马尔可夫订货本模型的遍历性和扩散性

此外，如果Eπ*[c（0）]=0和Y（0）~ π*,然后S（n）（t）n→∞→σpEπ**[τ（1）]B（t），带π**是（q（n）、c（n）、τ（n））和（7）中定义的σ的不变分布。定理4.2讨论了基础参考价格的比例限制。然而，该价格与更常见的pbestbid（t）、pbestask（t）或pmid（t）之间的差异以2K为界，同样的结果适用于用这些价格中的任何一个替换参考价格。5一些特定的模型这项工作中提出的马尔可夫环境允许我们对订单动态进行建模。本节的目的是给出一些自然且易于处理的模型示例，这些示例基本上已经在文献中介绍过，可以在我们的总体框架的特定案例中看到。结合模型的动态性，我们提供了充分的条件，以便在这些特定模型中满足前面章节中的假设。因此，遍历性和差异标度特性适用于所有这些模型。5.1最佳出价/最佳出价泊松模型（Cont and De Larrard（2013））第一个模型的基本思想受到Cont and De Larrard（2013）中介绍的模型的启发，是使用恒定的价差大小（固定为1个刻度），并且只考虑订单中的两个限制。例3。

K=1的泊松模型我们取K=1，θreinit=1，并假设函数fi，gi，u和d具有以下形式，其中0<λ<u<∞:f（q，n）=λ1n=1g（q，n）=u1q>0n=1f-1（q，n）=u1q-1<0n=1g-1（q，n）=λ1n=1u（q）=θ1q=0d（q）=θ1q-1=0.o πincadπdec满足假设3.6，对于任何q-1> 0，q∈ Z、 π公司-1，q）=πdec（q）-1，q）=0，对于任何q<0，q-1.∈ Z、 π公司-1，q）=πdec（q）-1，q）=0。注意这里的边界分布π和π-Kare不再需要，因为订单重新初始化概率θreinitis设置为1。在这个模型中，prefis的作用非常接近pmid，pmid将订单分为两部分：投标方（Q-1） 提问方（Q）。极限订单插入、取消和市场订单插入过程被假定为独立的泊松过程。假设这些订单的大小是恒定的，当队列Q±1均为空时，订单的速度为0，当QI为空时，订单的速度为θ，当Q为空时，订单的速度为θ，订单的速度为θ-它是空的。当θ的值非常大时，当两个队列中的一个变空时，价格几乎会立即上涨。在这种情况下，该模型与Cont and De Larrard（2013）中提出的模型非常接近，在使用固定利率的情况下（请注意，在固定跳跃率的情况下，重新调整价格过程的收敛性仍然可以通过一些微小的修改来证明）。5.2 K>1的泊松模型尝试扩展之前的泊松模型是很自然的，以便在订单簿中包含更多队列，并允许与一个刻度不同的排列大小。在这样的模型中，价格的作用略有不同，因为它不一定是中间价。同样，Pref可以被理解为在不同价格水平下决定订单到达强度的潜在有效价格。

现在，可以在pref.示例4的右侧和左侧插入买入/卖出限额订单。K>1的泊松模型函数fi、gi、u和d具有以下形式，对于i=-KK:fi（q，1）=λii>ibestbid（q）+γii=ibestbid（q）+uii≤ibestbid（q）qi<0gi（q，1）=λ-ii<ibestask（q）+γ-ii=ibestask（q）+u-二、≥ibestask（q）qi>0fi（q，n）=0，对于n>1gi（q，n）=0，对于n>1u（q）=θibestask（q）d（q）=θ-ibestbid（q）。oπK，π-K、 πincadπdec满足假设3.6.o不管怎样，j∈ {-KK} ，我们有-i> λi>00≤ θi≤ θj.限价订单、取消订单和市场订单（以最佳限价消耗数量）由独立的泊松过程建模，具有不同强度的λbuy/selli、ubuy/selli和γbuy/selli，取决于它们从目标价格到pref的距离。在该模型中，我们假设出价不对称，即λbuyi=λsell-i、 ubuyi=usell-iandγbuyi=γselli，因此我们省略了上述等式中的指数买入/卖出。请注意，买入/卖出市场指令的强度在最佳限价下流动是i的函数，即最佳限价相对于参考价格的位置。这使我们能够根据市场参与者对参考价格的评估，对市场参与者有不同的行为倾向于最佳限额的事实进行建模。参考价格跳跃动力学由一系列增长率θi，i建模∈ {-KK} 。这意味着，最佳请求队列的索引越大，prefto增加的概率越大，而最佳出价队列的索引越小，prefto减少的概率越大。

请注意，在这个模型中，我们不再假设重新初始化概率θreininit的任何特定值，并使用假设3.6对边界分布π和π施加一些属性-K初始化分布πincadπdec.5.3零智能模型我们现在提供一种不同的方法，用K=1扩展泊松模型，以便在订单簿中包含更多队列。这种使用两个参考价格的建模方法被称为零智能模型，并在Smith、Farmer、Gillemot和Krishnamurthy（2003）中介绍。Abergel和Jedidi（2011年）也考虑了这一点，并且是Cont、Stoikov和Talreja（2010年）的基础。我们将φ（i，j）定义为队列与Qj（φ（i，j）=| i）之间的绝对距离（以滴答数表示）- j |）并做出以下三个假设。例5。零智能模型函数fi、gi、u和d具有以下形式，对于i=-KK:fi（q，1）=λφ（i，ibestbid（q））i>ibestbid（q）+γ1i=ibestbid（q）+qi |μφ（i，ibestask（q））i≤ibestsk（q）gi（q，1）=λφ（i，ibestsk（q））i<ibestsk（q）+γ1i=ibestsk（q）+qi |μφ（i，ibestsk（q））i≥ibestask（q）fi（q，n）=0，对于n>1gi（q，n）=0，对于n>1u（q）=θibestask（q）d（q）=θ-ibestbid（q）。oπK，π-K、 πincadπdec满足假设3.6.o不管怎样，j∈ {-KK} λφ（i，j）>0和μφ（i，j）>0.o不管怎样，j∈ {-KK} 我们有≤ θi≤ θj.在这个模型中，前缀不再是决定订单到达的有效价格。这些强度现在取决于两种不同价格的位置：pbestbidandpbestask。限价订单、取消订单和市场订单仍然由独立的泊松过程描述。

买入/卖出限价单插入到最佳买入/最佳买入价格左侧/右侧的队列中，其强度取决于其价格水平与最佳买入/最佳买入价格之间的距离（λφ（i，ibestask/bestbid））；买入/卖出订单的取消被发送到最佳询问/最佳出价价格左侧/右侧的队列中，其强度是队列大小的线性函数（|qi |μφ（i，ibestask/bestbid））；市场买入/卖出订单被发送到最佳询问/最佳出价队列，强度为γ。参考价格prefnow提供了代表LOB状态的2K维移动框架的中心，以及第5.2节中用于其动力学的相同建模方法。5.4队列反应模型（Huang、Lehalle和Rosenbaum（2015））在Huang、Lehalle和Rosenbaum（2015）中，介绍了订单簿的队列反应模型。该模型在确定订单到达强度时考虑了订单簿状态的影响（比只考虑最佳出价和最佳出价队列的位置更一般）。队列反应模型假设不能在pref的右/左侧插入任何买卖限制订单，并使用以下假设代替方程式（2）来描述pref跳跃的动力学。假设5.1。每当pmidin增加（分别减少）时，预增加（分别减少）α，概率θ，前提是q=0（分别减少）-1=0）在那一刻。因此，pref值的变化可能由以下三个事件之一触发：o插入购买（resp。

在Q（分别为Q）时，在买卖价差内限制订单-1.它是空的在最有效的队列之一取消最后一次限价订单。o在最有效的队列中使用最后一个限价订单的市场订单。通过对定理4.2的证明进行一些小的修改，可以证明队列反应模型中前缀的标度极限是布朗运动。如上所述，在这个模型中，价格变动是由修改中间价的事件触发的。在这里，我们通过考虑以下四个假设（注意状态空间Ohm 在这种情况下减少到Ohm*:= {q∈ Ohm, qii<0≤ 0，qii>0≥ 0}).例6。队列反应型模型函数fi、gi、u和d具有以下形式，对于i=-KK:fi（q，1）=λ| i |（qi）1i>0+u| i|(-qi）1i<0gi（q，1）=λ| i|(-qi）1i<0+u| i |（qi）1i>0fi（q，n）=0，对于n>1gi（q，n）=0，对于n>1u（q）=θ1q=0d（q）=θ1q-1=0，其中λ| i |和u| i |非负函数定义在N上，u| i |（0）=0我们有苏比∈{1，…，K}，齐∈N（λi（qi））<L<∞.o 存在r>0和U>1，因此对于任何qi>U和任何i∈ {1，…，K}：λi（qi）- ui（qi）<-r、 o存在m>0，因此对于任何i∈ {1，…，N}:infqi∈N[λi（qi）+ui（qi）]>m。与假设5.1相比，当前订单状态下中间价的相对位置决定了价格的变化。然而，我们可以看到这两种方法非常相似。在这个模型中，prefestbid始终保持在pbestask和pbestbid之间（因为u| i |（0）=0意味着prefestbid左侧/右侧的队列大小永远不会变为正/负）。Huang、Lehalle和Rosenbaum（2015）中的此类模型I用于描述恒定参考价格期间的排队动态。该模型在强度函数λ| i |和u| i |上给了我们比假设泊松流时更大的选择。

此外，有了足够的数据点，这些函数可以用非参数的方式进行估计，正如Huang、Lehalle和Rosenbaum（2015）所做的那样。最后，基于状态的方法为我们提供了非常有趣的见解，关于订单簿状态如何影响市场参与者的决策，以及使订单簿的经验分布产生于这些决策的机制，见Huang，Lehalle和Rosenbaum（2015）。6结论在这项工作中，我们扩展了Huang，Lehalle，andRosenbaum（2015）提出了一个更一般的马尔可夫框架，允许考虑LOB动态的最相关特征，例如：o订单到达过程和LOB状态之间的依赖关系。o潜在有效价格的内生变动以及LOB状态对其动态的影响。o基础有效价格的外生变动订单大小的随机性。LOB系统的遍历性和重新调整价格过程的差异极限是在一般假设下建立的。最后，为了说明我们的方法的有用性和相关性，我们给出了几个经典模型的例子，这些例子可以被视为我们总体框架的特例。为了得到一个完全令人满意的模型，最后一步可能是在市场订单流中考虑非马尔可夫成分（因为马尔可夫假设对于限价订单和取消订单流可能是相当合理的）。例如，这可以通过自激励过程来实现，如Abergel和Jedidi（2015）所述。

然而，除了非常特殊的情况（例如指数霍克斯过程），添加这种非马尔可夫成分肯定需要完全改变模型的数学方法。Ackowledgements我们感谢eric Abergel神父的有益讨论。7附录7。1定理的证明3.1当u=d=0时，用Q表示Q（t）的极小生成矩阵。