使边界到实际自由边界的收敛速度估计。上述结果是在利率和波动率均为常数的假设下得到的。另一方面，蒋[10]研究了具有时间相关系数的Black-Scholes偏微分方程，作为扩散模型中欧式期权的模型，并给出了推广的Black-Scholes公式。H.C。

O等人[22]推导了一个具有时间相关系数的高阶二元函数的定价公式，并利用它研究了公司零息债券的定价问题。这种具有时间相关系数的高阶二进制出现在具有离散息票（[21]）的公司债券定价问题中。H.C.O等人[20]研究了非齐次Black-Scholes偏微分方程解的一些一般性质，这些偏微分方程具有不连续的成熟度和时间相关系数。本文研究了具有时间相关系数的美式看跌期权的二叉树方法和单调性。我们用二叉树方法和显式差分格式研究了具有时间相关系数的美式看跌期权变分不等式模型的单调性和价格收敛性，并用它们证明了美式看跌期权价格的递减性和时间变量上最优执行边界的递增性。当系数与时间相关时，尤其是在与时间相关的可用性的情况下，如果我们使用等分时间间隔的划分，则假设基础资产价格的动态形成二叉树是不合理的。因此，我们的主要问题之一是找到一种时间间隔划分方法，允许标的资产价格的二项式树动力学。另一点是证明期权价格的单调性和近似最优行使边界。Jiang和Dais的收敛性证明（[12]）强烈依赖于期权价格的单调性，但当包括利率和波动性在内的系数与时间相关时，期权价格的单调性可能不成立，如下面的备注3.2所示。

我们发现了一种特殊的时间区间划分方法和条件，使得美式看跌期权byBTM和显式差分格式的价格在时间变量上具有单调性。在证明粘性解的收敛性时，这种特殊的时间间隔划分需要一些恼人的考虑。BTM和EDS适用于具有时间相关系数的美式期权3本文的剩余部分组织如下。在第2节中，我们找到了一种时间间隔分割方法，该方法允许标的资产价格的二叉树动态，并简要提及欧洲期权的BTM。在第三节中，我们研究了美式看跌期权的BTM价格、单调性和近似最优行使边界的存在性。在第四节中，我们研究了美式看跌期权变分不等式模型的显式差分格式，并证明了期权价格在时间变量上的单调性和近似最优行使边界的存在性。第5节致力于显式差分格式和BTM的收敛性证明。第6节、第7节和第8节研究了具有时变系数的美式期权变分不等式模型的BTM和EDS中价格函数的线性齐次性和看涨期权对称性，并给出了美式看涨期权的结果。2具有时间相关系数的欧式期权的时间间隔划分和BTM。设r（t）、q（t）和σ（t）分别为利率、股息率和期权标的资产的波动率。设0=t<t<···<tN=t是生命时间间隔[0，t]的一个划分，表示如下rn=r（tN），qn=q（tN），σn=σ（tN），ηn=1+qntn，ρn=1+rntn，tn=tn+1- tn，n=1，··，n- 1.标的资产的波动率σ（t）决定其价格在时间间隔[t，t]内的波动+t] 。

因此，如果我们将[0，T]除以相等的部分，那么在时间的子区间[tn，tn+1]内基础资产价格的动态可能不会形成二叉树。在时间相关系数的情况下，这使得B*****i变得困难。另一方面，从波动率σn的实际意义来看，尽管我们考虑了某个区间[tn，tn+1]内的标的资产价格，但如果σn较大，标的资产价格会发生剧烈变化；如果σ很小，则标的资产价格S变化不大。所以我们可以想象，如果我们不同地定义长度，我们可以使所有子区间中S的变化宽度保持不变tn=tn+1-根据σn的大小计算子区间[tn，tn+1]的tn。换句话说，如果我们定义tn=tn+1-使σn·tn=const=（ln u），那么我们可以假设每个子区间[tn，tn+1]中S的变化宽度为u，每个子区间[tn，tn+1]中S的动力学满足一个周期-两个状态模型[10]。然后凝视随机变量，[0，T]中的演化形成一棵二叉树。这种划分方法提供了一个关键，可以克服时间相关系数的情况下出现的困难。让我们更明确地定义tn（n=1，··，n）。假设u>1。首先，我们定义为0，σ=σ（t），t=（lnu）σ，t=t+t=（lnu）·σ。如果没有≤ 然后我们定义如下：σ=σ（T），t=（lnu）σ，t=t+t=（ln u）·σ+σ.4 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim感应式，如果tn≤ T，那么我们定义如下：σn=σ（tn），tn=（lnu）σn，tn+1=tn+tn=（ln u）·σ+··+σn. （2.1）该过程持续到tN≤ T<tN+1。子区间数N取决于u，T和σ（T）。如果我们假设0<σ≤ σ（t）≤ “∑，（2.2）然后我们得到大小的上下界t时间的子间隔数和子间隔数N。从定义（2.1）开始tn，我们有（lnu）\'σ≤ tn≤（lnu）σ。

（2.3）另一方面，如果我们使用tN≤ T<tN+1，那么我们有T·σ（lnu）- 1<N≤T·′σ（lnu）。（2.4）备注2.1。如果你↓ 1，然后是N→ ∞ 和0≤ T- tN<tN=（ln u）·σN→ 0 .现在我们考虑标的资产价格s的动态。假设每个子区间[tn，tn+1]中s的变化宽度为u，d=u-而每个次区间[tn，tn+1]的S动力学满足一个周期-两个状态模型。也就是说，标的资产价格Stnat time TN变为Stnu或Stnd。如果S的初始价格为S，则STNCA可以取以下值之一SNα=Sun-αdα（0≤ α ≤ n） 或者Sj=Suj（j=n，n- 2, ··· , -n+2，-n） 。假设dηn<ρn<uηn，n=0，1，·n.（2.5），如果我们表示θn=ρn/ηn- 杜- d、 n=0，1，··，n.（2.6）那么我们有0<θn<1，并且具有时间相关系数的欧式期权的BTM价格如下所示：VNα=（SNα- E） +（用于通话）或（E）- SNα）+（用于put），0≤ α ≤ N、 Vnα=ηN[θnVn+1α+1+（1- θn）Vn+1α-1], 0 ≤ α ≤ n、 n=n- 1, ··· , 1, 0. （2.7）备注2.2。利用蒋的方法（[10]），我们可以很容易地证明如下：BTMCA可以被视为Black-Scholes偏微分方程的一种特殊显式差分格式五、t+σ（t）五、x+r（t）- q（t）-σ（t）五、十、- r（t）V=0，- ∞ < x<∞, 0≤ t<t，V（x，t）=（ex- E） +或（E）-ex）+，- ∞ < x<∞. （2.8）时间相关系数为5Let xm=m的美式期权的BTM和EDSx(-∞ < m<∞), 0=t<t<··<tN=t和tn=tn+1-tn.表示vnm=V（xm，tn）。然后（2.8）的显式差异方案如下所示：VNm=（em十、- E） +或（E）-相对长度单位x） +，Vnm=1+rntn1.-σntn十、Vn+1m+σntn2x+注册护士- qn-σntn十、Vn+1m+1+σntn2十、-注册护士- qn-σntn十、Vn+1m-1., n=n- 1, ··· , 1, 0. （2.9）如果r（t）、q（t）和σ（t）在[0，t]上有界且连续，则方案（2.9）是一致的。如果σn，这种显式差分格式是稳定的tn≤ 十、1.-σn注册护士- qn-σn十、≥ 0, 0 ≤ N≤ N- 1.让我们十、→ 0 .

然后tn→ 0和（2.9）收敛到（2.8）的解。因此，BTM价格（2.7）也收敛于（2.8）的解。对于具有时间相关系数的美式看跌期权，BTM价格为3。设0=t<t<tN≤ T是（2.1）中定义的时间划分，且letSj=Suj（j=n，n- 2, ··· , -n+2，-Nn=0，·，n），νj=（E）- Sj）+。然后，美式看跌期权的BTM价格Vnj=V（Sj，tn）如下所示：Vnj=~nj，Vnj=maxρnθnVn+1j+1+（1）- θn）Vn+1j-1., ~nj, n=n- 1, ··· , 1, 0. （3.1）现在我们考虑美式看跌期权的BTM价格VNJJ的单调性。定理3.1美式看跌期权的BTM价格vnj=P（Sj，tn；E）（n=0，1，·，n，j=n，n）- 2, ··· , -n+2，-n） （3.2）相对于Sj减小，相对于E增大。也就是说，Vnj=P（Sj，tn；E）≥ P（Sj+1，tn；E）=Vnj+1，P（Sj，tn；E）≤ P（Sj，tn；E）如果E<E.6 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.KimProof VNj=~nj=（E- Sj）+是Sj上的递减函数，E上的递增函数。现在假设Vk+1j≥ 当n=k+1时，Vk+1j+1。那么我们有vkj=maxρkθkVk+1j+1+（1- θk）Vk+1j-1., ~nj≥ 最大值ρkθkVk+1j+2+（1）- θk）Vk+1j, νj+1= Vkj+1。因此，Sj上的VKJI降低。同样，我们可以证明Vkjis在E（QED）上增加，为了证明Vnjis在时间变量上减少，我们需要以下引理。引理3.1（i）如果r（t）/σ（t）在t上增加，那么ρn≤ ρn+1。（ii）如果q（t）/σ（t）在t上减小，则ηn≥ ηn+1。（iii）如果r（t）/σ（t）增加，q（t）/σ（t）减少，并且Tn非常小，那么ρn/ηn≤ ρn+1/ηn+1；θn≤ θn+1。证明（i）如果r（t）/σ（t）在增加，则从tn，我们有+1σn+1≥rnσn<=> （lnu）·rn+1σn+1≥ （ln u）·rnσn<=>ρn+1=1+rn+1tn+1≥ 1+rntn=ρn.（ii）的证明方式与（i）类似。（iii）如果Tn非常小，那么ηn>0。自ρn≤ ρn+1和ηn≥ ηn+1，我们有ρn/ηn≤ ρn+1/ηn+1。因此，从（2.6）中，我们得到θn≤ θn+1。

（QED）引理3.2（i）如果A≤ B和0≤ α ≤ β、 然后是αA+（1）- α） B≥ βA+（1）- β） B.证明αA+（1）- α） B- βA- (1 - β） B=（β- α） （B）- （A）≥ 0.（QED）定理3.2假设（2.5）满足，r（t）/σ（t）在t上增加，q（t）/σ（t）在t上减少。那么对于美式看跌期权的BTM价格，我们有-1j≥ Vnj。我们有（3.1）的证据-1j≥ νj=VNj（j=N，N- 2, ··· , -N+2，-N） 。时间相关系数为7的美式期权的BTM和EDS现在假设Vkj≥ Vk+1j(j） 。那我们就有了-1j=最大值ρk-1.θk-1Vkj+1+（1- θk-1） Vkj-1., ~nj≥ 最大值ρk-1.θk-1Vk+1j+1+（1）- θk-1） Vk+1j-1., ~nj≥ 最大值ρkθk-1Vk+1j+1+（1）- θk-1） Vk+1j-1., ~nj≥ 最大值ρkθkVk+1j+1+（1- θk）Vk+1j-1., νj+1= Vkj。第一个不等式来自归纳假设Vkj≥ Vk+1j(j） 引理3.1（i）中的第二个不等式，引理3.1（iii）中的最后一个不等式，定理3.1和引理3.2。（QED）备注3.1。定理3.2有力地代表了时间相关系数的影响。这里的主要工具是引理3.1和引理3.2。备注3.2。定理3.2的条件是必要的。参见以下图表：图1：当r（t）=0.1，q=0，σ=1，t=5，E=1，j=1时的曲线图（tn:V（Sj，tn））标记3.3。仅使用引理3.1和引理3.2的类似物，似乎很难得出8 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim图2:R（t）在增加，所以在t上V在减少。图3:Plot（tn:V（Sj，tn））当R（t）=P iecewise{0.2，0≤ t<2}，{0.1,2≤ t<5}；q=0，σ=1，T=5，E=1，j=1BTM和EDS对于具有时间相关系数的美式期权9图4:r（T）没有增加，因此V在T上没有减少，而美式看涨期权的BTM价格在T上减少。现在我们考虑近似最优行使边界的存在。定理3.3必须足够小。