高斯自相似随机波动率的小时间渐近性

回想一下，（40）和（41）中的Oε估计对于x>s+ε是一致的。因为jx（T）=eJx（T）+OεbJx（T）+ Oεexp(-logxs2T2H+1）！，作为T→ 0，公式（40）和（41）意味着jx（T）=eA√πβTγTn（1）-1.z（T）logx-经验-2z（T）logx1 +βTγT-!1+Oεz（T）logx+ Oεexp(-logxs2T2H+1）！+Oε经验-3z（T）logx作为T→ 0.因为对于T<1，sλ（1）+4λ（1）T-H-> z（T）>λ（1）-T-H-, 我们有εexp(-logxs2T2H+1）！+Oε经验-3z（T）logx= Oε经验-3z（T）logx= Oε经验-λ(1)-T-H-logx作为T→ 因此，Jx（T）=eA√πβTγTn（1）-1.z（T）logx-经验-2z（T）logx1 +βTγT-!1+Oεz（T）logx+ Oε经验-λ(1)-T-H-logx作为T→ 0.此外，对于所有T<1和x>s+ε，βTγT-≥ cT2H+1rlogx≥ cT2H+1logx≥ cz（T）logx,还有亨利1+βTγT-!1+Oεz（T）logx=1+OεβTγT-!!=1+OεT2H+1logx-!!作为T→ 最后，Jx（T）=eA√πβTγTn（1）-1.z（T）logx-经验-2z（T）logx1+OεT2H+1logx-!!+ Oε经验-λ(1)-T-H-logx作为T→ 0.回想一下，我们假设r=0。由（26）和（28）可知dt（x）=√海√T-H-十、-βTγTn（1）-1.z（T）logx-×exp-2z（T）logx1+OεT2H+1logx-!!+ Oε经验-λ(1)-T-H-logx（43）作为T→ 我们的下一个目标是从公式（43）中删除最后一个Oε项。通过分析（43）中的表达式，我们发现，为了证明上述表述，必须证明存在一个常数c>0，与T<Tand x>s+ε无关，并且xs-λ(1)-T-H-≤ 计算机断层扫描-H-十、-logxn（1）-1T-（2H+1）（n（1）-1） T2H+1×logx-xs-2z（T）T2H+1logx-.

（44）之前的不平等相当于以下内容：xs-λ(1)-T-H-≤ 计算机断层扫描-（2H+1）（n（1）-1） x-xs-2z（T）×logxn（1）-1.-1（45）既然（42）成立，那么（45）中的不平等就源于不平等xs-λ(1)-T-H-≤ 计算机断层扫描-（2H+1）（n（1）-1)×xs--λ(1)-T-H-√λ（1）T2H+1+4logxn（1）-1.-1.（46）为了证明（46）中的不等式，我们观察到，对于足够小的τ>0，存在一个常数τ，ε，使得cτ，εxs-τ≤logxn（1）-1.-1对于所有x>s+ε。此外，存在Tτ，ε>0，使得xs-τT-H-≤s+εs-τT-H-≤ T-（2H+1）（n（1）-1） 对于所有T<Tτ，ε。现在，很明显（46）是根据估算得出的λ(1)-- τT-H-≥+λ(1)-T-H-qλ（1）T2H+1+4+τ，（47）对于所有T<Tτ。不难看出存在数τ和Tτ，其中（47）中的不等式成立。这建立了（44），然后是dt（x）=√海√T-H-十、-βTγTn（1）-1.z（T）logxs-×exp-2z（T）logxs1+OεT2H+1logx-!!（48）作为T→ 0，其中ea由（32）给出。公式（48）将帮助我们描述函数t7的渐近行为→ DT（x）。假设x>s+ε。然后我们有βTγTn（1）-1=λ（1）n（1）-1.logxn（1）-1T-（2H+1）（n（1）-1） （1+小时）-n（1）-其中h=λ（1）T2H+1。因此βTγTn（1）-1=λ（1）n（1）-1.logxn（1）-1T-（2H+1）（n（1）-1)1+OT2H+1（49）作为T→ 0.此外，z（T）-= 2.λ（1）T2H+1+4λ（1）T2H+1-=√2λ（1）T2H+11+OT2H+1（50）安第斯-2z（T）logxs=xs-√4+λ（1）T2H+1√λ（1）TH+（51）as T→ 然后，结合（32），（48），（49），（50）和（51），并简化得到的表达式，我们得到公式（27）。这就完成了定理3.5的证明，即（16）中所考虑的模型中资产价格过程的无本金买入和卖出定价函数的渐近行为。通过c（T，K）=E[ST]定义调用和put pricingfunctions- K] +和P（T，K）=E[K-ST]+式中，T为到期日，K为履约价格。

回想一下，对于r=0的高斯随机波动模型，资产价格过程S是鞅（见引理1）。因此，put/callparity公式C（T，K）=P（T，K）+s- K持有。在本节中，我们将函数C和P视为固定履约价格到期日的函数，并在符号中抑制履约价格。我们的目标是将交感行为描述为T→ 函数t7的0→ C（T）表示K>s（无钱调用）和函数t7→ P（T）表示0<K<s（从资金投入中）。我们将首先考虑通话定价函数t7→ C（T）与K>s。已知C（T）=Z∞K（x）- K） DT（x）dx。（52）因此，我们可以使用公式（27）中的统一估计来描述通话定价函数的小时间行为。让我们考虑以下积分：I（T）=Z∞K（x）- K） x-logxn（1）-2exp-2z（T）logxsdx=s-Z∞Klogxn（1）-2exp-+ 2z（T）logxdx- s-KZ∞Klogxn（1）-2exp-+ 2z（T）logxdx（53）andI（T）=Z∞K（x）- K） x-logxn（1）-3exp-2z（T）logxsdx=s-Z∞Klogxn（1）-3exp-+ 2z（T）logxdx- s-KZ∞Klogxn（1）-3exp-+ 2z（T）logxdx，（54），为了简洁起见，我们使用（36）中的符号。下一步我们将做一个替换u=（2z（T）-) （53）中第二行积分中的logx。结果表达式如下：s2z（T）--n（1）Z∞（2z（T）-)logKsun（1）-2e-udu，等于tos2z（T）--n（1）Γn（1），2z（T）-罗格斯,其中，符号Γ代表Γ（s，x）=Z定义的上不完全伽马函数∞xvs-1e-vdv。对（53）和（54）中的其他积分进行类似的变换，我们最终得到i（T）=s2z（T）--n（1）Γn（1），2z（T）-罗格斯- s-K2z（T）+-n（1）Γn（1），2z（T）+罗格斯andI（T）=s2z（T）--n（1）-1Γn（1）- 1.2z（T）-罗格斯- s-K2z（T）+-n（1）-1Γn（1）- 1.2z（T）+罗格斯.众所周知，Γ（s，x）=xs-1e-十、1+（s）-1） x-1+O十、-2.（55）作为x→ ∞.

公式（55）可以很容易地从递推关系Γ（s，x）=（s）中推导出来-1） Γ（s）- 1，x）+xs-1e-xf表示上部的不完全伽马函数。因此i（T）=s2z（T）K-2z（T）+罗格斯n（1）-2[2z（T）-1+n（1）- 22（2z（T）-) logKs+O（T2H+1）！-2z（T）+1+n（1）- 22（2z（T）+对数+O（T2H+1）！]s2z（T）K-2z（T）+罗格斯n（1）-2.4z（T）-+ OT3H+作为T→ 因此，I（T）=s2z（T）K-2z（T）+罗格斯n（1）-2.4z（T）--1.1+OTH+（56）作为T→ 类似地，I（T）=s2z（T）K-2z（T）+罗格斯n（1）-3.4z（T）--1.1+OTH+（57）作为T→ 不难看出这一点4z（T）--1=λ（1）T2H+1。由（56）和（57）可知i（T）=λ（1）K罗格斯n（1）-2.sK2z（T）T2H+11+OTH+（58）作为T→ 类似地，I（T）=λ（1）K罗格斯n（1）-3.sK2z（T）T2H+11+OTH+（59）作为T→ 0.下一个断言描述了看涨定价函数的小时间渐近行为。定理4。假设K>s，那么下面的渐近公式适用于（16）描述的模型中的看涨期权定价函数：C（T）=MT（2H+1）（4）-n（1））sKλ(1)-T-H-1+OT2H+1（60）作为T→ 0，其中m=（sK）n（1）Γn（1）λ(1)4-n（1）罗格斯n（1）-2×∞Yk=2λ(1)λ(1) - ρk（1）nk。（61）证据。使用（27），（52），（53）和（54），我们可以看到C（T）=√sn（1）Γn（1）λ(1)-n（1）∞Yk=2λ(1)λ(1) - ρk（1）nkT-（2H+1）n（1）1+OT2H+1嗨（T）+OT2H+1I（T）ias T→ 0.接下来，（58）和（59），implyC（T）=（sK）n（1）Γn（1）λ(1)-n（1）-4.∞Yk=2λ(1)λ(1) - ρk（1）nk罗格斯n（1）-2T（2H+1）（4-n（1））sK2z（T）1+OT2H+1（62）作为T→ 我们还有λ（1）T2H+1+4λ（1）T2H+1-sλ（1）T2H+1=OTH+（63）作为T→ 0.因此，sK2z（T）=exp-2z（T）圆木= 经验(-sλ（1）T2H+1+4λ（1）T2H+1logKs）=exp(-sλ（1）T2H+1logKs）exp(-“sλ（1）T2H+1+4λ（1）T2H+1-sλ（1）T2H+1#logKs）作为T→ 0

使用（63），我们得到sK2z（T）=sKλ(1)-T-H-1+OTH+（64）作为T→ 很明显，定理4来自（62）和（64）。下一条语句允许我们从调用定价函数的渐近性中恢复自相似指数H。推论2。在定理4的条件下，对于每K>s，H=limT→0log logC（T，K）logT-. （65）证据。由（60）可知logc（T）=logM+（2H+1）（4- n（1））logT+λ（1）-T-H-logKs+OT2H+1（66）作为T→ 因此，log logC（T）=logλ(1)-T-H-罗格斯+ 日志1+OTH++TH+logT+TH+OT2H+1=H+对数+对数λ(1)-罗格斯+ OTH+logT（67）作为T→ 0.现在，很明显（65）遵循前面的公式。接下来，我们将注意力转移到货币卖出定价函数t7上→ 0<K<s的P（T）。利用（16）中模型的对称性，刻画了0<K<s的看跌期权定价函数的渐近行为。在（[41]引理9.25）中，给出了随机波动率模型对称性的几个等价条件。其中一个是（见[41]中的（9.79））：DT（x）=sxDTsx（68）对于所有x>0和T>0。很明显，对于（16）所描述的模型，前面的等式可以从公式（26）中推导出来。接下来，利用定理3和（68），我们建立以下命题。定理5。设0<ε<sand 0<x<s-ε. 然后作为T→ 0，以下渐近公式适用于（1）描述的模型中的资产价格密度DT:DT（x）=√sn（1）Γn（1）λ(1)-n（1）∞Yk=2λ(1)λ(1) - ρk（1）nkx-×logsxn（1）-2T-（2H+1）n（1）sx-√4+λ（1）T2H+1√λ（1）TH+×1+OT2H+11+OεT2H+1logsx-. （69）由于我们正在研究的模型是对称的，P（T，K）=KsCT、 sK. （70）（参见[41]中引理9.25中的条件3）。下一个断言来自定理4和（70）。定理6。设0<K<s。

那么下面的渐近公式适用于（16）所描述的模型中的put pricing函数：P（T）=MT（2H+1）（4）-n（1））Ksλ(1)-T-H-1+OT2H+1（71）作为T→ 0，其中常数M由M=（sK）n（1）Γ给出n（1）λ(1)4-n（1）洛格斯克n（1）-2×∞Yk=2λ(1)λ(1) - ρk（1）nk。（72）接下来，使用与推论2的证明相同的推理，我们得到以下陈述。推论3。在定理6的条件下，对于每0<K<s，H=limT→0loglogp（T，K）logT-. （73）6隐含波动率的渐近行为Theorems 4和6描述了具有中心高斯自相似波动率的astochastic波动率模型中看涨期权和看跌期权定价函数的小时间行为。在本节中，我们将研究这种模型中隐含波动率的小时间行为。我们将使用Gao和Lee在[35]中获得的一些结果。在非常一般的条件下，Gao和Lee在隐含波动率和看涨期权定价函数之间建立了一定的渐近关系。它们考虑了各种渐近状态，例如极端打击、小/大时间或混合状态。我们感兴趣的是[35]中推论7.3中的公式（7.11），它提供了一个渐近公式，用看涨期权定价函数表征隐含波动率的小时间渐近行为。根据这个公式，如果k6=s√ti（T，K）=罗格斯RlogC（T，K）1+O日志logC（T，K）logC（T，K）作为T→ 因此，I（T，K）=罗格斯r2TlogC（T，K）+ O日志logC（T，K）√TlogC（T，K）（74）作为T→ 0.以下断言可以从（60）和（74）中派生出来。定理7。设K>s。那么以下渐近公式适用于（16）描述的模型中的隐含挥发分：I（T）=λ（1）qlogKs√T2H-1+OT6H+1日志（75）作为T→ 0.证明。它来自（66）和（67）thatlogC（T）≈ T-H-andlog logC（T）≈ 洛塔斯T酒店→ 0

此外，中值定理暗示logC（T）-=λ(1)-T-H-罗格斯-+ OT6H+3logT= λ(1)罗格斯-T2H+1+OT6H+3logT作为T→ 0.现在不难看出（75）遵循（74）和之前的公式。备注2。假设K>s。根据定理7，如果赫斯特指数满足0<H<，则隐含波动率t7→ I（K，T）在T=0时是单数的，它的行为接近于零，就像函数t7一样→ T2H-1.对于标准布朗运动，H=，我们有limt→0I（K，T）=λ（1）qlogKs√.最后，对于<H<1，隐含波动率t7→ I（K，T）趋向于零，就像函数t7一样→T2H-1.下一个陈述是定理7的推论。它提供了隐含波动率方面的自相似指数的表示。推论4。设K>s，则下列等式成立：H=2 limT→0logI（T，K）logT+。（76）在0<K<s的情况下，定理7，推论4，对称条件I（T，K）=IT、 sK（见[41]，引理9.25）暗示以下断言。定理8。设0<K<s。那么以下渐近公式适用于（16）描述的模型中的隐含挥发分：I（T）=λ（1）plogsK√T2H-1+OT6H+1日志（77）作为T→ 0.推论5。假设0<K<s。那么等式（76）适用于货币期权的自相似指数H.7。在这一节中，我们考虑一个随机自愿模型，其中波动过程X（H）是一个自适应的H-自相似高斯过程。和前面一样，我们假设r=0。让我们也假设K=s（在货币情况下）。

请注意，这里我们并不假设波动过程是以中心为中心的。使用（26）和公式c（T，K）=Z∞K（x）- K） DT（x）dx，我们得到了以下等式：C（T，s）=√s√2πT-H-Z∞U-1exp-T2H+1uep（u）du×Z∞s（x）- s） x-经验(-logxs2T2H+1u）dx=√s√2πT-H-Z∞U-1exp-T2H+1uep（u）duדZ∞sx-经验(-logxs2T2H+1u）dx- sZ∞sx-经验(-logxs2T2H+1u）dx#。根据前面的公式C（T，s）=s√2πT-H-Z∞U-1exp-T2H+1uep（u）×Φ（T，u）- Φ（T，u）]du，（78）式中Φ（T，u）=Z∞Y-经验-logy2T2H+1udy（79）和Φ（T，u）=Z∞Y-经验-logy2T2H+1udy.（80）我们的下一个目标是估计（79）和（80）中定义的函数Φ和Φ。我们有Φ（T，u）=Z∞经验-w2T2H+1u-Wdw=expT2H+1uZ∞经验(-2T2H+1uW-T2H+1u)dw=expT2H+1uZ∞-T2H+1exp-2T2H+1uzdz=TH+u expT2H+1uZ∞-TH+uexp-Ydy.类似地，Φ（T，u）=TH+u expT2H+1uZ∞TH+uexp-Ydy.TΦ（T，u）- Φ（T，u）=2TH+u expT2H+1uZTH+uexp-Y（81）下一个引理将在续集中有用。它将允许我们估计（81）中的积分。引理4。设0<a<1。那么下列不等式是有效的：a-A.≤Zaexp公司-Ydy≤ A.-另一方面，如果≥ 1那么√π√-aexp-A.≤Zaexp-Ydy≤√π√-aa+1exp-A.. （83）证据。（82）中的不等式可以用泰勒展开式和第二项和第三项建立。为了证明（83）中的估计，我们使用以下已知不等式：xx+1exp-十、≤Z∞xexp-Ydy≤xexp-十、, （84）对于所有x>0。前面的不等式源自[1]第7.1.13节中给出的更强估计。现在，（83）可以从（84）和等式中导出-Ydy=√π√-Z∞aexp-Y这就完成了引理4的证明。下一个断言提供了资金调用时的估计值。定理9。

以下不等式适用于每T>0:U（T）≤ C（T，s）≤ U（T），其中U（T）=s√2πTH+Z∞ep（u）udu-s√2πT3H+Z∞ep（u）udu+2s√2πTH+Z∞epvTH+√π√-v+v-vexp-五、dvandU（T）=s√2πTH+Z∞ep（u）udu-s√2πT3H+Z∞ep（u）udu+s√2πT5H+Z∞ep（u）udu+2s√2πTH+Z∞epvTH+√π√-v+v-五、-2vv+4exp-五、dvProof。它由（78）、（81）和引理4 thatC（T，s）得出≤s√2πZTH+ep（u）TH+u-T3H+u+T5H+udu+2s√2πZ∞TH+ep（u）”√π√-2H+uT2H+1u+4exp-T2H+1u#du=s√2πZ∞ep（u）TH+u-T3H+u+T5H+u杜-2秒√2πZ∞TH+ep（u）TH+u-T3H+u+T5H+udu+2s√2πZ∞TH+ep（u）”√π√-2H+uT2H+1u+4exp-T2H+1u#杜。（85）和C（T，s）≥s√2πZTH+ep（u）TH+u-T3H+udu+2s√2πZ∞TH+ep（u）√π√-TH+uexp-T2H+1udu=s√2πZ∞ep（u）TH+u-T3H+u杜-2秒√2πZ∞TH+ep（u）TH+u-T3H+udu+2s√2πZ∞TH+ep（u）√π√-TH+uexp-T2H+1u杜。（86）现在，不难看出，在代换v=TH+u时，定理9来自（85）和（86）。下一个陈述描述了在高斯自相似随机波动率模型中，货币赎回定价函数的小时间渐近行为。推论6。以下公式适用于T→ 0:C（T，s）=cTH+- cT3H++OT5H+, （87）式中C=s√2πZ∞p（u）udu（88）和c=s√2πZ∞p（u）udu。（89）证据。对于中心波动过程X，我们将使用公式（31））。对于非中心波动过程X，我们需要以下公式：ep（X）=2Cxn（1）-1exp（sδ（1）λ（1）x）exp-x2λ（1）×1+O十、-1.（90）作为x→ ∞, 其中常数C由（19）给出。公式（90）现在很容易从（23）和（24）中推导出来。根据定理9，C（T，s）- U（T）≤ U（T）- U（T）≤s√2πT5H+Z∞ep（u）udu+2s√2πTH+Z∞epvTH+vexp-五、+2vv+4exp-五、+五、dv。（91）让我们接下来假设过程X居中。然后，使用（31），我们可以看到，对于v>2和足够小的T值，TH+epvTH+≤ αvTH+n（1）-1TH+exp-v2λ（1）T2H+1≤ αTH+exp-v4λ（1）T2H+1≤ αTH+exp-2λ（1）T2H+1经验-v8λ（1）≤ αexp-4λ（1）T2H+1经验-v8λ（1）.

（92）这里α>0是一个常数，它可能会随着线的变化而变化。现在假设进程X未被输入。对于v>2和足够小的T，TH+epvTH+≤ αvTH+n（1）-1TH+exp（sδ（1）λ（1）vTH+）exp-v2λ（1）T2H+1≤ αTH+exp-v4λ（1）T2H+1≤ αexp-4λ（1）T2H+1经验-v8λ（1）. （93）最后，考虑到（91）、（92）和（93），我们得到C（T，s）- U（T）=OT5H+（94）作为T→ 0.现在，不难看出，使用U，（92）和（94）的定义c（T，s）=bTH+- bT3H++OT5H+,其中b=s√2πZ∞ep（u）uduandb=s√2πZ∞ep（u）udu。最后，使用等式ep（u）=2up（u），我们得到bi=cifori=1，2。这就完成了对CBS（T，s，σ）=s给出的r=0和K=sis的Black-Scholes看涨期权定价函数的推论6.8隐含波动率的证明√2πZσ√T-σ√Te-ydy=s√πZσ√T√E-xdx。因此，CBS（T，s，σ）=serfσ√T√!, （95）其中erf是由erf（u）定义的误差函数=√π街-xdx。误差函数是从[0]开始严格递增的连续函数，∞) [0，1]的逆函数用erf表示-1.已知逆误差函数具有以下麦克洛林展开式：erf-1（z）=√πz+πz+7πz+···, 0≤ Z≤ 1（96）（见[]）。根据隐含波动率的定义，CBS（T，s，I（T，s））=C（T，s）。因此，（95）意味着（T，s）=√√特夫-1.C（T，s）s.接下来，使用（96），我们得到i（T，s）=√2π√TC（T，s）s+πC（T，s）s+OC（T，s）（97）作为T→ 现在，我们准备好描述货币制度下隐含波动率的小时间渐近行为。定理10。下面的渐近公式成立为T→ 0:I（T，s）=太赫兹∞p（u）udu+T3H+1“Z∞p（u）udu-Z∞p（u）udu#+OT5H+2. （98）证据。我们的第一个目标是获得隐含波动率的渐近公式，误差项为O阶T5H+2, 使用（97）中的公式（87）。