限价订单簿中订单位置和相关队列的动态

（见第5节定理31，无此假设。）现在，用QbN和QbN定义最佳出价队列和最佳ASK队列的缩放队列长度，以及缩放订单位置ZnbyQbn（t）=Qbn（0）+Cn（t）- Cn（t）- Cn（t），Qan（t）=Qan（0）+Cn（t）- Cn（t）- Cn（t），dZn（t）=-dCn（t）-锌（t）-)Qbn（t-)dCn（t）。（2.2）上述方程是向前的：根据相应的订单流程，买卖队列长度随限价订单增加而增加，随市场订单和取消而减少；随着取消订单和市场订单的到来，订单头寸将减少并向零移动；新的限制订单的到达不会改变这个特定的订单位置；然而，根据假设5，限制订单的到达可能会改变订单位置接近零的速度，因此Zn（t）的系数-)Qbn（t-).严格地说，Eqn。（2.2）只描述了三元组（Qbn（t）、Qan（t）、Zn（t））在它们中的任何一个达到零之前的动态：Zn达到零意味着下的订单已经执行，而Qanhitting零意味着最好的询问队列已经耗尽。由于我们的主要利益在于订单位置，我们可以在几乎没有风险的情况下截断流程，以避免边界上不必要的技术难题。也就是说，定义τn=min{τzn，τan，τbn}，（2.3），其中τbn=inf{t≥ 0:Qbn（t）≤ 0}，τan=inf{t≥ 0:Qan（t）≤ 0}，τzn=inf{t≥ 0:Zn（t）≤ 0}.现在，定义被截断的过程Qbn（t）=Qbn（t∧τn），~Qan（t）=Qan（t∧τn），~Zn（t）=Zn（t∧τn）。（2.4）尽管如此，目前尚不清楚这些被截断的过程是否会得到很好的定义，因为我们事先不知道该术语是否正确-锌（t）-)Qbn（t-)当qbn为零时，它是有界的。然而，这并不是一个问题。Eqn。（2.4）定义明确，含锌（t）≤ Qbn（t）表示任何时间t≤ min（τzn，τan）。特别是τzn≤ τbn。证据注意-→这是一个积极的过程。

因此，当δZn（t）=0时，我们有δCn（t）>0和δQbn（t）>0；当δCn（t）>0时，我们得到δQbn（t）=δZn（t）；当δCn（t）>0时，我们有δQbn（t）Qbn（t）-)=δZn（t）Zn（t）-). 因此，当0<Zn（t-) ≤ Qbn（t-), 我们有锌（t）≤ Qbn（t）。此外，在任何给定的时间范围内，订单到达的数量以概率1确定。这个引理虽然简单，但在确保订单位置和相关队列的流量限制在重新缩放后得到很好的定义方面发挥了重要作用。也就是说，我们可以在t的任何时间扩展Qbn、Qan和zn的定义≥ 0.为了简单起见，在本文的其余部分中，我们将使用Qbn、Qan和Zn，而不是t上定义的<<Qbn、<<Qan和>>Zn≥ 0.截断过程的动力学可以用以下矩阵形式描述。DQbn（t）Qan（t）Zn（t）=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-10-1.-锌（t）-)Qbn（t-)0 0 0伊坎（t）-)>0，Qbn（t-)>0，Zn（t-)>0·d-→Cn（t）。（2.5）修改后的流程在达到零之前与原始流程一致，这意味着≤τn=IQan（t-)>0，Qbn（t-)>0，Zn（t-)>0.为了建立联合过程（Qbn，Qan和Zn）的流体极限，我们发现，从存在各种形式的函数强大数定律的经典概率论中建立（Qbn，Qan）的极限过程是公平的标准。但是，检查Eqn。（2.5）对于Zn（t），我们看到，为了从QbN的流体极限传递到Zn（t）的流体极限，我们有效地需要传递一些c`adl`ag过程（Xn，Yn）到（X，Y）在斯科罗霍德拓扑图中的收敛关系，到nRxn和yntorxdy之间的收敛关系。也就是说，考虑一系列随机过程{Xn}n≥由SDEsXn（t）=Un（t）+ZtFn（Xn，s）序列定义-)dYn（s），（2.6）其中{Un}n≥1，{Yn}n≥1是两个随机过程序列和{Fn}n≥1是一系列函数。现在，假设{Un，Yn，Fn}n≥1以某种方式接近{U，Y，F}。

然后是方程的解的顺序。（2.6）收敛到解toX（t）=U（t）+ZtF（X，s）-)什么？事实证明，这种收敛关系是微妙的，很容易失败，下面的简单例子就说明了这一点。例7。让{Xi}i≥1是一系列相同分布的随机变量，取值为{-1，1}这样P（X=1）=P（X=-1） =P（Xi+1=1 | Xi=1）=P（Xi+1=-1 | Xi=-1） =对于i>1。定义序列号（t）=√NP新界i=1Xi。注意{Xi}i≥1是一个均值为零的严格平稳序列，是一个具有有限状态空间的马尔可夫链{-1, 1}. 由于转移概率矩阵的每个条目严格在0和1之间，因此序列ce{Xi}i≥1是ψ-混合，参见[46]。注意，ψ混合意味着φ-混合，例如参见[10]。根据平稳性，limn→∞氖nXi=1Xi！= σ=E[X]+2∞Xi=1E[XXi+1]。我们可以通过归纳法来计算，对于任何i≥ 1，E[XXi+1]=E[XXi]+E[X(-因此，我们有σ=1+2P∞i=1i=3。对于严格平稳中心φ-mixin g序列，与eh（Pni=1Xi）i→ ∞ 作为n→ ∞ E[|X | 2+δ]<∞ 对于某些δ>0的情况，不变性原理成立，例如[35]，即sn收敛到σB。因此sn收敛到√3B。现在定义一个序列，其中包含一个序列，其中一个序列是de的dYn（t）=Yn（t）dSn（t），一个序列是Yn（0）=1。显然，自从Xi∈ {±1}和| Xi|≤ 1，对于有效的大n，Yn（t）=新界Yi=11+Xi√N= eP新界i=1log（1+Xi）√n） =e√NP新界i=1Xi-2n新界+n，其中n |≤C√n、 其中C>0是一个常数。因此，Yn收敛到exp描述的极限过程{√3B（t）-t} ，作为n→ ∞. 然而，dY（t）=Y（t）d的解(√Y（0）=1的3B（t））由Y（t）=exp给出{√3B（t）-3t}。然而，在假设1、2、5中规定的适当条件下，可以建立所需的收敛关系。使用Kurtz和Protter[40，定理5.4]的结果证明，这些假设是有效的。

为了完整起见，我们接下来给出这个结果，以及收敛所需的技术条件。2.3迂回：Kurtz和Protter[40]的随机过程收敛定义hδ（r）：[0，∞) → [0, ∞) 由hδ（r）=（1）- δ/r）+。定义Jδ：Dm[0，∞) → Dm[0，∞) byJδ（x）（t）=Xs≤thδ（|x（s）- x（s）-)|)（十）- x（s）-)).设Yn为一系列适用于Ft.定义Yδn=Yn的随机过程- Jδ（Yn）。LetYδn=Mδn+Aδnbe Yδn的分解为一个傅立叶局部鞅和一个具有有限差分的过程。条件8。对于每个α>0，存在停止时间ταnsuch，P{ταn≤ 1} ≤ 1/α和supne[[Mδn]t≤ταn+T（Aδn）T≤ταn]<∞, 其中[Mδn]t≤ταndente表示Mδnup对时间ταn和T（Aδn）T的总二次变化≤ταndente表示Aδnup随时间ταn的总变化。T[0，∞) 表示[0]的非递减映射λ的集合，∞) 到[0，∞) （特别是，λ（0）=0）使得λ（h+t）-λ（t）≤ h代表所有t，h≥ 0.设Mkmbe为实值k×m矩阵的空间，DMkm[0，∞) c`adl`ag函数的空间从[0，∞) 给Mkm。假设存在映射pin gs Gn，G:Dk[0，∞) ×T[0，∞) → DMkm[0，∞) 这样Fno λ=Gn（x）o λ、 λ）与f（x）o λ=G（x）o λ、 λ）对于（x，λ）∈ Dk[0，∞) ×T[0，∞).条件9。（i） 对于每个紧致子集H Dk[0，∞) t>0，sup（x，λ）∈Hsups≤t | Gn（x，λ，s）-G（x，λ，s）|→ 0;（ii）对于{（xn，λn）}∈ Dk[0，∞)×T[0，∞), 小吃≤t | xn（s）-x（s）|→ 0和su-ps≤t |λn（s）-λ（s）|→ 0对于每个t>0意味着支持≤t | G（xn，λn，s）- G（x，λ，s）|→ 0.定理10。假设（Un，Xn，Yn）满足Xn（t）=Un（t）+ZtFn（Xn，s）-)戴恩（s）、（Un，Yn）=> （U，Y）在Skorokhod拓扑中，{Yn}满足条件8，对于某些0<δ≤ ∞. 假设{Fn}和F具有满足条件9的{Gn}和G的表示。

如果存在全局解X ofdX（t）=U（t）+ZtF（X，s-)dY（s），并且本地唯一性保持不变，然后（Un，Xn，Yn）=> （U，X，Y）。2.4订单位置和相关队列的流体限制我们现在准备好建立我们的第一个结果。定理11。在假设1、2、3和5的情况下，假设存在常数qb、qa和z（Qbn（0）、Qan（0）、Zn（0））=> （qb，qa，z）。然后，对于任何T>0，方程n。（2.5）（Qbn、Qan、Zn）=> （Qb，Qa，Z）在（D[0，T]，J）中，其中（Qb，Qa，Z）由Qb（T）=Qb给出- λvb（t）∧τ，（2.7）Qa（t）=Qa- λva（t）∧τ），（2.8）和对于t<τ，dZ（t）dt=-λ“V+”VZ（t-)Qb（t）-), Z（0）=Z.（2.9）这里τ=min{τa，τb，τZ}，τa=qaλva，τb=qbλvb，（2.10）和τZ=（1+c）za+bc/（c+1）b1/（c+1）c-1.- b/c/∈ {-1,0}，b（1）- E-zab）c=-1，b日志扎布+1c=0。（2.11）此外，如果vb>0，va>0，qa/va>qb/vb，则τzn→ τza。s、 作为n→ ∞, 式中=λ′V，b=qb/（λ′V），c=-vb’V，（2.12）vb=-\'V+\'V+\'V，va=-“V+”V+”V.（2.13）证明。注意Eqns。（2.7）、（2.8）、（2.9）满足以下SDE\'sdQb（t）Qa（t）Z（t）=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-10-1.-Z（t）-)Qb（t）-)0 0 0IQa（t）-)>0，Qb（t-)>0，Z（t）-)>0λ-→\'V dt；（2.14）（Qb（0），Qa（0），Z（0））=（Qb，Qa，Z）。因此，我们首先展示了方程的收敛性。(2.14). 现在，s et Yn=-→Cn，Xn=（Qbn，Qan，Zn）和fn（x，s）-) = F（x，s）-) =1.- 1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-10- 1.-x（s）-)x（s）-)0 0 0九（s）-)>为了应用定理10，我们需要分解Yn。

现在取δ=∞, 定义过滤系数Fnt:=σ（{n（s）}0≤s≤新界{-→Vi}1≤我≤N（nt））和Gi:=σ({-→Vk}1≤K≤i） ，Mn（t）=nN（nt）Xi=1-→六、- E[-→Vi | Gi-1] ，andAn（t）=Yn（t）- Mn（t）。我们将证明mn是关于fn和{Yn}n的鞅≥满足OREM 10中的条件。对于s∈ [0，t），很容易看出假设3意味着[-→Vi | FnnPi-1k=1Dk]=E[-→Vi | Gi-1].图塞赫-→Vi | Gi-1iFns∩ （N（ns）<i）i=ehh-→Vi | FnnPi-1k=1DkiFns∩ （N（ns）<i）i=Eh-→六、Fns∩ （N（ns）<i）i.同时，FnnPik=1Dk∩ （N（ns）≥ （一） Fns∩ （N（ns）≥ i） 。图塞赫-→Vi | Gi-1iFns∩ （N（ns）≥ i） i=ehh-→Vi | FnnPik=1DkiFns∩ （N（ns）≥ i） i=呃-→六、FnnPik=1Dk∩ （N（ns）≥ i） i=呃-→Vi | Gi-1.∩ （N（ns）≥ i） 一,而且呢?-→六、Fns∩ （N（ns）≥ i） 我=-→探视-→就Fns而言，Vi是可测量的∩（N（ns）≥ i） 。因此，E锰（t）Fns= EN（nt）Xi=1-→六、- E[-→Vi | Gi-1] nFns=nN（ns）Xi=1嗯-→Vi | Fns∩ （N（ns）≥ i） 我- EhE[-→Vi | Gi-1.∩ （N（ns）≥ i） ]Fnsi+氖N（nt）Xi=N（ns）+1-→六、- E[-→Vi | Gi-1]Fns∩ （N（ns）<i）=nN（ns）Xi=1-→六、- E[-→Vi | Gi-1.∩ （N（ns）≥ i） ]+nλn（t）- （s）E[-→六、Fns∩ （N（ns）<i）]- EhE[-→Vi | Gi-1]Fns∩ （N（ns）<i）i=nN（ns）Xi=1-→六、- E[-→Vi | Gi-1.∩ （N（ns）≥ i） ]= Mt（s）。E|Mn（t）|<∞ 直接遵循假设2。因此，Mn（t）是鞅。Mn（t）的二次方差如下：[Mn]t=ntnXj=1EλVji- 埃夫吉Gi-1i=tnXj=1λEVji- 2VjiEhVjiGi-1i+埃夫吉Gi-1i=tnXj=1λEVji- E埃夫吉Gi-1i≤tnXj=1λEVji,自从埃夫杰赫吉Gi-1ii=ehvjiehvjiGi-1iiGi-1i=EEhVjiGi-1i.因此E[[Mn]t]在n中是一致有界的，因为-→是平方可积的。设[T（An）]T表示Anup对时间T的总变化。那么E[[T（An）]T]也一致有界于n，asE[[T（An）]T]=tXj=1λE埃夫吉Gi-1i≤ tXj=1λehh | Vji|Gi-1ii（2.15）=tXj=1λE|Vj|<∞, （2.16）式中的不等式。（2.15）使用詹森不等式f或条件期望和Qn。

（2.16）遵循平方可积性假设。因此，用ταn=α+1满足条件8。此外，取Gn（xo e、 e）=Fn（x）=F（x），根据[40]很容易看出条件9是满足的。现在Qa（t）=0，当t=τaas在等式n中给出时。(2.10); τa>0，如果\'V-\'V-V<0；否则，qa（t）永远不会达到零，在这种情况下，定义τa=∞. τbis的情况类似。仍然需要找到极限方程的唯一解。(2.14). Z（t）whenZ（t）的方程-) > 0是具有解z（t）的一阶线性常微分方程=-a1+c（b+c（t∧ τ)) +z+ab1+cbb+c（t）∧ τ)1/cc/∈ {-1,0}（a日志（b）- （t）∧τ） ）+z/b- a日志b）·（b）-（t）∧ τ） ）c=-1，（z+ab）e-电汇- ab c=0。（2.17）根据该解，我们可以精确地解出τzexplicit，如等式n所示。(2.11). 注意，z（t）的表达式可能不是单调的，当c6=0时，可能有多个根。然而，很容易检查等式n中给出的解。（2.11）是最小的正r oot。例如，whenc/∈ {-1，0}，有两个根-b/c和（1+c）za+bc/（c+1）b1/（c+1）c-1.- b/c和当c=-1，有两个根b和b（1-E-扎布）。更多的计算证实，最小的正片是τz=（1+c）za+bc/（c+1）b1/（c+1）c-1.-b/c换c/∈ {-1,0}和τz=b（1-E-zab）对于c=-1.此外，τz<τb来自这些计算。

因此，τ=min{τa，τz}是定义明确的。下图显示了（Qb（t）、Qa（t）、Z（t））的流体极限，其中Qb（0）=Qa（0）=Z（0）=100，λ=1，\'V=\'V=1，\'V=0.6，\'V=0.8，\'V=0.7，\'V=0.8.0 10 20 40 50 70 80 90010203040507080901000时间队列长度图2：流体极限（Qb（t）、Qa（t）的说明，Z（t））.3波动分析上一节中的流体极限基本上是功能强大的大数定律，很可能被视为订单位置和相关队列的“一阶”近似值。在本节中，我们将继续获得这些过程的“二阶”近似值。我们将首先为队列推导出适当的扩散极限，然后分析这些过程如何围绕其相应的流动极限“流动”。此外，我们还将应用大偏差原则来计算这些过程偏离其流体极限的罕见事件的概率。3.1最佳出价和最佳出价队列的差异限制我们将采用与上一节相同的订单到达流程符号。然而，我们需要更有力的假设来进行扩散极限分析。关于某些混合条件下的多元中心极限定理（CLT）有丰富的文献，例如Tone[48]。然而，这些都不是具有混合条件的功能性CLT（FCLT）。在相关随机场的极限定理文献中，FCLT是在一些弱依赖条件下导出的，带有极限过程渐近协方差的显式公式。在这里，为{-→Vi}i≥1.我们将遵循[16]中的规定。读者可以在Bulinski和S hashkin[15，第5章，定理1.5]的框架中找到更多细节。假设12。

{N（i，i+1]}i∈zi是一个平稳的遍历序列，λ：=E[N（0，1]]∞ ,和∞Xn=1kE[N（0,1]- λ| F-∞-n] k<∞, （3.1）其中kY k=（E[Y]）1/2和F-∞-n:=σ（n（i，i+1），i≤ -n） 。假设13。让n∈ N和M（N）表示Rn上的实值有界坐标系非减Borel函数类。设| I |表示当I是集合时I的基数，| |·| |表示L∞-标准让{-→Vi}i≥1是R值随机向量的平稳序列，对于任何有限集I N、 J N、 还有f，g∈ M（6 | I |），一个哈斯科夫（f(-→六） ，g(-→VJ）≥ 0.此外，对于1≤ J≤ 6，vj=Var（vj）+2∞Xi=2Cov（Vj，Vji）<∞.评论请注意，i.i.d.序列{-→Vi}i≥1完全满足上述假设，如果-→Vis平方可积。不难看出假设12意味着假设1，假设13意味着假设2。特别是，定理11在假设12和13下成立。通过这些假设，我们可以确定集中和缩放的净订单流量-→ψn=(-→ψn（t），t≥0）由-→ψn（t）=√NN（nt）Xi=1-→六、- λ-→\'V nt. （3.2）在这里，-→\'V=（\'Vj，1≤ J≤ 6） =（E[Vji]，1≤ J≤ 6） ，是订单大小的平均向量。接下来，定义RB和Ran，分别为最佳出价和最佳询问重新调整时间的队列长度，bydRbn（t）=d（ψn（t）+λ¨Vt）-d（ψn（t）+λ′Vt）-d（ψn（t）+λ′Vt），dRbn（t）=d（ψn（t）+λ′Vt）-d（ψn（t）+λ′Vt）-d（ψn（t）+λ′Vt）。上述方程式的定义与流体极限方程式的定义一样直观。这里唯一的解释是，漂移项被添加回队列长度的动态中，因为-→ψ已重新居中。方程也可以写成更紧凑的矩阵形式，dRbn（t）Ran（t）！=A·d-→ψn（t）+λ-→V t, （3.3）用线性变换矩阵=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-1.. （3.4）然而，Eqn。（3.3）可能没有很好的定义，除非Rbn（t）>0和Ran（t）>0。

与流体分析一样，当其中一个队列消失时，可以截断流程。也就是说，defineιan=inf{t:Ran（t）≤ 0}，ιbn=inf{t:Rbn（t）≤ 0}，ιn=inf{ιan，ιbn}，（3.5）并通过drbn（t）Ran（t）！=美国在台协会≤ιn·d-→ψn（t）+λ-→V t用RBN（0）跑（0）=Rbn（0）跑（0）！。（3.6）现在，我们将展示定理14。假设3、12和13，对于任何T>0，我们有-→ψn=>-→ψd.=∑-→Wo λe--→\'V vdWo λe in（D[0，T]，J）。（3.7）这里是标准的标量布朗运动，Vd由等式n给出。(3.11),-→W是一个标准的六维布朗运动，与W无关，o 表示函数的组成，∑由∑∑T=（ajk）和ajk=（vjj表示j=k，ρj，kvvkf表示j 6=k，（3.8）和Vj=Var（Vj）+2给出∞Xi=2Cov（Vj，Vji），ρj，k=vvkcov（Vj，Vk）+∞Xi=2Cov（Vj，Vki）+Cov（Vk，Vji）!.（3.9）也就是说，-→ψ=（ψj，1）≤ J≤ 6） 是一个具有零漂移和方差协方差矩阵（λ∑T∑+λvd）的六维布朗运动-→\'V·-→“VT.”如果（Rbn（0），Ran（0））=> （qb，qa），然后对于任何T>0，RbnRan！=>RbRa！in（D[0，T]，J）。这里，到边界第一次击中时间的扩散极限过程（Rb，Ra）Tup是一个带漂移的二维布朗运动-→u和方差-协方差矩阵为-→u：=（u，u）T=λA·-→V和∑T:=A·（λ∑T∑+λvd-→\'V·-→“VT）·在。（3.10）证据。首先，定义NnbyNn（t）=N（nt）- nλt√n、 现在回想一下[8，197页]中的FCLT。对于平稳、遍历和平均零序（Xn）n∈Z、 这令人满意≥1kE[X | F-∞-n] k<∞, 我们有√NPn·i=1Xi=> W（·）在（D[0，T]，J）上，vd=E[X]+2P∞n=1E[XXn]<∞, 这里是标准的一维布朗运动。因为序列{N（i，i+1]}i∈Z统计假设12，Nn·- λn·√N=> vdW（·），in（D[0，T]，J）作为n→ ∞, 式中vd=E[（N（0，1）]- λ)] + 2∞Xj=1E[（N（0，1）]- λ） （N（j，j+1）- λ)] < ∞.