信息不对称且反映BSDE的美式期权

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英文标题：
《American Options with Asymmetric Information and Reflected BSDE》
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作者：
Neda Esmaeeli, Peter Imkeller
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider an American contingent claim on a financial market where the buyer has additional information. Both agents (seller and buyer) observe the same prices, while the information available to them may differ due to some extra exogenous knowledge the buyer has. The buyer\'s information flow is modeled by an initial enlargement of the reference filtration. It seems natural to investigate the value of the American contingent claim with asymmetric information. We provide a representation for the cost of the additional information relying on some results on reflected backward stochastic differential equations (RBSDE). This is done by using an interpretation of prices of American contingent claims with extra information for the buyer by solutions of appropriate RBSDE.
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中文摘要：
我们考虑一个金融市场上的美国未定权益，在这个市场上，买方有额外的信息。两个代理（卖方和买方）都遵守相同的价格，但由于买方拥有一些额外的外生知识，他们可以获得的信息可能不同。买方的信息流通过参考过滤的初始放大来建模。在信息不对称的情况下研究美式未定权益的价值似乎很自然。根据反射倒向随机微分方程（RBSDE）的一些结果，我们给出了附加信息代价的表示。这是通过使用美国未定权益价格的解释，并通过适当的RBSDE解决方案为买方提供额外信息来实现的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：信息不对称 美式期权 BSDE SDE 不对称

信息不对称的美国选项和反映BSDENeda ESMAEELI的数学科学系哈里夫理工大学亚扎迪大道德黑兰14588-89694IranE-mail：nesmaili@mehr.sharif.irPeter伊姆凯勒*德国数学研究所林登国际学校610099柏林德国电子邮件：imkeller@math.hu-柏林。DeAbstracts我们考虑一个金融市场上的美国未定权益，在这个金融市场上，买方拥有额外的信息。两个代理（卖方和买方）都遵守相同的价格，但由于买方拥有一些额外的优势，他们可以获得的信息可能会有所不同。购买者的信息流通过参考过滤的初始放大来建模。在信息不对称的情况下，调查美式索赔的价值似乎很自然。我们根据反射后向随机微分方程（RBS-DE）的一些结果提供了额外信息成本的表示。这是通过使用美国未定权益价格的解释，以及适当RBSDE的buyerby解决方案的额外信息来实现的。2010年AMS科目分类：初级60G40、91G20；次级91G80，60H07。关键词和短语：美国未定权益；信息不对称；信息成本；初步扩大过滤；反映了BSDE。1简介或有权益是金融市场上的合同，其支付效果取决于到期或行权时的市场状态。Black和Scho les[5]、Merton[30,31]、Harrison和Kreps[20]、Harrison和Pliska[21]、Duffee[8]和Karatzas[26]等研究的完整市场上或有权益的估值和对冲问题，可以用反向随机微分方程（BSDE）来表述。

不完全市场上的定价和套期保值已经被许多作者研究了几十年。我们只提到了F？ollmer和Schweizer[13]、M？uller[32]、F？ollmer和Sondermann[14]、Schweizer[38]、Sch？al[37]、Bouchaud和Sornette[6]以及El Karoui和Quenez[10]的pionee rin g论文，他们是最先将这个问题与BSDE联系起来的人。BSDE是由Bis m ut[4]在布朗过滤的基础上引入的。Pardoux和Peng[35]证明了在系数和终端条件的适当平方可积假设下，适配解的存在性和唯一性。对于一些研究领域来说，BSDE代表了一个充满活力的研究领域，因为它与随机控制和数学金融密切相关。与欧盟的债权对应方不同，美国持续债权（ACC），如美国看涨期权或看跌期权，可以在到期前的任何时间行使。忽略利率，众所周知，美式未定权益过程的价值与支付过程的斯奈尔包络线有关，即支配它的最小的超级鞅。最佳运动时间由theSnell包络线的支付过程的击中时间给出。这一关键观察将最优停止问题与后向随机微分方程（RBSDE）联系起来，即BSDE被限制在给定屏障之上，在ACC的情况下，由Payoff函数给出。在El Karoui等人中首次研究了与ACC相关的连续时间RBSDE变异。[9]. 在这种情况下，溶液过程通过附加过程保持在反射屏障之外。2设置和预备工作2在经典的Skorok hod问题中，这个过程是非递减的。

关联d正态测度的支持包含在求解过程触及障碍的时间集合中。在本文中，我们考虑了买方比卖方拥有更好信息的情况下的美国未定权益。而后者的决策基于公共信息流F=（Ft）t∈[0，T]，买方拥有由某个rand om变量G建模的附加信息，该变量最初已经可用。Sohis的信息演变由放大过滤G=（Gt）t描述∈[0，T]且Gt=Ft∨ σ（G）。我们研究了这些额外信息对美国目标价值和最佳运动时间的影响。这种情况类似于一个内部人在简单的st可能模型中的最优投资问题，他的目标是从他的投资组合的终值中最大化预期效用，他的投资决策基于相关的更大信息流。Pi kovsky和Karatzas[36]首先在最初扩大过滤的基础上研究了这个问题。Elliott等人对模型的变体进行了研究。[11] Grorud和Pontier[16,17]，Amendinger等人[2]，或Ankirchner等人[3]。在Jacod[2 5]关于过滤初始放大的结果的基础上，在本文的第一部分中，我们将问题归结为一个标准的最优停止问题，前提是G对较小的过滤具有足够平滑的条件定律（密度假设）。在密度假设下，我们在扩大的空间上写出了用附加信息获得的美式未定权益的价值函数，作为修改后的美式未定权益的价值函数。

为了将其定义为潜在概率空间和G可能值的（真实）空间的乘积，我们给出了参数化F的G-st时间的系数化-停车时间。这是一个理性的选择，因为最初的扩张与该产品空间的量度变化有关；参见范例e Jacod[25]或Amendingeret al[2]。在第二部分中，根据El Karouiet等人[9]中的最优停止问题和RBSDE之间众所周知的联系，我们在布朗基础上定义了与过滤初始放大相关的产品空间上的相应RBSDE。EyraudLoisel[12]或Kharroubi等人[27]研究了（最初或逐渐）扩大过滤的BSDE。[12]中使用的方法是基于度量变化的，这是基于e的，但不是我们方法的主要工具。我们对RBSDE的处理是基于Ito演算和G中半鞅的正则分解。扩展El Karoui等人[9]的结果，我们根据RBSDE在杆uct空间上的解重写了具有不对称信息的美式未定权益的价值函数。这为RBSDE提供了更大过滤的解决方案。拥有额外信息的买方比卖方拥有更大的预期收益价值。我们根据两种不同RBSDE的解决方案研究买方的优势。论文的概要如下。在第2节中介绍了符号和假设之后，我们介绍了金融市场模型，其中包含了非对称信息。在第三节中，我们将G-停止时间分解为参数化的F-停止时间，并给出了一个具有不对称信息的ACC值的公式。我们还研究了条件期望值函数与小过滤的关系——一个最优投影问题。

第四节讨论了最优解与RBSDE之间的联系。我们调用了El Karo ui等人[9]的一些结果，并将其扩展到参数化RBSDE。我们定义了一个RBSDE，它对应于产品空间上的最优停止问题。通过改变这个RBSDE解中的变量，我们得到了一个具有附加信息的值函数的替代表达式，即初始放大过滤中RBSDE的解。在第5节中，我们根据效用差异确定了额外信息的成本。我们得到了一个关于不同空间上twoRBSDE解差异的代价公式。最后，我们在一个简单的例子中进行计算。2设置和初步设置let T>0表示一个固定时间。我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, F、 F，P），当F=（Ft）t∈[0，T]是满足右连续性和完整性通常条件的参考过滤比。此外，我们认为这是微不足道的。方程。涉及随机变量的线性性质通常被人们几乎肯定地理解。我们考虑一个随机变量G：Ohm → R.设G是F乘以G的初始放大，即G=（Gt）t∈[0，T]式中Gt=Ft∨ σ（G），t∈ [0，T].2设置和准备工作3我们用G和T的定律来表示e∈ [0，T]由PGt（ω，du）给出的G的条件定律的常规版本。在整个过程中，我们将假设雅科德的密度假设（[24]，[25]）在以下假设中得到满足。假设2.1。对于t∈ [0，T]，给出的G的正则条件定律与几乎所有ω的G定律等价∈ Ohm i、 e.P[G]∈ ·|[Ft]~ P（G）∈ ·) , 根据[25]的P–a.s.，对于每个t∈ [0，T]存在一个F B（R）-αt（u）（ω）的可测版本：=dPGt（u，ω）dPG（u），严格正。而对于每一个u∈ R、 {αt（u）}t∈[0，T]是鞅w.r.T.F。

我们记得[1，1.10上的命题]表明，fα的严格正性意味着过滤G的正确连续性∈ F中的R+和H过滤。我们用Tt表示，T（H）表示H的s et-值为[t，t]的停止时间s。定义2.2。考虑以下支付过程r=L1[0，T）+ξ1{T}，（1），其中L是F-适应实值c`adl`ag过程和ξan FT-可测量的随机变量，满足可集成性条件[supt]∈[0，T]| Lt |+|ξ|]<∞. （2） 对于t∈ [0，T]，τ∈ Tt，T（F），美式未定权益的价值函数定义为vt=ess supτ∈Tt，T（F）E[R（τ）|Ft]。（3） τ是制动装置的停止时间，起到控制工具的作用。我们认为在整个过程中≤ 书信电报≤ ξ < +∞.我们考虑一项美国索赔，与卖方相比，买方拥有额外信息。这些额外的信息可能基于优秀的分析师或更好的软件。附加信息由我们用G表示的随机变量描述。人们可能会问一个自然的问题：“有附加信息的美式未定权益的价值是多少？”？“另一个解决了以下问题。由于买家有更多的信息，他可以访问更多的可用停工时间，从而获得更高的支出。这立即导致了一个问题：“这些额外信息的成本是多少？”？“过滤通常对信息流进行编码。因此，通过放大过滤对额外信息进行建模是很自然的。我们将考虑对参考过滤进行初始放大。这意味着我们在初始时间将所有额外信息添加到参考过滤中。如上所述，G=（Gt）t∈[0，T]是F乘以G的初始放大倍数。

从形式上讲，包含额外信息会导致处理以下ProductSpace，其第二部分是由重新赋值的随机变量给出的附加信息的可能值的空间。所以我们考虑概率空间（bOhm,bF，bF，bP），在哪里Ohm := Ohm *R，bFt:=\\s>t（Fs B（R）），t∈ [0，T]，bF:=（bFt）T∈[0，T]，bF=F B（R），bP:=P η、 （4）式中η是（R，B（R））起附加信息定律作用的概率测度。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设（b）Ohm,bF，bP）已完成，且bF包含所有bP-空集ofbF。Wedenote bybE是英国石油公司的期望值。考虑到对tobP的预期，考虑到在最初扩大的过滤4中平均超过3个美国或有权益，附加信息可以假设的可能值，关于其在生产空间中管理第二个组成部分的法律。换句话说，对于定义在B上的随机变量XOhm 我们有（X）=EZRX（u）dη（u）. （5） 其中X（u）=X（，u），u∈ R.由于对美式未定权益价值函数的定义（3），回答上述问题的第一步是研究支持τ∈Tt，T（G）E[R（τ）|Ht]，（6）式中，Ht=Gt。我们还研究了ca-se-Ht=Ft，这将被视为一个最优投影问题。你的主要想法是寻找一个合适的代表G-停止时间为“参数化”F-停止时间，然后将问题简化为包含参考过滤的产品过滤中的相应问题。我们将在本节中回答第一个问题，而第五节将讨论第二个问题。我们用vg表示：=ess supτ∈T0，T（G）E[R（τ）|G]具有额外信息的美式未定权益的价值。我们将使用密度假设，将该值写入产品过滤bf中的未定权益值。

为此，我们需要过滤G的一些属性。我们从以下备注开始。备注2.3。G=σ（G）。通过F是右连续且F是平凡的这一事实证明了这一点。很明显，VGis是-可测量的随机变量。因此，通过因子分解，它的形式是f（G）w，其中f是实值可测函数。3.美国应急cl目标在最初扩大的过滤中，我们在本节中展示了G的特征-停车时间。然后，我们推导出了一个公式，该公式表示具有额外信息的美式未定权益的价值函数。通过这一部分，我们研究概率空间（bOhm,bF，bF，bP）从（4）式中，η=PG.3.1 G-停止时间的因式分解我们从以下命题开始。提议3.1。让X:bOhm×R+-→ R是一个BF-适应过程。对于随机变量G，过程X（G）：Ohm ×R+-→ R是G-改编。证据我们定义：Ohm -→BOhmω 7-→ （ω，G（ω））。然后固定的∈ [0，T]，我们对每个B∈ B（R）Xt（ω，G（ω））-1（B）=Xt（`G（ω））-1（B）=G-1（X）-1t（B））。（7） 3.1 G-停止时间s 5x的因式分解-1t（B）∈bFt，有足够的证据证明-1（C×D）∈ GTC∈ Ftand D∈ B（R）。事实上，我们有-1（C×D）=C∩ G-1（B）∈ 英尺∨ σ（G）=Gt。备注3.2。通过类似的论证，我们可以证明如果X:bOhm ×R+-→ R是anbF-逐步可测量（或可预测）过程，然后X（G）：Ohm ×R+-→ R是G-逐步可测量（可预测）。下面的赞成立场是G的特点-在ofbF条件下停止时间-停车时间。提议3.3。设τ′：Ohm → R+b是一个随机时间。τ′是G-如果存在anbF，则停止时间为on-停止时间τ：bOhm → R+使得P的τ′（ω）=τ（ω，G（ω））-a、 e.ω∈ Ohm.证据首先假设τ是anbF-停车时间。

对于t∈ [0，T]我们必须证明{τ（ω，G（ω））≤ t}∈ Gt。我们在前面的位置{τ（ω，G（ω））中定义了G≤ t} =（τ）o“（G）-1(-∞, t] =`G-1(τ-1(-∞, t] )∈ Gt，（8）最后一个等式来自于这个命题的证明。现在，为了证明相反的说法，我们首先证明，对于每一个G-可预测集H存在anbF-可预测过程ss{Jt（ω，u）}t∈[0，T]可以在（T，ω，u）中测量，使得h（s，ω）=Js（ω，G（ω）），P- a、 s，s∈ [0，T]。我们是素食者∨ σ（G）=σ（{F）∩ G-1（B）：F∈ 英尺，B∈ B（R）}），t∈ [0，T]。从可预测σ的定义-代数，我们得到p（G）=σ（{（t），∞)×（F）∩G-1（B））：F∈ 英尺，B∈ B（R），t∈ [0，T]}∪{{0}×（F）∩G-1（B））：F∈ F、 B∈ B（R）}）。我们从P（G）的生成器中的一个集合开始。所以让我们∈ [0，T]，F∈ 英尺，B∈ 假设H=（t，∞) ×（F）∩ G-1（B））。定义（ω，u）：=1（t，∞)×F×B（s，ω，u），s∈ [0，T]。那么Js（ω，u）isbF-可测量和BF-可预测的，因为e（t，∞) xf×B是anbF-可预测集。此外，对于（s，ω）∈ [0，T]×Ohm 我们有h（s，ω）=1（t，∞)×F（s，ω）·1（t，∞)×B（s，G（ω））=Js（ω，G（ω））。对于H={0}×（F∩ G-1（B））与F∈ F、 B∈ B（R）我们争论得很激烈。N新定义∧：={H∈ P（G）|J:男朋友- 可预测的，使得1H（t，ω）=Jt（ω，G（ω）），P- a、 s代表t∈ [0，T]。]我们知道P（G）的生成集是∧的子集。此外∧是λ-系统，所以根据toDynkin的π- λ定理，我们有P（G） Λ. 现在假设τ′是G-停车时间。然后[0，τ′]∈ P（G）。因此，根据Been n所展示的，存在着anbF-可预测过程J wh ich在（ω，u）中是可测量的，因此[0，τ′（t，ω）=Jt（ω，G（ω）），P- a、 s，t∈ [0，T]。现在定义τ（ω，u）：=inf{t>0:Jt（ω，u）=0}。过程J是bf-这是可以预测的-逐步可测量。因此，根据D’ebu t定理，τ是anbF-停车时间。此外，对于P- a、 eω∈ Ohm 我们有τ′（ω）=τ（ω，G（ω））。