动态货币效用的不完全随机均衡

给定总捐赠额E∑∈ L∞要在I个代理人之间共享，即PiEi=e∑，人们可以问以下问题：需要多少以及什么样的代理人来共享这一总捐赠，以便他们能够形成一个均衡存在的金融市场？答案是“足够多的同质代理”。为了证明这一点，我们首先要精确定义我们所说的充分同质。对于种群特征E=（Ei）和f=（fi）i，带E∈ （L）∞)满足假设3。1.我们定义了禀赋熵指数χE（E）∈ [0,1]通过χE（E）=maxi，j|Ei- Ej | | L∞||Ei | | L∞+ ||Ej | | L∞.如果χE（E），我们认为代理人群体是“充分同质的”≤ 对于某些给定的临界指数χE，我们有以下定理3的推论。6：推论3.9（存在足够多的足够同质试剂的平衡）。给定临界捐赠同质性指数χE∈ [0，）和总捐赠额E∑∈ L∞, 存在一个常数I=I（| | E∑| | L）∞, χE，δ，) ∈ N、 所以任何总体（E，f）=（Ei，fi）都是令人满意的假设。1安迪≥ 一、 PiEi=E∑和χE（E）≤ χE，不完全随机均衡是唯一的均衡。4.校样。1.引理的证明。1.对于第一个身份，给出Q∈ Q、 设Z是matingale Zt=EPt[dQdP]的连续版本。对于足够小的p>1，Z的Lp可积性和а（Z）=Z log Z的凸性意味着а（Z）是一致p-可积的子鞅，因此属于[0，T]上的（D）类。半鞅分解d~n（Zt）=Zt（pt+qt）dt+~n′（Zt）ZtptdBt+~n′（Zt）ZtqtdWt，其中p≡ p（Q）和Q≡ q（q）和一个基于类（D）属性giveH（q | P）=EP[~n（ZT）]=EPhZTZt（pt+qt）dti=EQhZT（pt+qt）dti的本地化参数，其中最后一个等式由部分积分和另一个本地化参数得出。现在我们来看（1.1）的证明。

我们将证明特例δ=1，因为一般情况下，只需将特例应用于G/δ即可。首先，假设G从下面有界，即G-∈ L∞. 詹森不等式在指数函数中的应用-日志EP[e]-G] =-log EQhexp-G+logdQdP我≤ EQhG+logdQdPi，适用于所有Q~ P.此外，对于QG~ P满足dQG/dP=exp(-G） EP[exp(-G） ]这是一个很好的定义，是Q的一个元素，因为G-∈ L∞, 我们有平等的权利-日志EP[e]-G] =EQG[G+log（QG/dP）]。因此，只要G-∈ L∞.G将军∈ 五十、 它认为-日志EP[e]-麦克斯{G，-n} ]=infQ∈QEQ[max{G，-n} +log（dQ/dP）]根据我们刚刚证明的所有n。在最后一个等式的两侧取n的最小值，并在左侧使用单调收敛定理，将两个最小值互换，并使用§1.1，（1.1）中关于期望的约定。4.2. 引理2.2的证明。在整个证明过程中，我们抑制了下标t。声明（1）之后是直接检查和（1.2）。对于（2），我们首先注意到假设1.2为f的二阶偏导数提供了额外的界限。实际上，常数δ和 具有δ的性质≤(f+f）≤  和δ≤ FF- F≤ ,因此，x=F≥ 0和y=F≥ 0，我们有x+y≤ 2. 还有xy≥ δ.紧接着 -√- δ≤ x、 y≤  +√- δ、 所以两者都是f和f从上方有界，从0有界，由仅依赖于δ和的正常数确定. 自从F≤ Ff、 因此，所有二阶偏导数的绝对值都是有界的。不完全随机平衡16我们可以由此，通过中值定理和第二个参数中f的凸性，推导出q 7→ ft（p，q）是连续的，并且严格地（事实上至少是线性地）增加，对于p的每个值，其范围是R。

因此，对于每个（p，ν）∈ R、 方程ν=f（p，q）有一个唯一的解，我们用q（p，ν）表示。隐函数定理进一步暗示q是其两个参数的C函数。注意到h（p，ν）=q（p，ν）ν- f（p，q（p，ν）），我们得出结论h∈ Cand，在区分双方论点后，获得h（p，ν）=-f（p，q（p，ν））和h（p，ν）=q（p，ν）。这些关系将h的规律性提升为C，并允许我们进行直接计算，从而获得更高的产量h（p，ν）=-det（Df（p，q））f（p，q），h（p，ν）=-f（p，q）f（p，q），和h（p，ν）=f（p，q）。上下限f，以及假设1的原始边界。暗示（2）。等式Dh（0，0）=（0，0）是（1）的直接结果。对于（3），我们利用h的所有二阶导数一致有界的事实，以及DH（0，0）=（0，0），得出结论（2.9），对于某些常数Θ，对于所有（p，ν）。Lipschitz性质（2.10）由中值定理（2.9）推导而来。转到（4），我们再次使用中值定理得到h（p，ν）- Ph（p，ν）+ph（~p，ν）=h（p，0），对于一些~p，仍然需要使用（2）中的边界和h（p，0）的事实≥ 0，所有第4.3页。动态货币效用及其BSDE表示。可以为G定义（1.3）中货币效用U的动态版本∈ LviaUt（G）=essinfEQtG+ZTtfu（pu（Q）、qu（Q））duQ∈ Q, T∈ [0，T]。（4.1）当然，（1.4）中边界的条件版本是有效的。[DPRG10]表明，所有时间一致的动态货币效用都具有类似的形式。U=（Ut）t的以下特征∈[0，T]在[DHB11，定理2.2]中得到。我们将其记录在这里，以便为后面介绍所需的一些符号。注意，它只涉及边界随机变量；我们将在命题证明2的“本地化”论证中使用这个结果。4.不完全随机平衡17引理4.1。

对于任何G∈ L∞, U允许连续修改，这是唯一的解决方案ToDut=gt（ut，νt）dt+utdBt+νtdWt，UT=G，（4.2）与（u，ν）∈ bmo。上图g：Ohm ×[0，T]×R7→ 定义的asgω，t（u，ν）=supp，q∈Rup+νq- fω，t（p，q）, （ω，t，u，ν）∈ Ohm ×[0，T]×R是罚函数f的凸共轭，满足2(u+ ν) ≤ gω，t（u，ν）≤2δ（u+ν），（ω，t，u，ν）∈ Ohm ×[0，T]×R.备注4.2。外稃4。1来自[DHB11，定理2.2，2=> 6] ，可以推广到满足假设1的随机罚函数。2.（在[DHB11]中，假设惩罚函数f是确定的。）事实上，2=> 3和4=> 6在[DHB11，定理2.2]中，对于满足均匀增长条件（1.2）的随机函数f成立，3=> [DHB11，定理2.2]中的4在[JST06，定理5.2（iv）中得到了改进=> （v） ]。备注4.3。用引理4表示。1，概率测度^Q，给定比亚迪^QdP=E-Zgu（uu，νu）dBu-Zgu（uu，νu）dWuT、 是上述（4.1）中唯一的最小值。由于g是凸的，并且在空间参数中是二次增长的，所以它的偏导数jg，j=1，2，最多线性增长。考虑到（u，ν）∈ bmo，我们有jg（u，ν）∈ bmo，以及^Q∈ Q源自反向H"older不等式（参见[Kaz94，定理3.1]）4.4。命题的证明2。3.第一部分：第一，假设E+∈ ∩p> 1Lp（p）和dQλ/dP∈∪p> 1Lp（p）与霍尔德不等式相结合，意味着+∈ L（Qλ）。（1.2）和引理1中的界。1，以及假设λ∈ bmo，意味着δloge[E-E/δ]≤ Yλ≤ kE+kL（Qλ）+kλkbmo（Qλ）。有条件地应用，同样的参数可以用来扩展上述不等式对每个t的有效性∈ [0，T]。需要注意的是δloget[e-E/δ]=δXE/δt=XE，δt。第（ii）部分：当E有界时，Yλ满足（2.11）的说法来自一个类似于[DHB11，定理2.2，2]的论证=> 6].

当假设E/δ属于EBMO时，利用[BH06，定理2]的局部化参数证明了BSDE特征（2.11），这要归功于（i）中Y的界。不完全随机平衡18剩下的问题是（u，ν）∈ bmo。为了证明这是事实，我们首先注意到Xe，Δσ=E-ZTσ2δ（mE，δu）+2δ（nE，δu））- λu（mE，δu）杜-ZTσmE，δudBλu-ZTσnE，δudWu，（4.3）对于任何停止时间σ。由于[Kaz94，定理3.6]，mE，δ和nE，δ（以及λ）都属于bmo（Qλ），因此，上面（4.3）右边的两个随机积分都是Qλ鞅。λ，mE，δ和nE，δ的bmo（Qλ）-性质允许我们根据Fσ上两边的投影得出结论，XE，δ在Qλ下属于（D）类。因此，（i）中的边界暗示Yλ也是Qλ下的（D）类，因此我们可以使用局部化参数得出eqλσ[E]- Yλσ=等式λσZTσh（λu，νu）du, 对于每个停车时间σ。多亏了外稃2。2，第（1）部分，右侧由以下等式λσ[RTσ]限定(-λu+2νu）du]，而左侧的上界由等式λσ[E]给出- XE，Δσ=等式λσZTσ2δ（mE，δu）+2δ（nE，δu）- λumE，δu杜≤ (2δ+)kλkbmo（Qλ）+kmE，δkbmo（Qλ）+knE，δkbmo（Qλ）.这些估计意味着∈ bmo（Qλ）和同构定理[Kaz94，定理3.6]表明∈ bmo也是。为了证明这一点∈ bmo，我们首先证明- δ属于S∞. 自从- XE，δ≥ 0，这就足以证明Y- XE，δ是从上面有界的。

为此，我们计算Y的半鞅分解- Qλ：d（Yt）下的XE，δ- XE，δt）=hh（λt，νt）+mE，δtλt-2δ（mE，δt）+（nE，δt）idt+（微升）- nE，δt）dBλt+（νt）- nE，δt）dWt。（4.4）利用h的下界，Y和XE的类（D）性质，Qλ下的δ，以及- δT=0，我们得到了- XE，δt≤ 等式λthZTtλu-2.νu- mE，δuλu+2δ（mE，δu）+2δ（nE，δu）dui，其中，由于λ，ν，mE，δ和nE，δ的bmo（Qλ）性质，右侧从上方均匀地在t中有界。bmo和S中的界∞, 与应用于（Y）的公式一起使用- XE，δ）和（4.4）的促进，意味着μ-我，δ∈ bmo（Qλ）。对[Kaz94，定理3.6]的另一个诉求是：∈ bmo。不完全随机平衡19最后，我们讨论（2.11）的唯一性，并考虑两个解（Y，u，ν）和（Y，u，ν）。他们之间的差异很小-■Y令人满意（年初至今）-~Yt）=（h（λt，νt）- h（λt，*νt））dt+（ut- §ut）dBλt+（νt）- ννt）dWt。通过凸性，我们得到了h（p，ν）- h（p，~ν）≤ Q*（p，ν）（ν）- 其中q*（p，ν）=h（p，ν），所以-~Yt≥ -ZTt（μu）- ■uu）dBλu-ZTt（νu）- ~nνu）dWq*u、 （4.5）其中q*表示过程q*(λ, ν). 引理2.2中（2.9）的界暗示q*∈ bmo。因此，概率测度Qλ，*, 由dQλ定义，*/dP=E(-RλudBu-Rq*udWu）定义良好。此外，由于（u，ν）和（u，ν）的bmo性质，上述（4.5）右侧的随机积分为Qλ，*-鞅。在Qλ下对ftq的投影，*（4.5）的两个侧面产生Y≤~Y。同样证明了逆不等式。4.5. 命题的证明2。4.引理2.2中（2.9）中的边界允许πλ从λ和（μλ，νλ）继承其bmoproperty。设置μλ=πλ+μλ和νλ=νλ，我们有μλ，νλ∈ bmo和h（λ，νλ）+μλλ=g（μλ，νλ）- πλ，（4.6）所以dyλt=gt（μλt，νλt）- πλtλtdt+（μλt）- πλt）dBt+νλtdWt=gt（uλt，νλt）dt- πλtdBλt+μλtdBt+νλtdWt。因此Yλt+πλ·Bλt（4.2）与终端条件E+π·Bλt。

当E+πλ·Bλt出现有界时，（4.2）的唯一性意味着yλ=inf情商E+ZTπλudBλu+ZTfu（pu，qu）duQ∈ Q,π的最优性来自（2.6）。当E+πλ·Bλ为无界时，我们使用非减量序列τn=inf{t使用局部化参数≥ 0 | | Yλt+πλ·Bλt |≥ n}∧T，n∈ P[τN=T]→ 1.过程Yλt+πλ·Bλt是（4.2）有界终端条件Yλτn+πλ·Bλτn，因此，通过唯一性，Yλ=inf情商Yλτn+ZτnπλudBλu+Zτnfu（pu，qu）duQ∈ Q. （4.7）因此，上面（4.7）中的等式和f yieldYλ的非负性≤ 情商Yλτn+ZτnπλudBλu+ZTfu（pu，qu）du, 每n∈ N和每个Q∈ Q.（4.8）对于右边的第一项，我们声称{Yλτn}从上面被Q下的一致可积族所限定。事实上，我们从命题2中得到了。3第（i）项Yλt≤不完全随机平衡20EQλt[E+]+kλkbmo（Qλ）。另一方面，Q∈ Q意味着DQDP∈ Lp（P）对于某些P而言足够接近1。此外，由于λ∈ bmo（Qλ），逆霍尔德不等式（见[Kaz94，定理3.1]）意味着dpdqλ∈ Lp′（Qλ）对于一些充分接近1的p′，类似于dqλdP∈Lp′（P）对于某些P′足够接近1。拿s∈ （1，p∧ p′∧ 通过1/p+1/q=1/p\'+1/q\'=1/p\'+1/q\'=1/p\'+1/q\'=1/p\'+1/q\'=1定义q、q\'和q\'=1。我们从霍尔德不等式中得到等式λt[E+]s= EPdQdP等式λt[E+]s≤ EPdQdPP打气等式λt[E+]平方米Q≤ EPdQdPPpEQλdPdQλ等式λt[E+]平方米Q≤ EPdQdPPpEQλdPdQλp′qp′EQλEsqq\'+qq\'≤ EPdQdPPpEQλdPdQλp′qp′EPdQλdPEsqq′+qq\'≤ EPdQdPPpEQλdPdQλp′qp′EPdQλdPp′\'qq′p′EPEsqq\'q\'\'+qq\'q\'，对于任何t∈ [0，T]。因此，条件期望EQλ·[E+]的连续修正是Q下的一类（D）过程，它证实了{Yλτn}在Q下由一个非均匀可积族从上而下的结论。因此，我们可以使用Fatou引理得出lim supnEQ[Yλτn]≤等式[E]。

对于（4.8）右侧的随机积分，类似于上述yieldsEQZTτnπλudBλu≤ 伊芙dQdPpipEQλhdPdQλp′ip′qEQλZTτnπλudBλuqq\'qq′（4.9），其中1/p+1/q=1/p′+1/q′=1和p，p′充分接近1。对于右边的第三个预期，因为πλ·Bλ∈ BMO（Qλ），我们有supnEQλhRTτnπλudBλu2qq′i≤ kπλ·Bλk2qq′BMO2qq′（Qλ）<∞德拉瓦莱-普桑定理暗示RTτnπλudBλu在Qλ下，qq′在n中是一致可积的。因此，（4.9）中的第三个期望值消失为τn→ 我们得到λ≤ 情商E+ZTπλudBλu+ZTfu（pu，qu）du, 任何问题∈ Q.因此，Yλ≤ infQ∈量化宽松E+ZTπλudBλu+ZTfu（pu，qu）du= UE+ZTπλudBλu,πλ的最优性来自（2.6）。此外，在^Qλ处获得了最小测度~ P、 给定比亚迪^QλdP=E(-RλudBu-R^qλudWu）T，其中^qλT=h（λt，νλt）。因此Yλt+Rtfu（λu，^qλu）是一个^qλ-鞅。不完全随机平衡21为了证明唯一性，我们采用了另一个最优策略π，并观察到，由于它的最优性，两个不等式inU（E+~π·BλT）=infQ∈QEQhE+π·BλT+ZTfu（pu，qu）对≤ E^QλhE+π·BλT+ZTfu（λu，^Qλu）对≤ E^QλhE+ZTfu（λu，^Qλu）dui=infQ∈MλhE+ZTfu（λu，qu）对，实际上是等式。特别地，^Qλ-上鞅^π·Bλ是一个^Qλ-鞅，且u（E+)π·BλT）=E^QλhE+)π·BλT+ZTfu（λu，^Qλu）dui。前面的恒等式和[DHB11，命题2.1，第2项）]意味着Ut（E+～π·BλT）+Rtfu（λu，^qλu）du是一个^qλ-鞅。utan的Ft-cash不变性和∧π·Bλ的^Qλ-鞅性质则表明Ut（E+RTt∧πudBλu）+Rtfu（λu，^Qλu）du也是a^Qλ-鞅。它由另一个^Qλ-鞅控制，即Yλt+Rtfu（λu，^Qλu）du。这两个鞅实际上是重合的，因为它们满足相同的终端条件。

特别是，我们有YT=UtE+ZTtπudBλu, T∈ [0，T]。在[DHB11，命题2.1，第1项]中已经证明，对于任何Q，Ut（E+～π·BλT）+Rtfu（pu，qu）du是aQ子鞅∈ Q.这个次鞅性质与Ut（E+＠π·BλT）+Rtfu（λu，^Qλu）du yieldsUt的^Qλ-鞅性质相结合∧τ（E+～π·BλT）=essinfQ∈QEQt∧τhUτ（E+～π·BλT）+ZτT∧τfu（pu，qu）dui，对于任何[0，T]值的停止时间τ。特别是，当τ=τk这里τk=inf{t≥ 0:| Ut（E+)π·BλT）|≥ k}∧ T，有界终端条件下（4.2）的唯一性意味着dut（E+＠π·BλT）=gt（＠uT，＠νT）dt+＠tdBt+＠tdWt，0≤ T≤ τk，对于某些（＠u，＠ν）。因此，Ut=Ut（E+RTtπudBλu）满足=gt（ut，νt）- λtπtdt+（~ut）- ~πt）dBt+~νtdWt。将其与（2.11）中的动力学进行比较，并利用半鞅分解的唯一性，我们得到了μλ=～u- ~π，νλ=~ν，和gt（~u，~ν）- λ∧π=ht（λ，νλ）+λμλ。Thereforesupp∈Rht（p，νλ）+p（uλ+～π）= gt（λ+π，νλ）=ht（λ，νλ）+λ（λ+π）。Ht的凹度在其第一个参数中产生μλ+μπ=-ht（λ，νλ）和conf-confirm∧π=πλ。不完全随机均衡224.6。理论证明3。4. (1) => (2). 给定一个平衡λ∈ ∧（E，f），设πibe为agent i的初选择机。命题2中的唯一性陈述。4个标识πi=-hi（λ，νi）- ui，其中（Yi，λ，ui，νi）是（2.11）的唯一解，终端条件为Yi，λT=ei和（ui，νi）∈bmo。市场清算条件piπi=0意味着pihi（λ，νi）=-Piui.（2）=> (1). 给出一个溶液（Yi，λ，ui，νi）ito（3.3），每个溶液（ui，νi）∈ bmo，我们设定πi=-hi（λ，νi）- ui.命题2。4意味着当风险的市场价格为λ，且市场清算条件满足时，πi对于代理i是最优的，因为πi=-圆周率hi（λ，νi）+Piui=0.4.7. 理论证明3。6.仅依赖于δ和 从定理3.6可以称为普适。

我们将特别讨论普适常数ε和C，以及一个通用函数ε（M）：[0，ε）→ (0, ∞) 在续集里。当出现在同一个证据中时，我们允许他们的价值观在不同的情况下发生变化，而不明确提及。此外，所有普适常数都假定为严格正。我们首先在bmo空间中建立一个Banach定点定理的框架。给定λ∈ bmo和我∈ 1.一、 设Yi，λ和（uI，λ，νI，λ）∈ bmo是Dyi，λt唯一解的组成部分=hit（λt，νi，λt）+λtui，λdt+ui，λtdBt+νi，λtdWt，Yi，λT=Ei，其中hiω，T（p，ν）=supq∈Rqν- fiω，t（p，q）, （ω，t，p，q）∈ Ohm ×[0，T]×R.我们对随机捐赠（Ei）进行了简化，并提醒读者，在（3.2）中，XIND（mi，ni）区域。让函数H由ht（p，ν）=IIXi=1定义击中（p，νi），代表t∈ [0，T]，（p，ν）∈ R×RI，引理2。2项（1）和（2），功能P7→ hit（p，ν）对于每个t，ν和i都是严格递减的，其范围是R，因此，Ht（p，（νi）i）允许逆H-1t（·，ν）。我们使用它来定义bmo byF（λt）=H上的超额需求图F-1t(-IPiui，λt，（νi，λt）i，t∈ [0，T]。这个映射的意义在于一个简单的事实，即λ是平衡的当且仅当F（λ）=λ，即如果λ是F的固定点。我们的首要任务是证明H-1是一个Lipschitz函数：引理4.4。存在一个普适常数C，使得| H-1t（p，ν）- H-1t（~p，（~νi）i））|≤ C|P- ~p |+maxiνi- νi, （4.10）所有t的不完全随机平衡∈ [0，T]，p，~p∈ R、 和ν，（~νi）i∈ 里。证据在整个证明过程中，下标t被抑制。