马尔可夫订货本模型的遍历性和扩散性

我们将修改订单视为在很短的时间间隔内到达的取消订单和插入订单的组合。注意，在（1）中，fi（q，n）和gi（q，n）对于不同的i和q有不同的含义≥ ibestask，fi（q，n）表示n号限售订单的到达率，gi（q，n）表示n号限售订单的取消率和sizen号限售订单的到达率之和。当我≤ 在ibestbid中，fi（q，n）和gi（q，n）的角色被切换。还要注意的是，q±neis并不总是在状态空间中Ohm 即使q∈ Ohm. 因此，方程式（1）中所需的函数F和giarenot的一些值被假定为等于零。此外，为了不存在吸收态，我们假设fi（q，n）+gi（q，n）> 0.常见跳跃参考价格可被视为“有效”价格的共识值，并以α（0.5+Z）表示离散值。实际上，该参考价格是基于两组信息建立的：LOB的当前状态和历史订单流量。我们认为pref是以马尔可夫的方式移动的，所以它的动力学只取决于当前的信息，即LOB的当前状态。在我们的框架中，我们将每次的价格涨幅限制为一个刻度。我们使用两个函数u，d：Ohm → R+分别描述正跳和负跳的速率：Xq∈OhmQ（Q，p），（Q，p+α）=u（Q）Xq∈OhmQ（Q，p），（Q，p-α） =d（q）Xq∈Ohm对于n，Q（Q，p），（Q，p±nα）=0≥ 2.

（2） 为了理解等式（2），让我们首先考虑以下简单示例，其中LOBstate信息通过Pref的当前值和中间价格pmid之间的差异进行总结：示例1。imid=（ibestbid+ibestask）/2，u（q）=θ+θmax（0，α（imid）- 0.5）d（q）=θ+θmax（0，-α（imid+0.5）），带θ≥ 0和θ表示pmid调整强度的正常数。在上面的例子中，我们假设参考价格上涨率取决于Pref当前值与pmid的偏差。事实上，pmidis通常被认为是由其当前状态暗示的LOB中心的近似值。我们还可能包括其他LOB信息，如在确定u（q）和d（q）时，QibestBid和Qibestaskwhen的可用数量。这些额外的变量增加了我们模型的复杂性，但使其更现实。备注2.1。在前面提到的队列反应模型中，预处理的更改由修改pmid的订单簿事件触发，而在等式（2）中，它们由订单簿状态驱动。虽然队列反应模型不能确切地视为本文所述框架的一个特例（见第5节），但第3节和第4节所示的大多数理论结果仍然成立（在一些假设中有一些小的修改）。特别是，我们可以使用与本文使用的方法几乎相同的方法证明队列反应模型中参考价格的差异限制。一旦pref发生变化，qi的值就会立即切换到它的一个邻居的值（如果pref增大，则向右切换；如果pref减小，则向左切换）。当我们在每一侧只保持K极限时，两个边界分布π-KandπKare用于在Q处生成新的队列大小-K（当前置减小时）和QK（当前置增大时）。

为了可能包含外部信息，我们还假设在概率θreinit下，LOB状态向量q（t）在prefix改变时从某个分布（πincif preincreases，πdecif predfreases）重新绘制。如inHuang、Lehalle和Rosenbaum（2015）所示，价格动态纯粹是内生的，仅由订单流驱动的模型通常无法再现价格的一些重要宏观特征，如波动性。因此，参数θreinit可以理解为由于外部信息引起的价格变化的百分比，在这种情况下，市场参与者会非常迅速地调整他们的订单，使其围绕新的参考价格流动，就好像新的订单状态是从其（不变）分布中得出的（遍历性条件将在下一节中讨论）。问∈ Ohm, 我们写q+=[q]-K+1。。。，Q-1，q。。。，qK]，q-= [q]-KQ-1，q。。。，qK-1] ，[q+，l]=[q-K+1。。。，Q-1，q。。。，qK，l]和[l，q]-] = [l，q-KQ-1，q。。。，qK-1]. 在上述假设下，我们对l∈ Z和q，q，q∈ Ohm 这样q0+6=q+和q00-6=q-:Q（Q，p），（[Q+，l]，p+α）=（1）- θreinit）u（q）πK（l）+θreinitu（q）πinc（[q+，l]）q（q，p），（q，p+α）=θreinitu（q）πinc（q）q（q，p），（[l，q-],P-α)= (1 - θreinit）d（q）π-K（l）+θreinitd（q）πdec（[l，q-])Q（Q，p），（Q，p-α） =θreinitd（q）πdec（q）。（3） X（t）方程（1）、（2）和（3）的最小生成矩阵给出了过程X（t）的最小生成矩阵qo的完整描述，总结如下假设。假设2.1。设q，q，q，~q∈ Ohm, p、 ~p∈ α（0.5+Z），n∈ N+，l∈ Z是这样的，q0+6=q+和q00-6=q-.

过程X（t）是一个不可约的马尔可夫跳跃过程，具有非周期嵌入链，其最小生成矩阵Q的形式如下（具有2K函数fi，gi：Ohm ×N+→ R+和两个功能u，d：Ohm → R+：Q（Q，p），（Q+nei，p）=fi（Q，n）Q（Q，p），（Q-nei，p）=gi（q，n）q（q，p），（[q+，l]，p+α）=（1）- θreinit）u（q）πK（l）+θreinitu（q）πinc（[q+，l]）q（q，p），（q，p+α）=θreinitu（q）πinc（q）q（q，p），（[l，q-],P-α)= (1 - θreinit）d（q）π-K（l）+θreinitd（q）πdec（[l，q-])Q（Q，p），（Q，p-α） =θreinitd（q）πdec（q）q（q，p），（q，p）=-X（~q，~p）∈Ohmxα（0.5+Z），（q，p）6=（q，p）q（q，p），（q，p），q（q，p），（q，p）=0，否则。（4） 注意，在假设（2.1）下，过程X（t）的动力学在LOB中心位置的平移下是不变的：其最小矩阵生成器Q满足：Q（Q，p），（Q，p+β）=Q（Q，p），（Q，p+β），对于任何Q，Q∈ Ohm, p、 p∈ α（0.5+Z）和β∈ αZ.我们还可以注意到，在我们的框架中，订单状态过程q（t）本身也是一个连续时间马尔可夫跳过程，下一节将讨论其遍历性。2.3与现有模型的比较我们的方法与文献中现有的马尔可夫模型之间的第一个主要区别是在订单动态中引入了状态依赖。大多数当前的订单簿模型遵循“零智能”框架，使用泊松流处理订单到达过程。泊松假设显然是不现实的，例如，参见Huang、Lehalle和Rosenbaum（2015）的实证结果。在我们的框架中，我们建议通过平均场博弈方法纳入市场参与者的战略行为，假设他们的决策取决于潜在的“有效”价格偏好和整体状态向量q（t）。

还请注意，等式（1）允许我们在订单簿的形状中有随机大小的跳跃，而在其他现有模型中，通常假设跳跃大小恒定。我们还介绍了一种新的LOB表示方法，使用一个唯一的参考价格pref。大多数模型使用最佳出价和最佳要价作为两个参考价格，用于索引买卖限额。在这种模型中，这些参考价格直接由订单状态决定。特别是，订单状态的变化会立即反映在这些价格的价值上。在我们的框架中，前缀不一定是从bookstate命令推导出来的。因此，我们可以假设订单状态的变化会以一定的延迟率影响Pref值（方程式（2）中引入的函数u和d）。由于这种原始的表示，我们可以自然地将订单动态分解为两部分：连续时间多维排队系统（方程（1））和其中心的动态，即参考价格（方程（2）和（3））。与Huang、Lehalle和Rosenbaum（2015）引入的队列反应模型相比，前缀不再受买卖价差的限制。通过选择合适的价格跳跃率函数u和d，这一理想特征使我们有可能将价格动态中的外生部分和内生部分分开。例如，利用示例1中的函数u和d，我们可以将θ解释为Pref动态中的外生部分，并将θ解释为推动Pref向当前中间价格水平移动的内生影响的强度。3遍历性在本节中，我们将在我们的框架中讨论遍历性属性。为此，我们对函数fi，gi，u和d做了一些额外的假设∈ A | Y（0）=x]是连续或离散时间马尔可夫过程Y与状态空间Y在时间t的转移概率。

在这项工作中，我们说，如果存在一个不变分布π，r的向量函数V>1，则过程Y是V-一致遍历的∈ （0,1）和R>∞ 这样对anyx来说∈ Y和t∈ R+（或离散时间的N+）| | Pt（x，.）- π(.)||五、≤ RrtV（x），（5）我们写| |||V关于签名度量的V-范数，参见Meyn和Tweedie（1993年，2009年）。在连续时间内，证明这种性质的主要思想是设计一个合适的Lyapunov函数V:Y→ (1, ∞), 对于某些γ>0和B>0，满足以下负漂移条件：QV（y）：=Xy6=yQyy[V（y）- V（y）]≤ -γV（y）+B.然后根据Meyn和Tweedie（1993）中的定理6.1，马尔可夫过程y是非爆炸的且V一致遍历的。此外，根据Meyn和Tweedie（1993）的定理4.2，它是正的Harris循环。请注意，Abergel和Jedidi（2011）中使用了相同的方法，以显示零智能模型的遍历性。正如引言中提到的，LOB的遍历性在这里意味着状态向量q存在唯一不变分布。这与解释LOB状态的程式化经验分布有关。正如我们将在第4节中看到的那样，遍历性分析是证明参考价格过程差异极限的基础。3.1当在方程（4）中假设u（q）=d（q）=0时，首先讨论过程q（t）的V-一致遍历性。回想一下，在定义队列动力学时，未使用的fi（q，n）和gi（q，n）值，即q±nei/∈ Ohm, 设置为零。按照0/0=0的约定，我们|V（x）|→ +∞ as | | x | |→ ∞.定义*i（q）：=Xnfi（q，n）g*i（q）：=Xngi（q，n）li（q，n）：=fi（q，n）f*i（q）ki（q，n）：=gi（q，n）g*i（q）Gf，i，q（z）：=∞Xn=1znli（q，n）Gg，i，q（z）：=∞Xn=1znki（q，n）。因此，当f*i（q）>0（分别为g*i（q）>0），li（q，.）（分别为。

ki（q，））是具有矩母函数Gf，i，q（z）（分别为Gg，i，q（z））的概率度量onN+。我们做出以下四个假设。假设3.1。对于任何订单簿状态q和任何i≥ ibestask，gi（q，n）=0表示任何n>QAND表示任何订单状态q和任何i≤ ibestbid，fi（q，n）=0表示任何n>-气。假设3.2。存在z*> 对于任何q和i，Gf，i，q（z*) < ∞ 和Gg，i，q（z）*) <∞. 此外，存在L>0，因此对于任何i，limz→1+supq[f*i（q）Gf，i，q（z）1i>ibestbid+g*i（q）Gg，i，q（z）1i<ibestask]<L.假设3.3。存在r>0和U>1这样的limz→1+sup（q，i）：qi>U，i≥伊贝斯塔斯克[f]*i（q）- G*i（q）1- Gg，i，q（z）-1） Gf，i，q（z）- 1] < -rlimz→1+sup（q，i）：qi<-U、 我≤ibestbid[g]*i（q）- F*i（q）1- Gf，i，q（z）-1） Gg，i，q（z）- 1] < -r、 （6）假设3.4。对于任何z>1，Bf（z）：=inf（q，i）：qi>U，i≥伊贝斯塔斯克（Gf、i、q（z）- 1） >0Bg（z）：=inf（q，i）：qi<-U、 我≤ibestbid（Gg，i，q（z）- 1) > 0.为了理解这些假设的实际意义，让我们考虑以下示例，其中假定纯订单簿状态跳跃的大小恒定为1。在这种情况下，上述四个假设可以改写如下，并且更容易理解。例2。订单规模不变的LOB模型为了n≥ 2，对于任何q，fi（q，n）=gi（q，n）=0∈ Ohm.o 存在L>0，因此对于任何i∈ {-KK} q∈ Ohm,fi（q，1）1i>ibestbid+gi（q，1）1i<ibestask<L.o存在r>0和U>1这样的情况：qi>U，i≥伊贝斯塔克[fi（q，1）- gi（q，1）]<-rsup（q，i）：齐<-U、 我≤ibestbid[gi（q，1）- fi（q，1）]-r、 基本上，假设3.1表示，在单队列更新事件中，出价/出价限制不能变成出价/出价限制，也就是说，队列大小不能在一次跳转中恢复其符号。

从示例2中，我们可以看到假设3.2基本上表明，在bid和ask端，orderinsertion过程的总强度相对于LOB的状态保持一致有界。假设3.3对系统的遍历性最为重要，当个体队列大小大于某个阈值时，它会迫使个体队列大小| qi |减小。从这些假设出发，我们得到了马尔科夫过程q（t）在附录中证明的定理。定理3.1。当u=d=0时，在假设2.1、3.1、3.2、3.3和3.4下，连续时间马尔可夫跳跃过程q（t）是非爆炸的、V-一致遍历的和正的哈里斯循环。现在考虑由q（n）=q（Jn）定义的嵌入马尔可夫链q（n），其中Jn是第n次跳跃的时间，q（Jn）是该事件后LOB的状态。对嵌入马尔可夫链的研究是在我们的环境中获得价格过程差异性的一个重要步骤。我们写*i（q）=f*i（q）Pi[f*i（q）+g*i（q）]，b*i（q）=g*i（q）Pi[f*i（q）+g*i（q）]，表示队列大小的增加和减少比例，并用以下假设替换假设3.3。假设3.5。存在r>0和U>1这样的limz→1+sup（q，i）：qi>U，i≥伊贝斯塔克[a]*i（q）- B*i（q）1- Gg，i，q（z）-1） Gf，i，q（z）- 1] < -rlimz→1+sup（q，i）：qi<-U、 我≤ibestbid[b]*i（q）- A.*i（q）1- Gf，i，q（z）-1） Gg，i，q（z）- 1] < -r、 下面的定理在附录中得到了证明。定理3.2。当u=d=0时，在假设2.1、3.1、3.2、3.4和3.5下，嵌入离散时间马尔可夫链q（n）是V-一致遍历且正Harris循环的。这个假设并不是强制性的，但它是现实的，而且在技术上非常方便。3.2一般情况我们现在对u和d不再固定为0的情况感兴趣。回想一下，q（n）代表第n个事件后LOB的状态，pref（n）是第n个事件后的参考价格（LOB的中心）。

因此，我们在此考虑参考价格增量c（n）的过程（因为参考价格本身当然不是遍历的），定义为第n个事件的参考价格变化：c（n）=pref（n）- pref（n）- 1） 嵌入链Y（n）=（q（n），c（n）），n∈ N、 c（0）为艺术起始值。过程Y（n）显然仍然是马尔可夫过程。对于某些z>1，letVz（[q，c]）=KXi=-K、 i6=0z | qi|-我们对一般情况做了两个额外的假设。假设3.6。存在z>1和Lπ>0，因此对于Qinc，Qdec，QK，Q-K四个随机变量，比如Qinc~ π公司~ πdec，QK~ π与Q-K~ π-K:E[Vz（[Qinc，c]）]+E[Vz（[Qdec，c]）]+E[z|QK|-U] +E[z | Q-K|-U]≤ Lπ。假设3.7。存在一个有限集W Ohm 这样，在任何订单簿状态下，参考价格跳跃比例的上限q都小于Ohm/W:supq∈Ohm/Wu（q）+d（q）Pi[f*i（q）+g*i（q）]+u（q）+d（q）<1。假设3.6是技术性的，并且对四个分布πinc、πdec、πKandπ施加了一些规律性-K.假设3.7确保参考价格变化不是唯一可能的事件，但一定数量的LOB州除外。在这些假设下，我们在附录中证明了嵌入链Y（n）的遍历性定理。定理3.3。在假设2.1、3.1、3.2、3.4、3.5、3.6和3.7下，嵌入的离散时间马尔可夫链Y（n）=（q（n），c（n））是V-一致遍历且正Harris循环的。4扩展限制我们现在对参考价格过程的扩展限制感兴趣。让我们来看看这个过程第i次跳跃的时间。LetN（t）=inf{n，Jn≤ t} 是时间t之前的事件数，使用约定inf{} = 0.设Z（n）为第n个事件之前的累计价格变化，即Z（0）=0，对于n≥ 1:Z（n）=nXi=1c（i）。我们有z（N（t））=pref（t）- pref（0）。因此，它代表t重新居中其起始值时的参考价格。

在本节中，我们展示了Z（N（t））在N趋于一致时的不同行为。再次考虑嵌入链Y（n）=（q（n），c（n））。从定理3.3可以看出，Y（n）对不变分布π是遍历的*. 对于事件时间^S（n）（t）下的重新标度价格过程，我们有以下定理：=Z（bntc）√n、 定理4.1。在假设2.1,3.1,3.2,3.4,3.5,3.6和3.7下，如果Eπ*[c（0）]=0，则级数σ=Eπ*[c] +2∞Xn=1Eπ*[ccn]，（7）绝对收敛。此外，如果Y（0）~ π*, 我们在inD[0]定律中有如下收敛性，∞):^S（n）（t）n→∞→ σB（t），其中B（t）是标准布朗运动。证据该定理是Billingsley（2009）中定理19.1的直接应用。事实上，序列Cn在Billingsley（2009）的意义上显然是平稳的和遍历的（例如，因为它是平稳的和混合的）。此外，它有一个有限的二阶矩，对于所有n，Eπ*[cn]=Eπ*[c] =0。定理4.1表明，在事件时间内，参考价格过程的大范围极限是平行运动。然而，最相关的问题是日历时间内参考价格的大规模限制。因此，我们现在考虑的是过程S（n）（t）=Z新界北√n、 为了证明S（n）（t）的差异性，我们需要最后一个假设，即两个事件之间等待时间的预期值的界。假设4.1。存在一些m>0，例如infq∈OhmXi（f）*i（q）+g*i（q））+u（q）+d（q）> m、 设τnbe为第n次和（n）次之间的到达时间-1） -马尔可夫过程X的第次跳跃。然后，我们在附录中证明了以下定理，即日历时间内参考价格的长期行为。定理4.2。在假设2.1、3.1、3.2、3.4、3.5、3.6、3.7和4.1下，过程（q（n）、c（n）、τ（n））为正。