条件亚式期权

在第5步中，我们使用步长为h=0.1的梯形规则进行（33）中的数值积分。需要指出的是，只有五步程序中的第一步，即积分（45）的计算是耗时的，而所有其他步骤都可以在一秒钟内完成。110个积分的计算时间约为20分钟。对于b和x之间的z，计算时间最长，但当z>x时，计算时间要短得多。原因是被积函数随τ衰减得更快→ ∞ 当z>x时，我们在第6节中推导的渐近性证实了这一点。图2显示了到期日的平均值的分布函数。上面的红线代表z→ P（YT/T）≤ z） 其中，YT/T是（3）中定义的资产价格的（无条件）平均值。底部的蓝线表示z→ P（ZT）≤ z） （28）中定义的z是迄今为止观察阈值b的平均值。该图提供了选项价格的一些几何解释。介于nz=0和z=K之间的红线和蓝线下方的区域分别代表常规亚洲看跌期权溢价和条件亚洲看跌期权溢价（ERTAPA和erTAPb）到期时的累计价值。红线下方和蓝线上方的区域代表两种期权之间价差的累计价值。在波动系数σ的各种假设下，我们对表2中的常规亚洲看跌期权和条件亚洲看跌期权进行了比较，这表明两种期权的成本/收益比较发生了非常显著的变化。结果通常对无风险利率r不那么敏感。虽然σ=0.4的突出案例确实支持有条件亚洲看跌期权的成本为其对应亚洲看跌期权的60%，并达到亚洲看跌期权的增量75%的说法，但这种结果不应过度概括。

这一结果似乎表明，BNPParibas的模拟可能是在波动率约为40%的情况下进行的。一般来说，条件亚式期权和经典亚式期权在单位delta成本上的差异在高波动率下比低波动率下更为显著。例如，当σ=0.6时，条件亚式期权的delta单位成本约为0.8675，而条件亚式期权的delta单位成本约为1.4389。当σ=0.2时，条件亚式期权的单位成本约为0.3485，而条件亚式期权的单位成本约为0.3580。直观解释如下。当波动率较低时，资产价格低于阈值的可能性较小，因此两种期权的平均价格几乎没有差异。当波动率较高时，低于阈值的资产价格更有可能被条件亚式期权的平均价格过滤掉，因此两种期权之间的差异变得更大。图2:ZT的分布：G（0，2，z，5）（顶部）和G（1，2，z，5）（底部）。σapb/APAPb美联社APb/AP0。6 0.1669 0.4026 41.47% -0.1924-0.2798 68.76%0.5 0.1625 0.3256 49.92% -0.2029-0.2859 70.97%0.4 0.1530 0.2465 62.08% -0.2156-0.2871 75.11%0.3 0.1295 0.1664 77.86% -0.2316-0.2782 83.27%0.2 0.0810 0.0877 92.42% -0.2324-0.2450 94.84%表2：常规和条件亚洲期权的比较附录-Lommel函数非齐次线性微分方程zy′+zy′+（z- λ） y=kzu+1有两个解ksu，λ（z）和ksu，λ（z），称为洛美尔函数，其中u，λ（z）=zu+1（u- λ+1）（u+λ+1）F1.(u - λ + 3),(u + λ + 3); -Z;Su，λ（z）=Su，λ（z）+u-1sin（λπ）Γ(u - λ + 1)Γ(u + λ + 1)余弦(u - λ)πJ-λ（z）- 余弦(u + λ)πJλ（z）,Jν是贝塞尔函数；见[Watson，1944年，第10.7节]。

根据[Watson，1944，第10.75节]可知，这是u，λ（z）~ zu-1as z→ ∞. （46）我们定义了一个修正的洛美尔函数tu，λ（z）=e-iπ（u+1）/2su，λ（iz）- 2u-1Γ(u - λ + 1)Γ(u + λ + 1)Iλ（z）。然后可以证明kTu，λ（z）是微分方程zy′+zy′的解- （z+λ）y=kzu+1。如果μ，λ和∈ R和z>0。观察函数也可以用Su，λTu，λ（z）=e表示-iπ（u+1）/2Su，λ（iz）-πe-i（λ+u+1）π/2cos(u - λ)πΓ(u - λ + 1)Γ(u + λ + 1)Kλ（z）。由（46）得出，tu，λ（z）~ -zu-1as z→ ∞. （47）因此，（14）的通解由f（x）=CF（x）+CF（x）+kx给出-（u+1）/2Tu，λ√2βxσ,其中Cand Care任意常数，and k=-σ√2βσ-1.-u.根据F，Fand（47）的性质，满足边界条件（13）和（15）的（14）s的解必须是F（x）=kx-（u+1）/2Tu，λ（2）√2βx/σ），可以重写为（21）。参考文献[Abate and Whitt，2006]Abate，J.and Whitt，W.（2006）。一个用于数值转换拉普拉斯变换的统一框架。通知J.Comput。，18(4):408–421.[Alziary等人，1997]Alziary，B.，Decamps，J.，和K oehl，P.（1997）。P.D.E.亚洲选项的方法：分析和数字证据。《银行与金融杂志》，21:613-640。[Boyle等人，1997]Boyle，P.，Broadie，M.，和Glasserman，P.（1997）。证券定价的蒙特卡罗方法。J.经济。迪纳姆。控制，21（8-9）：1267-1321。计算金融建模。[蔡和寇，2012]蔡，N.和寇，S。(2012). 在超指数跳跃扩散模型下为亚洲期权定价。奥普。第60（1）段：64-77。[Cai等人，2014]蔡，N.，李，C.，和史，C.（2014）。扩散模型中离散monitoredAsian期权的闭式展开。数学奥普。第39（3）段：789-822。[Carmona等人，1997]Carmona，P.，Petit，F.，和Yor，M.（1997）。

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