条件亚式期权

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英文标题：
《Conditional Asian Options》
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作者：
Runhuan Feng and Hans W. Volkmer
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Conditional Asian options are recent market innovations, which offer cheaper and long-dated alternatives to regular Asian options. In contrast with payoffs from regular Asian options which are based on average asset prices, the payoffs from conditional Asian options are determined only by average prices above certain threshold. Due to the limited inclusion of prices, conditional Asian options further reduce the volatility in the payoffs than their regular counterparts and have been promoted in the market as viable hedging and risk management instruments for equity-linked life insurance products. There has been no previous academic literature on this subject and practitioners have only been known to price these products by simulations. We propose the first analytical approach to computing prices and deltas of conditional Asian options in comparison with regular Asian options. In the numerical examples, we put to the test some cost-benefit claims by practitioners. As a by-product, the work also presents some distributional properties of the occupation time and the time-integral of geometric Brownian motion during the occupation time.
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中文摘要：
有条件亚洲期权是最近的市场创新，它提供了比常规亚洲期权更便宜、更长期的替代方案。与基于平均资产价格的常规亚式期权的收益不同，条件亚式期权的收益仅由高于某个阈值的平均价格决定。由于包含的价格有限，有条件的亚洲期权比常规期权进一步降低了收益的波动性，并已在市场上推广为与股票挂钩的人寿保险产品的可行对冲和风险管理工具。之前没有关于这一主题的学术文献，人们只知道实践者通过模拟为这些产品定价。我们提出了第一种分析方法来计算条件亚式期权与常规亚式期权的价格和增量。在数值例子中，我们检验了从业者的一些成本效益主张。作为一个副产品，这项工作还提出了占领时间的一些分布性质和占领时间内几何布朗运动的时间积分。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：亚式期权 Practitioner alternatives Quantitative distribution

有条件的亚洲期权润焕丰伊利诺伊大学厄本那分校数学系-Champaignrfeng@illinois.eduHansW.威斯康星州大学数学科学VolkmerDepartment of Mathematic SciencesMilwaukeevolkmer@uwm.eduMay2015年7月27日摘要条件亚洲期权是最近的市场创新，它提供了比常规亚洲期权更便宜、更长久的替代品。与基于平均资产价格的常规亚洲期权的收益相比，条件亚洲期权的收益仅由高于某个阈值的平均价格决定。由于包含的价格有限，条件期权比常规期权进一步降低了支付的波动性，并在市场上被推广为股票挂钩人寿保险产品的可行对冲和风险管理工具。以前没有关于这一主题的学术文献，人们只知道实践者通过模拟为这些产品定价。我们提出了第一种分析方法来计算条件亚式期权与常规亚式期权的价格和增量。在数字示例中，我们将从业者提出的一些成本效益索赔放在后面。作为一个副产品，这项工作还提出了占据时间和几何布朗运动在占据时间内的时间积分的一些分布性质。关键词。期权定价；套期保值；条件亚式期权；亚式期权；L变换反演；渐近展开；几何布朗运动积分；职业时间；隆美尔函数。1简介在商品和股票市场中，亚洲期权（平均期权）被广泛用于对冲和风险管理，作为欧元和美式期权的廉价替代品。亚洲期权的一个常见用途是将资产价格波动的风险转移到资本市场。

考虑资产价格的连续时间随机模型，用{Xt，t表示≥ 0}X=X。具有固定行使K和到期日T的连续欧元-欧佩恩式亚洲看跌期权的支付由K-TZTXtdt+, （1） 其中（x）+=max{x，0}。对亚洲历史文献和例子的回顾可以在[Linetsky，2004]中找到。亚洲期权的定价导致了数学金融文献中大量的计算技术。蒙特卡罗模拟是[Kemna and Vorst，1992]，[Boyle et al.，1997]提出的首要方法之一。基于条件期望的边界和近似可以在[Curran，1994]，[Nielsen and Sandmann，2002]，[Lord，2006]中看到。数值偏微分方程方法在一系列论文中得到了广泛研究，包括[Rogers and Shi，1995]，[Alziary et al.，1997]，[Vecer，2001]，[Zvan et al.，2000]。拉普拉斯/傅里叶变换的数值反演是在[Geman和Yor，1993]，[Carverhill和Clewlow，1990]，[Fu等人，1998]，[Cai和Kou，2012]，[Carr和Schr¨order，2003]中发展起来的。[Chen等人，2012]的最新工作还将希尔伯特变换方法扩展到了亚式期权定价。[Duf resne，2000]，[Linetsky，2004]，[Ju，2002]和[Zhang and Oosterlee，2013]中使用了各种正交多项式/特征函数展开式。[Carmona等人，1997]发展了亚式期权价格的渐近表达式；[Cai et al.，2014]，[Gerhold，2011]等。鉴于关于这一主题的研究论文数量巨大，上述论文的列表绝不是对文献的全面回顾。近年来，法国巴黎银行引入了亚洲期权的一种变体，称为条件阿拉斯期权，在该期权下，资产价格的平均值仅基于高于某个阈值的价格（见[Segaud，2011]的行业介绍）。

通过数学公式，连续条件亚式期权的收益由byK给出-RTXtI{Xt>b}dtRTI{Xt>b}dt！+，（2） 其中，阈值水平由b>0表示，Ia是一个指示函数，如果Ais为真，则等于1，否则等于0。图1给出了资产价格（黑色实线）的示例路径，其中迄今为止的平均值（红色虚线）仅包括高于阈值（蓝色虚线）的价格。观察到，当资产价格跌至阈值以下时，迄今为止平均值的样本路径就会发生变化。第9节提供了本数值示例中使用的参数。在BNP0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50123456中，图1：迄今为止高于阈值的平均值示例。在Paribas演示中，阈值b被称为观察障碍，是初始价格x的50%。他们给出了货币条件亚洲期权（K=x）五年的示例，这是（2）的离散版本，每月观察一次。在金融市场上，有条件的亚洲看跌期权被认为是常规亚洲看跌期权的有效替代品，原因有几个。首先，有条件的亚洲看跌期权比具有相同期限和行使权的亚洲看跌期权便宜。观察ztxti{Xt>b}RTI{Xt>b}dtdt=TZTXtI{Xt>b}dt+TZTRTI{Xt≤b} dtRTI{Xt>b}dtXtI{Xt>b}dt≥TZTXtI{Xt>b}dt+TZTbI{Xt≤b} dt≥TZTXtI{Xt>b}dt+TZTXtI{Xt≤b} dt=TZTXtdt。因此，条件亚式期权（2）的收益肯定不会大于常规亚式期权（1）。据法国巴黎银行（BNP Paribas）称，与常规亚洲期权相比，货币条件亚洲期权五年的成本降低了40%，但实现了常规亚洲期权初始增量的75%。其次，市场上的大多数亚洲期权都是相对短期的（通常不到一年）。事实上，由于对冲产品的长期性质，很少有对冲产品能与保险负债的期限相匹配。

法国巴黎银行推广五年期有条件亚洲期权作为可变年金的对冲解决方案，这种投资结合了具有非常长期（通常超过十年）的保险产品。第三，可变年金担保收益的现金流结构可以替代亚洲期权。[Feng and Volkmer，2012年，Feng and Volkmer，2014年，Feng，2014年]中利用了这一观察结果来计算保证收益的风险度量。这与长期类似亚洲的期权提供了针对嵌入可变年资产品中的金融风险的自然对冲的逻辑相同。因此，有条件亚洲期权被吹捧为资产和负债管理的成本效益工具。在本文中，我们打算发展一种分析方法来定价条件亚式期权并计算其增量。我们考虑Black-Scholes模型，在该模型下，标的资产遵循风险中性测度xt=rXtdt+σXtdBt下的几何布朗运动，并且条件亚洲看跌期权的无套利价格可以写为PB:＝∧E“E-rTK-RTXtI{Xt>b}dtRTI{Xt>b}dt！+#，式中，E表示风险中性概率测度下的预期。常规亚洲看跌期权显然是b=0的条件亚洲看跌期权的特例，因此其价格由美联社给出。事实证明，条件亚式看跌期权的价格最好计算为正规亚式看跌期权的价格，这可以通过对封闭形式的拉普拉斯变换进行反演来实现，减去一些价格差价，这需要通过用积分表示的拉普拉斯变换进行反演来计算。APb=AP- 价差。价格差价显然是通过在平均价格中过滤掉不受欢迎的低价而节省成本的结果。

这种分割的一个实际优势是，可以直接计算价差，而无需对有条件的亚洲期权进行定价模拟。实践者可以通过将亚洲期权的市场价格与估计的价差相结合来推断有条件的亚洲价格。后来为计算价差而开发的确定性算法可以很容易地与隐含波动率一起使用，使条件亚式期权定价与流动性较低且交易量较薄的期权定价的标准惯例一致。2.亚式期权的重新讨论将在以后变得清晰，常规亚式期权在条件亚式期权定价中起着重要作用。我们将给出一些关于亚洲看跌期权价格的结果，这些结果与文献中关于亚洲看涨期权价格的已知结果一致。考虑processy:=ZtXsds，t≥ 0.（3）设p（x，t，y）为y的跃迁密度，x=x，setP（x，t，y）=Zyp（x，t，v）dv，Q（x，t，y）=Zyp（x，t，v）dv。（4） 然后紧接着就是ap=Te-rTQ（x，T，T K），（5）在下面的内容中，我们导出了Q（x，T，y）的拉普拉斯变换的显式解，该变换仅与T有关。这允许通过一维数值拉普拉斯反演计算Q。在[Feng and Volkmer，2014]中，我们考虑了特殊情况xt=exp（2νt+2Bt），Yt=ZtXsds。设置u=4w/σ并使用缩放特性Bct~√cBt，我们得到了~xσZσtexp（2νw+2Bw）dw=4xσYσt/4，其中常数ν由ν=2rσ给出-1.我们用P定义Y的跃迁密度，与（4）中用P定义P，Q的方法相同。紧接着就是P（x，t，y）=Pσt，σy4x（6） p（x，t，y）=σ4xpσtσy4xQ（x，t，y）=4xσQσt，σy4x.（7） 因此，剩下的任务是找到一种计算Q的方法。我们将表示拉普拉斯变换f（s）：=R∞E-stf（t）dt。

已知p（s，y）：=Z∞E-stp（t，y）dt=Γ（η）- κ +)Γ(1 + 2η)-κfκ（y），（8）其中fκ（y）=y-κexp-4yMκ，η2y,Mκ，η表示惠特克函数，κ=1- ν、 η=p2s+ν。我们使用分部积分来表示zyfκ（z）dz=η+κ-κ-1Γ(1 + 2η)Γ(η - κ +)- fκ-1（y）！。因此，P（s，y）=2（η+κ-)(η - κ +)-Γ(η - κ +)(η + κ -)Γ(1 + 2η)-κfκ-1（y）（9）和Q（s，y）=y2（η+κ）-)(η - κ +)-4(η + κ -)(η + κ -)(η - κ +)(η - κ +)+Γ(η - κ +)Γ(1 + 2η)-κ(η + κ -)(η + κ -)fκ-2（y）。（10） 虽然文献中没有明确说明qq的表达式，但亚洲看涨期权也有类似的表达式。[Geman and Yor，1993，（3.10）]开发了一个关于时间参数的亚洲买入价格的类似拉普拉斯变换的单积分表达式，后来[Donati Martin等人，2001]根据Kummer的第一类函数对其进行了改进[Shaw，2003，第3节]。通过看跌期权平价可以看出，结果与[Donati Martin et al.，2001，（3.8）]中的亚洲看涨期权价格一致。在第9节的第一个样本中，我们将从数值上验证本节公式与文献中已知公式的等效性。3联合拉普拉斯变换计算条件亚式期权价格需要研究对（Ut，Vt）的联合分布，其中Ut=ZtI{Xτ>b}dτ，Vt=ZtXτI{Xτ>b}dτ，b≥ 0.前者被称为占位时间，其转换密度在[Pechtl，1999]中进行了研究。后者在文献中只有在b=0的情况下才为人所知，这也被称为约尔过程。让我们考虑三关节拉普拉斯变换f（b，x，s，α，β）=sEx[exp{-αUTs- βVTs}]，（11）其中，Ts是一个指数随机变量，平均值为1/s，与X无关。

通过费曼·卡克托雷姆，F（x）=F（b，x，s，α，β）满足微分方程σxF′（x）+rxF′（x）-（α+βx）I{x>b}+sF（x）=-1，x>0（12），带边界条件slimx→0+F（x）=s，limx→∞F（x）=0。（13） 通常情况下，（12）的溶液F（x）在x=b时可以与第二个导数中的jum p区分。3.1 b=0的情况我们首先考虑b=0的简单情况。在这种情况下，Ut=t和f（0，x，s，α，β）=sEx[exp{-αTs- βVTs}]。那么F（x）=F（0，x，s，α，β）满足常微分方程σxF′（x）+rxF′（x）- （α+s+βx）F（x）=-1，x>0，（14）根据边界条件（13）和limx→0+F（x）=s+α。（15） 齐次方程σxF′（x）+rxF′（x）- （α+s+βx）F（x）=0（16）具有解的基本体系F（x）=x-（1+u）/2Iλσp2βx,F（x）=x-（1+u）/2Kλσp2βx, （17） 式中，Iλ，Kλ表示修改后的贝塞尔函数，且u=2rσ- λ=p（u+1）+8σ-2（s+α）。当α，β，s>0时，溶液F（x）为正，且在（0，∞) 和limx→0+F（x）=0，limx→∞F（x）=∞ 当F（x）为正且在（0）上递减时，∞) 和limx→0+F（x）=∞ ,利克斯→∞F（x）=0。Wronskian isF（x）F′（x）- F′（x）F（x）=-十、-2.-u.从参数的变化公式中，我们得到F（x）=σF（x）Z∞xzuF（z）dz+σF（x）ZxzuF（z）dz。（18） 请注意，（18）中的积分定义良好。当然，F（x）d由（18）个满意度（14）定义。为了验证（13），我们使用已知的Iλ（z），Kλ（z）的行为作为z→ 0:Iλ（z）~ZλΓ（λ+1），（19）Kλ（z）~Γ(λ)Z-λ. （20） 然后，利用L\'Hospital法则，我们得到了Limx→0+F（x）=σλ（λ）- u - 1） +σλ（λ+u+1）=s+α。以类似的方式，我们可以证明（15）也是正确的。

请注意，由于limx→∞F（x）=∞ 安德利姆→0+F（x）=∞, （14）、（13）、（15）只有一个解，所以F（x）一定是我们要寻找的函数。在附录中，我们用洛美尔函数理论证明了（18）中的F可以写成F（0，x，s，α，β）=s+αF（1；（u）的形式- λ + 3),(u + λ + 3); 2σ-2βx）+σΓ（（u）- λ + 1))Γ((u + λ + 1))σp2β-1.-uF（x），（21），其中F是为所有z定义的广义超几何函数∈ C由收敛级数f（a；b，b；z）=∞Xk=0（a）k（b）k（b）kzkk！，（b，b6=0，-1.-2，···）带有波克哈默符号（α）n=α（α+1）··（α+n- 1） 如果n=1，2，·和（α）=1。与（18）相比，（21）的优点在于它不涉及集成。缺点是当λ-u=2p+1，p=1，2。条件λ-u=2p+1等于p2rσ-2（s+α）σ+p（p- 1) = 0.然而，我们将使用（21）仅用于α、β的纯瞬时值，然后不出现例外情况。（21）的另一个问题是，我们可能会在两个总和的相加中有大量取消。使用任意精度的软件，可以通过增加位数来解决这个问题，尽管这不是一个优雅的方法。稍后，我们将确定只有在没有大量取消的情况下才使用（21）。3.2在b>0的情况下，如果x>b，则存在一个常数a，使得F（x）=AF（x）+Y（x），其中F定义如前一小节所述，Y由（18）或（21）给出，即Y（x）=F（0，x，s，α，β）。注意，我们可以不同地选择Y（x），但它必须是（12）的解，它收敛到0as x→ ∞.

如果0<x<b，则存在常数b，使得f（x）=Bxρ+s，其中ρ=-（u+1）+λ，λ=p（u+1）+8σ-2秒。通过在x=b时匹配F和F′的值，我们得到F或x>bF（b，x，s，α，β）=Φ（b，x，s，α，β）+Y（x），（22），其中Φ（b，x，s，α，β）=ρs- Y（b）+ 通过′（b）ρF（b）- bF′（b）F（x）。（23）注意如下：→ 由于（13），Φ（b，x，s，α，β）接近于零。当α=iτz和β=-iτ，映射τ→ sF（b，x，s，α，β）成为W:=VTs的特征函数- zUTs，即sF（b，x，s，iτz，-iτ）=Ex[exp{iτW}。在本节中，我们将确定展开式F（b，x，s，iτz，-iτ）=E+Eτ+···+Epτp+o（τp）asτ→ 0.（24）那么W的力矩由~Ex[Wk]=i给出-kk！埃克；参见[Lu kacs，1970，定理2.3.3]。（24）不仅给出了计算（Ut，Vt）矩的方法，还显示了在计算条件亚式期权价格时，F的一个重要积分在τ=0附近的收敛速度。考虑x>b的情况，设p∈ N.我们假设ρ>p，相当于2sσ>p（p- 1） +p2rσ。例如，如果p=1，那么我们要求s>r。我们设置α=iτz，β=-iτin（21）和use（19）。由于ρ>p，我们看到（21）右边的第二个和是o（τp），作为τ→ 0.在τ=0时，（21）右侧的第一项为解析项。因此，我们可以写y（x，s，iτz，-iτ）=A+Aτ+··+Apτp+o（τp），其中A=1，A=-我xr- s+Z.以类似的方式，我们得到（′=d/dx）sY′（x，s，iτz，-iτ）=Bτ+Bτ+··+Bpτp+o（τp），其中B=-红外光谱- s、 因此ρ（1）- sY（b））+bsY′（b）=Cτ+·Cpτp+o（τp），其中C=iρbr- s+Z- 伊布- s、 现在考虑函数（回忆α=iτz，β=-iτ）ω（τ）=F（x）ρF（b）- bF′（b）。