限价订单簿中订单位置和相关队列的动态

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英文标题：
《Dynamics of Order Positions and Related Queues in a Limit Order Book》
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作者：
Xin Guo, Zhao Ruan, Lingjiong Zhu
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Order positions are key variables in algorithmic trading. This paper studies the limiting behavior of order positions and related queues in a limit order book. In addition to the fluid and diffusion limits for the processes, fluctuations of order positions and related queues around their fluid limits are analyzed. As a corollary, explicit analytical expressions for various quantities of interests in a limit order book are derived.
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中文摘要：
订单头寸是算法交易中的关键变量。本文研究了限价订单簿中订单位置和相关队列的限价行为。除了过程的流体和扩散极限外，还分析了顺序位置的波动及其流体极限周围的相关队列。作为推论，推导出了极限订货簿中各种利益量的显式解析表达式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Dynamics_of_Order_Positions_and_Related_Queues_in_a_Limit_Order_Book.pdf (773.02 KB)

2022-5-8 05:46:56 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Fluctuations mathematica QUANTITATIV

极限订单库中订单位置和相关队列的动力学*赵阮+朱令炯2018年9月26日抽象订单头寸是算法交易中的关键变量。本文研究了限价订单簿中订单位置和相关队列的限价行为。除了流程的流体和扩散限制外，还分析了订单位置的影响及其流体限制周围的相关队列。作为推论，导出了极限订货簿中各种利益量的显式解析表达式。1简介在现代金融市场中，自动和电子订单驱动的交易平台已经极大地取代了传统的基于地板的交易；订单到达交易所并在LimitOrder Book（LOB）中等待执行。市场参与者可以发布两种类型的买入/卖出订单，即市场订单和限价订单。限价指令是指以给定的特定价格交易一定数量的证券（股票、期货等）的指令。限价订单被收集并发布在LOB中，LOB包含所有限价买入和卖出订单的数量和每个价格级别的价格。市场指令是指以LOB中可用的最佳价格买入/卖出一定数量股权的指令；然后将其与最佳可用价格匹配，立即进行交易，并相应更新LOB。限价单保留在LOB中，直到针对市场订单执行限价单或取消限价单；可随时取消，无需罚款。市场订单和限额订单的可用性为市场参与者提供了管理和平衡风险和利润的机会。

因此，金融数学中增长最快的研究领域之一集中在建模LOB动态和/或最小化库存/执行风险，同时考虑LOB的微观结构。一些例子包括[3,4,6,7,17,18,22,21,26,27,28,38,41,42,45,47,50]。这些优化问题的核心是未执行限制订单的库存风险和市场订单的成本之间的权衡。虽然计算市场订单的成本和费用很简单，但评估限价订单的库存风险要困难得多。分析的关键是LOB中订单位置的动态。因为*加州大学伯克利分校工业工程与运筹学系，加利福尼亚州伯克利94720-1777。电子邮件：xinguo@berkeley.edu.电话：1-510-642-3615。+加州大学伯克利分校工业工程与运筹学系，加利福尼亚州伯克利94720-1777。电子邮件：zruan@berkeley.edu.——明尼苏达大学数学学院，明尼苏达州明尼阿波利斯市，邮编55455。电子邮件：zhul@umn.edu.price-时间优先（即，价格最优的订单优先和先进先出）在大多数交易所，根据监管指南，更好的订单位置意味着等待时间更短，订单执行的可能性更高。在实践中，减少交易的低延迟并获得良好的订单头寸是高频交易公司之间技术竞争背后的驱动力之一。Moallemi和Yuan[44]最近的实证研究表明，订单位置的值（如果定义适当）具有与半个spr相同的数量级。的确，分析订单头寸是研究算法交易策略的关键组成部分之一。

了解订单位置和相关队列长度不仅可以为“近期”的交易方向提供有价值的见解，还可以为订单提供额外的风险评估——如果排在任何队列的前面都是好事，那么排在队列的前面就更好了。因此，了解和分析订单位置及其相关队列的动态非常重要。这是我们工作的重点。AparticularpositionA market SellOrderA取消安装IMITBID orderQueueHeadQueue TailFigure 1：订单发生在最佳出价队列中。我们的贡献。队列中订单位置的动态将受到市场订单和取消的影响，其在队列中相对位置的动态也将受到限制订单的影响（见图1）。在不失去一般性的情况下，我们将关注最佳出价队列中的一个订单位置，以及最佳出价和询问问题。由于没有市场订单，其他地区的订单头寸将类似且更简单。首先，我们推导了订单位置和相关的最佳出价和询问队列的流量限制；从某种意义上说，这是过程的一阶近似值。我们证明（定理11和定理31），订单位置接近零的速率与订单到达敏感度的平均值、市场订单的平均大小和队列中取消订单的“修改”平均大小之和成正比；这种修改取决于订单取消的不同假设。我们还推导了执行订单位置所需的（平均）时间。推导过程分为两步。第一步是为相关的出价/询问队列建立功能强大的成员定律；这很简单。

第二步是直观的，但需要进行细致的分析，包括将相应的c`adl`ag空间中的随机过程的收敛关系与Skorokhod拓扑传递给积分方程。下一步，我们继续进行ord er位置和相关问题的二阶近似。第一步是为出价和询问队列建立适当形式的差异限制。我们利用随机领域的思想建立了多元泛函中心极限定理（FCLT）。在适当的技术条件下，我们证明了（定理14），队列是二维布朗运动，其均值和协方差结构由序大小和序强度的统计量明确给出。第二步是将FCLTs和fluidlimit结果结合起来，以表明（定理15）顺序位置的函数是具有“均值回归”的高斯过程。平均回复水平基本上是订单位置相对于订单簿净流量修改的队列长度的流动限制，其定义为限制订单减去市场订单和取消。平均值回复的速度与阶比强度和取消率成正比。我们的结果是基于订单到达过程和订单规模的相当一般的技术假设（平稳性和遍历性）。例如，订单到达过程（第4节）可以是泊松过程或霍克斯过程，这两种过程都广泛用于LOB建模；例如，参见Abergel和Jedidi[2]以及Huang、Lehalle和d Rosenbaum[33]。实际上，研究订单头寸可以更直接地估计订单头寸的“价值”，这在算法交易中很有用。

事实上，基于流体极限，我们推导出（第4节）订单执行的平均时间和任何相关队列耗尽的平均时间之间的显式分析比较。这是一个重要的信息，尤其是当与价格上涨概率的估计相结合时。后者是LOB的一个核心指标，已在Avellaneda和Stoikov[6]以及Cont和de Larrard[20,19]中针对特殊情况进行了研究。此外，我们从波动分析中得出了队列耗尽的起始时间、预期订单执行时间、订单执行时间和首次命中时间的波动的显式表达式。此外，通过大偏差理论，我们推导了队列偏离其流体极限的尾部概率。相关工作。我们的分析背后的主要思想是分析LOB和多类优先级队列之间的原始连接，因为带有取消的LOB让人想起了放弃队列；例如，见沃德和格林[51,52]。在数学金融文献中，有大量关于在排队框架中建模LOB dyn amics并为队列长度或订单价格确定适当的扩散和流动限制的论文。这项工作可以追溯到Kruk[39]，他在拍卖环境中建立了价格的扩散和流动限制，并表明最佳出价和出价队列在第一象限收敛到反映二维布朗运动。Cont和de Larrard[19]后来对重交易条件下的best Bid和best ask队列得出了类似的结果，他们还确定了在相同的“缩减形式”方法下，在队列长度上的固定条件下，价格动态的差异限制[20]。

Abergel和Jedidi[1]通过一个具有独立泊松顺序流动过程的连续时间马尔可夫链对订单簿的容量进行了建模，并表明中价具有扩散极限，订单簿是遍历的。Horst和Paulsen[32]在一个非常普遍的主题设置下，研究了包括价格和数量在内的整个限额订单簿的流量限额。他们的分析在Horst和Kreher[31]中得到了进一步扩展，其中theorder动力学可能取决于LOB的状态。在不同的时间和空间比例下，Blanchet和Chen[9]得出了每交易过程价格的纯跳跃极限，以及价格传播过程的跳跃差异极限。我们的结果之一，定理14，主要与[19]中的差异极限有关，但又有所不同。这是不同缩放方法的结果。为了让美国分析订单头寸的动态，我们需要区分市场订单和取消订单的限制订单，其中[19]订单流程是从限制订单、市场订单和取消订单汇总而来的。由于这种聚合，他们可以使用经典排队论中“重极限”的主要思想，并假设平均顺序流量由方差控制。虽然这一假设[19，假设3.2]对他们的分析至关重要，但在我们的环境中，它并不适用于每种独立订单类型。另一方面，如果我们强加这一假设，我们的结果将减少到他们的结果，因为等式n中的第二项。（3.7）将完全消失。据我们所知，顺序位置的动力学及其与队列长度的关系是我们工作的重点，以前还没有研究过。

事实上，经典的queuingtends更多地关注整个系统的稳定性，而不是分析单个请求。算法交易中的大多数现有建模方法都忽略了订单头寸，对其执行概率的影响非常有限。例如，这样的概率是在Cont和de Larrard[19,20]以及Guo，de Larrard和Ruan[29]中假设为常数，或者在Hultand Kiessling[34]中将整个LOB建模为马尔可夫链进行数值计算，或者在Cont和Stoikov[34]中使用齐次泊松过程对订单进行分析，和Talreja[22]。2订单位置和相关队列的流体极限2。1注释在不丧失一般性的情况下，考虑最佳出价和出价队列。然后有六种类型的订单：最佳出价订单（bb）、最佳出价市场订单（mbb）、最佳出价取消订单（cbb）、最佳任务（ba）、最佳任务市场订单（mba）和最佳任务取消订单（cba）。用N=（N（t），t表示订单到达过程≥ 0）具有到达时间{Di}i≥1.此处（t）=最大值（m:mXi=1Di）≤ t） 。对于sim plicity，假设不同类型的订单不会同时到达。将这六种类型中任何一种的顺序到达视为一个点过程，并定义一个六维随机向量序列{-→Vi}i≥1.第i个订单在哪里-→Vi=（Vbbi，Vmbbi，Vcbbi，Vbai，Vmbai，Vcbai）：=（Vi，Vi，…，Vi），表示六种订单类型的大小；根据假设，只有一个条目-→这是积极的。例如，-→V=（0,0,0,4,0,0）表示第五个订单的大小为4，类型为ba，即在最佳要求下的限制订单。

在本文中，我们只考虑c`adl`ag过程。为了便于在正文中引用，我们将使用以下符号D[0，T]是[0，T]上一维c`adl`ag函数的空间，而DK[0，T]是[0，T]上K维c`adl`ag函数的空间。C接下来，除非另有规定，否则该空间中的收敛是在配备了Jtopology的DK[0，T]中弱收敛的意义上L∞[0，T]是函数f的空间[0，T]→ RK，配备uniformconvergence拓扑AC[0，T]是函数f[0，T]的空间→ 绝对连续且f（0）=0AC+[0，T]是非递减函数的空间f:[0，T]→ Rk是绝对连续的，f（0）=0。同样，我们定义了[0，∞), DK[0，∞), L∞[0, ∞), AC[0，∞), AC+[0，∞) 对于T=∞.2.2技术假设和准备为了研究订单位置和相关队列的流量限制，我们首先需要引入一些技术假设。假设1。{Di}i≥1是一个正随机变量的平稳数组，带有D+D+·Dii→λ、 很可能就像我→ ∞, 其中λ是一个正常数。假设2。{-→Vi}i≥1是平方可积随机向量的平稳数组-→五+-→V+··+-→七、→-→“V，很可能就像我一样→ ∞, 哪里-→\'V=（\'V，\'V，\'V，\'V）是一个常数向量。假设3。{Di}i≥1独立于{-→Vi}i≥1.现在，我们定义了一个新流程-→具体如下：，-→Cn（t）=nN（nt）Xi=1-→Vi.（2.1）我们称之为这样一个过程-→C按比例计算的净订单流量过程。定理4。假设1和2，对于任何T>0，-→Cn=> λ-→\'ve，in（D[0，T]，J）作为n→ ∞,其中e是身份函数。证据

首先，我们定义了规模化过程SDnand-→SVnbySDn（t）=n新界Xi=1Di，-→SVn（t）=n新界Xi=1-→Vi.然后根据假设1和Glynn and Whitt[25，定理5]，大数定律（SLLN）也遵循，即limi→∞D+D+···+Dii=λ，a.s.然后通过SLLN和FSLLN的等价性[25，定理4]，很明显，对于任何T>0，SDn=nn·Xi=1Di=>eλ，a.s.in（D[0，T]，J）作为n→ ∞.而且,-→Vis square可积，因此E[Vj]<∞ 一个人≤ J≤ 6.注意{Vji}i≥1是静止的，应用Birkhoff的遍历定理[11，定理6.28]得出tonnXi=1Vji→ E[Vj | Ij]，a.s.作为n→ ∞,其中ij是{Vji}i的不变σ-代数≥1.鉴于{Vji}i的WLLN≥1，它遵循e[Vj | Ij]=“Vj”，和nnxi=1Vji→“Vj，a.s.作为n→ ∞.因此，在[25，Theorem 4]中，-→SV，jn=nn·Xi=1Vji=>\'Vje，a.s.in（D[0，T]，J）as n→ ∞因为{SDn}n的极限过程≥1和{SV，jn}n≥1, 1 ≤ J≤ 6是确定性的，那么根据[53，定理11.4.5](-→SVn，SDn）=>-→\'ve，eλ, a、 s.in（D[0，T]，J）作为n→ ∞.最后，根据[53，定理9.3.4]，-→Cn=> λ-→\'ve，in（D[0，T]，J）作为n→ ∞.接下来，我们继续研究最佳出价中的订单位置，以及最佳出价和最佳出价的相关队列。我们进一步假设假设5。取消在每个队列上均匀分布。我们将看到，关于取消的假设并不重要，除了影响订单位置流体限制的准确形式。