高斯自相似随机波动率的小时间渐近性

当应用于H-自相似X的情况时，通过简单的标度公式pT（y）=T-2小时-1pT-2小时-1y, pT（·）在x上的行为→ +∞ 转化为围绕T的扩展→ 0+的密度pT（x）的平方根版本的YT，精确到一个因子1+牛真实航向对于任意固定x>0：参见定理2中的渐近公式（18）。备注1。对于各种高斯过程的Karhunen-Lo`eve特征，存在明确的公式。对于布朗运动、布朗桥和OU过程，这些公式可以在[16]中找到。对于OU桥，可以参考[17,15]，对于[18]中介绍的高斯过程，可以在同一篇论文中找到Karhunen-Lo`eve分解。不幸的是，即使对于经典的分数高斯过程，例如fBm或fOU，卡鲁宁-洛伊夫特性也不知道。在[14]（另见[13]）中，Corlay开发了一种强大的数值方法来逼近Carhunen Lo`eve特征值和特征函数。Corlay在他的工作中使用了与梯形积分规则相关联的Nystr–om方法，并结合了Richardson-Romberg外推。W和X的独立性意味着，由混合公式（6）给出的STI的密度dt涉及自相似标度特性epT（y）=T-Hep（T）-Hy）。然后，巧妙地使用拉普拉斯的方法，就可以将定理2转化为任何在看涨期权定价中“缺钱”的x的DT（x）的小T渐近性，在这个意义上，大O项依赖于一个参数ε>0，以允许x>s+ε（未来股价参数x，在计算IV时代表冲销价格K，超过初始股价sb的幅度ε）。

我们发现（定理3），对于x>s+εDT（x）=√sn（1）Γn（1）λ(1)-n（1）∞Yk=2λ(1)λ(1) - ρk（1）nk×x-logxn（1）-2T-（2H+1）n（1）xs-√4+λ（1）T2H+1√λ（1）TH+×1+OT2H+11+OεT2H+1logx-!!（2） 其中，重复符号（1）表示T=1的KL元素，其中NK是第k个最大KL特征值ρk的乘积。符号O仅取决于X的协方差，而不取决于X或ε。符号Oε取决于X的协方差和ε，而不是X。我们在r=0且波动过程X（H）居中的假设下证明了公式（2）。r>0且过程X（H）未输入的情况更复杂，将在未来的出版物中讨论。能够建立上述误差项的精确x行为对于将DT（x）的行为转换为函数C和I至关重要。具体而言，我们在不需要金钱调用的情况下获得以下结果，即T→ 0+（定理4）：对于K>s，C（T）=mt（2H+1）（4）-n（1））sKλ(1)-T-H-1+OT2H+1（3） 其中，如果远离s，则上面的大O不依赖于K，常数M与第（2）行右侧的常数成正比。利用问题的对称性（定理6），得到了无本金卖出价格P（T，K）（0<K<s）的一个近似一致的结果。最后，根据Gao和Lee[35]在C的基础上计算IV的小时间渐近性的一般结果，我们在定理7和8中得出，对于0<k6=s，I（T）=λ（1）r罗格斯√T2H-1+OT6H+1日志（4） 其中，在远离0和s的任何紧致区间内，大O在K上再次是一致的。表达式（3）中C的主导因子，以及与P类似的主导因子，是指数因子。在I的表达式（4）中，只有一个候选项代表主导项。

因此，人们可以通过将买入价、卖出价或IVs与货币分开作为经验统计数据来估计H：H=limT→0log logC（T，K）logT-= 限制→0loglogp（T，K）logT-= 2极限→0logI（T，K）logT+，其中第一行适用于K>s，第二行适用于K<s，第三行适用于所有k6=s（推论2、3、4和5）这些H表达式不依赖于任何模型参数和统计数据，从这个意义上讲，在自相似模型类中是无模型的。然而，在实践中，由于该政权→ 0受到以流动方式交易期权的能力的限制，有效地循环到到期日，通常需要（3）和（4）中的完全渐近性来帮助控制估计误差。我们注意到，当K=s时，C和I的上述渐近形式上丢失了信息，因为表达式| log（K/s）|为零，因此消除了主导项。因此，在这种情况下，Habove的估计值不再有效。我们对资金状况进行了详细调查。这些精巧的计算基本上是“手工”完成的。由此产生的渐近性似乎与模型统计有关，而模型统计不能以任何简单的方式与KL元素相关，因为它们需要计算非显式积分方差定律的1/2阶和3/2阶矩u1/2和u3/2。作为T→ 0，我们得到推论6，即c（T，s）=su1/2√2πTH+-su3/2√2πT3H++OT5H+,在定理10中，i（T，s）=u1/2+u1/2- u3/2T3H+1+OT5H+2. （5） 同样，可以得到简单的H估计，它不依赖于矩u1/2和u3/2，例如EOREM 11:H=limT→0logI（T，s）logT。为了从数值上说明各种渐近公式的用法，我们使用经典的蒙特卡罗方法，从自相似波动率模型中提供了模拟股票价格，以及相应的买入价格和IVs。

使用市场现实的参数选择，我们展示了价格和IVs与我们的渐近公式的接近程度，注意到在买入价情况下，FIT是好的，在IV情况下，FIT是优秀的，到期时间长达2周。因此，当我们证明我们基于IV的无模型H校准公式在大多数情况下精确到2分点，最多7天，在某些情况下精确到14天时，也就不足为奇了。出于流动性考虑，能够使用最长的到期时间在实践中很重要。这些都在第9节中解释。本文其余部分的结构如下。关于高斯波动率模型的一些数学背景，主要取自[44]，见第2节。第3节提供了综合方差密度自相似性的标度结果。第4节包含ST密度的主要渐近分析。第5节和第6节分别介绍了call、put和IV渐近线远离货币的后果。第7节和第8节包含货币的call和IV渐近性。第9节中的数字完成了本文。2高斯随机波动率模型的数学背景在本节中，我们考虑（1）定义的高斯随机波动率模型。让我们定义时间范围T>0，并用m和K表示过程x的平均函数和协方差函数，由m（T）=E[Xt]，T给出∈ [0，T]和k（T，s）=E[（Xt- m（t））（Xs- m（s））]，t∈ [0，T]分别。假设K（s，s）>0，如果0≤ s≤ T以下公式适用于（1）描述的高斯模型中资产价格的分布密度Dt:Dt（x）=√塞特√2πtx-Z∞Y-1exp(-“logxsert2ty+ty#）ept（y）dy.（6）在（6）中，ept是随机变量Eyt的分布密度=TZTXSD. （7） 该函数称为混合密度（见[41]）。

公式（6）的证明可在[43,41]中找到。将Karhunen-Lo`eve定理应用于高斯过程{Xt}t∈[0，T]，我们得到下一个=∞Xn=1pλnen（t）Zn。（8） 在（8）中，{en=en，T}是协方差算子（f）（T）=Z0，Tf（s）K（T，s）ds，f的本征函数的正交系统∈ L[0，T]，0≤ T≤ T、 和{λn=λn（T）}，n≥ 1是相应的特征值（计算重数）。符号Zn=Zn，T，n≥ 1，in（8）代表一个由N（0，1）个随机变量组成的系统。我们总是假设正交系统{en}被重新排列，使得λ=λ=···=λn>λn+1=λn+2=··=λn+n>。为了简短起见，我们引入以下符号：ρ=λ，ρ=λn+1，ρ=λn+n+1，··，δn=δn（T）=ZTm（T）en（T）dt，n≥ 1，s=s（T）=ZTm（T）dt，δ=δ（T）=λnXn=1δn。混合密度epT与积分方差的密度pto有关，如下所示：epT（y）=2T ypTT y. （9） 下一个定理是在[44]中建立的，它描述了密度pT的渐近行为。定理1。如果δ>0，则以下渐近公式成立：pT（x）=Cxn-3exp（rΔλ）√x） 经验-x2λ×1+O十、-（10） 作为x→ ∞, 式中C=A√2πλ-nXn=1δn！-N-1exps-P∞n=1δn-Pnn=1δn2λ. （11） （11）中的常数A由A给出=∞Yk=2λλ- ρknkexp∞Xk=2λ- ρkn+···+nkXn=n+··+nk-1+1δn.另一方面，对于中心高斯过程X，我们有pt（X）=Cxn-2exp-x2λ1+O十、-（12） 作为x→ ∞, 式中c=nΓNλn∞Yk=2λλ- ρknk。（13） 下一个断言遵循形式定理1。推论1。以下是事实：1。如果n=1，那么pt（x）=Cx-经验δλ√十、经验-x2λ×1+O十、-（14） 作为x→ ∞, 式中C由（11）给出。假设X是一个中心高斯过程，n=1。ThenpT（x）=Cx-经验-x2λ1+O十、-（15） 作为x→ ∞.在【44】中，高斯随机波动率模型是风险中性的。引理1。

在高斯随机波动率模型中，贴现资产价格过程t7→ E-rtStis是{Ft}鞅。3分数阶高斯随机波动率模型本文[44]主要致力于期权定价函数的极值逼近和高斯随机波动率模型中的隐含波动率。本文讨论了波动过程自相似的高斯模型，以及期权定价函数的小时间渐近行为和这类模型中的隐含波动。定义1。设0<H<1。一个随机过程X（H）称为H-自相似，如果每个A>0，X（H）atd=aHX（H）t。Hered=表示所有有限维分布的相等。很容易看出，如果过程X（H）是H-自相似的，那么X（H）=0。在续集中，我们总是假设自相似过程X（H）是随机连续的。对于阿加西过程X，H-自相似条件用协方差函数C表示如下：C（at，as）=a2HC（t，s），（t，s）∈ [0，T]。有关自相似随机过程的更多信息，请参阅[21,64]。让我们考虑以下高斯随机波动率模型：dSt=rStdt+|X（H）t | StdWt，S=S，（16）其中S>0是资产价格过程S的初始条件，W是标准布朗运动，X（H）是连续的H-自相似自适应高斯过程。在随机波动率模型中，过程S描述了资产价格的动态，其中波动率由自相似高斯过程的绝对值描述。本文将假设（16）中的模型是不相关的，这意味着过程X（H）和W是独立的。我们通常会在论文中使用的各种符号中抑制参数H。

自相似高斯过程的一个常见例子是分数布朗运动B（H）（参见[55]）。请注意，分数布朗运动是唯一一个非平凡、自相似、高斯和静态增量的过程。与第2节一样，我们将用p表示综合方差的密度，Yt=ZtX（H）sds，以及随机变量Ept的密度=tZtX（H）sds（混合密度）。由于过程X（H）是自相似的，我们得到了Yat=a2H+1Yt。此外，下列等式成立：P（Yt>y）=PY> t-2小时-1y, 因此，pt（y）=t-2小时-1pT-2小时-1y. （17） 下一个断言描述了混合密度的小时间渐近性。定理2。（i） 对于每x>0，以下渐近公式适用于（16）描述的模型中的混合密度epT:epT（x）=2CT-H（n（1）+1）xn（1）-1exp（sδ（1）λ（1）xTH）exp-x2T2Hλ（1）×1+牛真实航向（18） 作为T→ 0，其中c=A√2πλ(1)-n（1）Xn=1δn（1）-n（1）-1×exps（1）-P∞n=1δn（1）-Pnn=1δn（1）2λ（1）, （19） （19）中的常数A由A给出=∞Yk=2λ(1)λ(1) - ρk（1）nk（1）exp∞Xk=2λ（1）- ρk（1）n（1）+··+nk（1）Xn=n（1）+··+nk-1（1）+1δn（1）.（ii）如果过程X（H）居中，则深度（X）=2CT-Hn（1）xn（1）-1exp-x2t2Hλ（1）1+牛真实航向（20） 作为T→ 0，其中c=n（1）Γn（1）λ-n（1）∞Yk=2λ(1)λ(1) - ρk（1）nk（1）。（21）（iii）如果过程X（H）居中且n（1）=1，则深度（X）=2CT-Hexp-x2T2Hλ（1）1+牛真实航向（22）作为T→ 0，其中常数C由（21）给出，n（1）=1。证据由（9）和（17）可知，ept（x）=2T-2HxpT-2Hx. （23）由于X（H）是高斯过程，我们可以使用公式（10）。这个给定的SP（x）=Cxn（1）-3exp（sδ（1）λ（1）√x） 经验-x2λ（1）×1+O十、-（24）作为x→ ∞, 其中常数C由（19）给出。如果过程X（H）居中，那么公式（12）和（13）意味着p（X）=Cxn（1）-2exp-x2λ（1）1+O十、-（25）作为x→ ∞, 其中常数C由（21）给出。

现在，定理2可以从（23）、（24）和（25）中导出。4具有中心波动率的自相似高斯随机波动率模型中资产价格密度的小时间渐近性。在本节中，我们将自己局限于过程X（H）是一个自适应的连续自相似中心高斯过程的情况。回想一下，我们假设r=0。本文中我们感兴趣的是密度DT（x）作为T的渐近估计→ 0，与s（远离货币制度）分离的x>0的值一致。这里我们区分两种特殊情况。在第一种情况下，我们假设ε>0，并将共融展开式视为t→ 0，对于x>s+ε是不规则的。ε（φ（t，x））表示为t→ 0，其中φ是两个变量的正函数，表示O-largeestimate为t→ 0相对于x>s+ε均匀。在第二种情况下，我们将ε与0<ε<s进行拟合，并假设0<x<s- ε. 在第二种情况下，将使用相同的符号Oε（φ（t，x））。因为epT（y）=T-Hep（T）-式（6）表示dt（x）=√s√2πT-H-十、-×Z∞Y-1exp(-“logxs2T y+T y#）ep（T-Hy）dy=√s√2πT-H-十、-×Z∞U-1exp(-“logxs2T2H+1u+T2H+1u#）ep（u）du.（26）下一个断言是本文的主要结果之一。它刻画了具有中心自相似波动过程的高斯模型中资产价格密度的小时间渐近行为。定理3.固定ε>0，让x>s+ε。然后，作为→ 0，以下渐近公式适用于（16）描述的模型中的资产价格密度DT:DT（x）=√sn（1）Γn（1）λ(1)-n（1）∞Yk=2λ(1)λ(1) - ρk（1）nkx-×logxn（1）-2T-（2H+1）n（1）xs-√4+λ（1）T2H+1√λ（1）TH+×1+OT2H+11+OεT2H+1logx-!!. （27）证据。

固定x>0，表示jx（T）=Z∞U-1exp(-“logxs2T2H+1u+T2H+1u#）ep（u）du（28）从（26）中可以清楚地看出，密度DT（x）的小时间渐近行为由积分Jx（T）的小时间渐近行为决定。下一个引理将允许我们使用定理2来估计（28）中的积分。引理2.固定α∈ R、 b>0，ε>0。设x>s+ε，假设f是[0，b]上的一个可积函数。ThenZbuαexp(-“logxs2T2H+1u+T2H+1u#）| f（u）| du=Oεexp(-logxs2bT2H+1）！作为t→ 0.证明。如果α，引理是平凡的≥ 对于α<0，我们有zbuαexp(-“logxs2T2H+1u+T2H+1u#）| f（u）| du≤Zbuαexp(-logxs2T2H+1u）| f（u）| du。（29）以下等式适用于所有A>0的情况：uαexp-Au=2Auα-3+αuα-1.经验-Au.因此，对于2A>-αb，函数u7→uαexp-Au在区间（0，b）上增加。SetA=logxs2T2H+1。使用（29），我们得到了zbuαexp(-“logxs2T2H+1u+T2H+1u#）| f（u）| du≤ bαexp(-logxs2bT2H+1）Zb | f（u）| du，（30），前提是logxs>bT2H+1。显然，如果x>s+ε，前面的不等式适用于T的较小值。最后，引理2来自（30）。利用（23）和（25），我们得到ep（y）=eAyn（1）-1exp-y2λ（1）1+OY-1.（31）作为y→ ∞, 式中ea=1-n（1）Γn（1）λ-n（1）∞Yk=2λ(1)λ(1) - ρk（1）nk。（32）不难看出引理2允许我们用（31）中的近似值替换（28）中的函数ep（u）。这给出了以下结果：Jx（T）=eAZ∞联合国（1）-2exp(-“logxs2T2H+1u+T2H+1+2λ（1）u#）1+OU-1.du+Oεexp(-logxs2T2H+1）！（33）作为T→ 0.研究函数T7的渐近性→ 由（33）定义的Jx（T），我们考虑以下两个积分：eJx（T）=eAZ∞联合国（1）-2exp(-“logxs2T2H+1u+T2H+1+2λ（1）u#）du（34）和bjx（T）=eAZ∞联合国（1）-3exp(-“logxs2T2H+1u+T2H+1+2λ（1）u#）du。（35）设置βT=logxs2T2H+1，γT=T2H+1+2λ（1）。注意，βtdepend在x上，而γtdodes不在x上。

然后我们有ejx（T）=eAZ∞联合国（1）-2exp-βTu+γTuduandbJx（T）=eAZ∞联合国（1）-3exp-βTu+γTu杜。接下来，做一个替换=βTγTv、 我们将前面的积分变换如下：eJx（T）=eAβTγTn（1）-1Z∞vn（1）-2exp-pβTγTv+vdvandbJx（T）=eAβTγTn（1）-2Z∞vn（1）-3exp-pβTγTv+vdv。让我们表示z（T）=sλ（1）T2H+1+4λ（1）T2H+1。（36）那么我们有pβTγT=z（T）logx. （37）因此，eJx（T）=eAβTγTn（1）-1×Z∞vn（1）-2exp-z（T）logxv+vdv（38）和bjx（T）=eAβTγTn（1）-2×Z∞vn（1）-3exp-z（T）logxv+vdv。（39）由（36）可知z（T）→ ∞ 作为T→ 我们的下一个目标是应用拉普拉斯方法来研究函数T7的渐近行为→eJx（T）和T7→bJx（T）as T→ 注意函数ψ（v）=v的唯一临界点-v=1时的2+可见光。此外，我们还有ψ（1）=8>0。我们首先将（38）和（39）中的积分简化为区间[0,2]上的积分，并给出误差估计。下一个断言将很有帮助。引理3。假设∈ R和0<ε<s.然后∞vaexp-pβTγTv+vdv=Oε扩展-3pβTγ至作为t→ 0.证明。修正一个小数值r>0。那么对于0<T<T，我们有∞vaexp-pβTγTv+vdv≤Z∞vaexpn-pβTγTvodv≤ crZ∞扩展-pβTγT- Rvodv=crpβTγT- R-Z∞√√βTγT-重新-乌杜≤ ecrexpn-4.pβTγT- Ro、 引理3的证明就这样完成了。现在，我们准备将拉普拉斯方法应用于（38）和（39）中的积分。（38）和（39）中参数x的依赖关系非常简单。这使我们能够获得统一的误差估计。通过考虑引理3，我们看到对于每个ε>0和所有x>s+ε，eJx（T）=eA√πβTγTn（1）-1.z（T）logx-经验-2z（T）logx1+Oεz（T）logx+ Oε经验-3z（T）logx（40）和bjx（T）=eA√πβTγTn（1）-2.z（T）logx-经验-2z（T）logx1+Oεz（T）logx+ Oε经验-3z（T）logx（41）作为T→ 0