条件亚式期权

（25）我们用贝塞尔函数Iλ和I来表示ω-λ通过使用（17），Kv（u）=π2sin（πv）（I）-v（u）- Iv（u）和v（u）=U五、∞Xk=0u2kk！Γ（v+k+1）。在（17）中替换Kλ后，我们观察到涉及Iλ的项是O（βλ/2）asτ→ 因此，F（x）=π2sin（λπ）x-（1+u）/2I-λσp2βx+ Oβλ/2.我们处理ρF（b）项- bF′（b）类似地：ρF（b）- bF′（b）=λ- λb-（1+u）/2Kλσp2βb+√2βσb-u/2Kλ+1σp2βb=π2sin（λπ）λ- λb-（1+u）/2I-λσp2βb-π2sin（λπ）√2βσb-u/2I-λ-1.σp2βb+ Oβλ/2.将（25）中分数的分子和分母乘以πsin（πλ）√2βσλΓ(-λ） 给出ω（τ）=xb-(1+u+λ)/2∞Xk=0σβxkkk！(-λ） k+1“∞Xk=0λ+ λ- Kσβbkkk！(-λ） k+1#-1+O（τp），（26），其中我们使用λ+u+1>0意味着λ>ρ>p。在τ的幂中扩展右侧得到ω（τ）=D+Dτ+·Dpτp+O（τp），其中D=λxb-(u+λ+1).当我们把所有的东西放在一起，我们得到（24），E=1，E=ibr- s+Zρ -br- sλxb-(u+λ+1)- 我xr- s+Z.同样，当0<x<b且=-我br- s+Zu + λ+ 1+br- sλxbρ.因此，limτ→0sτIF（b，x，s，iτz，-iτ=Ei。（27）通过确定z的系数，我们得到当x≥ b、 E（VTs）=b（ρ- 1） （r）- s） λxb-(u+λ+1)-xr- sE（UTs）=s-ρλsxb-（u+λ+1），当0<x<b时，E（VTs）=b（u+λ）- 3） 2（s）- r） λxbρ;E（UTs）=u+λ+12λsxbρ.上述方法可用于评估EKK的系数≥ 2使用任何计算机代数系统，如Maple和Mathematica，以及高阶矩和交叉矩软件（UTs、VTs）。我们开发了一个计算这些系数的计算程序，将在作者的网页上提供。5条件亚式期权定价条件亚式期权的关键要素是确定比率t的分布：=VtUt，t≥ 我们用g（b，x，z，t）=P（Zt）来表示它的累积分布函数≤ z） 因为Vt/Ut>b，我们必须有g（b，x，z，t）=0表示z≤ B

（29）要用payoff（2）为条件亚式期权定价，我们需要计算EAPB=e-rTE（（K）- ZT）+=e-rTZKG（b，x，z，T）dz，（30），可通过部件集成显示。将古兰公式[Gurland，1948，定理1]应用于随机变量SUTS/VTs的比率，我们得到了s>0时，sZ∞E-stG（b，x，z，t）dt=-2πiP。V.Z∞-∞τsF（b，x，s，iτz，-iτ）dτ。根据反射原理，我们必须有F（b，x，s，α，β）=F（b，x，s，α，β）和thusZ∞E-stG（b，x，z，t）dt=2s-πZ∞τIF（b，x，s，iτz，-iτ）dτ。（31）由于很难找到G本身的封闭形式解，我们想分三步计算（30）中的条件亚式期权价格。首先，我们数值计算（31）右边的积分。在上一节中，我们讨论了被积函数τ的行为→ 我们将用τ来分析它的行为→ +∞. 然后，我们将使用Gaver Stehfest算法进行拉普拉斯变换的数值反演，以获得G。最后，我们将在（30）中进行数值积分。有趣的是，这三种运算o古兰积分（31），o逆拉普拉斯变换s7→ t、 o分配功能（30）的集成可按任何顺序进行。备注1。值得一提的是，使用[Yor，1992]几何布朗运动及其时间积分的联合密度的积分表示来计算常规亚式期权价格，还需要计算三重积分。这种计算在[Ishiyama，2005]中得到了证明。尽管条件亚式期权的支付方式比常规亚式期权的支付方式要进化得多，但计算的复杂性似乎是可比的。备注2。在b=0的情况下（即。

第二节避免了古兰积分（31）的计算，因为我们利用了一个事实，即二维随机向量（Ut，Vt）退化为由单个随机变量驱动的向量（t，Yt），henceG（0，x，z，t）=P（x，t，tZ），（32）AP=e-rTZKG（0，x，z，T）dz=Te-rTQ（x，T，tk），其中Q可以通过逆其由（7）和（10）确定的拉普拉斯变换来获得。正如我们将在下一节中展示的那样，（31）右边的积分以O（1/τ）的顺序衰减，使得数值积分相当缓慢。因此，我们提出了一个模型来提高计算效率，这也证明了它具有经济意义。我们引入了（b，x，z，t）=G（0，x，z，t）- G（b，x，z，t）。很容易证明函数B→ G（b，x，z，t）在减小，所以D（b，x，z，t）>0。因此，条件亚式期权的价格被分解为常规亚式期权的价格和一些价差，APb=AP+e-rTZKD（b，x，z，T）dz。（33）显然，常规亚洲期权价格可以通过第2节中的方法有效地确定。对于D的计算，我们使用z∞E-stD（b，x，z，t）dt=πz∞τIΦ（b，x，s，iτz，-iτ）dτ，（34），其中Φ（b，x，s，α，β）：=F（b，x，s，α，β）- F（0，x，s，α，β），（35）确定Φin（23）的显式公式。使用D的一个优点是，（34）的积分随τ呈指数衰减→ ∞; 详见第6节。6作为τ的渐近性→ ∞函数Y（x）=Y（x，s，iτz，-iτ）满足微分方程σxY′（x）+rxY′（x）- （s+iτz）- iτx）Y（x）=-1.（36）得到Y（x）作为τ的近似值→ ∞, 我们忽略了（36）左侧与τ无关的所有项。我们得到（x，s，iτz，-iτ）~i（z）- x） τasτ→ +∞ （37）和ddxy（x，s，iτz，-iτ）~i（z）- x） τasτ→ +∞. （38）可以使用[Olver，1974，第10.10节]证明渐近性。

数值试验也证实了这一点（37）。我们甚至可以得到完全渐近展开式（x，s，iτz，-iτ）~∞Xn=0An（x）τn+1，其中A=i（z-x） 如上所述，然后递归地σxA′n+rxA′n- 存储区域网络- i（z）- x） An+1=0。请注意，（37）在z=x时发生故障（出现转折点）利用Y的渐近性，我们发现了两个计算古兰积分（31）的数值问题。等式（31）包含积分Z∞τIY（x，s，iτz，-iτ）dτ。（39）由（37）可知，（39）中的被积函数的行为类似于常数乘以1/τasτ→ ∞.这种衰减速度足够快，可以确保积分绝对收敛，但衰减速度非常慢，这会在试图用数值计算积分（39）时产生问题。2.当z>x时，在计算Y（x，s，iτz，-iτ）。一般来说，Y u sing（21）的计算只有在z>x时才在数值上是稳定的→ ∞, fin（21）幂级数的每一项都有一个极限，即级数逐项转化为几何级数∞Xn=0xzn、 该级数仅在z>x时收敛，其结果与（37）一致。显然，（21）右侧的第二项必须比第一项小。然而，当z<x时，上述情况并非如此。当我们计算（23）中的Y（b）时，我们可以假设z>带没有计算问题。但是当计算b<z<x的积分（39）时，我们将面临取消的问题。因此，应该通过计算（33）中的价差来避免（39）的数值计算。现在我们要分析（34）Z积分的收敛性∞τIΦ（b，x，s，iτz，-iτ）dτ。

（40）为了确定被积函数的行为，我们使用[Olver，1974，第10.8节]Kλ（λy）的以下结果~π2λ1/2e-λξ（1+y）1/4as | argλ|<π，λ→ ∞, （41）式中ξ=（1+y）1/2+lny1+（1+y）1/2，RY≥ 0.必须排除y=0，±i的值。我们使用λ=2σ的（41）-1.√2izτ和y=-ipxz。如果z<x，在计算ξ=ξ（y）时，我们必须使用负虚部的根。然后我们得到f（x，s，iτz，-iτ）~ 十、-(1+u)/2π2λ1/2e-λξ（1+y）1/4asτ→ ∞.设置y=-iqbzandξ=ξ（y）我们有f（b，s，iτz，-iτ）~ B-(1+u)/2π2λ1/2e-λξ（1+y）1/4asτ→ ∞.从[Olver，1974，Ex.7.2，第378页]我们以类似的方式获得F′（b）~ -B-u/2-1.√-2iτσπ2λ1/2（1+y）1/4e-λyy。给出了sf（x）ρF（b）- bF′（b）~-F（x）bF′（b）~xb-(1+u)/2σ√-2iτ乘以（1+y）1/4（1+y）1/4e-λ(ξ-ξ).结合（37），（38），我们得到Φ（b，x，s，iτz，-iτ）~ρsxb-（1+u）/2σ√-2iτ乘以（1+y）1/4（1+y）1/4e-λ(ξ-ξ). （42）根据该分析，τIΦ（b，x，s，iτz，-iτ）的行为类似于常数乘以τ-3/2e-A.√τasτ→ ∞ 具有Ra>0。这使得积分（40）在数值上比（31）右侧的积分更具吸引力。7极限σ→ 考虑极限σ很有趣→ 0+. 我们可以利用这种极限情况来获得一些见解，也可以验证理论和数值结果。我们取σ=0，r<0，0<b<x（如果r>0，则只对x<b出现有趣的结果）。然后几何布朗运动变成确定性xt=xert。我们定义=-rlnxb>0。所以xerT=b，然后ut=t∧ T、 Vt=xr（er（T∧（T）- 1).（Ut，Vt）的联合分布是一个点质量，它沿着（u，v）平面上的曲线移动0<t<t，然后在t=t时停止。

关于（u，v）isEx[exp]的拉普拉斯变换(-αUt- βVt）=exp(-α（t）∧ T）经验(-xr（er（t）∧（T）- 1)β).为了缩短符号，我们设置γ=-s+αr。经过一些计算，我们发现三次拉普拉斯变换（11）的形式为Φ（b，x，s，α，β）=eβr（x）-b）bxγs-s+αM1，γ+1，β-br,Y（x，s，α，β）=s+αM1，γ+1，βxr,其中M表示库默函数。我们可以将函数（21）的极限确定为σ→ 0+. 在（21）中出现的超几何级数中，我们可以逐项讨论极限。显然，（21）右边的第二项必须为零。注意zt=VtUt=xr（t∧ T）（er（T）∧（T）- 1).因此，G（b，x，z，t）=（1ifxr（t∧（T）呃(t)∧（T）- 1.≤ z、 0否则。。假设是那样的- 1） <z<x。然后有一个唯一的t>0，比如xrt（ert- 1） =z，我们有z∞E-stG（b，x，z，t）dt=e-sts。这使我们能够在特殊情况下对方程（31）进行数值检查σ=0。示例：如果σ=0.1，r=-0.2 thenY（3.0,1.9,2.5.2.1）≈0.094532Y（3.0,1.9,2.5,2.1）≈0.094501，虽然σ并不是那么小，但惊人的接近。对于Φ，必须使σ小于getgo od协议，例如，如果σ=0.01，r=-0.2，我们得到Φ（2.0,3.0,1.9,2.5.2.1）≈1.873 · 10-9Φ(2.0, 3.0, 1.9, 2.5, 2.1) ≈1.504 · 10-98 hedging Delta套期保值是从业人员在场外衍生品交易中创建投资组合以管理投资风险的常用技术。这种动态享乐策略的关键要素是根据敏感度测量（称为delta）交易基础资产（或资产期货），APb=x（APb）。由于文献中之前不知道条件亚式期权的分析计算方法，法国巴黎银行对条件亚式期权的delta的计算可能通过蒙特卡罗模拟进行。请记住，有条件的亚洲期权是长期期权，通常期限为5年。

这种方法的一个可预见的困难是，条件亚式期权价格本身的高效率只能以非常昂贵的计算为代价来实现。由于衍生工具是用不同的商来近似的，因此重复计算p参数变化很小的期权价格会加剧计算负担。在估计期权价格时，一个小的抽样误差可能会导致一个较大的相对误差，用于估计敏感性指标，如Delta。估计统计数据不可避免的抽样误差可能会超过参数微小变化导致的期权价格之间的细微差异，在这种情况下，增量的估计不再可靠。因此，分析方法在希腊人的计算中至关重要。

虽然我们在本文中只计算三角洲，但该方法可以很容易地推广到其他希腊人。由于价差的计算优势，我们还以与（33）中相同的方式将三角洲分解为两部分。APb=AP+e-rTZKxD（b，x，z，T）dz。这两个量的计算如下。AP=Te-rTxQ（x，T，tk），其中(/x） Q可以通过其拉普拉斯变换数值确定xQ（x，s，y）=σQ4sσ，σy4x-yx~P4sσ，σy4x.同样，我们可以证明(/x） D可以通过其拉普拉斯变换Z数值确定∞E-圣xD（b，x，z，t）dt=πz∞τIxΦ（b，x，s，iτz，-iτ）dτ，（43）其中xΦ（b，x，s，iτz，-iτ）=ρs- Y（b）+ 通过′（b）ρF（b）- bF′（b）F′（x）；F′（x）=λ- u - 1x-（3+u）/2Kλσp2βx-√2βσx-（2+u）/2Kλ+1σp2βx.即使（43）适用于所有z，我们也可以避免0的数值积分≤ Z≤ b.使用xD（b，x，z，T）=xG（0，x，z，T）=xP（x，T，tz），其中(/x） P可以通过拉普拉斯变换数值确定x~P（x，s，y）=-yx~p4sσ，σy4x通过显式表达式（8.9）给出的数值例子，正则亚式期权价格的计算已广为人知，并在文献中得到了广泛的研究。然而，我们使用第一个例子来证实第2节中规则亚洲看跌期权价格的数值算法的准确性，它是第二个例子中条件亚洲看跌期权价格数值算法的一部分。

在这里，我们使用了一组参数，在许多论文中，通过各种技术计算了亚式期权价格，包括[Fu等人，1998年，表4，第2行]中的蒙特卡罗模拟，[Shaw，2003，测试问题2]中的逆拉普拉斯变换，[Vecer，2001]中的数值偏微分方程方法和本征函数展开[Fu等人，1998][Shaw，2003][Vecer，2001][Linetsky，2004]第20.249节（MC100）0.246416 0.2464156905 0.2464156819表1:Linetsky，2004，Case#5]等中常规亚洲期权价格的验证。在[Fu等人，1998]和[Linetsky，2004]中可以看到更多数值技术的类似比较。r=0.05，σ=0.50，T=1，x=2.0，K=2.0。值得注意的是，文献中几乎所有关于亚式期权的研究都是在看涨期权上进行的。在这里，我们首先使用第2节中的公式计算参数集合的亚洲看跌期权价格，并通过看跌期权平价确定看涨期权价格。在第二个例子中，我们考虑了货币条件下的长期亚洲期权的定价和套期保值。除了展示这种有条件亚洲期权定价的新方法外，我们还打算测试法国巴黎银行的成本/收益声称，有条件亚洲期权可以实现常规亚洲期权初始增量的75%，成本降低40%。我们将使用以下一组常用参数sr=0.05，b=1.0，T=5，x=2.0，K=2.0。有条件亚洲看跌期权价格的计算在以下五个步骤中进行：步骤1：（D）我们计算s=（i ln 2）/T，i=1,2，·2M，Z的积分∞τIΦ（b，x，s，iτz，-iτ）dτ（44）出现在（34）的右侧，用于z=b+hk和k=1,2，·，（k- b） /h.通过首先确定一个大于0的数字来计算积分，以便（44）的截断误差小于10-2.2M，^D（b，x，z，s）=ZaτIΦ（b，x，s，iτz，-iτ）dτ。

（45）第2步：（D）D的值由Gaver Stehfest算法D（b，x，z，T）=ln（2）T2MXk=1ξk^D计算b、 x，z，k ln（2）T式中ξk=(-1） M+kk∧MXj=（k+1）/2jM+1M！乔丹2jjjk- J,具有十、 是x和k的整数部分∧ M=min{k，M}。第3步：（AP）常规亚洲看跌期权价格由（5）、（7）和（10）中概述的拉普拉斯逆变换法确定。步骤4：（排列）D（b，x，z，T）已在步骤1中为z确定≥ b、 D（b，x，z，T）=G（0，x，z，T）时≤ b、 可由（32）确定。然后，通过反转拉普拉斯变换（6）和（9），数值计算量Q。然后（33）中的积分最后由三角形规则计算。第5步：（APb）最终结果由（33）产生。本文中的数值算法是在Mathematica上用2.9GHz Intel Core i5 CPU在Macbook上实现的。用于拉普拉斯变换数值反演的Gaver Stehfest算法在Salzer序列加速格式中使用M项。[Abate and Whitt，2006]中指出，该算法要求系统精度为2.2M，并产生大约0.90M的重要数字。在我们的数值例子中，我们使用M=5和Mathematica中11位的s-y-stem p精度，这将产生大约4或5个正确的数字f或D（b，x，z，t）。积分（45）使用Mathematica的数值积分程序计算，无需任何说明。在步骤3和步骤4中，G（0，x，z，t）和RZG（0，x，w，t）dw是使用第2节中介绍的拉普拉斯变换方法计算的。使用Euler算法计算所需的逆拉普拉斯变换[Abate and Whitt，2006]。