信息不对称且反映BSDE的美式期权

因此M（.）isbF-可测量的类似地，通过提取一个子序列，我们得到bz（.）isbF-在最终修改产品空间中的一组测量零点后可预测。利用推论4.11和L中极限的唯一性，证明了M（.）∈ BL.最后是M（.）∈ 五十、 我们定义：=M（.·）1{| M（.）|≤n} ，n∈ N.然后{Mn（.）}N∈Nis是一个有界随机变量序列。因为∞, 我们有Mn（.）→ M（.）另一方面，在L.中，sinceMn（.）∈ 布莱恩∈ N、 对于每一个N，我们得到形式mn（.）的代表锰（.）+ZTbZns（.）英国星展银行- a、 e.其中Mn（.）∈bFandbZn（.）这是anbF吗-可预测的过程。使用推论4.11 aga，以与证明的前一部分类似的方式，我们获得了M（.）∈ L.为了证明唯一性，假设有两个可预测的过程bz（.）和bz（.）就是这样M（.）+ZTbZs（.）dBs=M（.）+ZTbZs（.）英国星展银行- a、 然后从推论4.11我们得到0=bEZT（bZs（.）-bZs（.））dBs=贝斯特（bZs（.）-bZs（.））ds！。这意味着对于a.a（ω，u，s）∈BOhm 我们有bZs（ω，u）=bZs（ω，u）。定理4.13。让M:bOhm ×[0，T]→ R是一个BF B（[0，T]）-一个可测函数，使得{Mt（.）}T∈[0，T]isa鞅w.r.tbF和be（|Mt（.|）<+∞, 对于t∈ [0，T]。然后就有了独一无二的-可测函数bz:bOhm ×[0，T]→ R、 这是可预测的w.R.tbF，即（RT | bZs（.）|ds）<+∞ 对于t∈ [0，T]，Mt（.）=M（.）+ZtbZs（.）英国星展银行- a、 其中M（.）isbF-可测量的证据

从鞅性质出发，自MT（.）∈ 我们有∈ [0，T]Mt（.）=bE（MT（）|英国石油公司- a、 因此，从前面的定理来看，存在唯一性-可测M（.）∈ 获得独一无二的-可预测过程ssbZ（.）例如：M（.）+ZTbZs（.）英国星展银行- a、 因此对于t∈ [0，T]Mt（.）=bE（MT（）|bFt）=M（.）+ZtbZs（.）英国星展银行- a、 e.4.3参数化RBSDE 16由于我们的研究将基于RBSDE和最佳停车问题之间的联系，我们应将注意力集中在RBSDE的发电机f仅为anbF的情况-逐步可测量的过程。现在，通过利用鞅的表示性质（取决于前推定理的参数），我们可以定义和求解乘积空间中的参数化反射BSDE。对于（b）上的概率度量Ohm,bF，bF），我们考虑以下空间sblq={X（.）：X（.）bFT- 可测量的随机变量，bEQ（|X（.|）<∞} ,bHQ={X（.）：X（.）=（Xt（.））0≤T≤t连续可预测过程，bEQZT | Xt（.）|dt<∞},bSQ={X（.）：X（.）=（Xt（.））0≤T≤t连续可预测过程，bEQ（sup0≤T≤T|Xt（.|）∞} ,bIQ={K（.）：K（.）=（Kt（）0≤T≤t非递减连续过程，K（.）=0，KT（.）∈bLQ}。Beq代表测量值Q的期望值。如果Q=bP，我们只需写下Be和al sobS，bH，bI。现在考虑过滤概率空间（bOhm,bF，bF，bP）。从Corolary 4.8开始，B仍然是一个布朗运动w.r.T这个概率空间。现在让一个三元组（ξ（.），f（.），L（.））被给予满意的（i\'）ξ（.）∈bL；（ii）f（）是一个可预测的过程s.t.bEhRTft（.）dti<∞;（iii）L（）∈bS。我们称之为三胞胎（Y（.），Z（.），K（.））∈bS×bH×bI一个参数化RBSDE的解，带有驱动器f（·）、终端变量eξ（·）和势垒L（·），如果Yt（.）=ξ(.) +ZTtfs（.）ds+KT（.）- Kt（.）-ZTtZs（.）dBs0≤ T≤ T、 Yt（.）≥ 中尉（.），0≤ T≤ T、 ZT（Yt（）- Lt（.））dKt（.）=0.（14）备注4.14。

对于ηa.e u∈ RYt（u）=ξ（u）+ZTtfs（u）ds+KT（u）- Kt（u）-ZTtZs（u）dBs0≤ T≤ T、 Yt（u）≥ Lt（u），0≤ T≤ T、 ZT（Yt（u）- Lt（u））dKt（u）=0。（15） 是RBSDE w.r.t(Ohm, F、 F，P）。这就是我们称RBSDE（14）为参数化RBSDE的原因。与通常情况类似，我们应始终假定LT（.）≤ ξ(.). 利用这些概念，我们可以将RBSDE解的经典存在唯一性定理推广到参数化RBSDE（14），然后在下面的备注中重写Pro position 4.4。定理4.15。在假设（i’、（ii’）和（iii’）下，RBSDE（14）具有唯一的解决方案（Y（.），Z（.），K（.）。证据从（ii\'）开始，f是anbF-逐步可测量的过程，如tha tbEhRTft（.）dti<∞. 因此，根据[9]的术语，RBSDE（14）是一个后向反射问题（BRP）。现在我们可以重写校样了。[9]中关于产品空间BRP的命题5.1的参数化RBSDE 17：大多数证明是相似的。因此，我们只在步骤s中提到ma。为了证明解决方案的存在，我们引入了过程Y（.）=（Yt（.））T∈[0，T]定义的byYt（.）=ess supτ（.）∈Tt，T（bF）bE“Zτ（.）tfs（.）ds+Lτ（.）（.）1[0，T[（τ（.））+ξ(.)1{T}（τ（.））|bFt#，t∈ [0，T]。然后根据[9]中给出的参数，Yt（.）+Rtfs（.）ds是带payoff（）的最优停止问题的值函数=Ztfs（.）ds+Lt（.）1[0，T[（T）+ξ（.）1{T}（T）。根据斯奈尔包络理论，它是支配H（.）的最低空的超高层大风。Y（.）因为H（.）的连续性，所以B是连续的关于区间[0，T]和a假设LT（.）≤ ξ(.). 这意味着H（.）时间T为正。所以Y（.）∈B由下列不平等因素引起：sup0≤T≤TYt（.）≤ cbEξ（.）+ZTfs（.）ds+sup0≤T≤TLt（.）！。由Burkholder不等式和条件（i’，（ii’）和（iii’）得到。

用τ表示*（.）停止时间τ*（）=inf{t≤ s≤ T:Ys（.）≤ Ls（.）}∧ T.然后τ*（.）是最优的，在se nse thatYt（.）=bE“Zτ”*（.）tfs（.）ds+Lτ*(.)(.)1[0，T[（τ）*(.)) + ξ(.)1{T}（τ）*（.）bFt（16）现在是连续上鞅Yt（.）的Doob Meyer分解+Rtfs（.）ds产生一个适应的连续过程K（.）=（Kt（）T∈[0，T]和一个连续的非形可积鞅M（.）=（Mt（）T∈[0，T]这样Mt（.）-Ztfs（.）ds- Kt（.），其中K（.）=0和Kt=Kτ*(.). KT（.）的Skorohod条件与平方可积性遵循类似于产品空间中[9]的论点。因此他们-鞅（.）=bE（MT（）|bFt）=bEξ（.）+ZTfs（.）ds- KT（.）|bFt！也是正方形的，即bE（| Mt（.|）<∞, T∈ [0，T]。因此，我们可以使用定理4.13找到过程bz（.）这样Mt（.）=RtbZs（.）ds，wherebE（RT | bZs（.）|ds）<+∞.解的唯一性可以从[9]中的推论3.7中得到，该推论在假设s（i’），（ii’）和（iii’）下的乘积空间上满足。备注4.16。根据（i’，（ii’，（iii’）和（y）的假设+Rtfs（.）ds是一个带有支付函数的最优停止问题的值函数（.）ds+Lt（.）1[0，T[（T）+ξ（.）1{T}（T），其中Yt（.）是RBSDE的解决方案（14）。此外，停止时间τ*（）=inf{s∈ [t，t]：Ys（.）=Ls（.）}∧从某种意义上说，T是最优的=bE“Zτ”*（.）tfs（.）ds+Lτ*(.)(.)1[0，T[（τ）*(.)) + ξ(.)1{T}（τ）*（）|bFt#4.4初始放大过滤中的RBSDE 18，尤其是在f的情况下≡ 0，Yt（.），RBSDE（14）的解决方案，是一个美国式的包含支付的索赔的价值函数1[0，T[（T）+ξ（.）1{T}（T）和τ*（.）是买方的最佳停工时间。备注4.17。

通过[9]中定理5.2的证明，可以将定理4.1.5推广到f a lso依赖于y和z，且这两个变量具有全局Lipschitz连续性的情况。4.4 RBSDE在最初扩大的滤波中，我们现在将证明，在（9）中参数化支付函数R的适当条件下，相应的ngvalue函数是同一产品空间上参数化RBSDE的解。为此，请考虑产品空间（bOhm,bF，bF，bP）从（4）开始，其中bP=P Pg和Pg是随机变量G的定律，它携带额外的信息。我们考虑带f的RBSDE（14）≡ 0，L（.）=Lα（.），ξ（.）=ξαT（.），其中l和ξ分别是势垒。常规RBSDE的最终变量（11）。然后我们得到以下参数zedRBSDE-dYt（.）=dKt（.）- Zt（.）dBFt，0≤ T≤ T、 YT（.）=ξαT（.），Yt（.）≥ Ltαt（.），0≤ T≤ T、 RT（Yt）- Ltαt（）dKt（.）=0.（17）由于我们在本节中使用了两种不同的过滤，因此我们用BFta布朗运动w.r.t F.表示上一节中定理4.15和备注4.16中关于αξt（.）的条件（i\'）和（iii\'）和Ltαt（.），RBSDES（17）有一个独特的解决方案（Y（.），Z（.），K（.））∈bS×bH×bI和Yt（.）是支付（·）=Ltαt（·）的非最优停止问题的值函数1[0，T[（T）+ξαT（.）1{T}（T），T∈ [0，T]。定理3.11激励我们定义（.）：=Y（.）α(.). 回想一下，由于关于G，α（.）是一个正连续鞅，所以∈[0，T]αs（.）∞. 这说明我们的定义是合理的。我们将证明，ATBY（G）是RBSDE的解决方案，对应于大型过滤中的优化问题。请注意，对于每个u∈ R、 α（u）是一个鞅w.R.t F，对于每个t∈ [0，T]，它有一个anbF-微不足道的版本。因此从命题4.7，{αt（.）}T∈[0，T]是鞅w.r.tbF。

如果我们假设它是BP-平方可积，则鞅表示定理4.13产生dαt（.）=βt（.）dBFt，其中β（.）这是anbF吗-与相应obP平方可积的可预测过程。根据伊藤公式，我们可以通过（.）以下RBSDE的满意度：-dbYt（.）=-（βt（）αt（）bYt（.）-Zt（.）αt（.）βt（.）dt+αt（.）dKt（.）-Zt（.）αt（.）-βt（.）αt（.）bYt（.）dBFt，0≤ T≤ T、 比亚迪ξ、 bYt（.）≥ Lt，0≤ T≤ T、 RT（bYt）- Lt）αt（.）dKt（.）=0.（18）斯科罗霍德条件具有规定的形式，因为EZT（bYt（.）- Lt）αt（.）dKt（.）=ZT（Yt（）αt（.）- Lt）αt（.）dKt（.）=ZT（Yt（）- Ltαt（）dKt（.）=0，bP- a、 e.我们现在定义（.）=R·αs（.）dKs（.）和bz（.）=Z（.）α(.)-β(.)α(.)由（.）。自α（.）在t和positive中是连续的，bK（.）是一个不断增长的过程≡ 0和dbKt（.）=dKt（.）αt（.）。此外，通过（.），bK（.）和4。4初始放大过滤中的RBSDE 19bZ（.）阿雷夫-可预测的过程。这从BF开始-Y（.）的可预测性，Z（.），K（.），α(.), 和β（.）。此外，我们还有ZTBZ（.）ds≤ 2ZTZs（.）αs（.）ds+2ZTβs（.）αs（.）比斯（.）ds≤ 两杯∈[0，T]αs（.）ZTZs（.）ds+2sups∈[0，T]Ys（.）！小吃∈[0，T]αs（.）！ZTβs（.）ds<∞,英国石油公司- a、 e.，b因为Y（.）在t中是连续的，α（.）连续且严格正的，和Z（.）和β（.）是方形的吗Ohm ×[0，T]。因此，BZ的Ito积分过程与BFZ的对应关系仍然是确定的，并且是一个局部鞅（见[34]，第3页和第5页）。

通过类似的论证，可以证明∈[0，T]| bYs（.）|≤小吃∈[0，T]αs（.）！小吃∈[0，T]| Ys（.|）！<∞,英国石油公司- a、 e.此外，由于K（.）∈bI，我们有BKT（.）≤小吃∈[0，T]αs（.）！KT（.）∞,英国石油公司- a、 e.现在我们引入以下空间，对应于H=（Ht）t上的filtrati∈[0，T]在任意概率空间上：\'\'HH={X:X=（Xt）0≤T≤真实航向- 预测表过程，ZT|Xt|dt<∞},\'SH={X:X=（Xt（.））0≤T≤t连续H- 可预测的过程，sup0≤T≤T|Xt|<∞},\'IH={K:K=（Kt）0≤T≤t压痕连续过程，K=0，KTHT- 可衡量的，KT<∞.}因此（bYt（.），bZt（.），bKt（.））0≤T≤T∈“SbF×”HbF×”IBF解决RBSDE问题-dbYt（.）=βt（.）αt（.）bZt（.）dt+dbKt（.）-bZt（.）dBFt，0≤ T≤ T、 比亚迪ξ、 bYt（.）≥ Lt，0≤ T≤ T、 RT（bYt）- Lt）dbKt（.）=0，（19）in（b）Ohm,bF，bF，bP）。Skorokhod条件来自（18），si nceZT（bYt（.）- Lt）dbKt（.）=ZT（比亚迪）- Lt）αt（.）αt（.）dKt（.）≤ （支持）∈[0，T]αT（）RT（bYt）- Lt）αt（.）dKt（.）=0.最后的不平等由（.）≥ 五十、 自α（.）是积极和持续的。下面的命题回顾了s m aller filteration中局部鞅相对于较大局部鞅的正则分解。4.4 RBSDE在最初扩大的过滤中的应用4.18。任何F-局部鞅M是G-正则分解的半鞅nMt=MGt+Ztd<M，α。（G） >sαs-（G） ，其中mgg是- 当地的m artingale。证据见定理2.5。[25]中的c。还有[2]和[7]。前向命题与α（.）implybT=BGt+Ztd<BF，α。（G） >sαs-（G） =BGt+Ztβs（G）αs（G）ds。（20） 现在考虑（bYt（G），bZt（G），bKt（G））0≤T≤注3.2，它是G的三元组- 可预测的过程。

在G处评估（19）并从ab-ove命题中替换bftf（bY（G），bZ（G），bK（G））∈“SG×”HG×”ig将满足以下要求：(Ohm, F、 G，P）：-dbYt（G）=dbKt（G）-bZt（G）dBGt，0≤ T≤ T、 bYT（G）=ξ，bYT（G）≥ Lt，0≤ T≤ T、 RT（bYt（G）- Lt）dbKt（G）=0。（21）RBSDE（21）是一种带有发电机f的初始放大过滤器G中的RBSDE≡ 0.正如我们将在以下章节中看到的，它与我们在初始放大过滤中的最优过滤问题有关。我们将在下面讨论解分量的平方可积性。RBSDE（19）具有一个与y无关的非平凡驱动。与SDE类似，我们可以应用Girsanov的理论来消除它。为此，我们设定为t∈ [0，T]qt（.）：=经验Rtβs（.）αs（.）dBFs-Rt（βs（.）αs（）ds. 那么Girsanov的理论意味着如果β（.）α(.)满足Novikov条件，即Beexp（ZT（βs（）αs（）ds）！<∞, （22）然后qT（.）是一个似然比，它定义了（b）上的一个新概率度量Ohm,bF）bybQ（A）=bEqT（.）1{A}（.）, A.∈bF，在其下BBT（.）：=BFt-Rtβs（.）αs（.）ds是布朗运动。我们现在假设（22）是满足的。在s步（b）上的概率度量Q下Ohm,bF，bF）我们重写（19）以得到以下标准参数（ξ，0，L）w.R.t布朗运动的rb（.），-dbYt（.）=dbKt（.）-bZt（.）dbBt（.），0≤ T≤ T、 比亚迪ξ、 bYt（.）≥ Lt，0≤ T≤ T、 RT（bYt）- Lt）dbKt（.）=0.（23）注意BB（G）=BGfrom（20）。从[9]可知，如果（i*）ξ∈bLbQ和（iii*）L∈bSbQ，4.4 RBSDE在一个初始放大的过滤21然后（23）公顷是一个独特的解决方案（通过（.），bZ（.），bK（.））∈bSbQ×bHbQ×bIbQ。此外，由于α（.）严格地说是肯定的，我们有αt（.）=βt（.）dBFt=βt（.）αt（.）αt（.）dBFt。因此，伊藤的公式给出了α（.）=经验Z·βs（.）αs（.）dBFs-Z·（βs）αs（）ds= q（.），和α（.）作为NBP和BQ之间的似然比。备注4.19。

从BQ的定义可以很容易地看出，对于ξα（.）和Lα（.），如果α（.）有界吗-a、 e.因此，我们可以说，最优停止问题中的初始放大对应于参数化RBSDE中的一个度量的变化，该度量是基础概率空间和附加信息G取其值的状态空间的乘积。有关完整的讨论，请参见[23]。例如，如果βt（.）αt（.）isbP-a、 e.有界。[12]中研究了这种情况。但它是限制性的，从下面的例子中可以看出，它并不适用于简单的例子。让我们最后讨论R BSDE（17）具有唯一解的条件。因为我们以后会提到这些条件，所以让我们在下面的假设中收集它们。假设4.20。(1) ξ ∈ L（2） L∈ s（3） α：bOhm ×[0，T]→ R+是有界的- a、 e.定理4.21。在假设（4.20）下，RBSDE存在唯一的解决方案（17）。它与美国未定权益的价值函数一致，且支付αt（.）1[0，T[（T）+ξαT（.）1{T}（T）和τ*（）=inf{s∈ [t，t]：Ys（.）=Lsαs（.）}∧T是买家的最佳停车时间。此外，如果满足Novikov的条件（22），则RBSDE（23）具有唯一的解。证据在假设（4.20）下，第4.3节中的可积性条件（i\'）和（iii\'）由ξ（.）=ξαT（.）和L（.）=Lα（.）。因此，根据定理4.15和注释4.16，RBSDE（17）存在唯一解，并且它与产品空间上相应的最优停止问题的值一致。RBSDE（23）解的存在性和唯一性遵循备注4.19。下面的例子表明，对于t>0，βtαt的边界很容易被忽略，尽管α是边界。例4.22。

设G=BT+X，其中BT是一维F的端点-b=0和X的布朗运动是一个具有中心正态分布的随机变量，方差>0，独立。在这种情况下，买方有关于BT的嘈杂信息。由于独立性，我们知道G有一个均值为零、方差为T+的正态律。因此，我们有所有的t∈ [0，T]P（BT+X）∈ du | Ft）=P（BT+X- Bt+Bt∈ du | Ft）=P（BT+X- 英国电信∈ 杜- y） |y=Bt=p2π（T- t+）exp-（u）- Bt）2（T- t+）du=αt（u）P（BT+X∈ du），4.5信息不对称的美式未定权益和p参数化RBSDE，其中αt（u）=q（t+）（t-t+）exp-（u）-Bt）2（T-t+）+u2（t+）, U∈ 这里给出的G的条件定律对于所有t的G定律是绝对连续的∈ [0，T]。不，那是为了所有的你∈ R、 α（u）=1，即α在（t，u）中是连续的∈ （0，T]×R，通过>0，我们得到了limu→±∞αt（u）=0，P- a、 因此，尽管如此∈ [0，T]，αT（·）是有界的- a、 e.从[22]可知βt（.）是αt（.）的Mal-liavin迹。所以我们有βt（）αt（.）=Dtln（αt（），T∈ [0，T]。因此我们得到βt（u）αt（u）=（t-t+（u）- （英国电信）这是没有根据的。4.5具有不对称信息和参数化RBSDE的美国未定权益在本小节中，我们将严格建立买方享有特权信息的美国未定权益SFO最优解决方案与RBSDE w.r.t.大型过滤解决方案之间的联系。引理4.23。根据第4.3节中的假设（i’）和（iii’），我们对t∈ [0，T]VGt=ess supτ′∈Tt，T（G）EhR（τ′）|Gti=Yt（G）αT（G）=bYt（G），其中Y（.）是RBSDE（17）和BY（G）sa tis FIES RBSDE（21）的解决方案。此外，τ*:BOhm → R+由τ定义*（G） =inf{s∈ [t，t]：Ys（G）=Lsαs（G）}∧ T=inf{s∈ [t，t]：bYs（G）=Ls}∧ 这是时间证明后买方的最佳时间。