信息不对称且反映BSDE的美式期权

这就完成了证明。3.2初始放大过滤中的值函数6推论3.4。设τ：bOhm → R+b e anbF-停车时间。那么每一个u∈ R、 τ（u）=τ（·u）是F-暂停时间。证据让你∈ R和t∈ [0，T]。然后{ω|τ（ω，u）≤ t} ×{u}={（ω，u）|τ（ω，u）≤ t}∈bFt=\\s>t（Fs B（R））。因此{ω|τ（ω，u）≤ t}∈\\s> tFs=英尺。由于uis是任意的，因此证明是完整的。3.2值函数在最初扩大的过滤中，我们重新定义了条件期望的“参数化”版本。引理3.5。设（U，U）为可测空间，X：Ohm ×U→ R是F U-满足下列条件之一的可测随机变量（1）X为正（2）U∈ U、 E[|X（，U）|]<∞.然后存在一个G U-可测随机变量Y：Ohm ×U→ R、 这样对于所有的美国∈ UY（，u）=E[X（，u）| G]，P- a、 美国证据。见[39]，第15页。备注3.6。我们表示一个随机变量X:bOhm → R、 X（.）强调它对参数的依赖性。显然，我们的意思是X（u）=X（ω，u），ω∈ Ohm.在接下来的步骤中，我们需要引入以下符号。回忆一下支付过程R和setR:bOhm ×R+→ R、 （u，t）7→ Ltαt（u）1[0，t[（t）+ξαt（u）1{t}（t）。（9）我们再次用R在pro-product空间上说明了这个新的支付函数。注意，对于第一个，它现在作用于两个变量。注释3.7。注意anbF的t-停止时间τ：bOhm → R+，R（，τ（.）：BOhm → R是一个积极的EBF-measu Rabrerandom变量。由于它是一个支付函数，引理3.5保证了Ft的存在 B（R）-u的E[R（u，τ（u））|Ft]的可测版本∈ R、 t型∈ [0，T]。提案3.8。让我们∈ [0，T]。然后下面的方程保持[R（u，τ（u））|Ft]u=G=bEhR（，τ（.））|bFtiG，P- a、 美国证据。我们将证明，对于每一个有界英尺 B（R）-可测随机变量K：Ohm ×R→ 我们有[E[R（u，τ（u））|Ft]u=GK（G）]=EhbEhR（，τ（）|bFtiGK（G）i。

（10） 3.2初始y放大过滤7中的值函数，因为E[R（u，τ（u））|Ft]u=GandbEhR（，τ（.））|bFtiGare Gt-可测量的随机变量，断言接着来自（10）和单调类参数。要显示（10），请注意K（.）αt（.）是英国《金融时报》吗 B（R）-可测量，因此K（u）和αt（u）是Ft-可测量的∈ R.We o btainE[E[R（u，τ（u））|Ft]u=GK（G）]=E[E[E[R（u，τ（u））|Ft]u=GK（G）|Ft]=EZRE[R（u，τ（u））|Ft]K（u）αt（u）dPG（u）= EZRR（u，τ（u））K（u）αt（u）dPG（u）.另一方面，EhbEhR（，τ（）|bFtiGK（G）i=EhEhbEhR（，τ（）|bFtiGK（G）| Ftii=EZRbEhR（，τ（）|bFtiuK（u）αt（u）dPG（u）=bEhbEhR（，τ（）K（.）αt（.）|bFtii=EZRR（u，τ（u））K（u）αt（u）dPG（u）.最后两个方程由（5）中的BE定义满足。备注3.9。让我们∈ [0，T]，u∈ R和G=u等于常数P-a、 然后从备注3.7我们得到[R（u，τ（u））|Ft]=bEhR（，τ（.））|英国石油公司- a、 以下结果提供了一个有用的工具，可以计算与较大过滤相关的条件预期。引理3.10。假设X:bOhm ×R+→ R是一个过程，t∈ [0，T]和G:Ohm → R是一个随机变量，比如Xt（G）是Gt-可测量和P-可积的。那么对于s≤ tE[Xt（G）|Gs]=αs（G）E[Xt（u）αt（u）| Fs]u=G.证明。见[7]，第5页。定理3.11。莱特∈ [0，T]。在G上的假设2.1和R上的可积条件（2）下∈ [0，T]VGt:=ess supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Gti=αT（G）ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti！G.证据。设τ′∈ Tt，T（G）。根据命题3.3和引理3.10，我们得到了ehr（τ′）|Gti=E[R（τ（G））|Gt]=αt（G）E[R（τ（u））αt（u）| Ft]u=G，其中τ（.）∈ Tt，T（bF）.3.2初始放大过滤8中的值函数，由u的推论3.4扩展而来∈ R、 τ（u）是F-阻止蒂姆·e。

利用迭代条件期望和（αt（u））t的鞅性质∈[0，T]w.r.tf，我们得到[r（τ（u））αT（u）|Ft]=EE（Lτ（u）[0，T[（τ（u））+ξ1{T}（τ（u）））αT（u）| Fτ（u）|英尺= ELτ（u）ατ（u）（u）1[0，T[（τ（u））+ξ1{T}（τ（u））αT（u）|Ft= E[R（u，τ（u））|Ft]。因此我们有了supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Gti=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）E[R（τ（G））|Gt]=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）αT（G）E[R（τ（u））αT（u）|Ft]u=G=αT（G）ess supτ（.）∈Tt，T（bF）（E[R（u，τ（u））|Ft]）u=G=αT（G）ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiG.最后一个等式来自命题3.8。此外，bE[R（，τ（.））|bFt]在（ω，u）中是可测的，并且是可测族{bE[R（，τ（.））的本质上确界|bFt]；τ(.) ∈ Tt，T（bF）}在（ω，u）中也是可测的。因此，我们得到了supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiu=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti！u、 P- a、 沙子这个仍然能保持P-a、 如果我们用G（·）代替u。总的来说，我们得到了一个定义supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Gti=αT（G）ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiG=αt（G）ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti！G.从Neveu[33]可知，一个非负随机变量族的本质上限几乎肯定是唯一的随机变量。此外，如果A指向上面，即A∨ a′∈ A代表A和A′∈ A、 然后存在一个序列（an）n∈在这样的情况下↑ 【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】→ ∞. 完整的证明见[33]中的命题（VI-1.1）。提案3.12。存在一个停止时间序列（τn）n∈n带τnin Tt，t或n∈ N这样的序列（E[R（τN）|Ft]）N∈Nis增加，使vt=limn→∞↑ E[R（τn）|Ft]，P- a、 s.3.2初始放大过滤证明中的值函数。充分证明了集合{E[R（τ）|Ft]；τ∈ Tt，T}是上面的方向。然后这个结果来自Neveu[33]关于本质上确界的已知结果。

参见Ko bylanski和Quenez[28]，了解关于T0定理3.13中确定性时间t被停止时间代替的一般情况的预防和完整讨论。勒特∈ [0，T]。在G上的r假设2.1和r上的可积条件n（2）下，我们得到了t∈ [0，T]ess supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Fti=ZR（ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti）udPG（u）。证据设τ′∈ Tt，T（G）。根据命题3.3，存在anbF-停止时间τ（.）假设τ′=τ（G），P- A.s我们重新定义了havehr（τ′）|Fti=E[R（τ（G））|Ft]。通过使用给定的G的条件律，我们得到E[R（τ（G））|Ft]=E[E[R（τ（G））|Ft]=EZRR（τ（u））αT（u）dPG（u）| Ft=ZRE[R（τ（u））αT（u）|Ft]dPG（u）=ZREER（τ（u））αT（u）| Fτ（u）|英尺dPG（u）=ZRELτ（u）ατ（u）（u）1[0，T[（τ（u））+ξαT（u）1{T}（τ（u））|FtdPG（u）=ZRE[R（u，τ（u））|Ft]dPG（u）。这里我们使用（αt（u））t的鞅性质∈[0，T]w.r.T F.从备注3.9我们进一步推导出supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Fti=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）E[R（τ（G））|Ft]=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）ZRE[R（u，τ（u））|Ft]dPG（u）=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）ZRbEhR（，τ（）|bFtiudPG（u）=ZRess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiudPG（u），P- a、 为了显示最后一个等式，我们需要证明supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiudPG（u）≤ ess supτ（.）∈Tt，T（bF）ZRbEhR（，τ（）|bFtiudPG（u），P- a、 相反的不平等是标准。族{bE[R（，τ（.）的可测性|bFt]；τ(.) ∈ Tt，T（bF）}in（ω，u）意味着supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiu=（ess supτ（）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti）u.4 RBSDE从命题3.12开始，在一个初始放大的过滤中，存在sτn（.）∈ Tt，T（bF）使BP- a、 e。

我们有多余的supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti=limn→∞bEhR（，τn（）|bFti。因此通过控制收敛性supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiudPG（u）=limn→∞ZRbEhR（，τn（）|bFtiudPG（u）=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）ZRbEhR（，τ（）|bFtiudPG（u），P- a、 这最终使我们能够推断出supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Fti=ZRess supτ（.）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFtiudPG（u）=ZR（ess supτ）∈Tt，T（bF）bEhR（，τ（）|bFti）udPG（u）。对于Ht=Ft或Gt，我们可以根据产品空间中新的最优停止问题的值函数来计算最优预期收益（6）。由于最优停止问题和反射BSDE都可以通过斯奈尔包络连接，因此在产品空间中寻找相应的RBSDE似乎是很自然的。这将导致我们考虑参数化RBSDE，其中参数由一个随机变量G的可能值给出，该变量最初放大了一个n的基础过滤。研究这种参数化RBSDE将具有独立的意义。这是下一节的目标。由于性质上的鞅表示在RBSDE中起着重要作用，我们需要证明，参考滤波F是对fa布朗运动的自然滤波。4 RBSDE在最初扩大的过滤中4。1 El Karoui等人[9]对反映BSDE（RBSDE）的基本概念进行了布朗基础研究。这类方程的求解过程被限制为使一个给定的过程保持在称为障碍或障碍的状态。我们的工作将[9]归纳为参数化RBSDE，其中参考过滤是布朗运动的自然过滤。设B=（Bt）0≤T≤概率空间上定义的一维布朗运动(Ohm, F、 P）和F=（英尺）0≤T≤B是B的自然过滤，它满足了通常的完工和严格的连续性条件。

表示l={X:X FT- 可测随机变量E（|X |）<∞} ,H={X:X=（Xt）0≤T≤t连续可预测过程，EZT|Xt|dt<∞},S={X:X=（Xt）0≤T≤t连续可预测过程，E（sup0≤T≤T|Xt|）∞} ,I={K:K=（Kt）0≤T≤t非递减连续过程，K=0，KT∈ 五十} 。如El K aroui等人[9]所述，考虑满足以下条件的三组s标准参数（ξ，f，L）。2 RBSDE与最优s-topping问题11（i）ξ∈ L（二）f：Ohm ×[0，T]×R×R-→ R表示f（·，·，y，z）是可预测的，EhRTf（·，t，0，0）dti<∞, 对于固定的（ω，t），它在（y，z）中是全局Lipschitz连续的∈ Ohm ×[0，T]；（iii）L∈ Sξ被称为终端变量、f驱动器和L势垒过程。我们总是认为≤ ξ. 三胞胎（Y，Z，K）∈ S×H×I是与（ξ，f，L）相关的反射后向随机微分方程（RBSDE）的解，如果它分别满足以下方程：。任何t的不平等性∈ [0，T]Yt=ξ+ZTtf（s，Ys，Zs）ds+KT- Kt-ZTtZsdBs，Yt≥ Lt，ZT（Yt）- Lt）dKt=0。（11） K控制Y保持在障碍物L上方。条件RT（Yt- Lt）dKt=0，这被称为Korokhod条件，它保证过程K以最小的方式起作用。如果标准三重态满足（i）-（iii），则存在（11）的唯一解（见El Karoui等人[9]）。如果屏障L只是可选的且右上半连续的，则存在RBSDE的唯一解决方案，见Grigorova等人[15]。在这种情况下，组件Y是cadlag。备注4.1。如果f不依赖于y和z，条件（ii）可以简化为（ii*）f：Ohm ×[0，T]-→ R是一个可预测的过程s.t.EhRTftdti<∞.4.2 RBSDE和最优停止问题斯内尔包络线在最优停止问题的值函数和相应RBSDE的解之间提供了良好的联系（例如参见[9]中的El Karoui等人）。

我们将把这一点扩展到产品空间中定义的参数化RBS框架。我们首先回顾古典altheory中的一些基本事实。提议4.2。设（Y，Z，K）为RBSDE（11）的解。ThenYt=ess supτ∈Tt，T（F）EZτtf（s，Ys，Zs）ds+Lτ[0，T[（τ）+ξ1{T}（τ）|Ft,其中Tt，T（F）是所有F的集合-值为[t，t]的停止时间。证据见[9]。提案4.3。支持f=（英尺）0≤T≤这是一个F-不依赖于y和z的渐进可测量过程。在假设（i）、（ii*）和（iii）下，带驱动因子f的RBSDE（11）有唯一的解{（Yt，Zt，Kt）；0≤ T≤ T}。证据参见[9]。4.3参数化RBSDE 12从前面的命题可以清楚地看出，在f不依赖于y，z的情况下，RBSDE与通过斯奈尔包络的最优停止问题之间的联系变得非常明确。这在[9]中提到的下列命题中有说明。提议4.4。假设f是一个f-不依赖于y和z的渐进可测过程。在假设（i）、（ii*）和（iii）下，y+R·fsds是一个最优停止问题的值函数，其payoff z·fsds+L1[0，T[+ξ1{T}，其中y i是具有系数f的RBSDE（11）的解三元组的第一个分量∈ [0，T]停止时间τ*= inf{s∈ [t，t]：Ys=Ls}∧ T是最优的，在意义上T=E“Zτ*tfsds+Lτ*[0，T[（τ）*) + ξ1{T}（τ）*)|英尺#。备注4.5。如果f≡ 那么，RBSDE（11）解的第一个组成部分Y是带payoff Lt[0，t[（t）+ξ1{t}（t）和τ的美国控制权的值函数*是买家的最佳交易时间。在续集中，我们假设(Ohm, F、 F，P）是携带一维布朗运动B的过滤概率空间，F=（Ft）0≤T≤这是布朗标准过滤。4.3参数化RBS召回我们的产品空间（bOhm,bF，bF，bP）从（4）开始。

为了在下一节的初始放大过滤中获得RBSDE的解决方案，在productspaces框架下的初始放大问题陈述现在引导我们考虑此类产品空间中的RBSDE。作为求RBSDE解的主要依据，我们需要一个鞅表示定理。为此，需要做一些准备。备注4.6。对于一个随机变量X:bOhm → R、 我们写X（.），表示参数u∈ R.提案4.7。假设M:bOhm ×[0，T]→ R是anbF-可测量函数，使得对于每个u∈ R、 {Mt（u）}t∈[0，T]是鞅w.r.T F a n dRRE[|Mt（u）|]dη（u）<+∞. 然后{Mt（.）}T∈[0，T]是鞅w.r.tbF。证据对于t∈ [0，T]我们从富比尼的理论中得到了=ZRE[|Mt（u）|]dη（u）<+∞.假设这是≤ t、 C∈ Fs和D∈ B（R）。从Fubini定理和{Mt（u）}t的鞅性质∈[0，T]w.r.T如果我们有BP-a、 s.bE[Mt（.）1C×D（.）=E[ZRMt（u）1CD（u）dη（u）]=ZRE[Mt（u）1C]1D（u）dη（u）=ZRE[Ms（u）1C]1D（u）dη（u）=E[ZRMs（u）1CD（u）dη（u）]=bE[Ms（.）1C×D（.）]。（12） 4.3参数化RBSDE 13现在定义：={A∈bFs:bE[Mt（.）1A（）]=是[女士（.）1A（.）]，英国石油公司- a、 s}和h:={C×D；C∈ 财政司司长∈ B（R）}。从（12）开始，我们有H 此外，H是π-系统和E是λ-系统由Dynkinπ表示- λ定理，我们有A.∈bFs，bE[Mt（.）1A（）]=是[女士（.）1A（.）]。推论4.8。我们定义b:bOhm×[0，T]→ R bybBt（ω，u）：=Bt（ω），其中B=（Bt）t∈[0，T]是一种眉毛运动。r、 t.F.然后根据上述命题，bB（.）是布朗运动w.r.tbF。提案4.9。LetbX:bOhm ×[0，T]→ R和X：Ohm ×[0，T]→ R是两个随机过程，每个过程∈ [0，T]，bXt（ω，u）=Xt（ω），u∈ R.那么我们有σ（bXs（.），0≤ s≤ t） =σ（Xs，0≤ s≤ （t）{, R} ，t∈ [0，T]。证据很明显σ（Xs，0≤ s≤ （t） {, R} 在Bx（.）的自然过滤中继续在[0，t]上。

另一方面，由于Bx在第二个变量中是常数，所以Bx的自然过滤（.）在[0，t]上也包含在σ（Xs，0）中≤ s≤ （t） {, R} 。推论4.10。提案4.9意味着forbB（.）在Corolary 4.8中定义，我们有σ（bBs（.），0≤ s≤ t） =σ（Bs，0≤ s≤ （t） {, R} ，t∈ [0，T]。更进一步，因为F=（Ft）0≤T≤这是B产生的自然过滤，然后是σ（bBs（.），0≤ s≤ t） =英尺 {, R} ，t∈ [0，T]。上述命题意味着BB产生的自然过滤（.）是产品过滤BF=（bFt）0的子集≤T≤t按bft=Ts>t（Fs B（R）），t∈ [0，T]。因此，鞅表示性质是否可以推广到乘积空间尚不清楚。然而，利用乘积结构的简单直接论证将证明鞅表示定理从第一个因子延伸到整个空间。要了解更多细节，我们需要以下准备工作。推论4.11。让X:bOhm ×[0，T]→ R是一个BF B（[0，T]）-可测量函数，例如RTX（u）DBS为u定义∈ R、 然后是（ZTXs（.）dBs）=bE（ZTXs（.）ds）。证据从E的定义、Fubini定理和Ito的等距thatbE（ZTXs（.）dBs=E[ZR（ZTXs（u）dBs）dη（u）]=ZRE（ZTXs（u）dBs）dη（u）=ZRE（ZTXs（u）ds）dη（u）=bE（ZTXs（.）4.3参数化RBSDE 14我们在（b）上引入了一些辅助空间Ohm,英国石油公司）。让我们来看看这一英尺的空间-平方可积的可测随机变量X，即bE（|X |）<+∞. 我们用BLL表示有界元素的Lconsisting子空间，用BLL表示形式为H（ω）K（u）的随机m变量的线性组合构成的BLL子空间，其中H是FT-可测且有界，K是B（R）-可测量且有界。定理4.12。让M:bOhm → R是anbFT-可测量的随机变量，如th atbE（|M（.|）<+∞.

然后就有了独一无二的-可测函数bz:bOhm ×[0，T]→ R、 这是可预测的w.R.tbF，比如atbE（RT | bZs（.）|ds）<+∞ a ndM（.）=M（.）+ZTbZs（.）英国星展银行- a、 e，其中M（.）∈男朋友。证据首先我们假设M（.）∈ BL.每M（.）∈ 存在一个序列{Mn（.）}N∈N∈ sbl例如Mn（.）→ M（.）因此，通过线性证明M（ω，u）=H（ω）K（u）的定理∈ SBL。自从H∈ L(Ohm, F是一个布朗过滤比n，根据鞅表示定理，存在唯一的eF-可测量过程Z=（Zt）t∈[0，T]这是可预测的w.r.T Fand E（RT|Zs|ds）<+∞ 使得H=H+ZTZsdBs，P- a、 s，H在哪里∈ F.乘以K，我们得到η- a、 e u∈ RM（u）=M（u）+ZTbZs（u）dBs，P- a、 其中M（u）：=HK（u）和bzs（u）：=ZsK（u）。很容易看出M（.）∈bFandbZ（.）isbF-可预测的此外，从K的有界性，我们得到了（ZT | bZs（.）|ds=E（ZT|Zs|ds）（ZRK（u）dη（u））<+∞.因为空集与u无关，所以我们有m（.）=M（.）+ZTbZs（.）英国星展银行- a、 e.现在是M（.）∈ BL，Mn（.）→ M（.）在Lwhere{Mn（.）}N∈N∈ SBL。因此，{Mn（.）}N∈这是科西岛。另一方面，我们必须|锰（.）- 嗯（.）|=是|锰（.）- 嗯（.）|+bE | ZT（bZns（.）-bZms（.））星展银行|！+2bE | Mn（.）- 嗯（.）||ZT（bZns（.）-bZms（.））星展银行|！！。从Mn（.）为了n≥ 1，和4.7的专业位置|锰（.）- 嗯（.）|=是|锰（.）- 嗯（.）|+bE | ZT（bZns（.）-bZms（.））星展银行|！，4.3参数化RBSDE 15自CeBe | Mn（.）- 嗯（.）||ZT（bZns（.）-bZms（.））星展银行|！！≤ cbEZT | bZns（.）-bZms（.）|dBs！andRT|bZns（.）-bZms（.）|DBS是一个具有零期望的鞅w.r.tbF。重新定义{Mn（.）}N∈Nis Cauchy inL和推论4.11{bZn（.）}N∈L（b）中的Nis CauchyOhm×[0，T]）。序列收敛到M（.）响应。bZ（.）。{Mn（.）}的后继c e收敛到M（.）福BP- a、 e.（ω，u）∈BOhm.