马尔可夫订货本模型的遍历性和扩散性

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英文标题：
《Ergodicity and diffusivity of Markovian order book models: a general
  framework》
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作者：
Weibing Huang and Mathieu Rosenbaum
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We present a general Markovian framework for order book modeling. Through our approach, we aim at providing a tool enabling to get a better understanding of the price formation process and of the link between microscopic and macroscopic features of financial assets. To do so, we propose a new method of order book representation, and decompose the problem of order book modeling into two sub-problems: dynamics of a continuous-time double auction system with a fixed reference price; interactions between the double auction system and the reference price movements. State dependency is included in our framework by allowing the order flow intensities to depend on the order book state. Furthermore, contrary to most existing models, the impact of the order book updates on the reference price dynamics is not assumed to be instantaneous. We first prove that under general assumptions, our system is ergodic. Then we deduce the convergence towards a Brownian motion of the rescaled price process.
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中文摘要：
我们提出了一个通用的马尔可夫订单建模框架。通过我们的方法，我们旨在提供一种工具，使我们能够更好地了解价格形成过程以及金融资产微观和宏观特征之间的联系。为此，我们提出了一种新的订单书表示方法，并将订单书建模问题分解为两个子问题：具有固定参考价格的连续时间双拍卖系统的动力学；双重拍卖系统与参考价格变动之间的相互作用。通过允许订单流强度依赖于订单簿状态，我们的框架中包含了状态依赖性。此外，与大多数现有模型相反，订单簿更新对参考价格动态的影响不是瞬时的。我们首先证明，在一般假设下，我们的系统是遍历的。然后我们推导了重新标度价格过程的布朗运动收敛性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

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PDF下载：
--> Ergodicity_and_diffusivity_of_Markovian_order_book_models:_a_general_framework.pdf (434.58 KB)

2022-5-8 05:52:31 上传

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关键词：马尔可夫 遍历性 Quantitative interactions Econophysics

马尔可夫图书模型的遍历性和差异性：通用框架Weibing Huang1,2和Mathieu RosenbaumLPMA，皮埃尔和玛丽·居里大学（巴黎6）开普勒-切弗鲁克斯2018年9月17日摘要我们提出了订单图书建模的通用马尔可夫框架。通过我们的方法，我们旨在提供一种工具，以便更好地理解价格形成过程以及金融资产微观和宏观特征之间的联系。为此，我们提出了一种新的订单书表示方法，并将订单书建模问题分解为两个子问题：具有固定参考价格的连续时间双拍卖系统的动力学；双重拍卖系统和参考价格变动之间的相互作用。我们的框架中包含了状态依赖性，允许订单流量强度依赖于订单状态。此外，与大多数现有模型相反，订单簿更新对参考价格动态的影响不是瞬时的。我们首先证明，在一般假设下，我们的系统是遍历的。然后我们推导了重新标度价格过程的布朗运动收敛性。1简介如今，大多数金融交易所使用限额订单簿（LOB）机制。在这些由订单驱动的市场中，市场参与者将其买卖订单发送到一个连续时间双拍卖系统，在该系统中，订单根据其价格和时间优先级进行匹配。了解LOB动态是市场微观结构领域的一个基本问题，并在优化执行、电子交易算法设计、最小化市场影响成本、短期预测和监管方面带来了许多有趣的应用。近年来，许多著作致力于描述订单簿动力学。

订单簿模型基本上可以分为两种类型：经济模型，其中一种侧重于个体代理人的行为及其最优决策，例如Palour（1998）、Foucault（1999）和Ro,su（2009）；统计模型，其中顺序流被视为随机过程，见史密斯、法默、吉勒莫和克里希纳穆尔西（2003年）、康特、斯托伊科夫和塔尔雷亚（2010年）、阿伯格尔和杰迪迪（2011年）、康特和德拉拉德（2013年）、莱克纳、里德和斯托伊科夫（2013年）、拉夏贝尔、拉斯利、莱哈勒和狮子（2014年）、拜耳、霍斯特和丘（2015年）以及阿伯格兰·杰迪迪（2015年）。除了Abergel和Jedidi（2015）的显著例外，作者考虑了霍克斯型动力学的情况，这些模型通常假设订单到达过程的泊松流动。这种假设主要是出于技术原因，因为众所周知，它与市场数据不一致。在Huang、Lehalle和Rosenbaum（2015）中，作者提议用一种依赖于状态的方法取代泊松假设，其中水流的强度取决于LOB的状态。该模型被称为“队列反应”模型，为订单簿动态提供了新的见解，例如市场参与者的行为取决于订单簿的不同状态、LOB的渐近形式和买卖价差分布。对于从业者来说，从复杂交易算法的交易成本分析角度来看，它也是一个非常相关的工具。在本文中，我们的目标是将队列反应模型扩展到一个更通用的框架，其中可以包括大多数现有的统计模型（最多可以进行一些小的修改）。我们的目标是给出一些关于系统遍历性以及价格过程渐近标度极限的理论结果。在LOB中，价格水平通过称为滴答值（用α表示）的最小价格变化单位进行离散。

市场参与者可以将他们的买入/卖出订单放在任何一个刻度值的水平上，这些订单要么留在LOB中（价格低于当前最佳卖出价格的买入订单，要么价格高于当前最佳买入价格的卖出订单，这类订单称为“限价订单”），或者与LOB中的现有订单匹配（这种类型的订单称为“市场订单”）。顾名思义，LOB由所有不匹配的限价单组成，可以被视为当前微观结构供需在不同价格水平上的（粗略）近似值。当前的统计模型在表示LOB的方式上有所不同。在Cont、Stoikov和Talreja（2010）中，价格网格应该是有限的（nminα，…，nmaxα），LOB由nmax表示-nmin+1维向量，记录每种价格水平下的买卖数量。在这种表示法中，不同的限额由其绝对价格水平进行索引。实际上，为了覆盖日内价格范围[pmin，pmax]，状态空间的维度必须至少为tpmax-pminα+1，这通常是一个非常大的数字。表示订单簿状态的另一种方法是使用相对索引方法。根据Smith、Farmer、Gillemot和Krishnamurthy（2003）的零情报模型，Abergeland Jedidi（2011）提议使用最佳出价和最佳要价作为两个参考价格来衡量限额。在这种情况下，LOB由以下元素组成：两个参考值pbestbid和pbestask，以及它们周围的限制，即两个K维向量a（用于ask侧）和b（用于bid侧）。

向量a=[a，…，aK]记录价格水平[pbestbid+α，…，pbestbid+Kα]的限额大小，而向量b=[b，…，bK]记录价格水平[pbestask]的限额大小-α, ..., 普贝斯塔克-Kα]。在实践中，对于大多数交易目的而言，观察五个滴答声的市场深度通常被认为是足够的。因此，对于排列大小为5个刻度的典型股票，K的值通常应为10个刻度，以便捕捉LOB的基本信息。因此，这两个参考价格的使用显著降低了状态空间的维度。请注意，在这种表示法中，给定价格水平下的限额指数不再是常数。因此，必须确定适当的边界条件以应对价格变化。在本文中，我们提出了订单簿的原始表示，如果选择nmin=1和nmax=∞, 我们对整个价格网格αN中的所有可用买家/卖家进行了完整描述。请注意，在这种表示中，当买卖价差大于一个刻度时，向量a和b之间可能存在重叠。不一定能从订单簿状态直接观察到的价格。我们将此参考价格视为市场参与者在做出交易决策时使用的潜在“有效”价格的市场共识。我们在参考价格的每一侧保持K极限，LOB完全由2K+1维向量描述，然后由连续时间马尔可夫跳跃过程建模。在对订单进行建模时，使用这种独特的参考价格给了我们很多灵活性。

由于参考价格不再直接由订单状态决定，我们可以在马尔科夫过程中区分两种类型的跳跃：纯订单状态跳跃（参考价格保持不变的跳跃）和普通跳跃（涉及参考价格变化的跳跃）。对于大型tick资产，在研究LOB动态与其状态之间的条件依赖关系时，这种分解被证明是非常相关的，见Huang、Lehalle和Rosenbaum（2015）。此外，在这个框架中，我们能够轻松地将外生价格变动纳入订单动态。这只需添加一个独立于订单状态的参考价格跳跃组件即可。在高频范围内，LOB状态是交易者及其自动机可以访问的两个公共信息之一（另一个是订单流的历史记录）。因此，它在他们的交易决策中起着非常重要的作用。在我们的框架中，LOB被假定为连续时间马尔可夫跳跃过程，LOB状态对传入流的影响通过跳跃过程中依赖于状态的极小生成矩阵进行建模。实际上，在实践中，交易员在决定以特定价格水平发送订单时，基本上依赖于从当前LOB状态推断出的信息。在我们的框架中，可以考虑对交易者使用的信息集进行各种简化假设，以便促进实证研究。例如，限额指数可能是他们决策过程中最重要的因素之一，因为它给出了目标价格和参考价格之间的距离。

Huang、Lehalle和Rosenbaum（2015）研究了其他变量的影响，如目标限制的大小、其与当前最佳队列的相对距离以及其对立面队列的大小，并表明其对订单流的动态也有不可忽略的影响。在适当的假设下，可以使用经验数据轻松估计队列反应模型。它为一些微观结构性质的起源提供了许多有趣的新见解，例如LOB状态的程式化经验分布。Bouchaud、M’ezard和Potters（2002）已经证明，订单簿的符号形式中存在一些规律，即LOB状态的平均值（我们的模型中的2K维向量）。从理论角度来看，这些规律性与LOB系统的遍历性概念密切相关（遍历性的确切定义将在第3节中给出）：遍历性确保LOB状态分布向不变概率测度收敛。因此，在市场数据上观察到的程式化形式可能可以用这种不变分布的大量型现象来解释。这一假设得到了Huang、Lehalle和Rosenbaum（2015）的实证研究的支持，作者将我们模型中的理论渐近分布与经验估计进行了比较，并表明它们非常接近。在Huang、Lehalle和Rosenbaum（2015）中，一些假设是为了确保LOB系统的遍历性。

在本文中，我们希望在一个扩展框架中对其进行推广，其中订单量不再是常数，订单簿状态对参考价格动态的影响可能不是瞬时的。大型勾号资产定义为买卖价差几乎总是等于一个勾号的资产。订单建模的另一个重要因素是价格的渐近行为。这种分析非常相关，因为它提供了有关价格形成过程的有用见解，并将微观层面的动态与资产的宏观特征（如其波动性）联系起来。我们证明了在我们的框架下，重新标度的参考价格过程收敛于布朗运动。根据Abergel和Jedidi（2011）的精神，利用函数中心极限定理，结合价格增量的强混合特性，推导出了以流速表示的宏观波动率表达式。论文的结构如下。在第2节中，我们建立了一般的马尔可夫框架。第3节讨论了模型的遍历性。第4节说明了重新定标过程的不同限制。最后，在第5节中，我们给出了一些具体的模型，这些模型可以被视为我们框架的特定案例。技术证据收集在附录中。2一般的马尔可夫框架2。1订单簿的表示在我们的框架中，订单簿由两个元素组成：中心位置：某个参考价格（注意，这里的中心位置不一定是中间价格）和书籍的形状（参考价格周围的队列大小），参见图1中的示例。中心位置，用pref表示∈ {nα+0.5α，n∈ Z} ，可以被视为当前的共识价格水平，并用于指数限制。

我们在价格水平pref±（i）处为队列写入Q±i- 0.5）α，用q±i表示其尺寸，用pi表示其价格。那么，总订单簿在时间t的形状是一个有限向量q（t）=[…，q-k（t）。。。Q-1（t），q（t）。。。，qk（t），…]，与齐∈ Z、 |qi |是极限qi下的订单数量（如果这些订单是投标订单，则qi<0，如果是询价订单，则qi>0）。请注意，在这种表示法中，可以使用qi≥ 0或qi<0（对于所有i）。因此，时间t处的LOB信息完全由X（t）：=（q（t），pref（t）），t表示≥ 为了限制X（t）的值，我们只考虑每边的K个极限，因此nowq（t）=[q-K（t）。。。Q-1（t），q（t）。。。，qK（t）]和X（t）∈ Z2K×α（0.5+Z）。q（t）的状态空间实际上比Z2K小。更具体地说，让我们定义BestBid（q）=max(-K- 1，sup{i|qi<0}）ibestask（q）=min（K+1，inf{i|qi>0}）。状态空间Ohm q（t）定义为所有q的集合∈ Z2K，这样的话：尽管我∈ {-KK} ，齐≤ 如果我≤ ibestbid（q）和qi≥ 如果我≥ ibestask（q）.2.2订单的动态在我们的一般框架中，我们将LOB向量X（t）建模为一个连续时间马尔可夫过程，其最小生成矩阵q将在等式（4）中给出。

我们在订单簿动态中区分了两种类型的跳转：纯订单簿状态跳转（pref保持不变）和普通跳转（涉及前缀值的变化）。鉴于框架的一般性，我们允许负价格，然而，在实践中，该模型当然应该在合理的小时间间隔内使用，以便价格保持正。图1：限价订单簿Pure order book state jumps有三种类型的订单直接与订单簿交互，并触发pureorder book state jumps:o限价订单：在订单簿中插入新订单（价格低于最低价的买入订单，或价格高于最低价的卖出订单）。o取消订单：取消订单簿中已经存在的订单市场订单：可用流动性的消耗（在最佳可用价格下的买入或卖出订单）。在Smith、Farmer、Gillemot和Krishnamurthy（2003）的开创性工作中，上述三类订单在不同价格水平下的到达时间被假定为相互独立且呈指数分布。此外，每个订单都有单位大小。在我们的方法中，跳跃的大小是随机的，它表示为agiven事件插入到LOB或从LOB中移除的卷的数量。此外，假设给定跳跃的到达率是目标价格指数、当前LOB状态向量q（t）、跳跃方向及其大小的函数。也就是说，对于任何q，q∈ Ohm （q6=q），p∈ α（0.5+Z），n∈ N+和任何ei=（a-K哎。。。，aK）（对于J6=i和ai=1，aj=0），在q+nei的情况下∈ Ohm q- 不∈ Ohm:Q（Q，p），（Q+nei，p）=fi（Q，n）Q（Q，p），（Q-nei，p）=gi（q，n）~q（q，p），（q，p）=0，否则，（1）其中fian和giare 2K函数：Ohm ×N+→ R+。如果我们也考虑修改订单，则为四。