二叉树方法与美式网格的显式差分格式

选择tniand jki=j suchthat^yki∈ [（j）- 1/2)xki+c，（j+1/2）xki+c），^Ski∈ [tni，tni+1），简单地表示tni=tn和j=jki。然后从（5.6），引理5.1和（5.11）以及引理5.2我们有xki（^yki，^Ski）=Unj=（FnUn+1）j=[Fnutki（o，^Ski+t([xki]（^yki）≤ {Fn[Φ（o，^Ski+t） +（u）xki- Φ）（^yki，^Ski）}（^yki）≤ {Fn[Φ（o，^Ski+t） ]}（^yki）+（uxki- Φ）（^yki，^Ski）。因此我们有Φ（^yki，^Ski）- {Fn[Φ（o，^Ski+t） ]}（^yki）≤ 因此使用（4.11）我们有Φ（^yki，^Ski）- 最大值1+rntn1.-σntnxkiΦ（^yki，^Ski+t(xki）++σntnxki[anΦ（^yki+xki，^Ski+t） +（1）- an）Φ（^yki- xki，^Ski+t） ], ~nj≤ 0.这个不等式等价于以下等式。闵(tn1+rntn“Φ（^yki，^Ski）- Φ（^yki，^Ski+t(xki）tn--σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- 2Φ（^yki，^Ski+t） +Φ（^yki）- xki，^Ski+t） 二,xki--注册护士- qn-σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- Φ（^yki）- xki，^Ski+t） 二,xki++rnΦ（^yki，^Ski）i，Φ（^yki，^Ski）- ~njo≤ 0.注意到tn1+rntn>0，我们有min（Φ（^yki，^Ski）- Φ（^yki，^Ski+t(xki）tn--σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- 2Φ（^yki，^Ski+t） +Φ（^yki）- xki，^Ski+t） 二,xki--注册护士- qn-σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- Φ（^yki）- xki，^Ski+t） 二,xki++rnΦ（^yki，^Ski），Φ（^yki，^Ski）- ~njo≤ 0.BTM和EDS对于时间相关系数为21的美式期权，该不等式等价于以下等式。min（“Φ（^yki，^Ski）- Φ（^yki，^Ski+t(xki）t(（xki）#t(（xki）tn--σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- 2Φ（^yki，^Ski+t） +Φ（^yki）- xki，^Ski+t） 二,xki--注册护士- qn-σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- Φ（^yki）- xki，^Ski+t） 二,xki++rnΦ（^yki，^Ski），Φ（^yki，^Ski）- ~njo≤ 0.让ki→ ∞, 然后xki→ 从引理5.3，我们得到t(（xki）tn→ 1.这样我们就有了-ΦT-σ（t）Φ十、-r（t）- q（t）-σ（t）Φx+r（t）Φ，Φ-φ（x，t）≤ 0.（这里我们考虑了（^yki，^Ski）→ （x，t）和jki→ ~n（x）。允许 → 0，那么我们有分钟了-φT-σ（t）φ十、-r（t）- q（t）-σ（t）φx+r（t）φ，φ-φ（x，t）≤ 0.自从你*（x，t）=φ（x，t），u*是（4.3）的子解。

因此我们证明了（i）。现在我们来证明ρx（t）收敛到ρ（t）as十、→ 0.主要思想来自[12]。首先，从定理4.4和注释9的推论，我们得到了十、→0ρx（tN）-1） =分钟E、 r（T）q（T）E= ρ（T）。现在Fix t∈ [0，T）并假设x<lim十、→0supρx（t）。然后存在一个序列xksuchxk→ 0和limk→∞ρxk（t）>x.用{t（k）n}表示对应于让t∈ [t（k）n-1，t（k）n）。然后t（k）n→ 塔斯k→ ∞. 自ρ我们有ρxk（t（k）n）≥ ρxk（t）。选择xksuch使之成为limxk=x。对于足够大的k，xk<ρxk（t（k）n）=jnxk+c因此我们有了你xk（xk，t（k）n）=~n（xk）（因为xk在运动区域）。我们就这样xk→ 0=> u（x，t）=а（x）=> 十、≤ ρ（t），所以我们有lim supρx（t）≤ ρ（t）。现在我们将证明lim-infρx（t）≥ ρ（t）。假设存在 > 0，使lim infρx（t）<ρ（t）- 2. . 从ρ（t）是连续的这一事实来看，存在δ>0的lim infρx（t）<ρ（t）-2., T∈ [t]-δ、 t+δ]。因此存在一个序列xk→ 0使得ρxk（t）<ρ（t）-2., T∈ [t]-δ、 t+δ]。现在让ρ：=min{ρ（t）：t∈ [t]-δ、 t+δ]}和Q={（x，t）：t∈ （t）- δ、 t]，x∈ (ρ - 2., ρ - )}. 那么既然ρxk（t）在增加，我们有ρxk（t）≤ ρxk（t）≤ ρ - 2. < x<ρ-  对于（x，t）∈ 因此我们有ρxk（t）<x<ρ（t）- , （x，t）∈ Q.（5.13）22 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kimxk（t）<x，让uxk（x，t）=Unj，那么我们有-Un+1j- UnjT-σ（tn）Un+1j+1- 2Un+1j+Un+1j-1.十、-r（tn）- q（tn）-σ（tn）Un+1j+1- Un+1j-12x+r（tn）Unj=0。让xk→ 0，然后是uxk（x，t）（=Unj）收敛到粘性解u（x，t），根据粘性解的正则性（定理5.1），我们得到Ut+σ（t）Ux+r（t）- q（t）-σ（t）U十、- r（t）u=0（x，t）∈ Q.（5.14）另一方面，从（5.13）中，我们有x<ρ（t）-  , 因此，x处于（4.3）的运动区域，u（x，t）=E- 前任。

所以我们有Ut+σ（t）Ux+r（t）- q（t）-σ（t）U十、- r（t）u=q（t）ex- r（t）E，（x，t）∈ 问：这与（5.14）相矛盾。因此我们证明了lim-infρx（t）≥ ρ（t）≥ lim supρx（t）。所以我们有limρx（t）=ρ（t）。（QED）推论（美式看跌期权价格的单调性和最优行使边界）假设u（x，t）是（4.3）的粘性解。假设r（t）/σ（t）增加，q（t）/σ（t）在t上减少。那么我们有（i）u（x，t）在x上减少，t.（ii）ρ（t）在t上增加。（证明）（i）来自定理4.1（ii）、定理4.2和定理5.2（i）。（ii）来自定理4.4和定理5.2（ii）的推论（ii）。（QED）引理5.5[12]LetOhm  Rmand fn（x，··，xm）点态收敛于连续函数f（x，··，xm）。假设fn和f是单调的Ohm. 然后FnUniformlyConverge到f的任何紧子集上Ohm.定理5.3当十、→ 0，然后是u在[0，t]×R和ρ的任意有界子域上，x（x，t）一致收敛于u（x，t）x（t）一致收敛于ρ（t）。（证明）从定理5.3的结果来看，u（x，t）和ρ（t）都是单调的。因此，从引理5.5中，我们得到了期望的结果。（QED）备注5.3。考虑二叉树方法的收敛性。如第3节所示，在晶格中Qc={（xj，tn）：xj=jx+c，0≤ N≤ N- 1，j∈ Z} ，具有时间相关系数的美式期权的explicitBTM和EDS 23差异方案（4.12），α=σntn/x=1在忽略O的意义上与BTM一致(x） 。让我们通过明确的差异方案（4.12）和BTM价格确定价格。那么我们有unj=maxρnanUn+1j+1+（1）- an）Un+1j-1., （E）- Sej十）+,Vnj=最大值ρnθnVn+1j+1+（1）- θn）Vn+1j-1., （E）- Sej十）+.让u=e十、

然后我们有| Vnj- Unj|≤ρn|θnVn+1j+1- anUn+1j+1 |+|（1）- θn）Vn+1j-1.- (1 - an）Un+1j-1个|≤ρnθn | Vn+1j+1- Un+1j+1 |+|θn- an | Un+1j+1+（1）- θn）|Vn+1j-1.- Un+1j-1 |+|θn- an）|Un+1j-1.≤ρnkVn+1- 联合国+1公里∞（Z） +2O(x） kUn+1公里∞（Z）.这里我们考虑引理4.1：θn=an+O(x） 。请注意，kUn+1kl∞（Z）≤ E、 然后我们有|Vnj- Unj|≤ρnkVn+1- 联合国+1公里∞（Z） +2E·O(十）.由于rn/σnis增加，我们有(-注册护士tn）=exp(-注册护士x/σn）≤ 经验(-Rx/σ）=:A，并使用ρ-1n=（1+rntn）=exp(-注册护士tn）+O(tn），然后我们有|Vnj- Unj|≤ AkVn+1- 联合国+1公里∞（Z） +2AE·O(x） 。因此，我们有KVN- 乌克尔∞（Z）≤ AkVn+1- 联合国+1公里∞（Z） +A2E·O(十）≤ AkVn+2- Un+2kl∞（Z） +（A+A）2E·O(x） ·········≤ 一-nkVN- 乌克尔∞（Z） +（A+A+···+A）-n） 2E·O(x） 。这里注意到kVN- 乌克尔∞（Z） =max{| VNj- UNj |}=0，我们有kvn- 乌克尔∞（Z）≤A1- A2E·O(x） =O(x） 。因此，从定理5.2，当十、→ 0，BTM价格VNJ收敛于变分不等式（4.3）的粘性解。24 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim6美式期权的BTM看跌期权平价及其应用为了证明价格在t上的单调性，我们不仅需要引理3.1和引理3.2，还需要以下引理，它们的证明方法与[10]相同。引理6.1如果θn=ρn/ηn-杜-d、 θn=ηn/ρn-杜-dθnuρn=1- θnηn（1）- θn）dρn=θnηn（6.1）证明它的证明方法与[10]相同。

（Q.E.D）引理6.2（同质性）如果我们用P（Sj；E）表示美式看跌期权的BTM价格，用C（Sj；E）表示美式看涨期权的BTM价格（E是行权价格），那么我们有C（αSj；αE）=αC（Sj；E），P（αSj；αE）=αP（Sj；E）（6.2）证明它是用与[10]（Q.E.D）相同的方式证明的，通过使用这两个引理，我们得到了以下看跌对称性。定理6.1（BTM中的看涨期权对称性）分别表示标的资产价格Sj、行权价格E、利率R和股息率Qnbyc（Sj，E，n）=C（Sj，E，ρn，ηn）和P（Sj，E，n）=P（Sj，E，ρn，ηn）的美式期权价格。我们有c（Sj，E，ρn，ηn）=P（E，Sj，ηn，ρn）。（6.3）（ρn=1+rn）tn，ηn=1+qnn=n，C（Sj，E，n）=（Sj）情况下的证明- E） +=P（E，Sj，N），我们有（6.3）。现在我们假设（6.3）适用于n=k+1，并证明当n=k时，从（2.4）开始，美式看涨期权的BTM价格isC（Sj，E，ρn，ηn）=maxρn[θnC（Sj+1，E，n+1）+（1）- θn）C（Sj）-1，E，n+1）]，（Sj- （E）+= 最大值ρn[θnC（Sju，E，n+1）+（1）- θn）C（Sjd，E，n+1）]，（Sj- （E）+通过使用引理6.1和引理6.2（同质性），我们得到c（Sj，E，ρn，ηn）=maxρn[θnuC（Sj，Ed，n+1）+（1）- θn）dC（Sj，Eu，n+1）]，（Sj- （E）+= 最大值ηn[（1）- θn）C（Sj，Ed，n+1）+θnC（Sj，Eu，n+1）]，（Sj- （E）+时间相关系数为25的美式期权的BTM和EDS利用归纳假设和看跌期权的BTM价格公式，我们得到C（Sj，E，ρn，ηn）=maxηn[θnC（Sj，Eu，n+1）+（1）- θn）C（Sj，Ed，n+1）]，（Sj- （E）+= 最大值ηn[θnP（Eu，Sj，n+1）+（1）- θn）P（Ed，Sj，n+1）]，（Sj- （E）+= P（E，Sj，ηn，ρn）利用这些结果，我们可以证明t上看涨期权价格的递减性。（Q.E.D）定理6.2 Vnj（n=0，1，··，n，j=0，±1，±2，··）是美式看涨期权的BTM价格。假设r（t）/σ（t）在t上减少，q（t）/σ（t）在t上增加，那么我们有vn-1j≤ Vnj。（6.4）我们通过归纳法证明的证据。

从美式期权的性质来看，我们有-1j≥ νj=（Sj）- E） +=VNj（j=0，±1，··），因此该断言对n=n是正确的。归纳而言，我们假设Vkj≥ Vk+1j。ThenVk-1j=最大值ρk-1[θk-1Vkj+1+（1- θk-1） Vkj-1] ，~nj= 最大值ρk-1[θk-1C（Sju，E，k）+（1）- θk-1） C（Sjd，E，k）]，j(6.5)≥ 最大值ρk-1[θk-1C（Sju，E，k+1）+（1）- θk-1） C（Sjd，E，k+1）]，j利用引理6.1和引理6.2，我们的归纳假设，以及调用-放置对称性（定理6.1），我们得到了vk-1j≥ 最大值ρk-1[θk-1uC（Sj、E、k+1）+（1）- θk-1） dC（Sj，E，k+1）]= 最大值ηk-1[θk-1P（Eu、Sj、k+1）+（1）- θk-1） P（Ed，Sj，k+1）]，νj根据定理和引理3.1的假设，我们得到了ρk-1.≥ ρk，ηk-1.≤ ηk，θk-1=ηk-1/ρk-1.- 杜- D≤ θk，如果我们考虑P（Eu）≤ P（Ed）和引理3.2，我们得到θk-1P（欧盟）+（1）- θk-1） P（教育）≥ θkP（Eu）+（1）- θk）P（Ed）.26 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.KimSo我们有-1j≥ 最大值ηk-1[θkP（Eu，Sj，k+1）+（1）- θk）P（Ed，Sj，k+1）]，νj. （6.6）再次使用引理6.2、引理3.1和定理6.1，我们得到了vk-1j≥ 最大值ρk[θkC（Sju，E，k+1）+（1）- θk）C（Sjd，E，k+1）]，νj= 最大值ρk[θkVk+1j+1+（1- θk）Vk+1j-1] ，~nj= Vkj。（6.7）（Q.E.D）我们可以从t上BTM的单调性证明近似最优行使边界的存在性。定理6.3假设Vnj（n=0，1，··，n，j=0，±1，±2，··）是美式看涨期权的价格，定理6.2的假设是满足的，并假设r（t），Q（t）>0。然后对于每个tn（0≤ N≤ N- 1） 存在Jnj，因此vnj=对于j≥ jn；Vnj>对于j=jn- 1.Vnj≥ νjj≥ jn- 2.（6.8）j≥ ··· ≥ jk≥ jk+1··≥ jN-1.（6.9）备注6.1条件q（t）>0是必要的，这与看跌期权的条件不同。如果q（t）=0，则最佳运动边界不存在，不需要提前运动。证明就像定理3.3一样，我们假设E=S=1，S- j=uj，无通用性损失。

然后vnj=（uj- 1） +=j，（j=0，±1，±2，··）。因此如果j≤ 0，则φj=VNj=0，如果j≥ 1然后φj=uj- 1=VNj>0。FromVN-1j=最大值ρN-1[θN-1~nj+1+（1）- θN-1） ~nj-1] ，~nj,因此如果j≤ -1然后φj+1=φj=φj-因此VN-1j=VNj=0=~nj。另一方面，如果j=0，则魟>0，魟=魟-1=0和VN-1= ρ-1N-1φ> 0 = φ. 所以我们有-1> ~n（6.10）美国期权的BTM和EDS，时间相关系数为27If j≥ 1那么j- 1.≥ 0和ψj=uj- 1>0，νj-1=uj-1.- 1.≥ 0，那么我们有-1j=最大值ρN-1[θN-1（uj+1- 1) + (1 - θN-1） （uj）-1.- 1） ]uj- 1.= 最大值ρN[θN-1uj+1+uj-1.- 1.- θN-1uj-1] ，uj- 1.= 最大值ρN-1.ujuθN-1+(1 - θN-1） u- 1., uj- 1.= 最大值ujuθN-1ρN-1+(1 - θN-1） ρN-1u-ρN-1，uj- 1.从引理6.1，我们得到θnuρn+（1）-θn）dρn=η，因此我们有-1j=最大值ηN-1uj-ρN-1，uj- 1..自qN以来-1> 0，我们有ηN-1> 因此，如果我们比较ηN的图-1x-ρN-1和X- 1.我们可以看到有两种情况是可能的。如果J≥ 1, η-1N-1uj- ρ-1N-1.≤ uj- 1.我们有VN-1j=uj- 1=当jN-1= 1.相反，如果J≥ 1, η-1N-1uj- ρ-1N-1> uj- 1.我们定义-1=分钟J≥ 1| η-1N-1uj- ρ-1N-1.≤ uj- 1..然后（6.8）保持不变。就是说，j≥ jN-1.=> 越南-1j=аj；j=jN-1.-1.=> 越南-1j>~nj.因此存在jN-1.∈ 证明了Z。假设当n=k时，有jk（jk≥ jk+1≥ ··· ≥ jN-1） 因此（6.8）是正确的，即ej≥ jk=> Vkj=аj；j=jk- 1.=> Vkj>νj；J≤ jk- 2.=> Vkj≥ νj（诱导假说）。Vk-1j=最大值ρk-1[θk-1Vkj+1+（1- θk-1） Vkj-1] ，~nj还有j≥ jk+1=> J- 1.≥ jk=> Vki=ψi，i=j+1，j，j-所以我们有-1j=最大值ρk-1[θk-1（uj+1- 1) + (1 - θk-1） （uj）-1.- 1） ]，（uj- 1)= 最大值ηk-1uj-ρk-1，uj- 1..自qN以来-1> 0，那么ηk-1> 可能有两种情况，一种是J≥ jk+1，ηk-1uj-ρk-1.≤ uj- 1（6.11），另一个是J≥ jk+1：ηk-1uj-ρk-1> uj- 1.（6.12）28 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim如果（6.11）是真的，那么Vk-1j=аj。

因此，如果j=jk- 1，然后是Vk-1j≥ Vkj>~nj.所以ifVk-1jk>~nj然后让jk-1=jk+1，如果Vk-1jk=~nj然后让jk-1=jk。如果（6.12）是真的，那么letjk-1=分钟J≥ jk+1：ηk-1uj-ρk-1.≤ uj- 1..那么如果j≥ jk-1然后Vk-如果j=jk，则1j=~njand-1.-1然后Vk-1j>~nj.如果j≤ jk-1.-2.thenVk-1j≥ Vkj≥ νj.因此jk的存在-1(≤ jk）被证明。（Q.E.D）备注6.2定理6.2和定理6.3强烈代表了时间相关系数情况下的特征。特别值得注意的是，在看跌期权和看涨期权中，时间递减性的条件是相反的。确定近似的最佳运动边界S=S（t） 关于区间[0，t]，如下所示。s（t） =（uj）-1，t=tn（t-tn）tn+1-tnS（tn）+（tn+1）-t） tn+1-tnS（总氮+1），总氮≤ T≤ tn+1.7美式看涨期权变分不等式模型EDS中的看跌期权对称性及其应用具有时间相关系数的美式期权变分不等式模型和时间间隔划分方法、格构和显式差分模式如第4节所示。与BTM一样，我们需要同质性和看跌期权平价，以便通过美式看涨期权变分不等式模型的显式差分格式证明价格在时间上的单调性。定理7.1（通过显式差异方案得出的价格同质性）如果u=ex、 那么我们有U（uSuj，uE）=uU（Suj，E）u > 0, J∈ Z.（7.1）这里unj=u（j由（4.10）和（4.11）定义的x+c，tn）由U（Suj，E；n）表示。证明n=n是显而易见的，其他情况则由归纳法证明。（Q.E.D）现在，通过显式差异方案考虑价格的看跌期权平价。与inBTM一样，我们可以按如下方式编写看涨期权和看跌期权的价格。现在，通过显式差异方案来考虑价格的看涨期权对称性。

像BTM一样，我们可以将看涨期权和看跌期权的价格写如下。c（S，E；r，q；k）=美式期权的BTM和EDS，时间相关系数29=最大值ρk[（1）- α） C（S，E；k+1）+α（akC（Su，E，k+1）+（1- ak）C（Sd，E，k+1）），（S- （E）+（7.2）p（S，E；r，q；k）=maxρk[（1）- α） P（S，E；k+1）+α（akP（Su，E，k+1）+（1- ak）P（Sd，E，k+1）），（E- （S）+（7.3）备注7.1对于显式差分方案，无法获得（6.3）inBTM等完美对称性。我们的目标是证明（S，E；r，q；k）=p（E，S；q，r；k）+O(xδ）k=N，N- 1, ··· , 0. （7.4）这里δ将在后面定义。当k=N（7.4）明显成立时，sincec（S，E；N）=（S- E） +=p（E，S；N）。在显式差异方案中，我们使用以下符号：=+x2σn注册护士- qn-σn, 安=+x2σnqn- 注册护士-σn. （7.5）考虑到均匀性（定理7.1），我们有c（S，E；r，q，N）- 1） ==最大值ρN-1[(1 - α） c（S，E；N）+α（aN）-1c（Su，E，N）+（1）- 一-1） c（Sd，E；N）），（S）- （E）+= 最大值ρN-1c（S，E；N）+α一-1uρN-1c（S、Ed、N）+（1- 一-1） dρN-1c（南、欧盟、北）, （S）- （E）+= 最大值(1 - α） ρN-1ηN-1ρN-1c（S，E；N）+α一-1uρN-1c（S，Ed，N）+（1）- 一-1） dρN-1c（南、欧盟、北）, （S）- （E）+= 最大值(1 - α） ηN-1c（S，E；N）+（1）- α） qN-1.- 注册护士-1ρN-1αxσN-1c（S，E；N）+α一-1uρN-1c（S，Ed；N）+（1）- 一-1d）ρN-1c（南、欧盟；北）, （S）- （E）+.现在我们有一个uρn-1.- ηn=exρn+x2σn注册护士- qn-σn-ηn-x2σnqn- 注册护士-σn=ρnηnηne十、+x2σn注册护士- qn-σn- ρn-x2σnqn- 注册护士-σn.30 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim如果我们缩写索引以避免复杂性，那么我们有ηne十、+x2σn注册护士- qn-σn==+ 十、+2σn注册护士- qn-σn+ 十、qnα2σn++2σn注册护士- qn-σn+ O(十）-ρn-x2σnqn- 注册护士-σn=+ 十、2σnqn- 注册护士-σn- xrnασn+O(x） 。因此ηne十、+x2σn注册护士- qn-σn- ρn-x2σnqn- 注册护士-σn== 十、qn（α）- 1） 2σn+rn（1）- α） 2σn+ O(x） =O(xδ）。这里是δ=2，α<13，α=1（7.6），因此我们有一个ρn-1.- anηn=O(xδ）。

（7.7）同样地，我们有- an）dρn-安ηn=xρnηnqn（α）- 1） 2σn+rn（1）- α） 2σn+ O(x） =O(xδ）。（7.8）然后我们得到c（S，E；r，q，N）- 1） ==最大值(1 - α） ηN-1c（S，E；N）+α(1 - 一-1） ηN-1c（S，Ed；N）+aN-1ηN-1c（南、欧盟；北）+ O(xδ（S）- （E）+= 最大值(1 - α） ηN-1p（E，S；N）+α(1 - 一-1） ηN-1p（Ed，S；N）+aN-1ηN-1p（欧盟、南欧、北欧）, （S）- （E）++ O(xδ=maxηN-1[(1 - α） p（E，S；N）+α（aN）-1p（Eu，S；N）+（1）- 一-1） p（Ed，S；N）），（S- （E）++ O(xδ）=p（E，S；q，r；N- 1） +O(因此，对于n=n，xδ（7.4）成立- 1.现在归纳地假设（7.4）适用于时间相关系数为31k=n+1的美式期权的BTM和EDS。