高斯自相似随机波动率的小时间渐近性

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英文标题：
《Small-time asymptotics for Gaussian self-similar stochastic volatility
  models》
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作者：
Archil Gulisashvili, Frederi Viens, Xin Zhang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider the class of self-similar Gaussian stochastic volatility models, and compute the small-time (near-maturity) asymptotics for the corresponding asset price density, the call and put pricing functions, and the implied volatilities. Unlike the well-known model-free behavior for extreme-strike asymptotics, small-time behaviors of the above depend heavily on the model, and require a control of the asset price density which is uniform with respect to the asset price variable, in order to translate into results for call prices and implied volatilities. Away from the money, we express the asymptotics explicitly using the volatility process\' self-similarity parameter $H$, its first Karhunen-Loeve eigenvalue at time 1, and the latter\'s multiplicity. Several model-free estimators for $H$ result. At the money, a separate study is required: the asymptotics for small time depend instead on the integrated variance\'s moments of orders 1/2 and 3/2, and the estimator for $H$ sees an affine adjustment, while remaining model-free.
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中文摘要：
我们考虑了一类自相似高斯随机波动率模型，并计算了相应资产价格密度、看涨期权定价函数和隐含波动率的小时间（接近到期）渐近性。与著名的极端打击渐近无模型行为不同，上述小时间行为严重依赖于模型，需要控制资产价格密度，该密度与资产价格变量一致，以便转化为买入价格和隐含波动率的结果。除了金钱，我们使用波动过程的自相似参数$H$、其在时间1的第一个Karhunen-Loeve特征值以及后者的多重性显式地表示渐近性。对$H$结果的几个无模型估计。在money，需要进行一项单独的研究：小时间的渐近性取决于1/2阶和3/2阶的综合方差矩，而$H$的估值器看到一个仿射调整，同时保持无模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Small-time_asymptotics_for_Gaussian_self-similar_stochastic_volatility_models.pdf (1.15 MB)

2022-5-8 05:59:52 上传

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关键词：波动率 Mathematical volatilities Quantitative asymptotics

高斯自相似随机波动率模型的小时间渐近性Sarchil Gulisashvili，*Frederi Viens，+和Xin Zhang，摘要我们考虑了一类自相似高斯随机波动率模型，并计算了相应资产价格密度、看涨期权定价函数和隐含波动率的小时间（接近到期）渐近性。与著名的极端打击渐近无模型行为不同，上述小时间行为严重依赖于模型，需要控制资产价格密度，该密度与资产价格变量一致，以便转化为买入价格和隐含波动率的结果。除了金钱之外，我们还使用波动过程的自相似参数H、其在时间1的第一个Karhunen Lo`eve特征值以及后者的多重性来明确表示渐近性。H结果的几个无模型估计。

在money，需要进行一项单独的研究：小时间的渐近性取决于综合方差的阶数和矩，而H的估计值可以看到一个有效的调整，同时保持无模型。AMS 2010分类：60G15、91G20、40E05。关键词：随机波动率模型，高斯自相似波动率，隐含波动率，小时间渐近性，Karhunen-Lo`eve展开式。1引言本文研究了一类具有布朗噪声和独立高斯自相似波动率的连续时间BlackScholes-Merton模型的资产价格密度、看涨期权价格和隐含波动率的小时间（接近到期）渐近性。这些技术借鉴了我们之前工作[44]中建立的通用高斯效用模型框架；他们使用了拉普拉斯方法的定制应用，需要对敲定价格K与货币（k6=s）之间的一致性进行细致分析，并应用[35]的一般结果，将买入价格的渐近性转化为隐含价格。自相似参数H结果的无模型估计。除了金钱之外，所有的渐近常数和幂都用H和卡鲁宁-洛伊夫展开式中的系数明确表示*俄亥俄大学数学系，俄亥俄州雅典45701。电子邮件：gulisash@ohio.edu+普渡大学统计系，西拉斐特，47907年。电子邮件：viens@purdue.edu——普渡大学数学系，西拉斐特，47907年。电子邮件：zhang407@math.purdue.eduthe波动。在money（K=s）公司，需要进行单独的研究。

这篇引言包含了上述小时间渐近问题的一般背景、我们的动机以及我们所有结果的精确总结。1.1一般背景几十年来，众所周知，Bachelier Black Merton-Scholes框架在解释金融市场的各种基本特征和帮助定义基本概念（包括作为噪音强度相对尺度的波动性）方面非常丰富，但在某些方面，尤其是波动性在经验上并不是恒定不变的事实。再加上非随机波动率（这意味着正态分布的对数收益率）由于尾部过轻而难以解释某些极端事件，我们很快就得出了大量的随机波动率模型，即，收益的相对噪声强度本身是一个随机过程的连续时间模型，至少部分由外生噪声驱动。关于随机波动率（SV）的大量文章和专著可供这些模型的理论和经济论证参考；我们引用经典文本[32]。特别有趣的是，SV模型能够重现期权价格的一些理想市场特征，如“微笑”和隐含波动率（IV）的其他非扭曲形状，即需要恒定波动率模型来解释给定看涨期权价格的波动率。byRenault和Touzi在[58]中提出了解释经验性观察到的IV形状的第一个数学处理方法。最近的研究详细研究了IV渐近性的问题，也就是说，IV的行为是重要的参数，如执行价格K和到期日趋向极值。

值得注意的是Lee的开创性论文[49]，其中以股价的最大（最小）非爆炸时刻描述了IV的大罢工（小罢工）行为。高斯波动率模型属于动量爆炸模型。有关IV形状和IV的极端走向渐近性的更多细节和其他参考资料，请参阅我们之前工作[44]中的引言部分，在该部分中，我们从最广泛的意义上研究了一类不相关的高斯波动率模型。1.2密度、期权定价函数和隐含波动率的特定动机和建模选择一直是研究的热门话题。有各种独立于模型的结果（参见[9,35,47,59]），解释了IV的渐近性如何依赖于期权定价函数的渐近性。也有人讨论了上述函数在随机波动或局部随机波动模型（见[4,7,23,27,28,39,47,57]）和特殊模型（见[3,24,25,51,54,53]（带跳跃的模型）、[22,26,29,30]（赫斯顿模型）、[19,20]（斯坦-斯坦模型）、[45,46,42,57]（萨博模型））情况下的小时间渐近性。本文在[44]之前的研究的基础上，试图阐明IV在高斯波动模型子类中的小时间行为，该模型由具有自相似波动过程的模型组成。事实证明，在一般的美国背景下建立小时间渐近性比确定大罢工行为要求更高。这可以被理解为一个事实的表现，即在小时间或大时间政权中，李的动量公式没有无模型的类似物。

在本文中，我们通过专门研究自相似波动率的情况来说明这一挑战；我们将看到，callprice和IV的小时间行为类型对自相似参数H非常敏感。如果我们要利用这些结果来帮助确定H，这是个好消息，我们将看到。事实上，我们的研究还允许我们研究长记忆SV校准的问题，因为在许多已知模型中，长距离依赖和自相似性通过其共同的赫斯特参数H相互替代。基于孔德和雷诺在[11]中开创的对数波动性高斯长记忆模型，[10]中的工作使用了一种基于期权价格的特别校准方法来确定H，以便最好地解释市场价格。分数波动率模型也出现了[6、12、36、37、38、31、33、34、40、52、61]。在本文中，我们证明了在波动过程的自相似假设下，Hnear成熟度的校准可以提供更强的数学基础。参数H也可以作为局部正则性测量的代理，从路径的H–older连续性参数的意义上来说。在撰写本文时发表的一些最新论文和演示似乎表明，波动率是粗糙的，从某种意义上说，对数波动率过程是分数的，并且不连续1/2- ε<H<1/2，其中ε为正数（见[36,37,38]）。另一方面，[10]和之前的许多研究（见其中的参考文献）表明，就记忆长度而言，H>1/2。

这表明，使用H来测量自相似性和长记忆以及路径规则性/粗糙度，例如分数布朗运动（fBm），可能是波动率建模中的一个误判。[38]的作者指出，经典的长记忆测试在其Gaussianrough波动率模型中检测到了这一特性，该模型是一个几何fBm或具有较短记忆（H<1/2）的几何OU过程。另一方面，文献[10]中的研究表明，在文献[11]的非自相似平稳长记忆模型中，任何经典方法在实践中都不会产生一致的记忆估计结果。我们目前的工作有助于阐明这些观点之间的差异；我们在此不作进一步评论。关于长记忆VS短记忆问题的有趣讨论见[38]第1.2节。在任何情况下，本文中包含并将在本文介绍的最后讨论的数字表明，我们的模型类允许使用非常精确的校准工具。在总结我们的结果之前，我们先讨论一些经典的高斯自相似模型。关于这门课的一般细节见第3节。这是[0，T]上的高斯过程，对于一些H∈ （0,1）对于任何一个a>0，这两个过程t7→ Xtandt 7→ 它们有相同的分布（规律）。其中最著名的是分数布朗运动（fBm）BH，这是一种中心高斯过程，其定律由BH（0）=0 andEh定义必和必拓- 行李处理系统i=|t- s | 2H。这是唯一的（连续的）自相似中心高斯过程，具有静态增量。关于伯克希尔哈撒韦，可以查阅许多文本，例如[55,56,61]。

在许多其他中心高斯自相似模型中，最容易构造的是Riemann-Liouville fBm，定义为BH，RLt=Rt（t- s） H-1/2dW（s），其中W是标准的维纳过程（例如参见[50]）。这个过程是H-自相似的，其性质接近于fBm，并且更易于计算。所谓的双分式布朗运动依赖于两个相似参数H和K，它有一个更复杂的表示形式，即带有参数HK的fBm和带有参数C的过程之和∞不适用于布朗过滤的路径：见[48]，另见[5]及其参考文献。这个过程是HK自相似的，可以模拟顺利获得的外源信息的影响，是所谓的亚分数布朗运动的延伸（见[8]）。自相似高斯过程也可以作为随机偏微分方程的解获得：在[63]中研究了一个包含分数阶有色随机热方程解的类，它具有一个有趣的性质，即其离散二次变化的函数在低于fBm的自相似阈值下变为非高斯函数，并且可以根据需要调整到BEA低。这有助于建模局部行为具有比标准fBm允许的更大尾部波动的波动性，无论波动性的自相似性如何。它还允许建模者独立选择规则性和自相似性，这比[11,10,38]中考虑的模型更灵活。在[8,18]中可以找到更多类似高斯过程的例子。

有趣的是，许多高斯自相似模型与fBm具有相同的路径规律性，因为可以证明存在正的有限常数c，c | t-s | 2H<Eh | Xt- Xs | i<C | t- s | 2H，其中符号hs代表所考虑模型的自相似参数。最后，值得注意的是，自相似性意味着X=0，并且V ar[Xt]与t2H成比例。这是一个关于X的强假设。波动率的不确定性水平随时间增加是一个合理的保守预测假设。波动性从0开始是更具限制性的，因为在我们的IV上下文中，它对应于说基础风险资产的波动在衍生品到期时趋于确定性。这种行为是特定风险资产类别的特征，如固定收益证券（如国债）和优先股的分割流；这是普通股的典型特征。为了软化X=0的假设，我们可以给每个中心的自相似X加上一个常数平均值；看来，这将需要本文未包含的其他非琐碎工具。鉴于本文的篇幅，我们选择将这一改进留给下一个工作。然而，可以包括每个XT的非零平均值，其与tH成比例；这就是本文使用的框架。1.3主要结果、证明技术和数值总结[44]中，我们研究了高斯随机波动率模型。这种模型中的资产价格过程S满足以下线性随机微分方程：dSt=rStdt+|Xt | StdWt，（1）其中X是过滤完全概率空间上的连续自适应高斯过程(Ohm, F、 {Ft}，P），W是平面上的标准布朗运动(Ohm, F、 P）关于过滤{Ft}，S=S>0 a.S.，和r≥ 0是无风险利率。

我们将在整篇论文中假设processesX和W是独立的。在（1）中的模型中，波动率由连续高斯过程的绝对值来描述。高斯随机波动模型的一个重要特殊例子是[62]中介绍的Stein-Stein模型，其中X in（1）是一个Ornstein-Uhlenbeck过程。如果S=S，到期日为T且履约价格为K的S上的看涨期权的价格为C（T，K）；该价格等于Black-Scholes模型中的价格CBS（T，K；σ），波动率σ取决于T和K。σ的值称为隐含波动率（IV），用I（T，K）表示。在本文中，我们集中讨论了当K固定时，小T的C和I的行为；因此，我们典型地降低了C和I对K的依赖性。特别重要的是积分方差YT:=RTXtdt的密度pto。这个YTis的中心版本是Wiener空间第二个混沌中的随机变量，与W无关。X的协方差函数作为L（[0，T]）上的紧自伴线性算子，具有非零特征值（λn:n=1，2，…）以非递增顺序排列，重复多次。这和相应的本征函数是所谓的X的Karhunen-Lo`eve（KL）分解（参见[2,65]）和Y的相应分解的基础。在任何情况下，pTnear的交感行为+∞, 它是在[44]中建立的，取决于特定的KL统计，包括顶部特征值λ，其重数n，以及λ的特征空间在X的平均函数上的重标L（[0，T]）-正交投影δ（见下面的定理1）。